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英文标题：
《On a Generalization of Markowitz Preference Relation》
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作者：
Valentin Vankov Iliev
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Given two families of continuous functions $u$ and $v$ on a topological space $X$, we define a preorder $R=R(u,v)$ on $X$ by the condition that any member of $u$ is an $R$-increasing and any member of $v$ is an $R$-decreasing function. It turns out that if the topological space $X$ is quasi-compact and sequentially compact, then any element of $X$ is $R$-dominated by an $R$-maximal element of $X$. In particular, since the $(n-1)$-dimensional simplex is a compact subset of the real $n$-dimensional vector space, then considering its members as portfolios consisting of $n$ financial assets, we obtain the classical 1952 result of Harry Markowitz that any portfolio is dominated by an efficient portfolio. Moreover, several other examples of possible application of this general setup are presented.
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中文摘要：
给定拓扑空间$X$上的两个连续函数族$u$和$v$，我们定义了$X$上的一个前序$R=R（u，v）$，条件是$u$的任何成员是$R$增函数，$v$的任何成员是$R$减函数。结果表明，如果拓扑空间$X$是拟紧的且序列紧的，那么$X$的任何元素都是由$X$的$R$最大元素支配的$R$。特别是，由于$（n-1）$维单纯形是实$n$维向量空间的一个紧子集，然后将其成员视为由$n$金融资产组成的投资组合，我们得到了Harry Markowitz 1952年的经典结果，即任何投资组合都由有效投资组合支配。此外，还介绍了这种通用设置可能应用的几个其他示例。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> On_a_Generalization_of_Markowitz_Preference_Relation.pdf (141.66 KB)

2022-5-11 13:10:35 上传

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关键词：Markowitz Mark Mar Optimization Quantitative

关于Markowitz偏好关系的推广Valentin Vankov-Iliev*保加利亚科学院数学与信息研究所，保加利亚科学院，So FIA 1113，给定两类连续函数u=（up）p∈土地v=（vq）q∈ 在一个拓扑空间X中，我们定义了X上的预序R=R（u，v），条件是u的任何成员是R-增函数，v的任何成员是R-减函数。结果表明，如果拓扑空间x是拟紧的和序列紧的，那么任何元素x∈ Xis R-由R-极大元m控制∈ X:xRm。在p中，由于（n- 1） -维单纯形是Rn的一个紧子集，然后将其成员视为由n个金融资产组成的投资组合，我们得到了Harry Markowitz 1952年的经典结果，即任何投资组合都以有效投资组合为主导。此外，还介绍了这种通用设置可能应用的其他几个例子。1马科维茨优化1。1.归还一份PortfolioLetN-1={（x，…，xn）∈ Rn+|Pni=1xi=1}是n-一维单纯形，设[n]={1，…，n}。有序对（[n]，x），x∈ N-1，是一组结果[n]和概率赋值x[n]的样本空间→ R、 x（i）=xi，i=1，n、 这种形式的所有样本空间集可以用n- 一维单纯形N-也被称为- 1） -尺寸分配表或（n）- 1） -多维投资组合。给定一个概率为P的样本空间S，让S，snbe随机变量的期望值为u，分别为un。对于任何投资组合x∈ N-1加权和s（x）=xs+···+xn是一个随机变量，期望值u（x）=E（s（x））=xu··+xnu，方差v（x）=Var（s（x））是x中的非负二次型。

，xn。以下备注1.1.1我们解释为：∈ [n] 作为金融资产，样本spa被视为金融市场，随机变量被视为资产i的回报，*部分由保加利亚科学基金Grand I 02/18资助。i=1，n、 在固定时间段结束时，将s（x）作为投资组合x的回报。然后u（x）=E（s（x））是预期回报，v（x）=Va r（s（x））是投资组合x的风险（或波动性）——例如，参见[2，2.1]。1.2 Markowitz偏好∈ N-1作为一个投资组合，u（x）=E（s（x））和v（x）=Var（s（x））是x的预期回报和波动性。马科维茨对投资组合选择的方法基于以下集合上的参考定义N-1份投资组合：如果u（x）为x，则为x≤ u（y）和v（y）≤ v（x）。非正式地说，xRy意味着投资组合y至少和x一样好。预订单的对称部分E=isE{（x，y）∈ N-1 | u（x）=u（y）和v（y）=v（x）}并且R的不对称部分F是F=R\\E。因此，xF y当且仅当u（x）<u（y）和v（y）≤ v（x）或u（x）≤ u（y）和v（y）<v（x）。非正式地说，xF y意味着投资组合y完全优于投资组合x。在[1，p.82]H.Markowitz中（直到没有提到）给出了以下定义：投资组合x被认为是有效的ifu（x）=maxy∈N-1，v（y）≤v（x）u（y）和v（x）=miny∈N-1，u（y）≥u（x）v（y）。（1.2.1）换句话说，对于任何投资组合y∈ N-1不等式v（y）≤ v（x）意味着不等式u（x）≥ u（y）与不等式u（y）≥ u（x）表示不等式v（x）≤ v（y）。对最后一句话的否定是：没有多余的东西∈ N-因此xF y，也就是说，po rtfolio x不是R-最大的。因此，我们看到x是马科维茨的有效投资组合，当且仅当x isR最大——这是我们的设置。2概括在本节中，我们对1.2中定义的马尔科维茨偏好关系进行了广泛概括。

利用Kuratowski-Zorn定理（等价于选择公理），我们证明了这个偏好结构的任何成员都由一个最大元素（广义有效投资组合）支配。特别是，广义有效投资组合的集合不是空的。2.1拓扑空间上的一个预序——设X为拓扑空间，设u=（上）p∈土地v=（vq）q∈Jbe X上的两个连续实函数族。我们用以下方式定义X上的预序R=R（u，v）：R={（X，y）∈ X |向上（X）≤ 上升（y）和vq（x）≥ 所有p的vq（y）∈ 一、 q∈ J} 。（2.1.1）然后对于R的对称部分E（等价关系），一个相位={（x，y）∈ X | up（X）=up（y）和vq（X）=所有p的vq（y）∈ 一、 q∈ J} 对于R的非对称部分F（一个对称的传递关系），一个有F=R\\E。因此，xF y意味着xRy，或者存在索引p∈ I有up（x）<up（y）或存在索引q∈ J，vq（x）>vq（y）。考虑到一个族中函数的重新请求，以及将一个族中函数的负数加到另一个族中，我们可以假设两个族都有相同的指数集，u=（up）p∈一、 v=（vp）p∈一、 在不改变X上相应的前序的情况下。此外，由于将X上的第三个可数连续函数族添加到两个族中，前序的校正可以由两个不等式组和等式系统定义。下面，如果相反的是在没有说明，家庭u=（向上）p∈土地v=（vp）p∈我有相同的索引集。2.2最大元素为了定义术语，我们提醒大家几个定义。如果X的每个开覆盖都包含一个有限覆盖，则拓扑空间X称为拟紧空间X。如果空间X是拟紧且Hausdorff，则称其为紧空间，如果X元素的任何有限序列具有一个覆盖子序列，则称其为连续紧空间。例如，[3，秒。

1] 任何紧致可数空间都是序列紧致的，每个Lindel¨of，SequentialCompact（和Hausdorf）空间都是拟紧致的。给定集合X上的一个预序，子集C 如果C上的诱导预序是完整的，则称X为X中的链。如果X中的每条链都有上界，则称为有序集X。下面，如果没有说明相反的情况，我们假设to po逻辑空间x由连续函数族u=（up）p提供了preor de r product d∈土地v=（vp）p∈一、序列（xι）∞ι=1，xι∈ 十、 如果XιRxι+1（分别为XιF Xι+1）表示所有ι≥ 1.通过类比，我们定义了R递减（严格地说是R递减）序列。给定一个R-链C 十、 任何p∈ 我和任何实数r∈ R我们设定：Mp=supx∈杯子（x），mp=infx∈Cvp（x），Cp={x∈ C | up（x）=Mp}，C(-)p={x∈ C | up（x）<Mp}，cp={x∈ C | vp（x）=mp}，C（+）p（r）={x∈ C | vp（x）>mp}。最后，我们将注释C*p={x∈ X | up（X）=Mp}，c*p={x∈ X | vp（X）=mp}，soCp C*pand cp C*p、 注意C=Cp∪ C(-)p=cp∪ c（+）p.引理2.2.1设p，q∈ 一个有cp Cpor Cp （ii）一个人有cp∩ 内容提供商 cq∩ cq或cq∩ Cq 内容提供商∩ Cp.证明：（i）如果vp（x）=所有x∈ Cp，然后是Cp cp.否则，存在∈ cpvp（x）>mpand，因此，所有y的vp（y）<vp（x）∈ cp.反正∈ 与x相比，我们上升了（y）≥ up（x）=Mp，也就是y∈ 换句话说，Cp Cp.（ii）如果vq（x）=mq且uq（x）=Mqfor all x∈ 内容提供商∩Cp，然后是Cp∩内容提供商 cq∩Cq。否则，就存在x∈ 内容提供商∩ cpvq（x）>mqor uq（x）<Mq。如果vq（x）>mq（分别，uq（x）<mq），那么所有y的vq（y）<vq（x）（分别，uq（x）<uq（y））∈ cq∩ Cq。因为x和y是R-可比的，所以在这两种情况下我们都得到了（y）≥ 向上（x）=mp和mp=vp（x）≥ 副总裁（y）。

换句话说，y∈ 内容提供商∩ CPY∈ cq∩ Cq。让我们定义一个正整数s和一个有限子集{p，…，ps} I.使用引理2.2.1，（I）、（ii）和归纳法，我们立即得到以下结果：推论2.2.2交点cp∩ 内容提供商∩ . . . ∩ cpk∩ Cpki等于一组cp，cp。，cpk，cpk所有人≤ s、 给出了一个s≥ 1，根据引理2.2.1，（i）、（ii），以及函数upk，vpk对的最终重新编号，我们对交点cpk进行排序∩ Cpk，k≤ s、 关于从最小到最大的包容度：cp∩ 内容提供商 · · ·  内容提供商l∩ 内容提供商l 内容提供商l+1.∩ 内容提供商l+1. · · ·  cps∩ Cps，（2.2.1），其中cpi= 或Cpi=, 1.≤ 我≤ l, 和cpl+1.∩内容提供商l+16= . 下面，如果没有说明对立面，在{p，…，ps} 一、 我们认为（2.2.1）成立。因此，k的存在≤ 带cpk的s= o r Cpk= 之后重新编号意味着l ≥ 1，即cp= 或Cp=.引理2.2.3设X为序列紧空间，设Cp= （分别为cp=).（i） 存在严格的R递增发散序列（xι）∞ι=1，（2.2.2）带xι∈ C和极限x*∈ 十、 这样的实数序列（up（Xι））∞ι=1严格递增，并向上发散（x*) = M和每一个实数序列（vq（xι））∞ι=1，q∈ 一、 正在减小并发散到vq（x*) = mq（分别是实数的序列（vp（xι））∞ι=1严格递减，并发散到vp（x*) = M和每个实数序列（uq（xι））∞ι=1，q∈ 一、 正在增加并发散到uq（x*) = Mq）。（ii）对于第（i）部分中的序列（2.2.2），设一个为up（x）*) = 议员，向上（x）*) = 议员，upk（x）*) = Mpk（分别为vp（x*) = 下院议员，副院长（x）*) =议员，vpk（x）*) = 对于某些k<s，则存在y∈∩λ∈Icλ∩内容提供商∩. . .∩Cpk∩Cpk+1（分别为y∈ 内容提供商∩. . .∩cpk∩cpk+1∩λ∈ICλ），或存在严格的R递增发散序列（yκ）∞κ=1，带yκ∈ C极限y*∈ 十、 这样的话*) = 议员，向上（y）*) = 议员。

，upk（y）*) = Mpk和vq（y*) = mq，q∈ I（分别为vp（y）*) = 下院议员、副院长（y）*) = 议员，vpk（y）*) = mpk和uq（x*) = Mq，q∈ 一） ，实数序列（upk+1（yκ））∞κ=1严格增加，并发散到upk+1（y*) = Mpk+1实数序列（vq（yκ））∞κ=1，q∈ 一、 正在降低并偏离vq（y*) = mq（分别是实数序列（vpk+1（yκ））∞κ=1急剧下降并发散至vpk+1（y*) = mpk+1和每个实数序列（uq（yκ））∞κ=1，q∈ 一、 正在增加并向uq（y）发散*) = Mq）。证明：当cp=, 我们用-vq，vqwith-如果Cp=.（i） 设Cp=. 那么Mp=supx∈C(-)小狗（x）和我们选择（xι）∞ι=1表示C=C的一系列成员(-)psuch表示实数序列（向上（xι））∞ι=1严格地随limι而增加→∞向上（xι）=Mp。因为元素xιι≥ 1，是两两R-可比的，结果是实数序列（uq（xι））∞ι=1，q∈ 一、 q6=p，a再增加和（vq（xι））∞ι=1，q∈ 一、 正在减少。因此，序列（xι）∞ι=1是严格的R-递增。根据to-po逻辑空间X的序列紧性，我们可以支持集合（Xι）∞ι=1到x点的距离*∈ 因此，向上（X）*) = 议员。任何问题∈ Iwe集m′q=limι→∞vq（xι）。让我们假设mq<m′qf为某个q∈ 我有一个秘密∈ C使vq（y）<m′q。尤其是vq（y）<vq（xι），henceup（y）≥ 向上（xι）≥ 1.将我们获得的限额提高（y）≥ 下院议员，就是这样∈ Cp，这是一个矛盾。因此mq=m′q和vq（x*) = mqforall q∈ I.（ii）设M′pk+1=limι→∞upk+1（xι）。我们有M′pk+1≤ 如果M′pk+1=Mpk+1，那么upk+1（x*) = Mpk+1。换句话说，x*∈ ∩∞λ=1c*λ∩C*P∩. . . ∩C*主键∩C*pk+1。

现在，让M′pk+1<Mpk+1。如果Cpk+16=, 我们选择y∈ Cpk+1由于xι和y是可比的，不等式upk+1（xι）≤ M′pk+1<upk+1（y）产量（xι）≤ uq（y）（2.2.3）适用于所有q∈ 一、 q6=pk+1和vq（xι）≥ vq（y）（2.2.4）适用于所有q∈ I.接受极限ι→ ∞ 在（2.2.3）中，对于所有q=p，pkandin（2.2.4）适用于所有q∈ 一、 我们得到了y∈ ∩∞λ=1cλ∩ 内容提供商∩ . . . ∩ Cpk∩ Cpk+1。如果Cpk+1=, 存在一个序列e（yκ）∞κ=1，yκ∈ C、 使m′pk+1<upk+1（yκ）<Mpk+1，κ≥ 1，实数序列（upk+1（yκ））∞κ=1严格增加，并发散至Mpk+1。特别是，对于所有的ι，κ，upk+1（xι）<upk+1（yκ）≥ 1.由于xι和yκ是R-可比的，我们得到了所有的ι，κ≥ 不等式uq（xι）≤ uq（yκ）≤ 所有q6=pk+1和vq（xι）的Mq（2.2.5）≥ vq（yκ）≥ mq（2.2.6）适用于所有q∈ 由于拓扑空间X是序列紧的，我们可以假设t（yκ）∞κ=1带极限y的偏差*∈ 十、 所以upk+1（y*) = Mpk+1。连续地接受极限ι→ ∞, κ → ∞, 在（2.2.5）中，对于所有的q=p，pkandin（2.2.6）适用于所有q∈ 一、 我们得到了y*∈ ∩∞λ=1c*λ∩ C*P∩ . . . ∩ C*主键∩ C*pk+1。命题2.2.4设X是一个序列紧空间，赋予（2.1.1）中的序R，并设C X是一条链子。（i） 对于任何有限子集{p，…，ps} 我有一个∩si=1C*圆周率∩ C*pi6=. （2.2.7）（ii）如果X是拟紧的，那么∩P∈IC*P∩ C*p6=. （2.2.8）证明：（i）如果C是一个有限的R链，那么它的最大元素是一个跨部门的成员∩si=1Ci∩ ci。现在，让我们假设R链C是有限的。如果所有集合c，c。，cs，cs，re-nonempty推论2.2.2意味着它们的交集是notempty的，因此（2.2.8）成立。

否则，使用引理2.2.3和关于k的归纳，我们就完成了。（ii）由于X是准紧的，所以第（i）部分暗示了第（ii）部分。推论2.2.5如果X是一个拟紧且序列紧的空间，那么预序集X是归纳的。证明：每个元素x*∈ ∩P∈IC*P∩ C*pis是R链C的上界，因此预序集X是归纳的。现在，推论2.2.5和Kuratowski-Zorn定理产生了以下结果：定理2.2.6让X是一个拟紧的序列紧空间。对于任何元素x∈ 存在一个R-极大元y∈ X和xRy。2.3示例（n）- 1） -维单纯形N-1是Rn中的一个compac t集，它是aquasi紧的、序列紧的拓扑空间。如果一个函数u（x）的族u（x）-投资组合x的预期收益和一个函数v（x）的族v（x）-其波动性，利用定理2.2.6，我们得到了Markowitz有效投资组合的存在性，以及其他一些东西：任何投资组合都是由Markowitz有效投资组合R-支配的。此外，替换单工N-1用一个封闭的球-在一个超平面上，pni=1xi=1在Rn中，例如N-1. Bn-1，我们承认有界负xi（即约束卖空），并且定理2.2.6再次确保存在支配任何给定投资组合的Markowitz有效投资组合。下面，我们将提醒大家统计学中的一些概念，并举例说明定理2.2.6的应用。给定整数l ≥ 2.最重要的l-随机变量s（x）的中心矩是E（（s（x）- E（s（x）））l). 标准方差是第二个中心动量v（x）=E（s（x）- 它是x的二次型，xn。第三中心力矩E（s（x）- E（s（x））是立方形式，四次中心力矩E（（s（x））是- E（s（x）））是x中4度的一种形式。

，xn。给定x∈ N-1和t∈ R、 我们设置Fx（t）=P（{m∈ S|S（x）（m）<t}），soFx:R→ [0，1]是随机变量（x）的累积分布函数。我们假设s（x）是一个密度函数为Fx（t）的连续随机变量，因此Fx（t）=Rt-∞fx（τ）dτ和F′x（t）=fx（t）。特别是，函数sfx（t）是连续的。我们递归定义D（1）x（t）=Fx（t），D（2）x（t）=Rt-∞Fx（τ）dτ，D(l)x（t）=Rt-∞D(l-1） x（τ）dτ。。投资组合x∈ N-据说是的l-投资组合y随机支配的第阶∈ N-如果(l)y（t）≤ D(l)x（t）代表所有t∈ R