具有小不确定性厌恶的套期保值

我们选择上述公式的原因如下。由于P（θ，σ）可能包含多个度量，我们还必须允许“自然”选择特定度量。标准（1.1）意义上的惩罚函数为α（P）=EPa（σP）, 其中σPis是S在P下的收益率波动率。回想脚注2，a惩罚的是好斗的对手（“自然”），而不是代理人。值得注意的是，[5]表明，这种形式的惩罚泛函可以作为离散时间近似下相对性的连续时间极限出现。首先，在标准预期效用框架中，偏好在效用函数的有效变换下是不变的。术语U（Yt）确保了该属性为（2.13）–（2.14）所述偏好的不确定性厌恶决策者保留。特别是，这些偏好的最优策略和波动性在效用衡量尺度的有效转换下是不变的。第二，U（Yt）（而不是，例如，U（y））是套期保值问题（2.14）动态公式的自然选择，根据一系列由初始时间t、股价St=s和损益Yt=y参数化的条件问题。第三，我们的结果表明，如果f不依赖于损益变量y，然后，在现金等价物ew不依赖于损益的意义上，偏好具有近似“恒定的不确定性厌恶”（参见命题3.6）。如果在（2.13）中省略了术语U（Yt），情况就不会如此。备注2.7。关于随机波动率参考模型，具有适度不确定性厌恶的套期保值问题可以处理如下。标准随机波动率模型假设股票价格的波动率服从布朗运动驱动的It^odiffusion，布朗运动可能与股票价格相关。

特别是，假设即期波动率在任何时候都是完全可观测的。因此，现货波动率不存在不确定性。然而，我们可以引入关于描述点波动率动态的参数的不确定性：其漂移和扩散系数及其与股价的相关性。使用如上所述的类似惩罚函数，但现在对于三个控制变量，而不仅仅是spotvolatility，可以写出相应套期保值问题的HJBI方程，并使用与本研究类似的方法进行分析。当然，由于额外的状态变量和对实际情况的多维控制，分析变得更加复杂。3主要结果我们的主要结果是套期保值问题（2.14）的值v（ψ）的二阶展开，用于不确定性厌恶参数ψ的较小值。此外，我们提供的策略θψ和波动率σψ几乎是最优的，因为它们的性能与下一个领先阶O（ψ）的最优值一致。这些展开式依赖于两个带源项的线性二阶抛物型偏微分方程的解。第3.1节介绍了这些PDESA以及我们主要结果的假设。初读时，读者可能希望跳过第3.1节，直接跳到第3.2.3.1节“成分和假设”中的主要结果陈述。为了尽可能清楚地呈现验证中的主要观点，我们不努力在以下方面形成具体的技术条件。相反，我们关注一组有效条件，只考虑三元组（θ，σ，P），使得过程S，Y和σ是P-a.S。由一个独立于（θ，σ，P）的常数一致限定。

So fix常数K>s∨ s-1、yl<y，yu>Yanddefine S S作为三元组（θ，σ，P）的集合，使得σt（ω）∈ [0，K]，St（ω）∈ [K]-1，K]，Yt（ω）∈ （yl，yu）对于dt×P-a.e.（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. （3.1）备注3.1。S和Y上的有界性假设简化了我们主要结果的证明。例如，（S，Y）范围的紧致性简化了许多估计，并结合候选值函数及其导数的连续性，给出了HJBI方程中最小-最大问题的逐点鞍点的存在性（参见引理5.1和5.2）。使用U（y）代替U（Yt）将产生与定理3.4中相同的v（ψ）展开式，并且在形式上和在前导顺序上，产生相同的几乎最优策略和波动率。这是因为在小不确定性厌恶的渐近极限下，损益过程收敛到一个常数。在稳健投资组合选择的背景下，Maenhout[50]还观察到，对标准（非财富相关）熵惩罚的一些修改是合理的，以避免代理人的不确定性厌恶随着财富的增加而减弱，并通过直接修改HJBI方程来解决这一影响。在关于特定环境下期权动态套期保值的后续工作中，只需要损益过程中的下限。因此，我们希望通过相当大的额外努力，在当前设置下，S的有界性和Y的上界可以放松。然而，损益过程中一些较低的资金至关重要（例如，排除加倍策略）。v（ψ）展开系数用两个偏微分方程的解表示。集合D=（0，T）×（K-1，K）×（yl，yu）。

对于每个y∈ （yl，yu），我们考虑线性二阶抛物型PDEsewt（t，s，y）+σ（t，s）sewss（t，s，y）+eg（t，s，y）=0，（t，s）∈ （0，T）×（K-1，K），ew（T，s，y）=0，s∈ （K）-1，K），ew（t，s，y）=0，t∈ （0，T），s∈ {K-1，K}，（3.2）和bwt（t，s，y）+σ（t，s）sbwss（t，s，y）+bg（t，s，y）=0，（t，s）∈ （0，T）×（K-1，K），bw（T，s，y）=0，s∈ （K）-1，K），bw（t，s，y）=0，t∈ （0，T），s∈ {K-1，K}，（3.3）其中源项，例如，bg:D→ R由eg（t，s，y）给出：=\'\'σ（t，s）s\'\'Vss（t，s）2f（t，s，y；’σ（t，s）），（3.4）bg（t，s，y）：=eσ（t，s，y）f（3）（t，s，y；’σ（t，s））-eσ（t，s，y）s'Vss（t，s）+eσ（t，s，y）'σ（t，s）s(R)Vss（t，s）ewy（t，s，y）- ewss（t、s、y）-U（y）U（y）(R)σ（t，s）seθ（t，s，y）- eσ（t，s，y）f（t，s，y；’σ（t，s））ew（t，s，y）,（3.5）带eθ（t，s，y）：=ews（t，s，y）+U（y）U（y）ewsy（t，s，y），（3.6）eσ（t，s，y）：=？σ（t，s）s？Vss（t，s）f（t，s，y；？σ（t，s））。（3.7）我们在以下假设下证明了我们的主要结果。假设3.2。（i） PDE：有ew，bw∈ C1,2,2（D）∩ C（D）使得对于每个y∈ （yl，yu）、ew（·，·，y）和BW（·，·，y）是偏微分方程（3.2）–（3.3）和| wt |、| ws |、| wy |、| wss |、| wsy |、| wy |的经典解≤ D上的K，w∈ {ew，bw}。（3.8）（ii）参考局部波动率函数：(R)σ：[0，T]×[K-1，K]→ [0，K]是Borel可测的，存在ε>0使得ε≤ \'σ（t，s）≤ K- εon[0，T]×（K-1，K）和‘∑（t，K）=‘∑（t，K-1） =0表示t∈ [0，T]。（3.9）这里，我们假设所有相关的偏导数都存在；假设3.2给出了精确条件。（iii）参考值：(R)V:[0，T]×[K-1，K]→ R是Borel可测量的，(R)V（t，·）∈ C（（K-1，K））∩C（[K-1，K]），适用于所有t∈ （0，T），和s？Vss（t，s）≤ K表示（t，s）∈ （0，T）×（K-1，K）。（3.10）（iv）惩罚函数：f为Cin，偏导数f（k）：=Kkf，k=2，3，4，满足yk≤ f（t，s，y；）≤ K、 |f（3）（t，s，y；）|，|f（4）（t，s，y；）|≤ D×[0，K]上的K。

（3.11）（v）效用函数：U:R→ R是C，U>0且U<0。正式插入假设“σ（·，K）=”σ（·，K-1） =0到（3.4）–（3.5）和（3.7）激励通过设置σ（t，s，y）=eg（t，s，y）=bg（t，s，y）=0，t来扩展eσ，eg和bg的定义∈ （0，T），s∈ {K-1，K}，y∈ （yl，yu）。（3.12）备注3.3。（ii）–（iii）是对期权的参考波动率和参考值的假设，而（iv）–（v）是描述您的风险和不确定性厌恶的对象的规律性条件。相反，（i）是对通过偏微分方程从这些基本体导出的对象的假设。因此，让我们在此指出什么样的规律性假设对（i）适用。WEF关注电子战的PDE（3.2）；bw的PDE可以进行类似处理。我们首先确定y，并注意到（0，t）×（K）上的扩散系数σ（t，s）远离零-1，K）乘以（3.9）。现在，经典存在性和正则性结果（见Friedman[28]，第3.3节中的定理7）保证了经典解ew（·，·，y）的存在性∈ C1,2（（0，T）×（K-1，K）的有界和H"oldercontinuous（在t和s中）偏导数ewt，ews，ews提供了足够正则的微分系数和源项，并且源项与s的零边界条件兼容，即eg（t，s，y）=0∈ {K-1，K}。接下来，我们可以证明ew具有Efeynman–Kac表示（也可参见下面的命题3.6）ew（t，s，y）=Et，s“ZTteg（u，Su，y）du#，，（3.13），其中，在测量下计算期望值，使得s的动力学dSu=Su'σ（u，Su）dwu，并从St=s开始。现在，如果eg是有界偏导数的CINY，可以从（3.13）推断偏导数ewy，EWYYYYE存在，并且在D上有界。

最后，为了获得交叉偏导数ewsy的存在性和界，我们可以将微分方程（3.2）相对于y进行微分，以获得ewy的偏微分方程。然后施加进一步的正则性和相容性条件，上面引用的经典结果得到ewsy的存在性和有界性。一致有界性假设（3.1）可能具有限制性。然而，由于边界可以选择任意大或任意小，这种限制没有什么实际意义。满足上述假设的简单模型是一个几何布朗运动，当它达到K时停止-1或K（对于一些较大的K）。相应的局部波动函数σ（t，s）将是[0，t]×（K）上的合适常数-1，K），并在[0，T]×{K上等于零-1，K}，根据（3.9）。最后，期权支付必须足够有规律（如图1所示和脚注9中定义的“平滑看跌期权”），以便（iii）成立，并完成备注3.3中概述的论点。3.2主要结果我们现在可以陈述我们的主要结果。下面的定理3.8提供了交易策略A和波动性场景V集合的可能选择。（0，T）×（K）上的H"older连续性-1，K）此步骤的支持。定理3.4。假设假设3.2成立并设置τ：=inf{t∈ [0，T]：| Yt- y |≥ 1}∧ T对于每个ψ>0，确定策略θψ=（θψt）t∈[0，T]和波动率σψ=（σψT）T∈[0，T]乘以θψT=“”t+eθ（t，St，Yt）1{t<τ}ψ，σψt=(R)σ（t，St）+eσ（t，St，Yt）ψ，其中eθ和eσ在（3.6）–（3.7）中给出。此外，设A和V是一组渐进可测过程，使得对于所有足够小的ψ>0，（θψ，σψ）∈ A×V Z、 那么，作为ψ↓ 0：supθ∈Ainfσ∈VinfP公司∈P（θ，σ）Jψ（σ，P）=U（y）- U（y）ew（0，s，y）ψ+U（y）bw（0，s，y）ψ+o（ψ）=infP∈P（θψ，σψ）Jψ（σψ，P）+o（ψ），其中ew和bw是偏微分方程（3.2）–（3.3）的解。

特别是，θψ是A中所有策略中紧靠前序O（ψ）的最优策略，而σψ是V中所有波动性中紧靠前序O（ψ）的“最坏情况”波动性。备注3.5。对定理3.4证明的检验表明，策略调整eθ仅影响下一个领先阶O（ψ）的套期保值性能。不同的是，德尔塔树篱 在前导阶O（ψ）处已经是最优的。事实上，通过对表单的控制t+eθtψ和‘（t，St）+eσtψ损益的漂移和扩散系数都是有序的（ψ）（参见（2.10）中的Y动力学）。因此，正式的泰勒展开式表明，漂移控制着值展开式的前导阶O（ψ）。由于您选择的交易策略仅影响差异系数，而漂移系数由实际波动率决定，因此，策略调整仅在O（ψ）级可见。定理3.4的冗长证明被推迟到第5.1节。这里，我们首先讨论v（ψ）值的渐近公式和相应的对冲策略。价值扩张和对冲中的第一个订单条款均由ew函数确定。其Feynman–Kac表示法反过来又允许识别具有小不确定性厌恶的套期保值问题的主要驱动因素：命题3.6（Feynman–Kac表示法）。假设假设假设3.2成立。此外，假设对于每个t∈ [0，T]，\'σ（T，·）在（K）上一致连续-1，K）。然后针对每个∈ [0，T]，s∈ [K]-1，K]和y∈ （yl，yu），ew（t，s，y）=Et，s“ZTt“∑（u，Su）Su”Vss（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du#（3.14），其中，根据一个度量计算期望值，使得S具有参考动力学dSu=Su’σ（u，Su）dwu，并从St=S开始。我们将命题3.6的证明推迟到第5.2节。

从费曼-科航的表述（3.14），我们可以看到，如果fis不变，ew衡量期权剩余寿命内累积的预期波动率加权现金Gamma。特别是，当股票价格很可能在期权现金伽玛值较高的区域花费大量时间时，ew就会很高。波动率加权意味着现金伽马在“营业时间”σ（t，St）dt中累积，即其影响在动荡的市场中放大。严格来说，必须为每个ω定义θψ和σψ∈ Ohm, 甚至那些S或Y超过界限（3.1）的。然而，在这些界限之外，没有定义函数\'Vs、eθ、\'σ、eσ。由于我们只考虑（3.1）适用的度量值，因此我们不会显式地进行相应的直接调整，这只会提高可读性。几乎最优策略的讨论。定理3.4中的几乎最优策略θψ的形式为θψt=“”t型+ews（t，St，Yt）+U（Yt）U（Yt）ewsy（t，St，Yt）{t<τ}ψ。第一个总和只是参考模型中的三角洲对冲，而第二个术语是考虑波动不确定性的分类调整。只有当损益过程与初始值相差不大时，战略调整才是积极的。这是一种技术性修改，可确保损益在任何波动情景下保持在有界区间内。为了了解战略调整的实质性特征，让我们首先关注ewsy=0的情况。那么，战略调整既不取决于你当前的损益，也不取决于你效用函数的形状，而只是ews（t，St）ψ。回想一下，高（低）EWI与波动性不确定性导致的大（小）价值损失相关。假设在时间t，ews（t，St）为正。那么，股价的上涨（下跌）会使你的头寸更容易（更少）受到波动性误判的影响。

但是，由于几乎最优的策略持有ews（t，St）ψ的股份比纯三角对冲多，因此在股价上涨的情况下，波动性误判的更高脆弱性由额外的利润补偿。相反，在股价下跌的情况下，与纯三角对冲相比，策略调整会导致亏损，这一点得到了以下事实的补偿：股票价格已朝着波动性误判风险较小的区域移动。综上所述，几乎最优的策略是对冲股价波动进入易受波动性误判影响的区域。回顾ew的大小主要由期权的现金伽马决定，因此几乎最优的策略可以被视为对冲股票价格进入高现金伽马区域的波动。现在，让我们考虑一下ewsy6=0的情况。假设f（t，s，y；）=g（t，s；）/h（y），对于合适的函数g和h>0。上一段对应于常数h。现在，ew具有FYEMAN–Kac表示ew（t，s，y）=h（y）Et，s“ZTt“∑（u，Su）Su”Vss（u，Su）2g（u，Su；’σ（u，Su））du#。我们发现h（y）是不确定性厌恶的放大因子。递减（递增）h可以解释为递减（递增）不确定性厌恶（相对于损益），类似于众所周知的递增或递减（绝对）风险厌恶的概念。假设h是严格递减的。如果ews（t，St，Yt）>0，则ewsy（t，St，Yt）<0，以及策略调整ews（t，St，Yt）+U（Yt）U（Yt）ewsy（t，St，Yt）{t<τ}ψ大于ewsy=0的情况。如上所述，如果股票上升到高ew区域，这将导致盈利，如果股票下降到小ew区域，则会导致亏损。

预计损益会减少，因此不确定性厌恶情绪会增加，因此，您希望避免波动性错误指定的高度脆弱区域，甚至比h为常数时更容易。因此，你的战略调整甚至比不变的差别价格更大。差异买入价（差异卖出价）（对于期权）是指您在保持当前头寸和以该价格购买（出售）期权之间的差异价格。我们强调，差异价格通常取决于您的财富、股票价格和当前资产配置。我们在此假设您当前处于浮动状态，即您当前在期权中的头寸为零。然后你可能会要求溢价，通过卖空期权来增加投资组合的风险。在整个过程中，xdenotes是您的初始资本（在购买或出售任何期权之前），“V=”V（0，s）是期权的初始参考值。为了便于记法，在必要的修改后，停止时间τ定义中的阈值1可以替换为任何其他常数。同样的修正也出现在具有交易成本的模型的渐近分析中【44】。ewsy=0的一个有效条件是f（t，s，y；）不依赖于y。我们写ew=ew（0，s，x），让v（y；ψ）表示与初始损益y相对应的对冲问题的值。如果你决定以pa（ψ）的价格出售期权，那么你的初始损益是x+pa（ψ）-\'\'V。因此，确定差异价格pa（ψ）的方程式如下：U（x）=v（x+pa（ψ）-(R)V；ψ） 。利用定理3.4中v的展开式，直接计算yieldpa（ψ）=v+ewψ+o（ψ）。（3.15）如果你是FL，你的要价因此超过期权的参考值？V一个前提ψ+o（ψ）。