具有小不确定性厌恶的套期保值

定理3.4），由不确定性调整后的期权价格衍生出的delta对冲给出：θψt=“”t+ews（t，St）ψ，其中’t=(R)Vs（t，St）是参考模型中期权的增量。ews（t，St）ψ的调整可以解释为对冲股票价格进入模型错误高度敏感区域的波动；详见第3节。与价格调整一样，领先的订单对冲调整也仅由不确定性厌恶决定，与风险厌恶无关。对于迄今为止所描述的结果，我们提供了一个严格的验证定理，该定理受有效正则性条件的约束，应视为概念证明。为了说明我们的方法更广泛的范围，我们还提供了formalextensions，允许涵盖实际相关的设置，包括奇异期权、期权组合或普通期权和基础股票的半静态对冲。我们发现，对于亚洲、回望或障碍期权等许多外来期权，上述价格和对冲修正表示仍然有效。唯一的变化是，在这些情况下，参考模型中期权的价格及其相应的现金伽马取决于进一步的状态变量。对于其他外来因素，如在已实现方差上书写的期权，参考模型中计算的其他希腊人将发挥作用；参见示例4.3。关于期权投资组合和半静态对冲，假设您的账簿由各种不同到期日和收益的非交易期权组成，您希望通过动态买入股票和在一些流动交易的普通期权中建立静态头寸来对冲这些期权。进一步假设您可以在时间0购买或出售任何数量λ。

，λMof M不同的liquidvanilla期权，如看涨期权，价格根据参考模型进行校准。然后给定λ，组合投资组合的现金等价物isew（t，s；λ）=EZTt′σ（u，Su）\'Γ美元，0件-MXi=1λi′Γ$，iu!杜邦St=s, （1.4）式中，“Γ美元，0是您原始账簿的净现金伽马（买入或卖出看涨期权之前），而，“Γ美元，i是第i次看涨期权的现金伽马。相应的对冲为θψt=“”T-MXi=1λi’it+ews（t，St；λ）ψ，其中‘是原始图书的净增量，并且iis第i次调用的增量。公式（1.4）提供了一个简单但理论上成立的标准，以优化导数的弹性。在这里，函数的下标表示相应的偏导数。策略调整可能依赖于其他惩罚函数的风险厌恶；参见定理3.4的讨论。这些结果的严格验证将按照此处讨论的简单基准案例的相同路线进行。为了不让这些想法淹没在更多的状态变量、规律性条件等导致的进一步技术性问题中，我们在这里不讨论这一点。例如，[36、12、16、15、41、40、39、62]推导出了一些外来物种的最坏情况对冲。这类似于拉格朗日不确定波动率模型[7]；同时比较[54]。在将适当的状态变量添加到参考现金伽马之后，相同的公式可获得（经必要的修改）亚洲、回望或障碍类型的外来物。针对模型规格错误。事实上，由于现金等价物是衡量投资组合对模型误判的不确定性的一个指标，因此将λ上的（1.4）减至最小可使组合投资组合更加稳健。

这种最小化对应于通过适当交易流动期权来平衡净头寸的现金伽马，类似于交易成本的相应结果【45，第3.1节】。映射\'Γ$，07→ infλEZT′σ（u，Su）\'Γ美元，0件-MXi=1λi′Γ$，iu!杜邦可以解释为Cont意义上的“模型不确定性度量”[14]。也就是说，它满足了某些理想的属性，与标准风险度量不同，这些属性考虑了独立于模型的对冲策略和作为对冲工具的期权的可用性；有关更多详细信息，请参阅第4.6节。从数学角度来看，本文可以看作是一个两人零和随机微分对策渐近分析的案例研究，其中状态变量的漂移和差异都是受控的。Fleming和Souganidis【24】及其后的许多文章中使用的是Elliott-Kalton配方，而不是主要的Elliott-Kalton配方，我们使用的是类似于Pham和Zhang【58】的弱配方。事实证明，这种方法对于手头的套期保值问题更为自然，也更为方便。值函数的候选展开式和几乎最优控制的候选展开式是从汉密尔顿-雅可比-贝尔曼-艾萨克斯方程中适当的ANSATZ代入导出的。该证明将随机最优控制的分类参数调整为渐近设置。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了我们的波动性确定性套期保值框架。随后，我们陈述并讨论了第3节中的主要结果。

部分启发式推导和形式扩展可在第4节中找到。最后，第5.2节问题公式2中收集了第3节结果的严格证明。1使用本地波动性模型进行套期保值考虑一位代理人（以下简称“您”），他在到期日T>0时，在股票S上写了一份普通期权。我们假设您可以在零利率的股票和银行账户中进行无摩擦交易。如果你是风险厌恶者，你会试图通过“适当”的基础交易来对冲你的期权敞口。让我们假设股票价格过程的真实动力学S=（St）t∈对于布朗运动W和波动过程σ，[0，T]由SDEdSt=StσtdWt，S=S>0，（2.1）控制。对冲期权的一种典型方法是假设一类股票价格动态模型，使用流动交易衍生品的市场价格对其进行校准，并假设模型是正确的。这一过程的一个简单但流行的选择是局部波动率模型[22]，该模型假设波动率过程（2.1）是时间和股票价格本身的确定函数，σt=(R)σ（t，St）。让我们简要回顾一下如何使用该模型通过基础中的自我融资交易对冲（充分可积）期权G（ST）（更多详细信息，请参见[30]）。自我融资交易策略由渐进可测量的过程θ=（θt）t参数化∈[0，T]描述在T时持有的股份数量。如果你的初始资本是x，你根据θ进行交易，那么你在T时的财富是x+ZTθtdSt。将It^o的公式应用于过程V（t，St），对于某些V∈ C1,2（（0，T）×R+）∩ C（[0，T]×R+），利用（2.1）给出的S的真实动力学，我们得到了V（T，St）=V（0，S）+Zt相对于（u，Su）dSu+Zt“Vt（u，Su）+σuSu”Vss（u，Su）杜。

（2.2）请注意，如果σt=(R)σ（t，St），即如果您的局部波动率模型正确，并且如果(R)V解决了Black–Scholes PDEPVt（t，s）+σ（t，s）s>>Vss（t，s）=0，（t，s）∈ （0，T）×R+，\'V（T，s）=G（s），s∈ R+，（2.3）然后（2.2）对于t=t，降低toG（ST）=V（t，ST）=V（0，s）+ZT相对于（u，Su）dSu。（2.4）因此，您可以通过使用initialcapital“V（0，s）和交易策略”进行自我融资交易，完美复制期权支付（ST）t： =(R)Vs（t，St），即所谓的三角洲对冲。假设你的局部波动率模型是正确的，’V（t，St）是期权的唯一价格，它与没有套利的情况下是相容的。即使您的本地波动率模型不正确，如果您进行delta对冲，会发生什么情况？如果SDE（2.1）给出了某些波动过程σ的真实动态，但delta对冲’ 通过PDE（2.3）从局部波动率模型中确定，然后（2.2）可以重写为“V（t，St）=”V（0，s）+Zt”udSu+ZtSu？Vss（u，Su）（σu- \'（u，Su））du。（2.5）对于交易策略θ，将时间t的损益（P&L）定义为对冲组合中当前财富与模型中期权理论价值之间的差异：Yt=x+ZtθudSu-？V（t，St）。（2.6）当V（T，ST）=G（ST）时，终值YTis也是到期日T的实际损益。将（2.5）替换为（2.6）givesYt=x-\'V（0，s）+Zt（θu-\'\'u） dSu+ZtSu？Vss（u，Su）（？σ（u，Su）- σu）du。（2.7）（2.7）中的最后一项描述了如果使用delta对冲θt=“”t、 起始大写字母x=(R)V（0，s）。现在让我们正式确认，厌恶风险的投资者确实对冲了他们对期权的敞口。

为此，假设您确信股票价格的动态遵循您当地的波动性模型，即σt=(R)σ（t，St），并且您希望从最终损益中最大化您的预期效用：e[U（YT）]=e“Ux+ZTθtdSt- G（ST）#-→ 最大θ！（2.8）这里，θ贯穿于一些交易策略的子集，例如r·（θt-(R)Vs（t，St））dStis是一个超鞅（排除加倍策略），U是R上的一个（严格凹）效用函数。由于期权可以完全复制，这是效用最大化问题的一个微不足道的例子。在文献和实践中，由于使用错误的波动率对冲而产生的错误是众所周知的。据我们所知，它首先出现在里昂【48，方程式（27）】（另见【47，方程式（6.7）】）。随机捐赠。通过Jensen不等式（2.4）和R·（θt）的超鞅性质-？Vs（t，St））dSt，我们有“U”x+ZTθtdSt- G（ST）#≤ Ux+E“ZT（θt-？Vs（t，St））dSt#-(R)V（0，s）≤ U（x-\'V（0，s）），θt=\'Vs（t，St）=\'t、 这证明了以下引理：引理2.1。假设σt=’σ（t，St）和’∈ C1,2（（0，T）×R+）∩C（[0，T]×R+）解出了PDE（2.3）。然后是三角洲对冲t=(R)Vs（t，St）在任何集合A 3上最大化（2.8） 策略θ使得r·（θt-“Vs（t，St））DST是一个超级角色。此外：supθ∈AE“Ux+ZTθtdSt- G（ST）#= U（x-(R)V（0，s））。备注2.2。让我们简要地讨论一下为什么我们假设S有零漂移。假设DST=St（utdt+(R)σ（t，St）dWt），适用于合适的漂移率u=（ut）t∈[0，T]。如果θ*是解决纯投资问题的最佳策略十、-\'V（0，s）+ZTθtdSt#-→ 最大θ！，（2.9）然后（使用复制（2.4）也与漂移一起工作）θ*+\'\' 是混合对冲/投资问题（2.8）的最优策略，与漂移率u无关。因此，在没有模型不确定性的情况下，套期保值部分 最佳策略的有效性不依赖于u。

因此，预计对于（小）不确定性厌恶（关于此completereference模型），漂移率对套期保值组件的影响很小。假设S为零漂移，我们可以将重点放在套期保值上，而不是最优策略的投资部分。事实上，在零漂移的情况下，除了作为期权的对冲工具之外，没有任何交易股票的动机。这是一个合理的近似值，至少在时间范围不太长的情况下，股票价格运动由布朗函数控制。在第2.3节中，我们介绍了效用最大化问题（2.8）的修正，该问题考虑了股价真实动态的不确定性。其公式需要一个能够同时模拟可观察信息流和不同波动性场景可能性的设置，我们在第2.2节和第2.3.2.2节波动性不确定性设置中确定时间范围T>0和常数s>0和y∈ R、 让Ohm = {ω=（ωSt，ωYt）t∈[0，T]∈ C（[0，T]；R）：ω=（s，y）}是从（s，y）开始的连续路径的正则空间，具有一致收敛的拓扑。此外，设F=B(Ohm) 是上的Borelσ-代数Ohm. 我们用s=（St）t表示∈[0，T]和Y=（Yt）T∈[0，T]标准过程的第一和第二分量，即St（ω）=ωStand Yt（ω）=ωYt，由F=（Ft）T∈[0，T]由（S，Y）生成的（非增强、非右连续）过滤。除非另有说明，所有需要过滤的概率概念，如渐进可测量性等，均属于F.备注2.3。可测空间(Ohm, F） 与过滤F一起对可观察变量、股价S和损益进行建模，独立于任何特定的概率测量选择(Ohm, F） 。正如我们将看到的，这允许我们使用渐进的可测量过程作为控制。

相反，如果将套期保值问题表述为一个单筛选概率空间上的随机微分博弈，则必须允许Elliott–Kalton策略（参见，例如，[23]）作为控制；这些控制可能以非预期的方式依赖于其他玩家的控制。在金融应用的背景下，将状态过程视为可公开观察的似乎更为自然，但不一定是控制。在我们的设置中，股票价格是在市场上报价的，您可以通过查看您的交易账户轻松确定您的损益。接下来，我们介绍一大类关于(Ohm, F） 对应策略θ和波动过程σ的不同选择。设S表示由渐进可测过程θ=（θt）t组成的三元组集（θ，σ，P）∈[0，T]和σ=（σT）T∈[0，T]和概率测度(Ohm, F） 使得S是一个二次变化的（连续）局部P鞅dhSit=Stσtdt，Y是一个（连续）正则分解为Y+Z·（θt）的P半鞅-\'Vs（t，St））-dSt+Z·St\'Vss（t，St）（\'σ（t，St））- σt）P下的dt（2.10）。为了以后参考，请注意，这意味着在P下，dhSit=Stσtdt，dhY it=（θt-\'Vs（t，St））Stσtdt，dhS，Y it=（θt-(R)Vs（t，St））Stσtdt。（2.11）对于每个三元组（θ，σ，P），当你选择策略θ，“自然”选择波动率σ时，概率测度P对应于股票价格和损益过程的分布；参见（2.1）中S和（2.7）中Y的动力学。备注2.4。这是一个类似于[58]的随机微分博弈弱公式的设置。玩家可以通过选择概率测度来控制可观测过程S和Y的分布，而不是直接控制过程。“自然”的波动性选择决定了股票价格的波动性和损益过程的漂移。

您的策略选择仅影响损益的波动性。2.3波动性不确定性下的套期保值第2.2节定义的集合描述了股票价格过程S和损益过程Y的一组非常大的可能分布。由于其中一些场景可能不可信（例如，它们可能包括加倍策略），让我们确定一些子集 s有关我们的具体选择，请参见下文（3.1）。接下来，fix设置了您想要考虑的交易策略和波动性的A和V。原则上，我们可以考虑对（θ，σ）∈ A×V至少有一个概率测度P，使得（θ，σ，P）∈ S、 但由于您选择的交易策略不应限制“自然”对波动率的选择，反之亦然，我们要求整个矩形A×V具有以下属性：A×V Z：={（θ，σ）：P（θ，σ）6=},其中P（θ，σ）表示概率测度P的集合，使得（θ，σ，P）∈ S、 备注2.5。注意，P（θ，σ）可以包含多个P。实际上，sedst的每个弱解=Stσt（（S，Y））dWt，dYt=（θt（（S，Y））-？Vs（t，St））dSt+St？Vss（t，St）（？σ（t，St）- σt（（S，Y）））dt，在每个P下，有效可积的、渐进可测的被积函数与过程积分器的随机积分被构造为具有P-a.S.连续路径的F-渐进可测随机过程；参见Stroock和Varadhan中引理4.3.3之前的讨论【63】。对于初始分布，δ（s，y）产生了P（θ，σ）中的度量。所以P（θ，σ）是一个单子当且仅当SDE有一个在定律上唯一的解。将波动性不确定性纳入效用最大化问题的一种流行方法是平等对待V中的所有波动性，并最大化最坏情况下波动性的预期效用。

在本文的背景下，这将导致σ∈VinfP公司∈P（θ，σ）EP【U（YT）】-→ 最大θ∈A.更一般地，可以引入惩罚函数a:V→ L+(Ohm, F） 并考虑σ∈VinfP公司∈P（θ，σ）EP[U（YT）+a（σ）]-→ 最大θ∈A.这种方法允许根据波动性情景的合理性来衡量波动性情景——收益率越高，对模型的重视程度就越低。我们假设，对于S的真实动力学，具有波动函数∑的局部波动模型是您的最佳猜测。在下面，我们考虑惩罚函数a（σ）=ψZTU（Yt）f（t，St，Yt；σt）dt。这里，ψ>0是一个参数，惩罚函数f：[0，T]×R×R×R+→ R+是一个su fficientlymooth函数，因此7→ f（t，s，y；）是严格凸的，并且在‘（t，s）处的最小值为0，即f（t，s，y；’σ（t，s））=F（t，s，y；(R)σ（t，s））=0。（2.12）特别是，a不会惩罚参考本地波动率模型，即a（（？（t，St））t∈[0，T]）=0。惩罚函数的一个典型示例是f（t，s，y；）=（- \'\'σ（t，s））；然后，从均方意义上对波动率与参考模型的偏差进行惩罚。函数fd描述不确定性厌恶的“形状”，而参数ψ量化其“大小”。事实上，如果ψ很小，那么替代参考波动率的波动率过程将受到严重的惩罚，即不确定性厌恶很小。对于每个ψ>0，θ∈ A、 σ∈ 五、 和P∈ P（θ，σ），我们定义套期保值问题的目标byjψ（σ，P）：=EP“U（YT）+ψZTU（YT）f（t，St，YT；σt）dt#（2.13）及其值byv（ψ）=v（ψ；A，v）：=supθ∈Ainfσ∈VinfP公司∈P（θ，σ）Jψ（σ，P）。（2.14）备注2.6。请注意，目标（2.13）惩罚部分中的术语U（Yt）并不限制我们结果的一般性。事实上，如果需要，可以通过使用形式为f（t，s，y；）=ef（t，s，y；）/U（y）的惩罚函数来去除因子U（Yt），以获得合适的函数f。