关于给定边值的极值鞅测度的支持度

定理3.3），因为它避免了表示中出现的函数可积性问题，以及L（Q）中极限的通过。然而，弱PRP的主要区别更为微妙：我们只需要在产品空间X×Y的子集S上定义的函数的复制属性。在大多数情况下，S将是某些度量值Q.defition 4.2（弱精确PRP）的支持。设S是X×Y的子集。我们说，对于每一个函数f:S，WeakExact PRP（从此，WEP）都适用于S→ R、 存在函数h，Д：SX→ R和ψ：SY→ R使得f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），（x，y）∈ S、 （4.1）此外，设f:S→ R可以是任意函数。如果（4.1）满足合适的函数h，Д，ψ，则WEP（f）在S中成立。我们说WEP适用于Q∈ M（u，ν），如果WEP适用于Q.示例4.3（二项式网格）的支撑S。设x，y，ybe是一些给定的正数，y6=yan，S：={（x，yi）：i=1，2}是相应的2网格。然后，WEP持有forS。实际上，对于任何给定的f，集ψ=0，h（x）=f（x，y）-f（x，y）y-y、 和Д（x）=x-yy年-yf（x，y）+y-xy型-yf（x，y）。备注4.4。请注意，通过将WEP定义为给定路径集S的属性，我们可能会包括不能支持鞅概率度量的集，例如，当y>y>x>0时，如前一示例所示。更一般地说，如果WEP适用于某些集合 X×Y，如果m:R+→ R+是这样一个应用程序，id+m是可逆的，其中id代表身份映射，然后WEP保持集合Sm={（x+m（x，y）：（x，y）∈ S} 还有。实际上，考虑一个函数f:Sm→ Rand let（ψ，h，ψ）是函数g（x，y）=f（x+m（x，y）的分解。

我们有f（x+m（x），y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y）=Д（x）+h（x）m（x）+h（x）（y- （x+m（x）））-ψ（y），通过设置φf（x+m（x））=φ（x）+h（x）m（x），hf（x+m（x））=h（x），Sm的WEP如下，因为id+m是可逆的。这特别表明，WEPis是一种纯几何和组合性质的性质。我们在本节结束时指出，当ν的支持度基本上是由u的支持度中的许多点“生成”时，WEP是度量Q（μ，ν）的极端性的有效条件（见以下命题的陈述）。例如，当u的支持或ν的支持是有限的时，就会发生这种情况。这并不奇怪，因为WEP完全依赖于Q。在这些情况下，可以免费获得WEPdecomposition中项的可积性，从而得到极值。提案4.5。让Q∈ M（u，ν），让我们来支持它。假设存在一个单元集{x，…，xn} Sx使SY=∪1.≤我≤nY（xi）（例如，如果SX或SYis finite）。如果WEP对Q成立，那么Q是极值。证据取一些函数g∈ L（Q），特别是rr | g（x，y）| Q（x，dy）<∞ 对于所有xin，支持u，因此对于所有x∈ {x，…，xn}。假设存在可测函数Д，h:SX→ R和ψ：SY→ R使得g（x，y）=Д（x）- ψ（y）+h（x）（y- x） （4.2）在Q的支持下，尽管有点滥用符号，我们仍然用φ、ψ和h表示这些函数对整个各自空间的扩展，即x表示φ，h和Y表示ψ，将它们设置为Sx以外的0表示ν、h，Sy以外的0表示ψ。现在，对于每个y∈ SY，|ψ（y）|≤ |^1（x）|+| h（x）|（x+y）+g（x，y）|对于某些x∈ {x，…，xn}，其中包含|ψ（y）|≤ 最大值1≤我≤n |Д（xi）|+最大值1≤我≤n（| h（xi）| xi）+最大值1≤我≤n | h（xi）| y+max1≤我≤n | g（xi，y）|。因此，由于max1≤我≤n | g（xi，y）|≤Pni=1 | g（xi，y）|每个函数y 7→ g（xi，y）isq（xi，dy）-可积所有i=1。

，n，我们有Z | g（xi，y）| dν（y）=Z | g（xi，y）| q（xi，dy）u（{xi}）<∞.此外，函数y 7→ 最大值1≤我≤n | h（xi）| y也属于L（ν），得到ψ∈ L（ν）也是。在重新排列术语并采用（4.2）中的条件期望后，我们得到了|（x）=Zg（x，y）q（x，dy）+Zψ（y）q（x，dy），因此| |（x）|≤R（|g（x，y）|+|ψ（y）|）q（x，dy）。自g起∈ L（Q）和ψ∈ L（ν），我们也有∈ L（u）。然后通过差值（x，y）7→ h（x）（y）- x） 也属于L（Q）。因此，我们已经证明，对于每个可积函数g∈ L（Q），其WEP分解（4.2）中的每一项对于各自的测度都是可积的，因此通过应用定理3.3，我们得到Q是极值。备注4.6。当u和ν都有有限的支持时，WEP和极值实际上是等价的。要看到这一点，只需注意L（Q）可以与所有函数集sf:supp（Q）识别→ R、 这是一个有限维向量空间。因此，L（Q）的任何稠密子空间都等于L（Q），因此WEP和弱PRP重合。特别是，每个极端度量Q都满足WEP。备注4.7。一般来说，半静态交易策略集在L（Q）中不是封闭的，asit在文章[1]中给出。更准确地说，在定理1.1中，作者构建了一个离散时间模型，定义在可数样本空间上，以及一系列在Lp中收敛的半静态策略，对于每个p≥ 在某种程度上，甚至不能被半静态战略的最终结果所支配。

即使Q是以M（u，ν）为单位的极值度量，这是否成立的问题仍然悬而未决。5 WEP的一些有效条件本节我们为WEP提供了一些易于验证的有效条件。5.1交集引理我们从一些初步结果开始，表明对于x，WEP（以及极值）对图像集Y（x）的交集有很强的约束∈ 十、 引理5.1（WEP下的交叉引理）。假设WEP对S和let x，xbe保持SX中的两个不同点。然后| Y（x）∩ Y（x）|≤ 2.（5.1）证明。假设存在两个不同的点x，x∈ Sx使得Y（x）∩ Y（x）{y，y，y}，y<y<y。因此，可以选择函数f:S→ 使得f（x，·）和f（x，·）分别在集合{yi，i=1，2，3}上严格递增和严格递减递增比率，即f（x，y）- f（x，y）y- y<f（x，y）- f（x，y）y- y（5.2）和F（x，y）- f（x，y）y- y> f（x，y）- f（x，y）y- y、 （5.3）由于WEP适用于S，f可表示为f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），x∈ SX，y∈ Y（x），对于某些函数h，Д：SX→ R和ψ：SY→ R、 因此（5.2）和（5.3）变成ψ（y）- ψ（y）y- y<ψ（y）- ψ（y）y- y、 ψ（y）- ψ（y）y- y> ψ（y）- ψ（y）y- y、 导致矛盾的。尽管我们一般不知道WEP和极值之间的关系，但我们可以证明，在交集引理中，WEP可以被极值性质所取代，同时保持相同的结论。引理5.2（极值下的交集引理）。假设Q是极值。让Sbe支持Q和x，Xt在SX中的两个不同点。然后| Y（x）∩ Y（x）|≤ 2.（5.4）证明。让我们从矛盾的角度出发，假设y（x）中至少有三个不同的点{y，y，y}∩ Y（x）。我们将在M（u，ν）中建立Q的微扰，表明Q不可能是极值。

考虑正数c：=inf{Q（xi，yj）：i=1，2，j=1，2，3}>0。让我们从路径（x，y）开始，用一些数字α扰动其概率，从而得到一个新的概率权重Q（x，y）=Q（x，y）+α。现在考虑路径（x，y）并扰动它，以保持y处的总质量，通过-α、 即定义Q（x，y）=Q（x，y）- α。同样地，我们将路径（x，y）关联为扰动β，将路径（x，y）关联为相反的扰动-β、 最后γ到路径（x，y）和-γ到路径（x，y）。通过选择足够小的α、β、γ，该程序可得出新的概率测量值Qon S。通过构造每个点yj的总质量，对于j=1、2、3，保留。另一方面，xis点的质量u（{x}）保持为当且仅当α-β+γ=0，x处的质量守恒，即u（{x}），给出了相同的条件。它仍然是为了检查鞅性质，对x和x两个点给出相同的条件，即αy- βy+γy=0。求解该系统得到α=β- γ和β（y- y） =γ（y- y） 。我们可以选择非常小的γ，以便最大{|α|，|β|，|γ|}<c，这保证了上面构造的微扰qc属于M（u，ν）。最后，执行一个模拟扰动，其权重与Q中的权重具有相同的绝对值，但符号相反，我们得到了另一个度量值Qin M（u，ν），例如Q=（Q+Q）/2，这与Q.5.2的极值相矛盾。在本节中，我们引入了“2-link属性”的概念，它给出了WEP保持X×Y的给定子集S的充分条件。这个性质可以看作是交叉引理5.1中给出的必要条件的加强。它的公式化很简单，同时它提供了一种生成非常丰富的极值测度支持集的简单方法。定义5.3（双链接属性）。

如果存在编号SX=（xn）n，我们说S具有2-link性质≥1对于所有n≥ 1我们有| Y（xn）∩N-1[i=1Y（xi）|≤ 2，（2LP）与约定si=1=.在稍微滥用术语的情况下，我们有时会使用（2LP）来表示“2-link属性”。从上下文中可以清楚地看到。提案5.4。如果S具有2-link属性，则WEP适用于S.Proof。让f:S→ R是任何可测量的实值函数，我们想找到函数Д，h:SX→ R和ψ：SY→ R使得f（x，y）+ψ（y）=Д（x）+h（x）（y- x） 在S上，我们使用条件（2LP）通过归纳构造此类函数，我们假设该条件至少满足一个编号SX=（xn）n≥1、取第一个元素X并考虑所有点y∈ Y（x）。任意选取两个这样的点，比如y，y∈ Y（x），取任意两个实数ψ，ψ并设置ψ（Y）：=ψ和ψ（Y）：=ψ。我们想要f（x，yi）+ψ（yi）=Д（x）+h（x）（yi- x） ，i=1，2，因此y中a ffine函数的参数Д（x），h（x）∈ Y，Y 7→ Д（x）+h（x）（y-x） ，由上述等式中LHS上的两点确定。因此，函数ψ（y）的其他值∈ Y（x）\\{Y，Y}也通过等式ψ（Y）=f（x，Y）确定- ^1（x）- h（x）（y）- x） 。现在，假设我们已经构造了函数h，Д：（xi）n-1i=1→ R和ψ：∪N-1i=1Y（xi）→R使得f（xi，y）=Д（xi）+h（xi）（y- 十一）- ψ（y），y∈ Y（xi），1≤ 我≤ N- 考虑满足条件（2LP）的给定编号sx中的下一点x。后者意味着最多存在两个不同的点，例如，y，y∈ ∪N-1i=1Y（xi），使yi∈ Y（xn）表示i=1，2。让我们首先考虑一下这些点正好是两个的情况。因此，已经确定了两个值ψ（yi），i=1，2，并将f（xn，yi）+ψ（yi），i=1，2。

这完全且无任何歧义地识别了以下WEP表示f（xn，y）+ψ（y）=Д（xn）+h（xn）（y）y-a ffine部分中的参数Д（xn），h（xn- xn），y∈ Y（xn）。实际上，我们有h（xn）=f（xn，y）- f（xn，y）+ψ（y）- ψ（y）y- y、 Д（xn）=f（xn，y）- h（xn）（y）- xn）+ψ（y），ψ（y）=f（xn，y）- ^1（xn）- h（xn）（y）- xn），y∈ Y（xn）/{Y，Y}。这样，我们将函数h，ν扩展到有限集（xi）ni=1，并将函数ψ扩展到该集∪ni=1Y（xi）。为了完成这一部分，我们还需要考虑以下情况：(∪N-1i=1Y（xi））∩ Ynis为空或仅包含一个点，例如y。在后一种情况下，结构类似于唯一的区别，即ψ（y）是固定的，而值ψ（y）可以任意选择。在前一种情况下，即交叉点是空的，可以从证明的开始处继续。最后，根据归纳原理，我们可以得出以下结论：存在函数h，ν：SX→ R和ψ：SY=∪N≥1Y（xn）→ 使得WEP（f）适用于任意函数f。备注5.5。可以很容易地构造具有多个满足点（2LP）的条件支持。这与没有边缘约束的鞅测度的情况相反，其中只有极值点具有两点条件支持（与Dellacherie[11]中的Lemme a以及Jacod和Shiryaev[24]中的定理6相比）。从财务角度来看，这显然是因为M（u，ν）的极值点对应于定理3.3中的半静态完整模型，其中特别允许一个静态交易许多欧洲期权。示例5.6（“二叉树”）。任意概率Q∈ M（u，ν），其条件支持有两个点，即所有x的| Y（x）|=2∈ 十、 是极端的。事实上，属性（2LP）是微不足道的。示例5.7（Hobson和Klimmek【19】“三项式树”）。

Hobson和Klimmek[19]构造了一个最优鞅最优输运，其条件支持充分刻画如下：存在a<b和两个递减映射p和q，使得对于x和x∈ 如果x<a或x>b，则Y（x）={x}，否则，p（x）<a和q（x）>b，则Y（x）={p（x），x，q（x）}。此外，对于不属于Y（x）的x，我们有Y（x）={p（x），q（x）}。可以看出，在这种情况下，该属性（2LP）也是令人满意的。实际上，设X为u的（可数）支持度，X=X<a∪ X【a，b】∪ 十> b，X>a时：={X∈ X:X>a}（其他两组定义类似）。考虑这三个集合的任何编号，即X>a=（xan），X>b=（xbn）和X[a，b]=（(R)xn）。因此，通过交替每个序列的元素，我们得到X的编号，由（xn）=（xa，xb，\'X，…）给出满足（2LP）。注意，Hobsonand Klimmek与u的最佳耦合∧ ν=0是一棵二叉树。有关此支持的更多信息，请参见示例5.16。Beiglb¨ock和Juillet在论文[4]中介绍了左单调鞅传输计划的基本概念（见其中的定义1.4），如下所示：如果存在Borel集，则R×R上的鞅传输计划π称为左单调 R×R，π（Γ）=1，并且每当（x，y-), （x，y+）（x，y）∈ 我们不能有X<X和y-< y<y+。（5.5）在[4]的定理5.1中，证明了M（u，ν）中存在唯一的左单调迁移平面，用πl表示，称为左幕。右侧帷幕πRCI的定义类似，只需将（5.5）替换为以下禁止模式：无论何时（x，y-), （x，y+）（x，y）∈ 我们不能有X>X和y-< y<y+。（5.6）提案5.8。假设SX存在严格递减（或严格递增）编号，即SX=（xn）n≥1 x>x>····（分别为x<x<····）。然后，左（右）幕πlc（右）幕πrc满足性质（2LP）。

特别是，它满足WEP，因此，在命题4.5的假设下，它在M（u，ν）中是极值。证据自相矛盾地假设sx的所有数字都不满足（2LP），因此减少的顺序x>x>··尤其不能满足它。因此，存在k≥ 2这样的Y（xk）∩ (∪1.≤我≤K-1Y（xi））包含三个不同的点y，y，yin y。我们可以将它们排序为yu>ym>yl。存在i=1的XI，K- 1以便ym∈ Y（xi）。然后，我们发现（xk，yj），与j∈ {u，m，l}，与（xi，ym）一起属于左帘的支撑，在这里我们回忆起xi>xk。这正是左侧幕墙定义中的禁止映射（5.5）（另请参见[4，图1]）。因此，左侧的curtainsupport满足（2LP），它满足WEP（参见命题5.4）。因此，在命题4.5中的假设下，左幕为极值，单位为M（u，ν）。右侧窗帘的天窗与此类似。现在，我们提供一个示例，说明WEP不需要2-link属性。示例5.9。下图显示了X×Y的子集S，X={xi}i=1，Y={yj}j=1，它不具有双链接属性，但可以通过直接验证来检查WEP是否已满（参见示例6.26）。X1X2X3X4Y1Y2Y3Y4Y5Y6我们将在下一节中返回此图片（参见示例6.11）。示例5.10。最后，我们给出了一个有限支持填充（2LP）的示例。考虑SX=（xn）n≥1对于某些给定的正数序列，使得| Y（xn）|=n，对于所有n≥ 1，且满足性质| Y（x）∩ Y（x）|=1，Y（xn+1）∩n[i=1Y（xi）= 2，n≥ 很明显，通过这种构造，我们得到了SY=∪N≥1Y（xn）也是有限的。

前四个迭代步骤的一个可能特征是以下x1x2x3x4y1y2y3y4y5这只是一个可能的示例，使用（2LP）的定义可以在支架的两侧提供许多点。实际上，我们再次强调，（2LP）本身就是一个非常有建设性的属性。5.2.1与图论的关系我们在本节结束时表明，2-链性质与图论中的k-退化的概念非常相关，如[26]。特别是，我们看到了这种意外的关系如何提供（2LP）的替代特征，以及生成满足X×Y（2LP）的子集的方法。我们将使用一些graphtheory的术语，我们可以参考Diestel的书【13】。设G=（V，E）是一个顶点集为V，边集为E的图。出于我们的目的，我们允许G有多条边。此外，V和E可以是有限的可数集。顶点v的度数d（v）∈ V是与V相关联的边数。G顶点的最小度数称为G的最小度数，用δ（G）表示。此外，图G的子图H由G的顶点子集和G的边子集组成，它们共同构成一个图。由G的一组U顶点（用hUi表示）诱导的子图，以U作为其顶点集，并包含G的所有边与U定义5.11（[26]）的两个顶点相关。一个图G被称为k-退化图，对于k是一个非负整数，如果对于G的每个诱导子图H，我们有δ（H）≤ k、 下面的命题说明了一个图的k-退化（k=2）与一个与（2LP）非常相似的性质之间的等价性。当G是有限的且没有多页时，这只是[26]中的命题1。然而，即使G可以有可数的多个属性和多条边，这样的等价性仍然成立。