动态财富分配中的局部算子

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英文标题：
《Local Operators in Kinetic Wealth Distribution》
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作者：
M. Andrecut
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The statistical mechanics approach to wealth distribution is based on the conservative kinetic multi-agent model for money exchange, where the local interaction rule between the agents is analogous to the elastic particle scattering process. Here, we discuss the role of a class of conservative local operators, and we show that, depending on the values of their parameters, they can be used to generate all the relevant distributions. We also show numerically that in order to generate the power-law tail an heterogeneous risk aversion model is required. By changing the parameters of these operators one can also fine tune the resulting distributions in order to provide support for the emergence of a more egalitarian wealth distribution.
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中文摘要：
财富分布的统计力学方法基于货币交换的保守动力学多智能体模型，其中智能体之间的局部相互作用规则类似于弹性粒子散射过程。在这里，我们讨论了一类保守局部算子的作用，并且我们表明，根据它们的参数值，它们可以用来生成所有相关的分布。我们还从数值上表明，为了生成幂律尾，需要一个异质风险规避模型。通过改变这些算符的参数，还可以微调结果分布，以便为出现更平等的财富分布提供支持。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
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关键词：财富分配 distribution Conservative Quantitative Applications

动态财富分配中的局部算子。安德烈·卡特2016年3月3日，加拿大亚伯达省卡尔加里市，T3G 5Y8。andrecut@gmail.comAbstractThe财富分布的统计力学方法基于货币交换的保守动力学多智能体模型，其中智能体之间的局部相互作用规则类似于弹性粒子散射过程。在这里，我们讨论了一类保守局部算子的作用，并且我们表明，根据它们的参数值，它们可以用来生成所有相关的分布。我们还从数值上表明，为了生成幂律尾，需要一个异质风险规避模型。通过改变这些运算符的参数，还可以调整所得分布，以支持出现更平等的财富分布。1引言一个多世纪前，帕累托没有注意到稳定经济中的财富分配似乎遵循幂律分布：F（w）=^∞wf（w）dw∝ W-ν。（1） 其中F（w）是财富至少为w的个人的累积概率，F（w）是概率分布函数[1]。这个功率定律和指数ν今天被称为帕累托定律，分别是帕累托指数。进一步的研究表明，帕累托定律仅解释了位于财富分配尾部的高收入阶层的分配。在远离尾部的地方，这种分布最好用Agama或Lo g-正态分布来描述，称为Gibrat定律[2]。最近的研究还表明，低收入阶层可以用玻尔兹曼-吉布斯和类伽马分布fG（w）[3-10]：f（w）来描述∝对于w<wcw，fG（w）-ν-1对于w≥ 厕所。

（2） 这些最近的研究表明，指数ν∈ [1，2]虽然略有变化，但在实际数据中表现出显著的稳定性，表明一小部分人拥有大部分财富。已经提出了几个封闭经济体的多主体模型来解释这些实证结果（fora review见[11]及其参考文献）。这些模型借鉴了粒子系统统计力学的方法，其基本假设是，财富在微观层面上的主体之间进行交换，使用简单的成对交易机制，这在物理上相当于粒子散射过程[12]。尽管这些模型简单，但它们展示了真实数据的特征，并为更好地理解财富分配机制背后的复杂性提供了一个框架。这些模型大多基于保守的微观相互作用，并侧重于引入储蓄机制，该机制只允许代理人财富的一小部分参与每个交易事件【13，14】。最近，政府采取了措施，将全球税收和财富再分配的宏观机制纳入其中，以应对所有可用财富集中在少数主体身上，并有利于较贫穷的主体【15】。这些机制可以导致中产阶级的产生，因为实施这些机制的模型显示出从“不公平”的玻尔兹曼-吉布斯分布到阿加玛式的单峰分布的转变，在这种分布中，代理人的大部分财富从零转移到正价值，与分配模式相对应。在这里，我们讨论了一类守恒局部算子的作用，并表明，根据它们的参数值，它们可以用来生成所有相关的财富分布：Dirac delta、Boltzmann Gibbs、Gamma和Pareto。

我们还从数值上表明，为了生成幂律尾，需要一个异质风险规避模型。通过改变这些算符的参数，一条运河可以调整得到的分布，为出现更平等的财富分布提供支持。财富分配的动力学模型虽然财富是一个复杂的概念，包括货币、财产和其他具有一定经济效用的物质商品，但在这里，我们认为财富只是以货币来衡量的。我们还假设货币是代理人之间经济交易的媒介，在封闭经济中，货币总量是一个守恒量。我们考虑一个具有N个代理人的封闭经济体，其特征是财富状态为wn≥ 0，n=1，2。。。，N经济交易被描述为二元相互作用，其中在给定的时间步，两个随机变量i和j正在改变财富（货币）的数量它们之间的w：w′i=wi- w、 w′j=wj+w、 （3）使两个代理人在交易前后的总金额保持不变：w′i+w′j=wi+wj。（4） 货币的局部守恒定律类似于理想g as分子间弹性碰撞的能量守恒。在与传统统计力学最密切相关的模型中，交易财富交换等式定义为：w=（1- η） wi公司- ηwj，（5）使得局部交易方程为：w′i=η（wi+wj），w′j=（1- η） （wi+wj），（6）式中η~ U[0，1]是一个均匀分布的随机变量，控制着代理人财富的随机再分配。结果表明，这个基本模型导致了平衡玻耳兹曼-吉布斯分布：f（w）=hwiexp-whwi公司, （7） “温度”等于每个代理hwi的平均金额【12】。

这一结果是极端脆弱的，不受各种因素的影响，例如任意初始条件和代理的随机或连续相互作用。Boltzmann-Gibbs分布的特点是，富代理人非常少，贫穷代理人数量巨大，没有一个明确的中产阶级。为了克服Boltzmann-Gibbs财富分布的“不公平”，其中一种可以包括一种导致更“公平”的伽马均衡分布的波动机制[13]。在这种情况下，代理节省了部分资金λwi，并使用剩余的资金余额（1-λ） wi，对于随机交换，使得局部保守交易方程变成：w′i=λwi+η（1- λ） （wi+wj），w′j=λwj+（1-η） （1）- λ） （wi+wj）。（8） 系数λ∈ [0，1]是一个称为储蓄倾向的全局常数。研究还表明，该模型的平衡分布接近伽马分布[13]。该模型的进一步改进考虑了代理人的不同储蓄倾向。[14] 在系统的弛豫动力学过程中，特性也保持其值fix e d。我们发现，该模型产生了一个以指数ν的帕累托尾结尾的类伽马分布 1，它起源于储蓄倾向接近1的代理人【14】。一种不同的评估方法认为，全球税收和财富再分配的宏观机制有利于较贫穷的主体【15】。在这种模型中，任何事务都可以分两步描述。在第一步中，两个随机代理i和j交换他们的钱，使得分数f∈ [0，1]的交换财富因税收而损失：wi（t+1/2）=（1- f） η[wi（t）+wj（t）]，wj（t+1/2）=（1- f） （1）- η） 【wi（t）+wj（t）】。

（9） 在第二步中，所征收的税款τ=f【wi（t）+wj（t）】重新平均分配给人口中的所有a族：wn（t+1）=wn（t+1/2）+τ/N，N=1。。。，N、 （10）交易可以用气体粒子之间的非弹性碰撞来描述，其中损失的能量是税收价值的分析。随着f的增加，该模型显示出从Boltzmann-Gibbs分布到类伽马分布的转变，并且在临界点之后，对于更高的f值，它返回到指数分布。3动态财富分配中的局部算子这里我们讨论一类保守局部算子在财富交换动力学中的作用。此外，为了描述财富分布的特征，我们使用分布模式（当存在时）和基尼系数（衡量分布中价值之间的不平等）[16]。当所有财富值相同时，基尼系数G=1表示最大财富不平等，而基尼系数G=0表示完全平等。对于人口wn≥ 0，n=1，2。。。，N、 即索引din非降序（wn≤ wn+1），基尼系数可以很容易地计算如下[17，18]：G=N“N+1- 2PNn=1（N+1- n） wnPNn=1wn#（11）此外，在所有计算中，我们都施加了一个守恒的总财富：W=NXn=1wn=n（12）让我们首先考虑方程（6）描述的基本模型，该方程以以下矩阵形式书写：“wi（t+1）wj（t+1）#=t+（ε）”wi（t）wj（t）#（13），其中t+（ε）=“ε1- ε1- ε#（14）和ε~ U[0，1]是均匀分布的随机变量。我们可以看到这是一个与列随机矩阵相对应的

有趣的是，T+（ε）对以前的应用没有记忆：T+（ε）T+（ε′）=T+（ε），ε′6=ε（15），这意味着其连续应用的结果仅取决于最后一次应用[19]。此外，众所周知，从任何货币分布开始，通过应用这种局部相互作用规则，财富分布的稳定状态变为玻尔兹曼-吉布斯分布【12】。现在让我们用以下运算符替换此基本模型中的T+（ε）运算符：T-（ε） =“ε1- ε1- εε#（16）式中ε~ U[0，1]。该算子对应于一个非奇异双随机矩阵，它是无记忆的，因为它的成功应用累积如下：T-（ε） T型-（ε′）=T-（ε′）T-（ε） T+（ε′）=T+（ε′）（17），其中ε′）=εε′+（1-ε） （1）-ε′）、0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0w0。00.51.01.52.02.53.0f（w）均匀，t=0Dirac，t=1000Dirac，t=2000Dirac，t=3000Dirac，t=40000.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0w0。00.20.40.60.81.0f（w）均匀，t=0Gibbs，t=1000Gibbs，t=2000Gibbs，t=3000Gibbs，t=4000图1：使用t-（ε） 分别是T+（ε）算子。我们的数值模拟表明，通过应用这一局部相互作用规则，任何财富分布的稳态都变成了一个Dirac delta函数，与初始分布无关。在图1中，我们展示了这样一个模拟，其中N=1000个个体的种群，初始财富W=N，在它们之间均匀分布在U[0，2]中，平均hwi=1，演变为Dirac delta函数（图1，左）或Boltzmann Gibbs分布（图1，右）。在数值模拟过程中，在每个时间步随机抽取一对试剂，并使用T-（ε） 或T+（ε）运算符。

经过大约10步后，初始均匀分布逐渐转化为Diracdelta函数f（w）~ δ（w- 1） ，当所有代理人拥有相同的财富wn=1，n=1。。。，N、 或指数玻耳兹曼-吉布斯分布f（w）~ 经验值(-w） ，且“温度”hwi=1。图1所示为100、2000、3000和4000个时间步的结果，平均超过10个初始配置。这两个运算符T+（ε）和T-（ε） 可用于将任何给定的均匀分布转换为aBoltzmann Gibbs分布和Dirac分布，这也意味着它们可用于在这两个极端分布之间来回切换：Dirac deltaT-←--- 统一ormT+---→ 玻尔兹曼- Gibbs（18）因此-（ε） 而T+（ε）算子表现出一种对抗行为，因为T-（ε） 可以用来创建一个完全平等的分布（Dirac），而T+（ε）则负责创建一个不公平的分布（Boltzmann-Gibbs）。通过使用新变量ξ对这两个操作符进行插值，可以很容易地创建其他操作符∈ [0，1]：T±（ε，ε′，ξ）=ξT-（ε） +（1- ξ） T+（ε′）（19）显然，通过混合两个保守算子，得到的算子也将满足局部货币守恒规则。该算符允许我们确定与Dirac delta和Boltzmann Gibbs分布相对应的两个极端之间的分布。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0w0。00.51.01.52.0f（w）ξ=0.00ξ=0.25ξ=0.50ξ=0.75ξ=1.000 2 4 8 10w10-710-610-510-410-310-210-1100F（w）ξ=0.00ξ=0.25ξ=0.50ξ=0.75ξ=1.00图2：插值运算符T±（ε，ε′，ξ）的概率分布函数f（w）和累积分布函数f（w），以及ξ的不同值。在图2中，我们显示了ξ=0.00、0.25、0.50、0.75、1.00的模拟结果。

混合这两个对立操作符得到的财富分布类似于伽马分布。在这里，我们考虑了一个由N=1000个代理人组成的群体，初始财富W=N，统一分配给他们。模拟步骤数设置为10，我们平均了10次初始配置。分布的基尼系数G（ξ）和第一模式u的结果也见下表1。ξ=0.00ξ=0.25ξ=0.50ξ=0.75ξ=1.00G 0.500 0.365 0.246 0.129 0.000u0.000 0.454 0.776 0.922 1.000基尼系数取ξ=0的最大值G=0.5，对应于玻尔兹曼-吉布斯分布，并随着参数ξ接近1，逐渐减小到最小值G=0，对应于狄拉克分布。类γ分布的模式u随ξ增加，从0（Boltzmann-Gibbs）到1（Dirac delta）。通过考虑代理之间的货币交换由两个独立的统一随机变量ε，ρ控制，可以推广上述算子~ U[0，1]，因此仍然遵守局部守恒规则。因此，我们得到：T+（ε，ρ）=“ερ1- ε1- ρ#（20）和分别为：T-（ε，ρ）=“ε1- ρ1- ερ#（21）可以看出，这两个操作符都是列随机矩阵，并且对于ε6=ρ，它们都是可逆的，这表明了不同的行为。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0w0。00.20.40.60.81.0f（w）initialfinal0 2 4 6 8 10w10-710-610-510-410-310-210-1100F（w）initialfinalFigure 3：统计等效nt运算符T+（ε，ρ）的概率分布函数f（w）和累积分布函数f（w）≡ T-（ε，ρ）。当这些操作符局部作用于一对代理时，它们的结果明显不同。

然而，如果ε和ρ是独立的均匀分布随机变量，则它们的“全局”统计行为是相同的，在每个迭代步骤采样：T+（ε，ρ）≡ T-（ε，ρ）（22），这意味着它们是“统计等效的”。我们的数值模拟表明，这些算子将任何初始分布转化为伽马分布：f（w）=wk-1e级-w/θΓ（k）θk（23），k=2，θ=2，基尼系数：G=Γ（5/2）2Γ（2）√π=0.375（24）在图3中，我们给出了这样一个例子，其中初始分布对应于N=1000个代理人的人口，初始财富W=N，均匀分布在他们之间。模拟步骤数设为10，我们平均了10次初始配置。现在让我们考虑一个异质性模型，其中主体具有不同的“人格”，由以下操作符描述：T+（εi，ρj）=“εiρj1- εi1- ρj#（25）这里，参数εn，ρn，n=1。。。，N可以解释为代理的风险规避，它们最初是从均匀随机分布U[0，1]中提取的，与之前的模型相反，它们在计算过程中保持不变。10-1100101102103w10-510-410-310-210-1100101f（w）f（w）∝W-ν-1，ν2.0初始最终10-1100101102103w10-510-410-310-210-1100101f（w）f（w）∝W-ν-1，ν1.0初始最终图4：带指数ν的帕累托分布 2对于运算符T+（εi，ρj），具有固定值εi，ρj~ U[0，1]，i，j=1。。。，N（左）；指数为ν的帕累托定律 1对于异构储蓄模型（右）。灰色红线表示帕累托分布。得到的结果差别很大，它显示了一个单峰分布，带有带有指数ν的帕累托尾 2，图4（左）。本例中分布的基尼系数为G=0.447。