具有小不确定性厌恶的套期保值

因此，我们称ew为小型不确定性厌恶的现金等价物；在leadingorder中，是指假设头寸易受波动性影响的情况下，相对于参考值的（标准化）溢价（或折扣，如果您是买家，请参见下一段）。如果您决定以pb（ψ）的价格购买期权，您的初始损益为x-pb（ψ）+V。购买期权与出售期权的负面内容是一样的。此外，期权的现金等价物与其负值重合，因为现金伽马以平方形式输入ew的PDE（3.2）的源项（3.4）。因此，pb（ψ）由u（x）=v（x）确定- pb（ψ）+V；ψ） ，其中yieldspb（ψ）=？V- ewψ+o（ψ）。（3.16）与（3.15）中的要价类似，您要求对参考值“vt”进行折扣ewψ+o（ψ），以购买期权。将（3.16）与（3.15）进行比较，我们可以看到，从浮动头寸开始，由于不确定性厌恶，您的买卖价差为2 ewψ+o（ψ）。备注3.7。上述结果可与不确定波动率模型正式联系如下。考虑Black-Scholes-Barenblatt方程vψt（t，s）+sup∈[λ（t，s），∧（t，s）]（？（t，s）+ψ）sVψss=0，Vψ（t，s）=G（s），（3.17），其中ψ>0是一个（小）参数，λ≤ 0≤ ∧是合适的函数。该方程对应于找到最小初始资本的问题，该初始资本允许在随机区间[(R)σ（t，ST）+ψλ（t，ST），(R)σ（t，ST）+ψ∧（t，ST）]内演化的任何波动过程中超级复制选项G（ST）；见【48】。正如Lyons【48，第5节】所指出的，Black-Scholes-BarenblattPDE（3.17）的解Vψ具有形式渐近展开式Vψ（t，s）=V（t，s）+eV（t，s）ψ+o（ψ）（ψ）↓ 0），（3.18）也可以获得询价的二阶展开式，但没有提供太多额外的见解。对于二阶项bw，这种对称性通常会被破坏；查阅

相应的源项（3.5）。因此，对于差异出价的二阶展开，必须使用与期权负值相对应的bw。该规范是一般“随机G-期望”的特例【56】。其中“V”是Black-Scholes PDE（2.3）的解，andeV用源项求解以下线性抛物线：eVt（t，s）+σ（t，s）seVss（t，s）+sup∈[λ（t，s），∧（t，s）]'σ（t，s）s'Vss（t，s）=0，eV（t，s）=0。（3.19）Fouque和Ren【26】证明了膨胀式（3.18）适用于‘∑为常数∧的特殊情况≡ 1和λ≡ 0.根据（3.18），eV可被解释为（标准化）领先订单溢价高于参考值，具有有限风险规避但波动率区间较小的代理要求作为假设易受波动率错误指定影响的头寸的补偿。这有助于将ew解释为小型不确定性厌恶的现金等价物。更具体地说，如果fdoes不依赖于y，并且如果我们选择∧（t，s）=-λ（t，s）=eσ（t，s）符号（\'Vss（t，s））=\'σ（t，s）s(R)Vss（t，s）2f（t，s；(R)σ（t，s）），则对于ew，前场的PDE（3.19）降低为PDE（3.2）。此外，在这种情况下，我们的最佳策略θψt=(R)Vs（t，St）+ews（t，s）ψ与扩张对应的三角洲对冲（3.18）一致。

因此，我们的结果在形式上等同于对一个完全风险厌恶的代理人所获得的结果，然而，该代理人使用了一个随机的和时间相关的波动率带，这取决于期权（通过其现金伽马）和她的不确定性厌恶（通过f）。3.3概率场景的存在性是主要结果，定理3.4，是为交易策略A和波动性场景V的抽象集合而制定的，这些策略（i）大到足以包含几乎最优的策略θψ和波动性σψ，以及（ii）小到足以确保相应的度量P∈ P（θ，σ）存在，并且满足了验证定理的所有技术前提。在本节中，我们提出了满足这些要求的具体选择A和V。为此，让Adenote表示所有实值过程的集合θ=（θt）t∈θT=(R)Vs（T，St）+θT{T<τ}，（3.20）形式的[0，T]，其中θ是有界的，渐进可测过程，因此θT：Ohm → R对每个都是连续的∈ [0，T]，停车时间τ如定理3.4所示。换句话说，只要相应的损益过程Y偏离其初始值太远，Ahasto中的每个策略都会回到参考三角洲对冲。与假设3.2一起，这保证了（参见定理3.8）与这些策略相关的损益过程符合我们的一致有界假设（3.1）。然而，在转换之前，该策略可以以任何可能的路径依赖方式偏离参考对冲。接下来，用v表示所有实值过程的集合σ=（σt）t∈σT='σ（T，St，Yt）1{St形式的[0，T]∈（K）-1，K）}，（3.21），其中'σ：[0，T]×R→ [0，K]是（全局）Lipschitz连续函数。

因此，对于V中的任何挥发过程，一旦S离开（K-其波动性消失，股价冻结。以下定理表明，在适当的正则性假设下，A和V满足定理3.4中的假设：（θψ，σψ）∈ A×V Z表示ψ>0足够小。然而，让我们强调，θψ和σψ在任何更大的类别中也几乎保持最佳状态a A和V 满足A×V的Vof交易策略和波动场景 Z、 [48]对价格的瞬时方差而不是收益的波动性施加了限制。因此，那里的PDEforeV看起来略有不同。这里给出的偏微分方程是对[26]中推导出的偏微分方程的一个轻微概括。定理3.8。假设假设3.2成立，则'Vs，'Vssand'σ在（0，T）×（K）上是Lipschitz连续的-1，K），且yl<y- 2.-KT和yu>y+2+KT。然后A×V Z、 即，对于任何（θ，σ）∈ A×V上有一个概率测度P(Ohm, F） 这样（θ，σ，P）∈ S、 如果不加，则在[0，T]×[K]上fis-Lipschitz连续-1，K]×（yl，yu）×[0，K]，然后（θψ，σψ）∈ A×vf对于所有ψ>0足够小。定理3.8的证明在第5.3.4节“启发式和扩展”中提供。在实践中，您很少需要对冲单个期权，而是一整本不同合同的书。例如，您的账簿可能包括不同行使和到期日的看涨期权和看跌期权，以及各种奇异期权，如亚洲期权、障碍期权、回望期权或股票回报实现方差期权。此外，一些期权，如看涨期权和putsat标准化到期期权以及接近标的当前价格的期权，可能交易不实，因此可以作为您账簿中非交易期权的额外对冲工具。这些更复杂的问题也可以用本文的方法来解决。

由于相应的严格验证将变得更加技术化，因此我们仅在启发式水平上开发这些扩展。由此得出的公式解释了在实际相关情况下，期权组合的敏感性如何影响小不确定性厌恶的现金等价物。我们从定理3.4的非正式推导开始，从而为第5.1节中的严格证明提供了一些直觉。随后，我们将一般程序调整为更复杂的设置，包括亚洲、回溯或障碍类型的奇异选项，以及对实现方差的选项。我们还解释了如何处理期权组合以及使用普通期权进行静态套期保值，并讨论了如何将我们的“现金等价物”解释为Cont意义上的“模型不确定性度量”[14]。4.1一般程序和定理3.4的情况我们的出发点是两人零和随机微分博弈的动态规划方法。中心思想是找到与套期保值问题和相应的半最优控制相关的Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs（以下简称HJBI）方程的渐近解。为方便读者，我们从最优性的一般有效标准（命题4.1）开始推导HJBI方程，称为最优性原则[17]或鞅最优性原则[60，V.15]；关于零和博弈中鞅最优性原则的版本，另请参见[61，命题4.1]。然后，我们解释了如何使用HJBI方程和适当的ansatz来推导套期保值问题的价值和几乎最优的控制。

接下来，恢复第3节中针对单一普通期权套期保值的特定情况提供的公式。最后，我们总结了在其余小节中使用的一般程序，以在更一般的环境中衍生相应的候选人。最优性的有效标准。考虑以下形式的优化问题：=supθ∈Ainfσ∈VEθ，σ[NT]，（4.1），其中A和V是容许控制的集合，对于每个（θ，σ）∈ A×V，Eθ，σ[·]表示给定测度Pθ，σ下的期望，N是一个有效可积过程。E、 g.，如果N在Pθ下可积，则每个（θ，σ）的σ∈ A×V，则V是扩展实线中的一个定义良好的数字[-∞, +∞].命题4.1（鞅最优性原则）。如果有一对（θ*, σ*) ∈ A×V使得（i）对于每个θ∈ A、 N是Pθσ下的上鞅*,（ii）对于每个σ∈ 五、 N是Pθ下的子鞅*,σ、 thenN=Eθ*,σ*【NT】=supθ∈Ainfσ∈VEθ，σ[NT]=infσ∈Vsupθ∈AEθ，σ[NT]。（4.2）特别是θ*和σ*是（4.1）的最优控制，值v=N。因为N是Pθ下的鞅*,σ*通过（i）和（ii），（4.2）中的第一个等式是明确的。此外，（i）和（ii）implysupθ∈AEθ，σ*[新台币]≤ N≤ infσ∈VEθ*,σ【NT】。因此，N≤ infσ∈VEθ*,σ【NT】≤ supθ∈Ainfσ∈VEθ，σ【NT】≤ infσ∈Vsupθ∈AEθ，σ【NT】≤ supθ∈AEθ，σ*[新台币]≤ N、 （4.2）中的其余等式如下。汉密尔顿-雅各比-贝尔曼-艾萨克斯方程的推导。假设给定了控制θ*和σ*满足命题4.1的条件。此外，假设N在Pθ，σ下的动力学形式为dnt=dMθ，σt+νθ，σtdt，对于某些Pθ，σ-鞅Mθ，σ和漂移率νθ，σ。

那么命题4.1的条件（i）和（ii）意味着漂移率νθ，σsatisfysupθ∈Aνθ，σ*T≤ 0≤ infσ∈Vνθ*,σt。使用这些不等式，我们发现0≤ infσνθ*,σt≤ νθ*,σ*T≤ supθνθ，σ*T≤ 0，以及0≤ infσνθ*,σt≤ supθinfσνθ，σt≤ infσsupθνθ，σt≤ supθνθ，σ*T≤ 因此，我们处处都是相等的，尤其是：νθ*,σ*t=supθinfσνθ，σt=infσsupθνθ，σt=0。（4.3）为了更明确地获得漂移率，我们现在假设存在有效的调节函数g和w，以及一个状态过程Z，它是每个θ，σ下的（多维）It^odiffusion，因此对于任何（θ，σ）∈ A×V，Nt=Ztg（u，Zu；θu，σu）du+w（t，Zt）Pθ，σ-A.s.（4.4）这种形式是由我们对冲问题的结构驱动的，参见下面的（4.7）。更具体地说，如果Z在Pθ，σ下有dynamicsdZt=b（t，Zt；θt，σt）dt+a（t，Zt；θt，σt）dWtunder，则将其公式应用于每个Pθ，σ下（4.4）的右侧，得到νθ，σt=wt（t，Zt）+H（t，Zt，w（t，Zt），Dw（t，Zt）；θt，σt）（4.5），其中w和Dw分别表示w（t，z）相对于z变量的梯度和海森，h（t，z，p，A；θ，）：=g（t，z；θ，）+b（t，z；θ，）·p+轨迹（aa>）（t，z；θ，）A.将（4.5）代入（4.3）yieldswt（t，Zt）+supθinfσH（t，Zt，w（t，Zt），Dw（t，Zt）；θt，σt）=0。保持这种状态的一个有效条件是满足PDEwt+supθinfH（t，z，w、 Dw；θ，）=0，（4.6），称为Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程。此外，θ给出了最佳控制的候选人*（t，Zt）和*（t，Zt），其中θ*和*是HJBI方程（4.6）的鞍点，即对于每个（t，z）：H（t，z，w（t，z），Dw（t，z）；θ*（t，z），*（t，z））=supθinfH（t，z，w（t，z），Dw（t，z）；θ，）。还请注意，N=（4.4）中的w（0，Z），因此w（0，Z）是命题4.2中优化问题（4.1）的候选值。

因此，函数w也称为优化问题（4.1）的值函数。上述HJBI方程的推导当然只是形式上的。为了严格证明候选控制确实是最优的，需要一个严格的验证定理（例如使用命题4.1中的有效条件）。渐近解的Ansatz。对于每个ψ>0，考虑对冲问题v（ψ）：=supθ∈Ainfσ∈VEθ，σ“ψZTU（Yt）f（t，St，Yt；σt）dt+U（Yt）#，，（4.7），其中在每个Pθ下，σ，S和Y的动力学形式为dst=StσtdWt，dYt=（θt-\'\'（t，St））dSt+b（t，St；σt）dt，（4.8）对于某些函数’ 和b.漂移率b还需要满足b（t，s；’σ（t，s））=0，因为只要真实波动率σt与参考波动率‘（t，St）相一致，理论损益应“局部漂移较小”。为了推导（4.7）的HJBI方程，我们首先将（4.7）期望值内的表达式重新转换为（4.4）形式。为此，设wψ（t，s，y）是满足终端条件wψ（t，s，y）=U（y）的函数。那么对应于（4.7）的HJBI方程如下：wψt+supθinfψUf（）+b（）wψy+swψss+2（θ-\'\')wψsy+（θ-\'\')wψyy= 0。（4.9）如果我们互换上、下限的顺序，我们将获得相同的结果。在两人零和随机微分博弈的语言中，这表明博弈“有价值”。对于本节中的启发式推导，我们默认每个（θ，σ），Pθ，σ达到（2.14）中的最小值，因此（2.14）中的额外最小值消失。这涵盖了以下小节中涉及的大多数特定选择，但第4.2节中某些奇异选项所需的额外状态变量除外。

为了解释一般程序，我们首先将重点放在只有两个状态变量的最简单情况上，即股价S和损益过程Y。（我们抑制参数（t、s、y）以简化表示法。）该方程的显式解通常不可用。因此，我们的目标是获得不确定性厌恶参数ψ的小值的渐近解。更准确地说，我们希望找到策略θψ、波动率σψ以及修正项ew和bw，使得v（ψ）=U（y）- U（y）ew（0，s，y）ψ+U（y）bw（0，s，y）ψ+o（ψ）=Eθψ，σψ“ψZTU（Yt）f（t，St，Yt；σψt）dt+U（Yt）#+o（ψ）。第一个等式是值作为不确定性规避参数ψ函数的二阶展开。第二个等式表示策略θψ和波动率σψ是下一阶o（ψ）的最优控制接下来，我们使用HJBI方程和适当的ansatz导出值函数的渐近展开和几乎最优控制的候选。回想第2.1节，普通期权可以在参考局部波动率模型中完美复制。因此，在没有模型不确定性的情况下，对期权使用delta对冲是最佳选择，而hedging问题的价值只是初始损益的效用；参见引理2.1。这激发了值函数的渐近展开和（4.7）的几乎最优控制：wψ（t，s，y）=U（y）- U（y）ew（t，s，y）ψ，（4.10）σψ（t，s，y）=σ（t，s）+eσ（t，s，y）ψ，（4.11）θψ（t，s，y）=（t，s）+eθ（t，s，y）ψ，（4.12）对于要确定的函数ew，eσ，eθ。有了这个ansatz，HJBI方程产生了方程forf，eσ，eθ。

实际上，将（4.10）–（4.12）代入（4.9）（我们假设θψ和σψ是supθinf的点明智鞍点），同时使用泰勒展开式f（）≈f（°σ）（）- \'（σ）（因为（2.12））和b（）≈ b（°σ）（）- \'σ）（因为假设b（\'σ）=0；bde注意到关于）的部分导数，并按ψ的幂排序，我们得到-U×ewt公司-f（(R)σ）eσ- b（(R)σ）eσ+(R)σsewssψ+o（ψ）=0。（4.13）eσ的候选者是O（ψ）项的最小值。求解eσ屈服强度σ的一阶条件f（(R)σ）eσ+b（(R)σ）=0=-b（’σ）f（’σ）。（4.14）将该候选者重新插入（4.13）中的O（ψ）项，并将结果设置为零，则产生现金等价物ew的PDE：ewt+’σsewss+b（’σ）2f（’σ）=0。（4.15）根据HJBI方程（4.9），为了找到最佳策略的候选人，我们只需将2（θ）最大化- )wψsy+（θ- )wψyy。（4.16）将ansatz（4.10）和（4.12）替换为（4.16），我们发现eθsy型(-Uew）+eθUψ+o（ψ）。O（ψ）项简化为-2eθ（Uewsy+Uews）+eθu和该二次方程的最大值ineθiseθ=ews+UUewsy。（4.17）最后，使用二阶ansatz wψ（t，s，y）=U（y），可以以相同的方式获得二阶修正项bw的偏微分方程- 值函数的U（y）ew（t，s，y）ψ+U（y）bw（t，s，y）ψ，而不是一阶ansatz（4.10）（对照组的ansatz保持不变），并在扩展的HJBI方程中设置O（ψ）项，在候选策略和候选波动率下评估，等于零。我们省略了冗长的计算。定理3.4的情况。如果需要对冲单个普通期权，则损益动态已在第2.1节中推导。将（2.10）中Y的动力学与上述形式（4.8）进行比较，我们发现b（t，s；）=s'Vss（t，s）（'σ（t，s）- ） 。（4.18）因此，b（t，s；’σ（t，s））=-s'Vss（t，s）'σ（t，s）。