具有小不确定性厌恶的套期保值

因此，我们获得了相同的候选控制（4.35）–（4.36）和现金等价物（4.37），净delta’ :=M+NXi=M+1’我-MXi=1λi’土地净现金伽马（美元）：=M+NXi=M+1美元，i-MXi=1λi''美元，i。特别是，用''美元表示，0：=PM+Ni=M+1''美元，即原始账簿的净现金伽马（在购买或出售其他期权之前），组合投资组合的现金等价物具有以下表示：ew（t，s，y）=Et，sZTt公司\'\'σ（u，Su）（\'\'美元，0-PMi=1λi′Γ$，i）（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du.这就产生了一个标准，通过在期权中进行静态交易来管理投资组合对波动性不确定性的敏感性：找到能够最小化ew的λi，即能够最小化期权组合剩余生命周期内累积的预期波动性加权净现金伽马。在第4.6节中，我们表明，作为原始投资组合净现金伽马的函数，这种最小化的现金等价物满足了某些公理性质，这些公理性质是衍生工具模型不确定性度量所提倡的。4.6作为模型不确定性度量的现金等价物考虑一个映射u，该映射u为给定家族的任何模型中具有很低定义值的任何未定权益分配一个非负数。Cont【14】称u为模型不确定性的一种度量，如果它满足四个公理，这四个公理反映了基础或流动交易期权中全部或部分对冲的可能性；有关更多详细信息，请参阅[14，第4.1节]。

这里，我们将注意力限制在形式g=c+M+NXi=M+1Gi（STi）+ZTθtdSt（4.40）的索赔的线性空间X上，其中N∈ N、 支付Gi（STi）和到期日如第4.5节c所示∈ R是一个常数，θ是一种有效的规则交易策略，因此可以按路径定义随机积分。我们已经看到，我们可以将这些索赔中的每一项与其现金伽马''Γ'美元、气体sumPM+Ni=M+1s'Viss（t，s）1{t<Ti}（请注意，c和（4.40）中的随机积分不起作用）。回顾第4.5节的设置和符号。为了便于标注，我们将现金等价物‘Γ$，i，i=1，M，转化为函数的向量。现在，定义（对于某些固定的t，s）函数u：X→ R+乘以u（G）=infλ∈RMEt，s“ZTt\'\'σ（u，Su）（\'\'Γ$，G- λ·′Γ$）（u，Su）2f（u，Su，y；(R)σ（u，Su））du#，映射声明G∈ 相对于流动交易期权中的所有静态对冲，其现金等价物的小不确定性厌恶最小化。该映射完全符合[14]的以下（适当修改）公理：（i）流动交易期权没有模型不确定性：u（Fi（STi））=0，所有i=1，M、 此外，对于所有常数c，u（c）=0∈ R、 （ii）基础动态交易提供的套期保值可能性的u账户：uG+ZTθtdSt！=u（G）对于所有交易策略θ和G∈ 十、（iii）多元化降低了投资组合的模型不确定性：u（νG+（1- ν） G）≤ νu（G）+（1- ν） u（G）对于所有ν∈ [0，1]和G，G∈ 十、（iv）由具有流动交易期权的静态对冲提供的对冲可能性的u账户：uG+MXi=1λiFi（STi）！=u（G）对于所有λ∈ RMAD G公司∈ 十、我们还注意到，通过构造，u随着流动交易期权集的扩大而变小；这是【14】中指出的另一个自然要求。性质（i）、（ii）和（iv）从定义u起立即生效。凸性属性（iii）可通过以下方式验证。

固定ν∈ [0，1]，克，克∈ X，并表示为“Γ美元”，和“Γ美元”，G和G的现金Gamma。固定ε>0。根据u的定义，我们可以选择λ，λ∈ rm使u（G）≤ Et，s“ZTt\'\'σ（u，Su）（\'\'Γ$，G- λ·′Γ$）（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du#+ε（4.41）以及用G和λ替换为Gandλ的类似不等式也成立。定义λ：=νλ+（1- ν） λ和G：=νG+（1- ν） G.然后‘Γ美元，G- λ·′Γ$=ν′Γ$，G+（1- ν） 美元，克- （νλ+（1- ν） λ）·Γ$=ν（Γ$，G- λ·′Γ$）+（1- ν） （\'Γ美元，克）- λ·Γ美元）。例如，如果θ是有限变量，则可以通过分部积分公式沿路径定义随机积分。与[14]不同，我们忽略了流动交易期权的买卖价差。加上x 7的凸性→ x、 这将产生（(R)美元，G- λ·Γ$）≤ ν（°Γ$，G）- λ·′Γ$）+（1- ν） （\'Γ美元，克）- λ·Γ美元）。（4.42）使用u、（4.42）和（4.41）的定义，我们发现u（G）≤ Et，sZTt公司\'\'σ（u，Su）（\'\'Γ$，G- λ·Γ$）（u，Su）2f（u，Su，y；’σ（u，Su））du≤ νu（G）+（1- ν） u（G）+ε。接下来的断言是取极限ε↓ 0.5证明在本节中，我们严格证明了第3节的结果。自始至终，我们假设假设假设3.2是有效的。为了便于记法，定义（t、s、y）∈ D=（0，T）×（K-1，K）×（yl，yu）和ψ>0，θψ（t，s，y）：=？Vs（t，s）+eθ（t，s，y）ψ，σψ（t，s，y）：=？σ（t，s）+eσ（t，s，y）ψ。（5.1）注意，我们使用符号θψ和σψ表示（5.1）中定义的函数和定理3.4中定义的候选控制。当然，这是由关系θψt=θψ（t，St，Yt）1{t<τ}+\'驱动的t{t≥τ} =“”t+eθ（t，St，Yt）1{t<τ}ψ，σψt=σψ（t，St，Yt）。5.1候选策略的值展开和几乎最优性在本节中，我们证明了定理3.4。自始至终，我们假设A、V和ψc>0是（θψ，σψ）的chosensuch∈ A×V 每个ψ的Z∈ （0，ψc）。

第5.3节对定理3.8中总结的此类场景进行了具体施工。确定候选值函数w:D×R→ R byw（t，s，y；ψ）：=wψ（t，s，y）：=U（y）- U（y）ew（t，s，y）ψ+U（y）bw（t，s，y）ψ。（5.2）我们注意到，通过我们在假设3.2中对ew、bw和U的假设，存在一个常数K>0（仅取决于K、yl、yu和U），使得| wψt |、| wψs |、| wψy |、| wψss |、| wψsy sy、| wψyy |≤ Kon D×[-1，1]。（5.3）此外，（5.3）中w的所有偏导数明显是C∞单位：ψ。本质上，定理3.4的证明归结为表明我们的候选值函数wψ、候选策略θψ和候选波动率σψ是与对冲问题（2.14）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程的近似解，即wψt（t，s，y）+supθinfHψ（t，s，y；θ，）=o（ψ）asψ↓ 0，均匀in（t，s，y）；参见下面的引理5.3。这里，对于ψ6=0，哈密顿量Hψ：D×R×[0，K]→ R由hψ（t，s，y；θ，）=ψU（y）f（t，s，y；）+s'Vss（t，s）（'σ（t，s）给出- ） wψy（t，s，y）+swψss（t，s，y）+2（θ-(R)Vs（t，s））wψsy（t，s，y）+（θ-(R)Vs（t，s））wψyy（t，s，y）;（5.4）回顾第4.1节中HJBI方程的启发式推导（4.9）和（4.18）。这部分证明纯粹是分析性的，在第5.1.1节中进行，主要成分是隐函数定理和泰勒展开式。然后，将经典验证论证应用于渐近设置，我们可以证明σ中的两个不等式∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）≥ wψ+o（ψ），（5.5）supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）≤ wψ+o（ψ），（5.6），其中wψ：=wψ（0，s，y）；参见引理5.7和5.8。表示方式。“小于或等于o（ψ）阶项”，我们从（5.5）–（5.6）中得到wψ。infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）。supθ∈Ainfσ∈VinfP公司∈P（θ，σ）Jψ（σ，P）。supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）。wψ和wψ。infσ∈VinfP公司∈P（θψ，σ）Jψ（σ，P）。infP公司∈P（θψ，σψ）Jψ（σψ，P）。

supθ∈AinfP公司∈P（θ，σψ）Jψ（σψ，P）。wψ。因此，我们在任何地方都有高达o（ψ）阶的等式。特别是supθ∈Ainfσ∈VinfP公司∈P（θ，σ）Jψ（σ，P）=wψ+o（ψ）=infP∈P（θψ，σψ）Jψ（σψ，P）+o（ψ）。这就完成了定理3.4的证明，将（5.5）–（5.6）的证明进行模化。5.1.1 HJBI方程的近似解我们首先确定关于波动性变量的哈密顿量的最小值，并在前导阶将其确定为（5.1）中的候选σψ。引理5.1。修复L>0。然后是常数C>0和ψ>0（取决于L），这对于每个（t，s，y）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]和ψ∈ （0，ψ），函数[0，K]37→ Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，）（5.7）有一个极小值ψ*（t，s，y，eθ）满足一阶条件Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，ψ*（t，s，y，eθ））=0，（5.8）和ψ*（t，s，y，eθ）- σψ（t，s，y）≤ Cψ。（5.9）证明。由于Hψ在中是连续的，[0，K]是紧的，因此存在一个极小值ψ*= ψ*（t，s，y，eθ）中的（t，s，y，eθ）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]，ψ>0。接下来，基本思想是利用罚函数f的凸性来证明对于非常小的ψ，φψ*必须位于[0，K]的内部。因此，它满足一阶条件。为了精确起见，从（3.10）和（5.3）中第一次注意到，存在一个常数K>0，因此对于所有（t，s，y）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]和ψ∈ (-1，1），swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）-\'Vss（t，s）wψy（t，s，y）≤ K.（5.10）自¨σ（t，s）∈ [0，T]×[K]上的[0，K]-根据（3.9），我们有hψ（t，s，y；’Vs（t，s）+eθψ，φ*（t，s，y，eθ））≤ Hψ（t，s，y；’Vs（t，s）+eθψ，’σ（t，s））。一方面，利用Hψ的定义以及（2.12）和重排列项，该不等式意味着ψU（y）f（t，s，y；ψ*)≤\'σ（t，s）- （ψ）*)swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）-\'Vss（t，s）wψy（t，s，y）≤ 2KK\'σ（t，s）- ψ*.

（5.11）另一方面，假设（3.11）和（2.12）yieldsf（t，s，y；ψ*) ≥2K（(R)σ（t，s）- ψ*). （5.12）合并（5.11）–（5.12）和重新排列条款\'σ（t，s）- ψ*≤4KKU（yu）ψ；（5.13）注意，如果σ（t，s）=ψ，则该不等式非常正确*, 所以除以|(R)σ（t，s）- ψ*| 在最后一步中进行了调整。现在，由于根据假设（3.9），σ（t，s）均匀地位于[0，K]的内部，因此从（5.13）可以得出ψ∈ （0，1）使得对于每个（t，s，y）∈ D、 eθ∈ [-五十、 L]和ψ∈ （0，ψ），我们有ψ*（t，s，y，eθ）∈ （0，K）。这意味着ψ*满足一阶条件（5.8）或等效条件（通过乘以ψ>0），U（y）f（t，s，y；ψ*) - s’Vss（t，s）ψ*wψy（t，s，y）ψ+ψ*swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）ψ=0。（5.14）有待证明（5.9）。对于每个λ=（t，s，y，eθ）∈ D×[-五十、 L]，我们定义了函数fλ：(-ψ、 ψ）×[0，K]→ R、 （ψ，）7→ Fλ（ψ，），由（5.14）的左侧加上ψ*替换为。当Fλ是ψ中的多项式且F是Cin时，Fλ是C。Fixλ=（t，s，y，eθ）。通过构造，Fλ（ψ，ψ*) = 0，ψ∈ （0，ψ）。（5.15）现在，我们想调用隐函数定理来证明ψ7→ ψ*可通过（5.15）扩展到上的C功能(-ψ、 ψ）（必要时选择ψ较小）。为此，必须表明Fλ≥ ε对于某些ε>0。使用（3.11）和（5.10），我们得到所有λ=（t，s，y，eθ）∈D×[-五十、 L]和ψ∈ (-ψ、 ψ），Fλ（ψ，）=U（y）f（t，s，y；）- s'Vss（t，s）wψy（t，s，y）ψ+swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）ψ≥U（yu）K- 2K |ψ|。因此，如果必要，选择ψ较小，ε>0使得Fλ（ψ，）≥ ε、 λ∈ D×[-五十、 L]，ψ∈ (-ψ、 ψ），∈ [0，K]，（5.16）和隐函数定理表明，对于每个固定的λ，ψ7→ ψ*可通过（5.15）扩展至(-ψ、 ψ）且为C。

当Fλ（0，）=U（y）F（t，s，y；）时，隐函数定理的唯一性断言与（2.12）一起也得到了*= (R)σ（t，s）。计算ψ*ψ（0），我们观察到一阶条件（5.14）和以下事实：对于ψ=0，wψy（t，s，y）=U（y），thatf（t，s，y；(R)σ（t，s））ψ*ψ（0）=limψ↓0ψf（t，s，y；ψ*) - f（t，s，y；*)= limψ↓0ψf（t，s，y；ψ*)= limψ↓0U（y）s’Vss（t，s）ψ*wψy（t，s，y）- ψ*swψss（t，s，y）+2eθψwψsy（t，s，y）+（eθψ）wψyy（t，s，y）= s'Vss（t，s）'σ（t，s）。正在解决ψ*ψ（0）给出ψ*ψ（0）=eσ（t，s，y）。现在，ψ的泰勒展开式*ψ=0附近产生ψ*= \'σ（t，s）+eσ（t，s，y）ψ+ψ*ψ（ψL）ψ=σψ（t，s，y）+ψ*ψ（ψL）ψ对于某些ψL=ψL（t，s，y，eθ；ψ），介于0和ψ之间∈ （0，ψ）。将其与（5.9）进行比较，可以看出ψ*ψ可以一致有界于λ=（t，s，y，eθ）∈ D×[-五十、 L]和ψ∈ （0，ψ）。我们已经从（5.16）中知道Fλ有界远离零，一致在λ上∈ D×[-五十、 L]，ψ∈ (-ψ、 ψ）和∈ [0，K]。此外，很容易检查我们的有界性假设是否意味着Fλ的所有二阶偏导数都是一致有界的（与上述意义相同）。因此ψ*ψ由引理A.1一致有界（M=0）。这就完成了证明。相反，我们接下来确定关于策略变量的哈密顿量的最大值，表明它与（5.1）中的候选θψ在前导阶重合，并且与波动性变量无关。引理5.2。存在常数C>0和ψ>0，因此对于每个（t，s，y）∈ D、 ∈ [0，K]和ψ∈ （0，ψ），函数3θ7→ Hψ（t，s，y；θ，）（5.17）具有最大值θψ*（t，s，y）独立于满足一阶条件的Hψθ（t，s，y；θψ*（t，s，y），）=0，（5.18）和θψ*（t、s、y）- θψ（t，s，y）≤ Cψ。（5.19）证明。

根据（5.4）中Hψ的定义，找到（5.17）的最大值等于找到r 3θ7的最大值→ 2（θ-(R)Vs（t，s））wψsy（t，s，y）+（θ-(R)Vs（t，s））wψyy（t，s，y）。（5.20）这只是θ中的一个二次方程，与无关。首先，我们证明了对于小ψ，二次项的系数一致为负。注意（5.2）中wψ的定义，wψyy（t，s，y）=U（y）+Y- U（y）ew（t，s，y）+U（y）bw（t，s，y）ψψ。（5.21）由于U是c，U<0，因此ε>0使得U≤ -2ε开[yl，yu]。根据（3.8），（5.21）右侧的偏导数可以在（t，s，y）中一致有界∈ D和ψ∈ (-1，1）。因此，有ψ∈ （0，1）对于所有（t，s，y）∈ D和ψ∈ (-ψ、 ψ），wψyy（t，s，y）≤ -ε。（5.22）因此对于每个ψ∈ (-ψ、 ψ），（5.20）具有最大值ψ*（t，s，y）（如果ψ6=0，它也是（5.17）的最大值），满足一阶条件wψsy（t，s，y）+（θψ*（t、s、y）-(R)Vs（t，s））wψyy（t，s，y）=0，（5.23），相当于（5.18）。为了证明（5.19），我们使用隐函数定理证明引理5.1。每个λ的定义=（t，s，y）∈ D、 函数Fλ：(-ψ、 ψ）×R→ R byFλ（ψ，δ）=wψsy（t，s，y）+δwψyy（t，s，y）。通过构造，Fλ是（ψ，δ）中的多项式，因此是C∞. 固定λ=（t，s，y）∈ D、 根据一阶条件（5.23），我们得到了fλ（ψ，θψ*-\'Vs（t，s））=0，ψ∈ (-ψ、 ψ），（5.24），其中θψ*= θψ*（t、s、y）。自从Fλδ（ψ，δ）=wψyy（t，s，y）≤ -所有ψ的ε<0∈ (-ψ、 ψ）根据（5.22），隐函数定理得出θψ*是C∞单位：ψ。当Fλ（0，δ）=δU（y）时，隐函数定理的唯一性定理也给出了θ*=？Vs（t，s）。计算θψ*ψ（0），我们在（5.24）的两侧除以ψ>0，并让ψ↓ 0

利用（5.2）中wψ的定义，我们得到0=limψ↓0ψ（wψsy（t，s，y）+（θψ*-(R)Vs（t，s））wψyy）=-sy（U（y）ew（t，s，y））+limψ↓0θψ*- θ*ψU（y）=-U（y）ewsy（t，s，y）- U（y）ews（t、s、y）+θψ*ψ（0）U（y）。正在解决θψ*ψ（0）给出θψ*ψ（0）=eθ（t，s，y）。现在，展开θψ*ψ=0附近产生θψ*=\'Vs（t，s）+eθ（t，s，y）ψ+θψ*ψ（ψL）ψ=θψ（t，s，y）+θψ*ψ（ψL）ψ对于0和ψ之间的某些ψL=ψL（t，s，y；ψ）∈ （0，ψ）。与（5.19）相比，它仍然表明θψ*ψ可以一致有界于（t，s，y）∈ D和ψ∈ （0，ψ）。我们已经知道了Fλδ=wψyy（t，s，y）有界远离零，一致在λ上∈ D、 ψ∈ (-ψ、 ψ）和δ∈ R、 此外，使用我们的有界性假设，可以直接检查是否存在M>0，以便对于所有λ∈ D、 ψ∈ (-ψ、 ψ）和δ∈ RFλψ（ψ，δ）,Fλψ（ψ，δ）≤ M（1+δ），Fλψδ（ψ，δ）≤ M、 还有那个Fλδ≡ 0。然后从引理A.1得出（yλ（ψ）=θψ*（t、s、y）-\'Vs（t，s）），M>0，因此对于所有λ∈ D和ψ∈ (-ψ、 ψ），θψ*ψ（ψ）=（θψ）*-？Vs（t，s））ψ（ψ）≤ M（1+|ψ）*-？Vs（t，s）|）。但|θψ*-？Vs（t，s）|=wψsy（t，s，y）wψyy（t，s，y）≤Kε乘以（5.23）、（5.22）和（5.3）。这就完成了证明。现在，我们提供了HJBI方程在delta对冲和候选策略θψ处的渐近展开，这两个方程都与候选波动率σψ有关。引理5.3。Asψ↓ 0，均匀in（t，s，y）∈ D、 wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s），σψ（t，s，y））=O（ψ），（5.25）wψt（t，s，y）+Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），σψ（t，s，y））=O（ψ）。（5.26）证明。当f是Cin时，泰勒定理与（2.12）yieldsf（t，s，y；）=f（t，s，y；(R)σ（t，s））（- \'（t，s））+f（3）（t，s，y；\'（t，s））（- (R)σ（t，s））+f（4）（t，s，y；L）（- σ（t，s））（5.27）对于σ（t，s）和之间的一些L=L（t，s，y；）∈ [0，K]。回想一下，f（4）由（3.11）统一限定。

因此，使用（5.27）作为候选σψ（t，s，y），我们得到↓ 0，均匀in（t，s，y）∈ D、 ψf（t，s，y；σψ（t，s，y））=f（t，s，y；(R)σ（t，s））eσ（t，s，y）ψ+f（3）（t，s，y；(R)σ（t，s））eσ（t，s，y）ψ+O（ψ）。利用这一点，可以很容易地从wψ和Hψ的定义中看出，（5.25）–（5.26）的左侧减少为ψ中的多项式，直至O（ψ）阶。使用我们的有界性假设，也可以直接检查这些多项式的所有系数是否统一绑定在（t，s，y）中∈ D、 因此，必须检查O（1）、O（ψ）和（5.26）项的系数是否消失。我们可以很容易地验证O（1）项总是存在偏差，并且O（ψ）项在这两种情况下都会减少到ew的PDE（3.2）。最后，在（5.26）的情况下，长时间的计算表明，对于bw，O（ψ）项减少到PDE（3.3）。接下来，如果我们分别插入（5.1）中的领先顺序候选策略和候选波动率，我们将分析相关的最小和最大哈密顿量。引理5.4。存在常数C>0和ψ>0，因此，对于每个（t，s，y）∈ D和ψ∈ （0，ψ）：wψt（t，s，y）+inf∈[0，K]Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s），）≥ -Cψ，（5.28）wψt（t，s，y）+inf∈[0，K]Hψ（t，s，y；θψ（t，s，y），）≥ -Cψ，（5.29）wψt（t，s，y）+supθ∈RHψ（t，s，y；θ，σψ（t，s，y））≤ Cψ。（5.30）证明。我们首先推导了Hψ关于θ和的二阶偏导数的一致界。在引理5.2的证明中（参见（5.22）），有ψ∈ （0，1）对于所有（t，s，y）∈ D和ψ∈ （0，ψ），我们有wψyy（t，s，y）≤ -ε。与（3.10）–（3.11）和（5.3）一起，这意味着K>0，因此对于所有（t，s，y）∈ D、 ψ∈ （0，ψ），eθ∈ R、 和∈ [0，K]，Hψ（t，s，y；(R)Vs（t，s）+eθψ，）=ψU（y）f（t，s，y；）- s'Vss（t，s）wψy（t，s，y）ψ+swψss（t，s，y）+2eθψwψsy+eθψwψyy（t，s，y）≤Kψ。