关于给定边值的极值鞅测度的支持度

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英文标题：
《On the support of extremal martingale measures with given marginals: the
  countable case》
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作者：
Luciano Campi, Claude Martini
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We investigate the supports of extremal martingale measures with pre-specified marginals in a two-period setting. First, we establish in full generality the equivalence between the extremality of a given measure $Q$ and the denseness in $L^1(Q)$ of a suitable linear subspace, which can be seen in a financial context as the set of all semi-static trading strategies. Moreover, when the supports of both marginals are countable, we focus on the slightly stronger notion of weak exact predictable representation property (henceforth, WEP) and provide two combinatorial sufficient conditions, called \"2-link property\" and \"full erasability\", on how the points in the supports are linked to each other for granting extremality. When the support of the first marginal is a finite set, we give a necessary and sufficient condition for the WEP to hold in terms of the new concepts of $2$-net and deadlock. Finally, we study the relation between cycles and extremality.
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中文摘要：
我们在两个周期的背景下研究了具有预先指定边缘的极值鞅测度的支持度。首先，我们在完全一般性的情况下，建立了给定测度$Q$的极值与适当线性子空间$L^1（Q）$的稠密性之间的等价性，这可以在金融环境中视为所有半静态交易策略的集合。此外，当两个边缘的支持度都是可数的时，我们将重点放在弱精确可预测表示性质（此后称为WEP）这一稍强的概念上，并提供了两个组合充分条件，称为“2-链接性质”和“完全可擦除性”，即支持度中的点如何相互链接以授予极值。当第一个边际的支持度为有限集时，我们给出了WEP保持的充要条件，即新概念2$-净和死锁。最后，我们研究了循环与极值之间的关系。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_the_support_of_extremal_martingale_measures_with_given_marginals:_the_countab.pdf (778.08 KB)

2022-5-25 11:35:10 上传

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关键词：Mathematical Differential Quantitative Applications Presentation

关于给定边值的极值鞅测度的支持度：可数情形*Luciano Campi+Claude MartiniAbstracts我们在两个周期的设置中研究了具有预先指定边缘的极值鞅测度的支持。首先，我们在完全一般性的情况下建立了给定测度Q的极值与合适线性子空间L（Q）中的稠密性之间的等价性，这可以在金融环境中视为所有半静态交易策略的集合。此外，当两个边值的支持度都是可数的时，我们将重点放在弱精确可预测表示属性（此后称为WEP）这一稍强的概念上，并提供两个组合支持条件，称为“2-linkproperty”和“完全可擦除性”，即支持度中的点如何相互链接以授予极值。当第一个边际的支持是一个有限集时，我们根据2-网和死锁的新概念给出了WEP保持的必要和充分条件。最后，我们研究了循环与极值之间的关系。关键词和短语：无模型定价、极值测度、鞅最优运输、弱可预测表示性、周期。2010年理学硕士分类：60G42、91G80。1引言在本文中，我们研究了乘积空间R+=[0]上定义的极值鞅测度的支持度，∞)在给定边缘u和ν的约束下，配备其Borelσ-field。当且仅当u在凸序中小于ν时，所有此类测度集都是非空的，它是鞅最优传输的核心，这是一个新的研究领域，由[3]在离散时间情况下引入，由[15]在连续时间情况下引入。

鞅最优运输问题是经典Monge-Kantorovich最优运输问题（见[33]）的一个变体，它包括在所有概率测度的集合M（u，ν）上对给定的函数进行优化，并具有预先指定的边缘u和ν，并满足鞅性质。后一个属性是*这项工作得到了ANR项目ISOTACE（ANR-12-MONU-0013）的部分支持。我们还感谢Beatrice Acciaio、Peter Allen、Graham Brightwell、Alex Cox、Davide Gabrielli、Riccardo Pallottini和Fr'ed'eric Patras所作的有益评论。+英国伦敦经济和政治学院统计系Zeliade Systems，法国。是什么导致了与经典最优运输问题的不同，这是由金融应用推动的。一篇重要的成长性文献来源于开创性的论文【18】，该论文使用基于Skorokhod嵌入问题的技术，开始了衍生品定价的无模型方法。在这种方法中，只做了很弱的假设，即标的证券的价格过程是一个鞅（排除套利机会），其边际值是通过观察欧洲看涨价格得出的（通过所谓的Breeden-Litzenberger公式）。因此，例如，计算某些衍生产品的超级复制价格可以归结为在集合M（u，ν）上最大化其pay-o fff（例如f）的预期值，从而产生以下鞅传输问题：supQ∈M（u，ν）Q（f），（1.1），其中Q（f）表示Q下f的期望值。这一问题在[4]中针对一大类支付进行了深入研究。其中的结果在[16]中得到了进一步推广。在文献[20，19]中，发现了f（x，y）=±| x的（鞅）最优输运- y |。我们对集合M（u，ν）的极值元素的兴趣基本上是由无模型方法激发的。

事实上，极值测度的概念与优化器的概念密切相关，因此与自由衍生品定价模型密切相关。更准确地说，Bauermaximm原理（参见[2，第7.69节]）指出，局部凸Hausdorff空间的紧凸子集上的任何上半连续凸函数都有一个极大值，它是一个极值点。因此，它适用于优化问题，如（1.1）当支付函数足够规则时。此外，我们注意到，当最大化子是唯一的时，它必然是一个极值点。因此，了解极值测度的支持可以深入了解鞅最优运输问题的解，如（1.1）。这项研究的另一个动机来自我们的第一个结果（参见Theorem3.3），该结果大致说明了以下等价性：鞅测度Q∈ M（u，ν）是极值的当且仅当每个导数都可以通过半静态策略在Q的支持下近似复制。这可以被视为对无模型设置的扩展，在所有鞅测度集中，“市场完备性”和Q的极值之间的经典设置中，这是众所周知的等价关系，没有对边缘的限制（参见，例如，离散时间的情况参见[24]），这反过来又是鞅理论中最重要结果之一的财务翻译，也就是说，极值等价于可预测的表示属性（见离散时间中的[11]，如连续时间中的[31，定理4.7，Ch.V]）。因此，在无模型环境中，了解极值度量inM（u，ν）的支持，可以生成模型，其中任何导数都可以（近似）通过半静态策略复制。我们记得Breeden-Litzenberger公式（参见。

[8] ）表示，从欧洲看涨期权的价格来看，C（K，T）=EQ[（ST-K） +]对于固定到期日T和所有履约价格K>0，可以推断潜在障碍Q的规律。实际上，在K中使用正确的导数K+C（T，K）=-Q（ST>K），对于所有K>0。除了财务动机之外，极值度量支持的特征化问题本身在数学上也是一个有趣的问题，而且历史悠久。事实上，关于给定边缘（不含鞅性质）的极值概率测度的支持有大量文献，这可以追溯到Birkhoff的一篇论文[7]，其中在有限的情况下给出了极值测度的完整描述，即两个边缘都有有限的支持。其中的主要结果证明，具有给定边缘的概率测度是极值的当且仅当其支持度不包含任何循环。随后的许多论文，例如[5、6、12、14、17、22、23、25、27、28]等，给出了有限或可数情况下的不同类型的特征，并从函数分析到组合数学。特别是[12]扩展到了可数情形Birkhoff关于支持极值测度的循环意义的结果。在一般情况下，给出具有给定边缘的极值测度的完整描述的问题仍然悬而未决。受这些文献的启发，本文从可预测表示性质的较弱形式出发，全面概括地描述了鞅情形中的极值。在具有可数支持的边缘更具体的情况下，我们定义了一个稍强的属性（称为WEP），这使我们能够专注于以M（u，ν）为单位的给定度量支持的组合属性。因此，我们提出了一个有效的条件，称为“2-link属性”和“完全可擦除”，具有很强的组合特性。

三个重要的例子满足这些标准，因此它们是极值度量：二项式树、霍布森和克里梅克的三项式树（参见[19]），以及在[4]中引入的左幕（至少在两个边缘中的一个有实体支持的情况下）。这些标准很容易实现，可以生成许多其他极端支持的示例。此外，我们引入了2-网和死锁的新概念，从而为WEP提供了一个本质上必要且有效的条件。最后，我们还研究了在鞅设置中，在没有循环的情况下，极值的表征在多大程度上是可能的（比较[25，28]）。本文的结构如下：第2节设置了框架和主要符号，而在第3节中，我们根据弱可预测表示性质给出了极值的一个特征。在第4节中，我们介绍了弱精确可预测表示属性（WEP）。第5节包含两个有效条件和示例。此外，在第6节中，我们研究了2-网、死锁和极值之间的关系。最后，第7节重点讨论了循环、极值和WEP之间的关系，第8节总结了本文。2设置和符号设u和ν为（R+，B（R+）上的两个概率定律，其中R+：=[0，∞) 表示所有正实数的集合。设P（u，ν）表示（R+，B（R+）上的所有概率测度集，边缘为u和ν，即Q（A×R+）=u（A），Q（R+×A）=ν（A），对于所有A∈ B（R+）。对于任何Q∈ P（u，ν），以下分解成立：Q（dx，dy）=Q（x，dy）u（dx），其中Q（x，dy）是概率核。我们将始终在以下假设下工作：假设2.1。

LetRxu（dx）=Ryν（dy）=1和u4ν，在凸序中，即Zc（x）u（dx）≤Zc（y）ν（dy），对于所有凸函数c:R+→ R、 设M（u，ν）表示P（u，ν）中具有鞅性质的所有概率测度集，即ZR+yq（x，dy）=x，u- a、 e.假设2.1意味着M（u，ν）是非空的（参见[21，32]）。此外，集合M（u，ν）对于测度的弱收敛是紧的（参见[3]中的命题2.4）。本文的中心概念是M（u，ν）的极值点之一，即任意概率测度Q∈ M（u，ν），如果Q=αQ+（1- α） Qfor someα∈ （0，1）和Qi∈ M（u，ν），i=1，2，然后Q=Q=Q。M（u，ν）是弱紧屈服，其极值点集是非空的（参见[2]中的推论7.66）。当没有歧义时，“Q extremal”将表示“Q extremal in M（u，ν）”。最后，对于某些概率空间上定义的任何实值可测函数(Ohm, F、 Q）我们将分别使用符号EQ（F）=Q（F）=RfdQ=Rf（x，y）dQ（x，y）表示Q下的F期望值。备注2.2。该设置允许通常的无模型金融解释如下：设（x，y）为样本空间R+的通用元素，设x（resp.y）表示应用x（x，y）=x（resp.y（x，y）=y）。因此，（X，Y）是定义在可测量空间（R+，B（R+）上的二维随机向量。在任何度量下Q∈ M（u，ν）、X和Y具有各自的定律u和ν。此外，在假设2.1下，（1，X，Y）在Q下是可分割的，因为其自然过滤。因此，它可以被视为某些风险资产的（贴现）价格过程。

此外，任何度量值Q∈ M（u，ν）规定了价格过程的完整规律，换句话说，给出了风险资产的价格模型，该模型与边际u，ν的知识以及无任意地理机会（由于鞅性质）的情况相符。3道格拉斯·林登斯特劳斯·奈马克定理及其后果在本节中，我们给出了M（u，ν）中极值的函数分析特征，并给出了自然的财务解释。我们强调，纸质文件这一部分的结果具有完全的概括性。在下一节中，需要对边缘u和ν的支撑进行更严格的假设。我们首先回顾了L（Q）子空间的下列经典结果极值和稠密性。定理3.1（Douglas【14】、Lindenstrauss【27】、Naimark【29】）。让(Ohm, F、 Q）是概率空间，F是L（Q）的线性子空间，使得1∈ F以下是等价的：（i）Q是R上所有概率测度集的极值点(Ohm, F） （不一定等于Q）使得ER（F）=所有F的等式（F）∈ F∩ L（R）；（ii）F在L（Q）中是稠密的，具有强拓扑。备注3.2。Douglas Lindenstrauss-Naimark定理在[31，Ch.V]中被用来证明布朗过滤中连续鞅的可预测表示性质（PRP）。这个定理与各种市场完备性概念相关的其他应用可以在[9，10]中找到。将该定理直接应用到我们的设置中，可以得到以下等价性，其中符号L（u）表示具有有限值u-A.s.定理3.3的所有可测函数集。让Q∈ M（u，ν）。

以下两个性质是等价的：（i）Q在M（u，ν）中是极值；（ii）弱可预测表示性质（PRP）在以下意义上成立：所有函数的集合f∈ L（Q）可表示为f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），Q- a、 s.（3.1）对于某些功能∈ L（u），ψ∈ L（ν）和h∈ L（u），密度为L（Q）。证据我们首先证明了Q下的弱PRP∈ M（u，ν）表示Q是极值。假设Q=αQ+（1- α） Qfor someα∈ （0，1）和Qi∈ M（u，ν）表示i=1，2。因此，Qi Q表示i=1，2。考虑任何函数f∈ L（Q）∩ L（Qi）使得f（x，y）=Д（x）+h（x）（y-x）-ψ（y）适用于适当的函数h、ψ、ψ和Q-a.s.，因此也适用于Qi-a.s。根据这些度量的期望，我们得到Q（f）=u（ν）+ν(-ψ） =对于i=1，2，对于满足（3.1）的所有有界函数f，Qi（f）。通过密度，我们得到Q=Q=Q，即Q在M（u，ν）中是极值。这有待于证明情况恰恰相反。为此，必须将定理3.1应用于集合f={f∈ L（Q）：f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），对于某些ψ∈ L（u），ψ∈ L（ν），h∈ L（u）}，（3.2），其中明确包含函数1。实际上，请注意，对于子空间f的这种选择，所有f的条件RFDR=RfdQ∈ F∩ L（R）表示R∈ M（u，ν）。定理3.3具有自然的财务解释。任何度量值Q∈ M（u，ν）可以看作是与边际u，ν一致的价格模型。因此，上述定理给出了极值模型，其中任何未定权益都可以（近似地）通过以自我融资的方式在基础上进行动态交易，并在一些欧洲期权中静态地（在时间1）和ψ（在时间2）进行复制。我们用一个命题来结束这一节，该命题特别给出了M（u，ν）的极值点完全由它们的支持度来表征。提案3.4。Q∈ M（u，ν）是极值当且仅当对于任何R∈ M（u，ν），带R 我们有R=Q。证据

让Q∈ M（u，ν）。假设Q不是极值，即Q=αQ+（1-α） QforsomeQi∈ M（u，ν），i=1，2，Q6=Q和一些α∈ （0，1）。因此我们有Q Q、 Nowlet Q为极值，R为∈ M（u，ν），使得R Q、 表示`=drdqt由Radon-Nikodym定理给出的相应密度。此外，我们可以选择“in L”的一个版本∞（Q） ，产生L（Q） L（R）。因此，对于任何f∈ 如（3.1）所示，L（R）表示为三（h，Д，ψ），其中一个表示为u（Д）- ν（ψ）=ZfdQ=ZfdR=Z ` fdQ，它如下`- 1与F正交，F在L（Q）中稠密。因此，我们有`=1，因此R=Q.4弱精确可预测表示性质从现在起，我们将在以下长期假设下工作：假设4.1。在R+的可数子集X和Y上支持u和ν。我们在这个离散的支持上下文中介绍一些符号。设S为x×Y的任意子集。对于（x，y）∈ S we letYS（x）={z∈ Y：（x，z）∈ S} ，XS（y）={t∈ X：（t，y）∈ S} ，andSX={x∈ X：Y∈ Y、 （x，Y）∈ S} ，SY={y∈ Y:Y∈ Y、 （x，Y）∈ S} 。我们称网格为任意集 X×Y，使得| SX |=1。如果此外，S满意度| SY |=2，则称为2网格（或二项式网格）。对于任何度量值Q∈ P（u，ν）我们将其支持定义为setsupp（Q）：={（x，y）∈ X×Y:Q（X，Y）>0}。每当S是概率Q的支持，即S=supp（Q），并且没有歧义时，我们将从符号XS（y），YS（x）中删除S，并简单地写x（y），y（x）。最后，符号| A |表示任何集合A的基数，通过对任何可数集合A进行编号（或排序），我们表示该集合作为序列的任何可能表示。我们现在介绍弱PRP的以下精确加强，这是由Mukerjee在非鞅情况下的极值的纯几何特征所激发的（参见[28]中的介绍和他的定理2.7）。这样的属性比弱PRP更容易处理（参见。