具有小不确定性厌恶的套期保值

eσ的Lipschitz连续性来自我们的假设（这特别使用thatK≤ F≤ K来自（3.11））。因此，\'σisLipschitz也是连续的。此外，eσ是有界的。结合（3.9），我们得出结论，当ψ>0足够小时，σψ取[0，K]中的值。以下结果是隐式函数定理的扩展，允许定义函数依赖于参数。特别是，它为隐式定义函数的一阶和二阶导数提供了与参数无关的界限。引理A.1。设∧6= 是一个集合和R的U，V开子集。对于每个λ∈ ∧，设Fλ：U×V→ 随机yλ：U→ V是fλ（x，yλ（x））=0，x的两次连续可微函数∈ U、 （A.1）如果常数M>1和M≥ 0，使每个λ∈ ∧和全部（x，y）∈ U×V，Fλx（x，y）,Fλx（x，y）≤ M+M | y |，Fλ十、y（x，y）,FλY≤ MFλy（x，y）≥M、 （A.2）然后有一个常数M>0，使得对于所有λ∈ ∧和x∈ U，| yλ（x）|≤fM（1+M | yλ（x）|）和| yλ（x）|≤fM（1+M | yλ（x）|+M | yλ（x）|）。此外，如果FλY≡ 0，则对于所有λ∈ ∧和x∈ U、 | yλ（x）|≤fM（1+M | yλ（x）|）。证据取（A.1）对x收益率的导数Fλx（x，yλ（x））+Fλy（x，yλ（x））yλ（x）=0，λ∈ ∧，x∈ U、 （A.3）求解yλ（x）并使用边界（A.2），然后得出| yλ（x）|≤ M（M+M | yλ（x）|），λ∈ ∧，x∈ U、 （A.4）取（A.3）中的导数，我们得到所有x∈ UFλx（x，yλ（x））+2Fλ十、y（x，yλ（x））yλ（x）+Fλy（x，yλ（x））（yλ（x））+Fλy（x，yλ（x））yλ（x）=0。同样，求解yλ（x）并使用边界（A.2）和（A.4）得到| yλ（x）|≤ M（1+M | yλ（x）|+M | yλ（x）|），λ∈ ∧，x∈ U、 （A.5）对于一些非常大的常数M。

最后，如果FλY≡ 0，很容易看出（A.5）中的二次项消失了。B随机微分方程Fix一个抽象的过滤概率空间(Ohm, F、 F=（英尺）t≥0，P）携带r维布朗运动W=（Wt，…，Wrt）t≥本节的目的是证明一类随机微分方程（SDE）解的存在性，其系数在停止时间发生变化。更精确地说，我们考虑形式为xt=ξ+Ztσ（s，X）dWs+Ztb（s，X）ds，t的SDE≥ 0，（B.1），其中ξ是Rd值F-可测随机向量，X=（Xt，…，Xdt）t≥0是Rd中的连续半鞅，σ（s，X）=σ（1）（s，X）1{s<τ（X）}+σ（2）（s，Xs）1{s≥τ（X）}，（B.2）B（s，X）=B（1）（s，X）1{s<τ（X）}+B（2）（s，Xs）1{s≥τ（X）}。这里，τ是由C（R+；Rd）上的正则过程诱导的过滤的停止时间，σ（1），b（1）是R+×C（R+；Rd）上的函数，对于相同的过滤是渐进的，σ（2），b（2）是R+×Rd上的可测函数；所有辅酶域都具有合适的尺寸。首先，请注意，我们不能将一般存在性结果直接应用于系数σ和b，因为停止时间τ通常不是C（R+；Rd）上的连续函数。然而，如果这两组系数分别存在解，则这种类型的SDE当然是存在的。显而易见的想法是求解第一组系数的SDE，在τ处停止求解，然后用第二组系数求解SDE。这可以精确到如下：定理B.1。假设进程X（1）打开(Ohm, F、 F，P）满意度（1）t=ξ+Ztσ（1）（s，X（1））dWs+Ztb（1）（s，X（1））ds，t≥ 0

（B.3）此外，假设存在常数K>0，使得对于所有t，t≥ 0和x，x∈ Rd，|σ（2）（t，x）- σ（2）（t，x）|+| b（2）（t，x）- b（2）（t，x）|≤ K |（t，x）- （t，x）|，（B.4）|σ（2）（t，x）|+| B（2）（t，x）|≤ K（1+|（t，x）|）（B.5），其中|·|表示适当维度中的欧几里德范数。然后有一个连续的、F适应的、Rd值的过程X满足（B.1）。证据时间^τ：=τ（X（1））之前的解已经给出。要在时间^τ之后构建解决方案的部分，请考虑时移滤波BF=（bFt）t≥0定义为BFT=F^τ+t，以及时移（bF，P）-布朗运动CW=（cWt）t≥0由CWT定义：=W^τ+t- W^τ。根据我们的假设（B.4）–（B.5），SDEbYt的系数=bXbA！t=ζ+Ztσ（2）（bAs、bXs）dcWs+Ztb（2）（bAs、bXs）ds。充分利用标准Lipschitz和线性增长假设，确保Rd+1中任意BF可测随机向量ζ存在aP-a.s.唯一强解。特别是，对于初始条件ζ：=（X（1）^τ，^τ），存在anbF渐进过程by=（bX，bA）。显然，bAt=^τ+t起着移位时间变量的作用。现在，一个简单的时间变化会产生x（2）t：=bXt-^τ{t≥^τ}是F-累进的，满足（2）t=X（1）^τ+Zt^τσ（2）（s，X（2）s）dWs+Zt^τb（2）（s，X（2）s）ds on{t≥ ^τ}。（B.6）最后，我们验证了过程Xt：=X（1）t{t<τ}+X（2）t{t≥^τ}是原始数据集（B.1）的解决方案。当X（2）^τ=X（1）^τ时，Xt=X（1）t∧^τ+X（2）t∨^τ- X（2）^τ。插入（B.3）和（B.6）给定x t=ξ+Zt∧^τσ（1）（s，X（1））dWs+Zt∧^τb（1）（s，X（1））ds+Zt∨^τ^τσ（2）（s，X（2）s）dWs+Zt∨ττb（2）（s，X（2）s）ds=ξ+Ztσ（1）（s，X（1））1{s<τ}dWs+Ztb（1）（s，X（1））1{s<τ}ds+Ztσ（2）（s，X（2）s）1{s≥^τ}dWs+Ztb（2）（s，X（2）s）1{s≥^τ}ds。（B.7）As X（1）s=Xson{s≤ Galmarino的检验表明，τ=τ（X（1））=τ（X）。此外，由于σ（1）是渐进的，σ（1）（s，X（1））只取决于X（1）到时间s的路径。

利用（B.2）中σ的定义，我们得到σ（1）（s，X（1））1{s<τ}+σ（2）（s，X（2）s）1{s≥^τ}=σ（s，X）。利用这一点和漂移系数的类似陈述，我们从（B.7）中可以看出X是（B.1）的解。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer，资产定价基础理论和超级复制定理的无模型版本，数学。《金融》26（2016），第2期，233–251。[2] H.Ahn、A.Muni和G.欺诈、指定错误的资产价格模型和稳健对冲策略，应用。数学《金融学》4（1997），第1期，第21-36页。[3] ，错误资产价格模型的最优对冲策略，应用。数学《金融》第6期（1999），第3期，197-208页。[4] M.Avellanda和R.Buff，《非线性不确定波动率模型的组合含义：障碍期权案例》，应用。数学《金融学》6（1999），第1、1-18号。[5] M.Avellanda、C.Friedman、R.Holmes和D.Samperi，通过相对性最小化校准挥发性表面，应用。数学《金融学》4（1997），第1期，第37-64页。[6] M.Avellanda、A.Levy和A.Paras，《波动性不确定市场中衍生证券的定价和对冲》，应用。数学《金融2》（1995），第2期，73-88页。[7] M.Avellanda和A.Paras，《管理衍生证券投资组合的波动性风险：洛杉矶不确定波动性模型》，Appl。数学《金融3》（1996），第1期，第21-52页。[8] M.Beiglb"ock、P.Henry Labordère和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限——聚集运输法》，金融斯托赫。17（2013），第3号，477–501。[9] D.Bertsimas、L.Kogan和A.Lo，时间是连续的吗？，J、 财务部。经济。55（2000），第2173–204号。[10] S.Biagini、B.Bouchard、C.Kardaras和M.Nutz，《连续过程的鲁棒基本定理》，数学。《金融》（2016年以上），即将出版。[11] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，Ann。应用程序。概率。

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