具有小不确定性厌恶的套期保值

将binto的公式与（4.14）中eσ的公式和（4.15）中ew的PDE进行比较，我们精确地恢复了（3.7）和（3.2）。（4.17）中的公式foreθ也与（3.6）一致。总结确定候选控制和现金等价物的一般程序可总结如下。（i） 根据需要引入尽可能多的状态变量（例如，回望期权的运行最大值或最小值，亚洲期权的股票价格的运行积分等），以表达每个期权的理论值作为时间和这些状态变量的函数。（ii）写下与期权头寸和交易策略相对应的理论损益过程Y。使用It^o的公式确定Y的漂移和扩散系数。（iii）写出对应于控制问题的HJBI方程。（iv）将（4.10）–（4.11）中关于价值和波动性的适当ansatz插入HJBIequation，并将结果扩展到ψ变量中。最小化eσ上的O（ψ）项，以获得候选波动率。（v） 将eσ的候选者替换回HJBI的O（ψ）项中，以找到灰当量ew的PDE。（vi）将战略的ansatz（4.12）插入扩展的HJBI方程。将θ上的θ（ψ）项最大化以获得候选策略。在下面的小节中，我们将在许多实际相关的应用程序中说明这种方法。4.2一些奇异期权在本节中，我们考虑一些奇异期权，其收益取决于股票价格的整个路径，而不仅仅取决于到期时的股票价格。

例如，他们的支付可能取决于某一时间段内股票价格路径的平均值（亚洲期权）、其最大值或最小值（回望期权），或者取决于股票回报的实际差异（例如，差异互换）。这些选项的参考值仍然可以表示为PDE的解决方案，前提是引入适当的附加状态变量来跟踪契约的路径相关特征。步骤（i）是将本地波动率模型中考虑的奇异期权的理论值表示为偏微分方程的解。为此，让我们引入一个通用的附加状态变量a，其动力学形式为：dat=α（t，St，At，Mt）dt+β（t，St，At，Mt）dhSit+γ（t，St，At，Mt）dSt+δ（t，St，At，Mt）dMt，其中Mt：=maxu∈[0，t]sui是股票价格的运行最大值。注意，我们没有将dhSit项与dt项合并，因为hSi取决于真实波动率σ。如果你想在本地波动模型中以G（ST、AT、MT）形式的到期日T和支付对期权进行估值和对冲，你基本上可以采用与第2.1节相同的方法。

事实上，将It^os公式应用于一个高效正则函数V（t，s，a，m），并假设Sare dSt的真实动力学=StσtdWt，我们得到，去掉了大多数参数：d'V（t，St，At，Mt）=（'Vs+γ'Va）dSt+（'Vm+δ'Va）dMt+‘Vt+（α+βσtSt）’Va+σtSt“Vss+2γ”Vsa+γ”Vaadt。（4.19）请注意，如果σt=(R)σ（t，St），即如果您的局部波动率模型正确，并且如果(R)V解决了PDEPVt+（α+βPσs）(R)Va+(R)σSt“Vss+2γ”Vsa+γ”Vaa= 0，\'Vm+δ\'Va=0，每当s=m，\'V（T，s，a，m）=G（s，a，m），（4.20）然后（4.19）产生，使用该Mt仅在St=Mt，G（St，AT，Mt）=V（T，St，AT，Mt）=V（0，s，a，m）+ZT时增加（t、St、At、Mt）dSt，其中‘ :=因此，在本地波动率模型和这些假设下，选项G可以通过初始资本V（0、S、A、M）和交易策略的自我融资交易完美复制.步骤（ii）是记下损益过程Y，并根据交易策略θ和真实波动率σ确定其动态。与第2.1节中处理的普通期权的情况类似，您在t isYt=x+ZtθudSu时的理论损益-？V（t、St、At、Mt）。（4.21）使用PDE（4.20）替换“Vtin（4.19）”，并将结果插入（4.21）yieldsdYt=θt- （\'Vs+γ\'Va）dSt+Stβ？Va+（？Vss+2γ？Vsa+γ？Vaa）\'\'σ- σtdt。考虑到‘ =\'Vs+γ\'Va和设置b（）：=sβ？Va+（？Vss+2γ？Vsa+γ？Vaa）\'\'σ- ,今天很简单=θt-\'\'dSt+b（σt）dt。步骤（iii）是写下HJBI方程。回想一下，这归结为使用It^o的公式推导过程的漂移率Nt：=ψRtU（Yt）f（t，St，Yt；σt）dt+wψ（t，St，Yt，At，Mt）。

我们获得ψt+supθinfψUf（）+b（）wψy+（α+βs）wψa（4.22）+swψss+2（θ-\'\')wψsy+（θ-\'\')wψyy+2γwψsa+2γ（θ-\'\')wψya+γwψaa= 0.请注意，此对冲’ 通过直接或间接通过附加状态变量A反映期权对基础价格变动的敏感性。与奇异期权的估值PDE（4.20）类似，我们还需要每当s=m时wψm+δwψA=0，以便N的dMt项也消失。步骤（iv）是插入ansatzwψ（t，s，y，a，m）=U（y）- U（y）ew（t，s，y，a，m）ψ，σψ（t，s，y，a，m）=σ（t，s）+eσ（t，s，y，a，m）ψ，进入HJBI方程（4.22），展开ψ变量中的结果，并最小化eσ上的O（ψ）项，以找到波动率的候选项。展开式中的O（ψ）项如下所示-U×ewt公司-f（(R)σ）eσ- b（’σ）eσ+（α+βs’σ）ewa+’σsewss+2γewsa+γewaaψ。将eσ上的这一点最小化，并使用b的定义，我们发现候选波动率：σψ=’σ+’σf（’σ）s2β\'Va+（\'Vss+2γ\'Vsa+γ\'Vaa）ψ。（4.23）在步骤（v）中，我们将eσ的候选项插回HJBI的O（ψ）项中。然后，通过将O（ψ）项设置为零获得的ew的Pdef具有以下（形式）Feynman–Kacrepresentation：ew（t，s，y，a，m）=Et，s，y，a，m“ZTt”σ2f（(R)σ）苏2β\'Va+（\'Vss+2γ\'Vsa+γ\'Vaa）du#。（4.24）在这里，期望值是在一个度量下计算的，使得S具有初始条件St=S，Yt=y，At=a，Mt=m的参考动力学。最后，步骤（vi）是通过替换ansatzψθ（t，S，y，a，m）=来确定候选策略（t，s，a，m）+eθ（t，s，y，a，m）ψ进入HJBI方程，并使O（ψ）项在θ上最大化。经过一些计算，我们发现θψ=“” +ews+γewa+UU（ewsy+γewya）ψ。（4.25）让我们讨论一些更具体的示例的这些结果：示例4.2（亚洲和回溯选项）。假设期权的支付取决于[0，T]期间股价的算术平均值。

在这种情况下，我们引入状态变量dAt=Stdt，并以G（ST，AT）的形式写入payoff。例如，流动罢工亚洲电话的支付为（ST- AT/T）+。在上述设置中，我们得到了α（t，s，a，m）=和β=γ=δ=0，并且我们立即看到，候选控制和现金等价物ew的一般公式（4.23）、（4.24）和（4.25）都减少到为单个Vanilla期权推导的公式，除了期权的参考值'V取决于额外的状态变量，因此候选控制和ew也是如此。因此，期权的现金伽马仍然是小不确定性厌恶现金等价物的中心决定因素。同样，对于回望型期权，如带付息的浮动罢工回望看跌期权- ST，候选控制和现金等价物ew的公式也基本上简化为普通期权的公式。示例4.3（已实现差异的选项）。这里，状态变量dAt=stdhsit跟踪累计实现的收益方差，即如果S的真实动态是dSt=StσtdWt，那么At=Rtσudu。例如，履约波动率σstrikehas the payo ffort的方差掉期- σ走向；它支付了[0，T]期间平均实现方差与给定走向方差σ走向之间的差异。在上述设置中，我们有β（t，s，a，m）=s-2和α=γ=δ=0。然后我们从（4.24）中得出，EW（t，s，y，a）=Et，s，y，a“ZTt（(R)σ（2'Va+(R)美元）））2f（(R)σ）du#。（4.26）我们发现期权对已实现方差变化的敏感性及其现金伽马在这里起着对称作用。这与具有离散交易[34]或交易成本[45]的模型不同–参考对冲的二次变化通常不是正确的统计数据；参见以下备注4.4。备注4.4。

假设参考模型具有动力学dSt=St‘∑TDWT，用于某些一般的、可能依赖路径的波动过程‘∑。此外，假设θ是该参考模型中选项G（ST，AT）的复制策略。如果‘σt=’σ（t，St）实际上是局部挥发类型，那么‘θt=’Vs（t，St，At），根据It^o的公式，假设γ=0，因此A是有限变化，Stdh‘θIt=Stdh’Vs（·s·，A·）It=“∑tSt”Vss（t、St、At）dt。因此，鉴于（3.14）中现金等价物的表示，其基本上也持有亚洲、回望和障碍期权（参见下文（4.31）），可以预期，可能路径依赖波动率的现金等价物概括为“ZTSt2f（(R)σt）dh'θit'.（4.27）。然而，在示例4.3中，参考模型中方差掉期的复制策略是'θt='Vs（t，St，At）和γ=0，但现金等价物（4.26）与（4.27）不同。这表明（4.27）不是现金等价物的正确通用形式。4.3障碍期权障碍期权的支付取决于股票价格在其有效期内是否触及特定障碍。例如，如果股票价格在到期前的任何时候都没有达到B级障碍，那么B级障碍的淘汰看涨期权是一种支付普通看涨期权的期权。如果遇到障碍，支付将变为零。相反，只有在到期之前达到了障碍时，敲打incall的支付才会生效，否则支付为零。障碍选项在相当弱的意义上依赖于路径。他们的回报只取决于两种可能的状态——是否达到了障碍。

这允许在局部波动模型中对障碍期权进行估值，而无需通过施加合适的边界条件引入额外的状态变量。为简单起见，我们关注的是淘汰期权，如果股票价格在到期前突破B>S的障碍，其支付（ST）将被淘汰。如第2.1节和第4.2节所述，本地波动率模型中此类期权的公允价值可以表示为DE'Vt（t，s）+σ（t，s）s'Vss（t，s）=0，（t，s）的解∈ [0，T）×（0，B），\'V（T，B）=0，T∈ [0，T），\'V（T，s）=G（s），s∈ （0，B）。（4.28）(R)V（t，s）表示在t时的淘汰期权的价值，前提是股票价格为s，且期权尚未被淘汰。边界条件“V（t，B）=0反映了这样一个事实，即如果股票价格在到期前达到障碍B，则淘汰期权变得毫无价值。如果你出售了这样的期权，你的理论损益可以写成asYt=x+ZtθudSu-\'\'V（t，St）1{t≤ρ} ，（4.29），其中ρ是S第一次撞击势垒B。现在，请注意，（4.28）中的边界条件意味着V（t，St）1{t≤ρ} =(R)V（t∧ ρ、 St公司∧ρ） 。它的公式反过来会产生V（t∧ ρ、 St公司∧ρ） =(R)V（0，s）+Zt>>Vs（u，Su）1{u<ρ}dSu+Zt“Vt（u，Su）+σuSu”Vss（u，Su）{u<ρ}du。使用偏微分方程（4.28）替换“Vtterm”，并将结果插入（4.29），然后给出Y的动力学：dYt=（θt-\'\'t） dSt+’Γ$t（’σ（t，St）- σt）dt，（4.30），其中‘t=(R)Vs（t，St）1{t<ρ}是淘汰期权的delta，(R)t=St'Vss（t，St）1{t<ρ}是其现金伽马。正如人们所料，这些数量在障碍物被击中后为零。为了找到候选最优控制，我们必须区分两种情况。在遇到障碍后，期权一文不值，不再需要对冲。因此，候选策略仅为0。通过这种策略，您的损益保持不变，与“自然”选择的波动性无关（参见（4.30））。

因此，不存在“自然”偏离参考动态的动机，候选波动率只是参考波动率∑。在遇到障碍之前，对应于套期保值问题的HJBIequation与单一普通期权的情况相同（但有额外的边界条件）。因此，我们获得了基本相同的最优控制候选者，即σψt=’σ（t，St）+’’σ（t，St）’tf（t，St，Yt；’σ（t，St））ψ，θψt=’t型+ews（t，St，Yt）+U（Yt）U（Yt）ewsy（t，St，Yt）{t<ρ}ψ，其中现金等价物ew在边界条件ew（t，B，y）=0的情况下求解PDE（3.2）。该PDE的（正式）Feynman–Kac表示为asew（t，s，y）=Et，s“ZTt\'\'σ（u，Su）\'$u2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du#。（4.31）因此，障碍期权剩余寿命内累积的预期波动率加权现金伽马再次成为小不确定性厌恶现金等价物的主要驱动因素。4.4期权组合我们现在考虑的是一整套可能具有不同到期日的普通期权组合，而不是到期日为T的单一期权。假设你卖出了N个到期日为T，…，的期权，田纳西州∈[0，T]和付款G（ST），分别为GN（STN）。设“Vi（t，s）”表示选项Gi的参考值，该选项求解“Vit（t，s）+”σ（t，s）s“Viss（t，s）=0，（t，s）∈ [0，Ti）×R+，\'Vi（Ti，s）=Gi（s），s∈ R+。（4.32）时间t的理论损益可表示为asYt=x+ZtθudSu-NXi=1？Vi（t∧ Ti，St∧Ti）。（4.33）包括奇异期权在内的投资组合可以按照相同的思路处理；我们在这里追求这一点并不是为了简化注释。我们强调，对于t=t，使用偏微分方程（4.32）的终端条件，YT=x+ZTθudSu-NXi=1Gi（STi）是您的实际最终损益。如果真实股票波动率由某个过程σ给出，我们接下来确定Y的漂移和差异部分。

如第2.1节所述，使用It^o的公式和偏微分方程（4.32），我们发现∧ Ti，St∧Ti）=“Vi（0，s）+Zt”i（u，Su）dSu-Zt′Γ$，i（u，Su）（’σ（u，Su）- σu）du，（4.34），其中‘i（u，s）：=“Vis（u，s）1{u<Ti}是期权的增量，i（u，s）：=s”Viss（u，s）1{u<Ti}是其现金伽马。将（4.34）代入（4.33），我们得到=θt-\'\'（t，St）dSt+’Γ$（t，St）（’σ（t，St）- σt）dt，其中’（t，s）：=PNi=1’i（t，s）是您的期权投资组合的净增量，\'$s（t，s）：=PNi=1\'$s，i（t，s）是其净现金伽马。我们看到，Y的动力学形式与单一香草选项的情况完全相同（参见（4.8）和（4.18））。唯一的区别是，单一期权的delta和现金伽马被期权组合的净delta和净现金伽马所取代。因此，我们获得了最优控制（以反馈形式）和现金等价物的类似候选：σψ（t，s，y）=σ（t，s）+σ（t，s）\'（t，s）f（t，s，y；\'（σ（t，s））ψ，（4.35）θψ（t，s，y）=（t，s）+ews（t，s，y）+U（y）U（y）ewsy（t，s，y）ψ、 （4.36）ew（t，s，y）=Et，s“ZTt\'\'σ（u，Su）\'\'美元（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du#。（4.37）4.5普通期权的静态对冲迄今为止，唯一可用的对冲工具是股票。然而，在实践中，如果流动性交易选项可用，这些可以用作更复杂衍生工具的额外对冲工具。因此，我们现在假设，除了交易股票外，您还可以在时间0购买或出售任何数量的到期日为T，…，的M普通期权，TM公司∈ [0，T]和Payoff sF（ST），FM（STM）。我们假设这些选项的价格为p，pM。在最坏情况下的超边缘中，这种设置被称为拉格朗日不确定波动率模型（Lagrangian Unterminate volatilitymodel）[7]；同时比较[54]。对于每个i=1。

，M，设“Vi（t，s）”为选项Fi的参考值，该选项可解出“Vit（t，s）+”σ（t，s）s“Viss（t，s）=0，（t，s）∈ [0，Ti）×R，\'Vi（Ti，s）=Fi（s），s∈ R、 （4.38）我们要求参考模型与时间0时的观测价格一致，即i=1，…，Vi（0，s）=Pi，M为简便起见，我们假设您必须对冲到期日为TM+1，…，的N个普通期权组合，TM+N∈ [0，T]和支付金额sGM+1（STM+1），GM+N（STM+N）。我们假设对于每个i=M+1，M+N，选项Gi（STi）的参考值VIO满足PDE（4.32）。也就是说，本地波动率模型在时间0时校准为流动期权的观察市场价格。如[4]所述的障碍期权组合或其他外来投资可以按照相同的思路处理，但需要更广泛的符号。假设你用payoffi（STi）购买λioptions，价格为piat time 0（负λi表示卖空），价格为i=1，并遵循股票的自我融资交易策略θ。那么你在时间t的理论损益是y=x+ZtθudSu-M+NXi=M+1？Vi（t∧ Ti，St∧Ti）+MXi=1λi(R)六（t∧ Ti，St∧Ti）- 圆周率. （4.39）注意，一致性条件“Vi（0，s）=Pi意味着我们对λi的选择不会影响时间0的理论损益。此外，通过（4.38）和（4.32），YT=x+ZTθudSu-M+NXi=M+1Gi（STi）+MXi=1λi（Fi（STi）- pi）是您实际的最终损益。看看（4.39），我们认识到（直到可以合并到期权支付中的线性转换），我们正处于第4.4节讨论的期权组合的设定中（N由N+M代替）。