连续时间均值-方差投资组合选择的显式解

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英文标题：
《Explicit solutions for continuous time mean-variance portfolio selection
  with nonlinear wealth equations》
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作者：
Shaolin Ji and Xiaomin Shi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper concerns the continuous time mean-variance portfolio selection problem with a special nonlinear wealth equation. This nonlinear wealth equation has a nonsmooth coefficient and the dual method developed in [6] does not work. We invoke the HJB equation of this problem and give an explicit viscosity solution of the HJB equation. Furthermore, via this explicit viscosity solution, we obtain explicitly the efficient portfolio strategy and efficient frontier for this problem. Finally, we show that our nonlinear wealth equation can cover three important cases.
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中文摘要：
本文研究了一类具有特殊非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合问题。这种非线性财富方程具有非光滑系数，而文献[6]中发展的对偶方法不起作用。我们调用该问题的HJB方程，并给出HJB方程的显式粘度解。此外，通过这个显式粘性解，我们明确地得到了该问题的有效投资组合策略和有效前沿。最后，我们证明了我们的非线性财富方程可以覆盖三种重要的情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Explicit_solutions_for_continuous_time_mean-variance_portfolio_selection_with_no.pdf (135.06 KB)

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关键词：投资组合选择 投资组合 连续时间 Quantitative Optimization

非线性财富方程连续时间均值-方差组合选择的显式解*史晓敏+2018年7月10日摘要。本文研究了具有特殊非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合选择问题。这种非线性财富方程具有非光滑系数，而文献[6]中提出的对偶方法不起作用。我们调用该问题的HJB方程，给出HJB方程的显式粘性解。此外，通过这个显式粘性解，我们得到了该问题的显式有效投资组合策略和有效前沿。最后，我们证明了我们的非线性健康方程可以覆盖三种重要情况。关键词。均值-方差投资组合选择；非线性财富方程；HJB方程；viscositysolutionMathematics Subject Classification（2010）60H10 93E201简介均值-方差投资组合选择问题是为了找到最优的投资组合策略，该策略将其最终财富的方差最小化，同时其预期的最终财富等于规定的水平。马科维茨（Markowitz）[12]，[13]首先在单周期环境中研究了这个问题。文献中对其多周期、连续时间的对应关系进行了广泛的研究；参见，例如【1】、【7】、【9】、【10】、【15】以及其中的参考文献。关于均值-方差投资组合选择的大多数文献都集中在具有线性财富方程的投资者身上。但在某些情况下，需要考虑非线性财富方程。例如，大型投资者的投资组合选择可能会影响股票价格的回报，从而导致非线性财富方程。

当股票收益必须缴纳某些税时，我们还必须处理非线性财富方程。对于具有非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合问题，Ji[6]得到了当财富方程的系数光滑时，最优终端财富的必要条件。[5] 研究了高借贷条件下的连续时间均值-方差投资组合问题*山东大学金融研究所，济南250100，中国和山东大学数学研究所，济南250100，中国，电子邮件：jsl@sdu.edu.cn.本研究得到了国家自然科学基金（编号11571203）的资助；受《中国大学学科人才引进计划》（第B12023号）支持。+通讯作者。山东大学金融研究所，济南250100，中国。电子邮件：shixm@mail.sdu.edu.cn，则，shixiaominhi@163.com.本研究得到了国家自然科学基金（11401091）的资助。财富方程为非线性且系数不平滑的比率。他们利用HJ B方程的粘性解来描述最优投资组合策略。本文研究了一类具有特殊非线性健康方程的连续时间均值-方差投资组合问题。这种非线性财富方程具有非对称系数，可以涵盖以下三个重要模型：第一个模型由Jouini和Kallal[8]以及El Karoui等人[3]提出，其中投资者对股票的多头和空头头寸有不同的预期回报（见示例4.1）；第二个在【2】第4节中针对大型投资者给出（见示例4.2）；第三种方法是在[3]中介绍的，用于研究对收益征税的财富方程（见示例4.3）。

我们引用该表m的HamiltonJacobi Be llman（HJB for shor t）方程，并给出HJB方程的显式粘度解。此外，通过这个显式粘性解，我们明确地获得了该问题的有效投资组合策略和有效前沿。本文的组织结构如下。在第2节中，我们阐述了这个问题。第3节给出了我们的主要结果。在第4节中，我们展示了我们的财富方程（2.1）可以涵盖三种重要情况。2问题的公式是在过滤的完全概率空间上定义的标准一维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中{Ft}t≥0表示与一维布朗运动W相关的自然过滤，并增强。我们用M（0，T）表示所有Ft的空间-逐步可测量的R值过程x，使得ERTxtdt<∞.我们认为金融市场由无风险资产（货币市场工具或债券）和价格为S的风险证券（股票）组成。投资者可以在∈ [0，T]他的财富中有多少π投资于股票。当然，他的决策只能依赖于当前的信息Ft，也就是说，投资组合π是Ft适应的。对于给定的确定性连续函数rt，θt，’θt，σton[0，t]，考虑以下非线性财富方程：dXt=（rtXt+π+tσtθt- π-tσt′θt）dt+πtσtdWt，X=X，t∈ [0，T]（2.1），其中函数x+：=x、 如果x≥ 0；0，如果x<0，和x-:=-x、 如果x≤ 0；0，如果x>0。我们假设：假设2.1θt≥ 0，’θt≥ 0，a.e.开[0，T]，σt6=0，a.e.开[0，T]。备注2.2当θt=(R)θt，a.e。

在[0，T]上，财富方程（2.1）简化为经典的线性财富方程。对于给定的期望水平K，考虑以下连续时间均值-方差投资组合选择问题：最小化V arXT=E（XT- K） ，s.t。EXT=K，π∈ M（0，T），（X，π）满足等式（2.1）。（2.2）在本文中，我们假设K≥ xeRTrsds。最优策略π*是一种有效的策略。用X表示最佳终端值*T、 然后，（V arX*T、 K）称为有效点。所有有效点的集合{（V arX*T、 K）| K∈ [xeRTrsds+∞)}是有效的前沿。定义2.3如果π∈ M（0，T）和（X，π）满足E q.（2.1）。用A（x；0，T）表示初始投资x允许的投资组合π集。为简单起见，我们将A（x）：=A（x；0，T）。3主要结果在约束EXT=K的情况下，我们引入了拉格朗日乘数-2λ∈ 并得到以下辅助最优随机控制问题：最小化E（XT- K）- 2λ（外部- K） =E（XT- d）- （d）- K） ：=^J（π，d），s.t。π∈ M（0，T），（X，π）满足等式（2.1），（3.1），其中d：=K+λ。备注3.1问题（2.2）和（3.1）之间的联系由拉格朗日对偶定理（见Luenberger[11]）minπ提供∈A（x），EXT=KV arXT=maxd∈Rminπ∈A（x）^J（π，d）。因此，最优pr问题（2.2）可分为两步。第一步是求解E（XT- d） ，s.t.π∈ A（x），（3.2）对于任何固定的d∈ R

第二步是找到达到maxd的拉格朗日倍数∈Rminπ∈A（x）^J（π，d）。为了解决第一步，我们引入了随机控制问题v（t，x；d）：=infπ∈A（x；t，t）E（XT- d） ，（t，x）∈ [0，T]×R（3.3）在[T，T]上，根据dXs=（rsXs+π+sσsθs- π-sσs′θs）ds+πsσsdWs，Xt=x。（3.4）值函数v（t，x；d）是以下HJB方程的粘度解（参考文献[14]）：五、t+infπ∈R五、x（rtx+π+σtθt- π-σt′θt）+五、xσtπ= 0，v（T，x；d）=（x- d） 。（3.5）注意函数x+和x-是不光滑的。则（3.5）没有平滑的解决方案。在下面的定理中，我们构造了（3.5）的维余弦解。定理3.2在假设2.1下，上述HJB方程（3.5）的粘度解由v（t，x；d）给出=E-RTtθsds（xeRTtrsds- d） ，如果x≤ de公司-RTtrsds；E-RTtθsds（xeRTtrsds- d） ，如果x>de-RTtrsds，（3.6）和相关的最优反馈控制由π给出*（t，x）=-θtσt（x- de公司-RTtrsds），如果x≤ de公司-RTtrsds；-θtσt（x- de公司-RTtrsds），如果x>de-RTtrsds。（3.7）证明：（3.5）（x）的终端条件- d） 是x中的凸函数。

在[0，t]上，v（t，x；d）在x上是凸的。那么，infπ∈R五、x（rtx+π+σtθt- π-σt′θt）+五、xσtπ=-(五、x）五、xθt+五、xrtx，如果五、十、≤ 0；-(五、x）五、xθt+五、xrtx，如果五、x> 0。上述公式中的最大值为π*（t，x）=-θt五、xσt五、x、 如果五、十、≤ 0；-\'θt五、xσt五、x、 如果五、x> 0。（3.8）HJB方程（3.5）变为-五、t型+(五、x）五、xθt-五、xrtx我{五、十、≤0}+(五、x）五、xθt-五、xrtx我{五、x> 0}=0，v（T，x；d）=（x- d） 。（3.9）我们把[0，T]×R分成三个不相交的区域：={（T，x）∈ [0，T]×R | x<de-RTtrsds}；Γ：={（t，x）∈ [0，T]×R | x>de-RTtrsds}；Γ：={（t，x）∈ [0，T]×R | x=de-RTtrsds}。很容易验证（3.6）中定义的v（t，x；d）是C1,2，并且满足（3.9）中的Γ和Γ。OnΓ，v（t，x；d）=五、t（t，x；d）=五、x（t，x；d）≡ 0，很遗憾，五、自eRTt（rs）以来，Γ上不存在XD-θs）ds6≡ eRTt（卢比-θs）ds。对于任意φ∈ C∞（[0，T]×R），使得（T，x）∈ Γ是φ的最小点- v、 很容易验证φt（t，x）=φx（t，x）=0和φx（t，x）≥ 最大{2eRTt（rs-θs）ds，2eRTt（rs-θs）ds}，（t，x）∈ Γ。那么对于任何φ∈ C∞（[0，T]×R），使得（T，x）∈ Γ是φ的最小点- v、 我们有φt+infπ∈Rφx（rtx+π+σtθt- π-σt′θt）+φxσtπ=infπ∈Rφxσtπ≥infπ∈R最大{2eRTt（rs-θs）ds，2eRTt（rs-θs）ds}σtπ= 因此，v是HJB方程（3.5）的粘性子解。类似地，对于任何φ∈ C∞（[0，T]×R），使得（T，x）∈ Γ是φ的最大点- v、 我们有φt（t，x）=φx（t，x）=0。在这种情况下，φt+infπ∈Rφx（rtx+π+σtθt- π-σt′θt）+φxσtπ=infπ∈Rφxσtπ≤ 因此，v是HJB方程（3.5）的粘度上解。最后，终端条件n v（T，x；d）=（x-d） 通过对粘度溶液的定义，我们知道（3.6）中定义的t v（t，x；d）是HJ B方程（3.5）的粘度溶液。通过（3.8），很容易看出（3.7）是成立的。这就完成了证明。

现在我们确定拉格朗日倍数d*哪个附件最大∈Rminπ∈A（x）^J（π，d）。从（3.1）开始，最小π∈A（x）^J（π，d）=v（0，x；d）- （d）- K）=E-RTθsds（xeRTrsds- d）- （d）- K） ，如果x≤ de公司-RTRSD；E-RTθsds（xeRTrsds- d）- （d）- K） ，如果x>de-RTRSD。设置d*=K-xeRT（卢比-θs）ds1-E-RTθsds。我们有Maxd∈Rminπ∈A（x）^J（π，d）=最大∈R[v（0，x；d）- （d）- K） ]=v（0，x；d*) - （d）*- K） =eRTθsds- 1（K- 因此，La grange倍数λ*= D*- K=K-xeRTrsdseRTθsds-1.≥ 上述分析b可归结为以下定理。定理3.3问题的有效策略（2.2）可以写成时间t和财富x的函数：π*（t，X）=-θtσt（X- D*E-RTtrsds），如果X≤ D*E-RTtrsds；-θtσt（X- D*E-RTtrsds），如果X>d*E-RTtrsds。（3.11）此外，有效前沿isV arXT=eRTθsds- 1（K- xeRTrsds）≡eRTθsds- 1（外部- xeRTrsds）。备注3.4有效策略（3.11）表明，如果投资者当前财富低于d，则应做多s股票*E-RTtrsds，否则他应该做空。4三个例子在本节中，给出了三个例子来说明我们的主要结果的应用。这些示例中的财富方程由方程（2.1）描述。示例4.1 Jouini和Kallal【8】以及El Karoui等人【3】提出了以下模型。在某些情况下，人们对股票的多头和空头头寸有不同的预期ed回报。

在这种情况下，资产价格如下所示：dSt=Strtdt，S=S；dSt=某物btI{πt≥0}+(R)btI{πt<0}dt+σtdWti，S=S>0；然后财富过程X≡ 初始财富X>0的自筹大型投资者的Xx，π由以下随机微分方程控制，dXt=πtdStSt+（Xt- πt）dStSt=（rtXt+π+tσtθt- π-tσt′θt）dt+πtσtdWt；X=X，其中θt：=bt-rtσt，\'θt：=\'bt-rtσ皮重多头和空头头寸的风险溢价。例4.2 Cuoco和Cvitanic[2]给出了以下大型投资者模型。大型投资者的投资组合策略会影响股票的预期回报。dSt=Strtdt，S=S；dSt=某物英国电信- εsgn（πt）dt+σtdWti，S=S>0；式中，ε是给定的小正数，且sgn（x）=|x | x，如果x 6=0；0，否则。（4.1）在这一特定的大型投资者模型中，对高风险证券的渴望会降低其预期收益，而对其进行卖空则会增加其预期收益，如【2】所述。财富方程式可以写成dXt=（rtXt+（bt- rt）πt- ε|πt |）dt+πtσtdWt=（rtXt+π+tσtθt- π-tσt′θt）dt+πtσtdWt；X=X，（4.2），其中θs：=bs-卢比-εσsandθs：=bs-rs+εσs，s∈ [0，T]。示例4.3 El Karoui等人【3】研究了以下含税财富方程。我们假设资产价格如下所示：dSt=Strtdt，S=S；dSt=St（btdt+σtdWt），S=S>0。此外，还必须对从圣城获得的收益缴纳一些税款。在这种情况下，财富等式满足dXt=（rtXt+（bt- rt）πt- απ+（bt- rt））dt+πtσtdWt=（（rtXt+π+tσtθt- π-tσt′θt）dt+πtσtdWt；X=X，（4.3），其中θt：=（1-α） （英国电信-rt）σtand′θt：=bt-rtσt，α∈ [0，1）是一个常数。参考文献[1]T.Bielecki，H.Jin，S.Pliska，X.Zhou。破产禁止的连续时间均值方差投资组合选择。《数学金融》，15（200 5），第213-244页。[2] D.Cuoco，J.Cvitanic。“大型”投资者的最佳消费选择。《经济动力与控制杂志》，2 2（1998），第401-436页。[3] N。

El Karoui，S.Peng，M.Quenez，《金融中的反向随机微分方程》，数学金融，7（1997），第1-71页。[4] N.El Karoui，S.Peng，M.Quenez，《约束条件下递归效用优化的动态最大原理》，《应用概率年鉴》，11（2001）：第664-693页。[5] C.Fu，L.Lavassani，X.Li，带借贷约束的动态平均方差投资组合选择。《欧洲运筹学杂志》，200（2010），第312-319页。[6] S.Ji，非线性财富方程连续S时间Markowitz问题的对偶方法。《数学分析与应用杂志》，366（2010），第90-100页。[7] H.Jin，J.Yan，X，Zhou，连续时间平均风险投资组合选择。HenriPoincare研究所年鉴。41（2005），第5 59-580页。[8] E.Jouini，H.Kallal，《有卖空限制的证券市场套利》。《数学金融》，5（1995），第197-232页。[9] 李德明，吴文华，最优动态投资组合选择：多期均值-方差公式。《数学金融》，10（2000），第387-406页。[10] X.Li，X，Zhou，A.Lim，无卖空约束的动态均值-方差投资组合选择。《SIAMJournal关于控制和优化》，40（2002），第1540-15 55页。[11] D.Luenberger，《向量空间法优化》。约翰·威利父子出版社，1997年。[12] H.Markowitz，《投资组合选择》。《金融杂志》，第7期（1952年），第77-91页。[13] H.Markowitz，《投资组合选择：有效的投资多元化》。耶鲁大学出版社，1968年。[14] J.Yong，X.Zhou，随机控制：哈密顿系统和HJB方程。Springer Verlag。纽约，1999年。[15] Zhou，D.Li，连续时间均值-方差投资组合选择：随机LQ框架。《应用数学与优化》，42（200 0），第19-33页。