具有小不确定性厌恶的套期保值

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英文标题：
《Hedging with Small Uncertainty Aversion》
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作者：
Sebastian Herrmann, Johannes Muhle-Karbe, Frank Thomas Seifried
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study the pricing and hedging of derivative securities with uncertainty about the volatility of the underlying asset. Rather than taking all models from a prespecified class equally seriously, we penalise less plausible ones based on their \"distance\" to a reference local volatility model. In the limit for small uncertainty aversion, this leads to explicit formulas for prices and hedging strategies in terms of the security\'s cash gamma.
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中文摘要：
我们研究了标的资产波动性不确定的衍生证券的定价和套期保值。我们没有同等认真地对待预先指定类别的所有模型，而是根据它们与参考局部波动率模型的“距离”来惩罚不太合理的模型。在对小不确定性厌恶的限制下，这导致了根据证券的现金伽马，明确的价格公式和对冲策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Hedging_with_Small_Uncertainty_Aversion.pdf (1.06 MB)

2022-5-25 07:36:06 上传

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关键词：不确定性 套期保值 不确定 确定性 Mathematical

具有小不确定性厌恶的套期保值*Sebastian Herrmann+Johannes Muhle KarbeFrank Thomas Seifried§Abstracts我们研究衍生证券的定价和套期保值，以及相关资产波动性的不确定性。我们没有同等认真地对待预先指定类别的所有模型，而是根据它们与参考局部波动率模型的“距离”来惩罚不太合理的模型。在对小不确定性厌恶的限制下，这导致了根据证券的现金伽马，明确的价格公式和对冲策略。波动性；不确定性；歧义厌恶；期权定价和套期保值；渐近性。AMS MSC 2010初级，91G20，91B16；次级，93E20。JEL分类G13、C61、C73。1简介金融市场上的价格最终由人的决定决定。因此，每个quantitativemodel充其量都是一个有用的近似值。此外，即使给定模型非常适合特定应用，其参数通常也无法以任意精度估计，并且可能由于不可预测的冲击而突然改变。因此，评估模型不确定性的影响并得出明确考虑它的决策规则至关重要。本研究针对衍生工具的估值和套期保值问题，对基础资产的波动性具有不确定性。现存文献中使用最广泛的方法是所谓的不确定波动率模型（UVM），可以追溯到Vellaneda、Levy、Parás[6]和Lyons[48]的开创性论文。在这里，经典环境中使用的单一概率模型被一整类不同的备选方案所取代。这些都是用最坏情况的方法进行评估的，既考虑到给定模型中固有的“风险”，也考虑到应该首先应用哪个模型的“奈特不确定性”。

更具体地说，UVM仅假设真实波动率在一个范围内[σmin，σmax]演变，而不对其动力学进行任何假设。在这种情况下，人们试图确定在任何可能的模型下消除所有下行风险的最便宜的对冲，对应于对风险和不确定性的最终厌恶。这种方法非常适合确定普遍的无套利界限，并启动了大量的研究；参见【36、37、27、19、38、1、8、55、59、10、20、29、57、11、42】及其参考文献。然而，从其定义来看，它也是非常保守的：除非给定的模型是先验规则，否则它的处理方式与最合理的替代方案完全相同，比如从市场价格或统计程序得出的点估计。如果波动率区间选择得很宽，那么最坏情况下的方法引起的买卖价差非常大，并且市场*作者感谢Ibrahim Ekren、Paolo Guasoni、Martin Herdegen、David Hobson、Jan Kallsen、Ariel Neufeld、Marcel Nutz、Oleg Reichman、Martin Schweizer和H.Mete Soner进行了富有成效的讨论，并感谢两位裁判和一位副编辑发表了有益的评论。+ETH Zürich，数学系，R"amistrasse 101，CH-8092 Zürich，瑞士，电子邮件sebastian。herrmann@math.ethz.ch.感谢瑞士金融研究所提供的财政支持密歇根大学数学系，530 Church Street，Ann Arbor，MI 48109，USA，emailjohanmk@umich.edu.§第四系-数学，Universit"at Trier，Universit"atsring 19，D-54296 Trier，Germany，电子邮件seifried@uni-特里尔。de.一种相关的方法是Mykland的“保守三角洲对冲”[52，53]。在任何竞争环境中，引用这些买卖价格的制造商都不会找到客户。

如果一方为了获得具有竞争力的价格而收紧波动率区间，那么真实波动率偏离区间的风险就会增加。最后，最坏情况下的方法往往只以一种“砰砰”的方式将公司对波动性的特殊敏感性结合起来。例如，看涨期权的要价总是等于Black-Scholes价格，波动率等于最大值σmax。即使基础价格远离行使，期权对波动率变化的敏感性很低，这一点仍然成立。对模型不确定性持更细微的态度应该反映出，在套期保值的背景下，代理人通常更关心波动性在重要的时候的特殊性，也就是说，如果期权价值对波动性的敏感性很高。为了解决这些问题，我们可以考虑在经典方法和最坏情况方法之间插入的偏好，根据其合理性权衡不同的模型。Maccheroni、Marinacci和Rustichini【49】为此类标准提供了决策理论和公理基础。他们表明，厌恶不确定性的决策者根据以下形式偏好的数字表示对薪酬进行排名：infPEP[U（Y）]+α（P）. （1.1）在此，效用函数U和惩罚函数α分别描述了决策者对风险和不确定性的态度。一种解释是，决策者的行为就像面对一个恶意的对手（“大自然”），后者利用自己的不确定性，选择一个概率情景P，使她受到的惩罚预期效用最小化。standardexpected效用框架对应于单个模型P的α为零的情况，并且+∞否则

如果α对于被认为（同样）合理的整类模型P为零，并且+∞ 否则，我们将采用最坏的方法，（1.1）减少到Gilboa和Schmeidler[31]的多重优先选择。（1.1）的另一个众所周知的特例是Hansen和Sargent的多重乘子偏好[32]，它根据模型相对于固定参考模型的相对性来惩罚模型。使用这种方法，用户无需在“合理”和“错误”模型之间划出严格的界限；相反，不太合理的模型将根据它们与参考模型的差异程度进行处罚。该规范排除了波动性的任何不确定性，因为相对熵仅适用于相对于参考模型绝对连续的模型。因此，这一研究方向主要集中于对未来预期收益具有不确定性的投资组合选择问题。然而，在不同的惩罚函数下，同样的原理也可以应用于价格和套期保值期权，这些期权对标的资产的波动性具有不确定性，正如我们在本研究中所做的那样。更具体地说，我们使用以下一般方法：（i）选择一个你认为能够很好地描述股价真实动态的参考模型。确保此模型与股票上流动交易对手的市场价格相匹配。（ii）设计一个非负惩罚函数，将惩罚附加到每个备选模型上，并反映您对它的重视程度；模型的惩罚越高，其合理性就越低。通常，惩罚函数基于与参考模型的某种“距离”。（iii）对于每个交易策略，使用（1.1）评估其绩效。

也就是说，根据每个模型中相应的终端利润和损失（此后损益定义为交易的终端财富减去您所出售期权的收益）计算预期效用，加上模型的罚款，然后对所有模型取最小值。（iv）找到一种能够最大限度地提高该绩效标准的交易策略。该术语来源于鲁棒控制文献[33]，也来源于凸风险度量的鲁棒表示（例如，参见[25，第5.2节]）。请注意，处罚不是针对代理人，而是针对她的对手，后者将P减至最小。因此，增加（1.1）中的罚款，而不是减少。80 90 100 110 12005101520股票价格期权价格图1：“平滑看跌期权”的支付，带100次行权（实心、粗）、1年期“平滑看跌期权”的黑色-斯科尔斯价值（实心、细）和一阶买卖价格pb（ψ）和pa（ψ）（虚线），均为当前股价的函数；参数为'σ≡ 20%，ψ=10-3、在本文中，我们选择了一个局部波动率参考模型【22】。这允许纳入普通期权的现货价格，但仍将模型不确定性的影响与不完整性或其他状态变量引起的额外复杂性隔离开来。我们考虑的惩罚泛函惩罚实际（瞬时）波动率与其在参考模型中对应的波动率之间的偏差。一个典型的例子是这两个波动率之间的均方距离：α（P）=EP“2ψZTU（Yt）（σt- \'\'σ（t，St））dt#。（1.2）这里，Ytis是您在时间t的损益，定义为交易财富减去时间t的期权参考值，’σ（t，St）是参考模型的局部波动率，σ是模型P下股票价格回报的实际波动率。参数ψ>0描述了不确定性厌恶的程度。

实际上，ψ的较小值会导致偏离参考模型的模型受到较高的惩罚，因此当ψ接近零时，这些替代模型会受到较少的重视。为了得到显式公式，我们将不确定性厌恶ψ趋于零的极限转移到该极限。也就是说，我们将手头的问题视为参考模型的经典对应问题的扰动，然后修正价格和套期保值，以非对称最优方式考虑模型的不确定性。对于通过交易标的股票S进行套期保值的单一普通期权，对于不确定性厌恶参数ψ的较小值，我们建立了该套期保值问题值v（ψ）的严格二阶展开式。此扩展中的前序项通过参考模型中的三角洲对冲获得；几乎最优的策略θψ通过匹配下一个到引导顺序项来确定。与具有交易成本的扰动分析类似【64】，扩展的领先阶系数以及几乎最优策略的公式是由具有源项的线性二阶抛物偏微分方程（PDE）的解ew确定的。您在期权中的浮动头寸和多头或空头头寸之间的差异价格可以依次描述如下。

从一些初始资本X和期权中的浮动头寸开始，您对期权的不同出价和要价pb（ψ）和pa（ψ）具有展开式pb（ψ）=V- ewψ+o（ψ）和pa（ψ）=？V+ewψ+o（ψ），鉴于局部波动率模型在捕捉期权价格动态方面的众所周知的不足，例如，[21，30]，扩展到更一般的参考模型是未来研究的一个重要方向；有关进一步的讨论，请参见备注2.7。[5]在基于先验信念的局部波动率校准中使用了类似的惩罚。（1.2）中的术语U（Yt）使得偏好在效用函数的有效变换下保持不变；另见备注2.6。[48，2，3，26]已经用最坏情况法对期权定价和套期保值问题进行了渐近分析。80 90 100 110 12011.522.5股价买卖价差50 100 150 20010-310-210-1100101股价买卖价差图2：一阶买卖价差pa（ψ）- pb（ψ）（实数）和与UVM（虚线）相对应的买卖价差，具有两个不同的波动率带和股价范围；设置如图1所示。在左面板中，选择波动率带[17.04%，22.96%]，以便货币利差一致。在右侧面板中，带为[18%，22%]，纵轴具有对数刻度。式中，\'V=\'V（0，S）是参考模型中的期权价格。因此，ewψ是您要求的主要订单折扣或溢价，作为您暴露于模型不确定性的补偿。因此，我们可以将ew解释为期权易受模型错误描述影响的指标，并将其称为期权现金等价物（较小的不确定性厌恶）。为了更好地理解这一修正术语，请考虑其费曼-科航表示法（参见命题3.6）：ew（t，s）=E“ZTt\'\'σ（u，Su）\'$u杜邦St=s#。

（1.3）我们发现，期权对波动性不确定性的敏感性是由期权剩余寿命内累积的预期波动性加权现金伽马（u，Su）确定的。还要注意，公式（1.3）独立于投资者的效用函数U。因此，在本文的设定中，不确定性厌恶主导了风险厌恶。让我们以一个故意简单的恒定波动率参考模型和“平滑看跌”期权为例来说明我们的结果，该期权的支付是标准看跌期权的平滑版本，具有100次执行。图1显示了ψ=10时，差异投标和ASK价格pb（ψ）和pa（ψ）的一阶近似值-3是股票价格的函数。比较买卖价差2 ewψ的对应一阶近似值与UVM隐含的买卖价差是有指导意义的。在图2的左面板中，选择波动率带，使货币UVM价差等于价差2 ewψ。选择此选项的唯一原因是为了提高两种排列的视觉可比性。事实上，最坏情况下的方法要求根据代理的信念选择volatilityband，这可能会产生较宽的volatilityband。我们看到，如果股票价格从行权转移到期权现金伽马较低的区域，那么价差2 ewψ将小于UVM价差。图2的右侧面板比较了更大范围的股价和更窄的收益率区间的价差。如果股票价格接近执行价，我们的买卖价差将超过UVM价差，因为现金伽马和期权对波动性变化的敏感性很高。

相反，如果股价远离罢工，我们的买卖价差低于UVM价差，在第1节中，我们仅显示惩罚函数（1.2）的特殊情况下的公式。我们的分析也适用于更一般的惩罚泛函；参见第2.3节。根据期权的现金伽马和代理人的不确定性厌恶程度，我们的结果可以正式地与具有随机、时间依赖性波动率带的UVM联系起来；参见备注3.7。请注意，现金伽马在其他摩擦的渐近分析中也扮演着至关重要的角色，如离散再平衡[9]、交易成本[64]、价格影响[51]或跳跃[13]。具体而言，Payoff是标准看跌期权的Black-Scholes价值，行使100次，到期日为1天。由于期权支付是凸的，该价差只是对应于波动率带两个端点的“平滑看跌期权”的Black-Scholes值之间的差异。期权对波动性的敏感性较低。这表明，我们的方法以比UVM更细微的方式调整期权对波动性误判的敏感性结构。然而，让我们强调，我们的结果所暗示的买卖价差与UVM的价差并不完全一致。例如，两个（平滑）看跌期权的UVM价差是单个看跌期权价差的两倍，而我们的结果所暗示的价差在期权的现金伽马中呈二次比例，因此增长了四倍（参见（1.3））。换言之，如果你已经做空一个期权，你需要为出售同一类型的另一个期权获得更大的补偿，因为这会使你的头寸更容易受到波动性误判的影响。接下来，我们讨论相应的渐近最优套期保值策略。多达一些技术修改（参见。