关于给定边值的极值鞅测度的支持度

为了方便读者，我们在k=2的情况下提供了证明。提案5.12（【26】）。G=（V，E）是2-退化的当且仅当其顶点集V允许阶V=（vn）n≥1这样的d（v）≤ 2和，在诱导子图hh{v，…，vn中-1} G中的i，我们有d（vn）≤ 2，每n≥ 1.证明。假设G是2-退化的。我们可以找到这样的排序方式：选择度最小的顶点，将其命名为X，然后将其从图中移除。对其余子图重复此过程并迭代。现在，假设给定了阶，并且存在一个δ（H）>2的G的诱导子图H。选择n个足够大的V（H）/{V} {v，…，vn-1} ，其中V（H）是H的顶点集，V是其顶点之一。现在，由于δ（H）>2，诱导子图hv中的v度，越南-1i比2大得多，这与排序的属性相矛盾。我们展示了如何使用2-退化图生成子集S X×Y完全符合2-link属性。首先，请注意，S可以被视为（可能是有限的）二部无向图G=（V，E），其中V=X×Y是顶点集，E=S是边集，因此E=xy是G的边当且仅当（X，Y）∈ S、 即y∈ Y（x）。出于我们的目的，让我们用顶点集X定义一个更简单的图。让GX=（VX，EX）是一个VX=X且EXis的图，这样xx∈ EXif且仅当xy和xy属于某些y的E时∈ Y，限制同一个Y不能使用两次以上。请注意，图形GXcan有多条边。此外，可以从相同的图G开始构建不同的GxC。让我们在下面的示例中说明这种构造：让Gbe如下图所示：X1X2X3Y1Y2Y3注意G满足（2LP）。

如上所述，从G中产生的一个可能的图gxp由x1x2x3给出，其他图可以通过重新标记顶点从后者获得，换句话说，这样的图是同构的。让我们表示相关的等价类。以下等效性是命题5.12和GX定义方式的直接结果。设G=（V，E）和G=（V，E）是两个图。如果存在双射η：V，则称G和Gisomorphic→ V点击xy∈ E当且仅当η（x）η（y）∈ 对于所有x，y∈ 五、这种映射称为同构（参见[13，第1.1节]）。提案5.13。设S是X×Y的子集，G是相应的图。如果Egxis 2-退化，则S（或等效G）满足（2LP）。文章[26]包含了许多k-退化（有限）图的例子，这些图可以用来生成M（u，ν）中极值测度的支持。一类相关的例子是连通3-正则图（所有顶点都有三个邻居）。这类图本身不是2-退化的，但删除它们的任何顶点都会留下一个2-退化图。生成充满图（2LP）的方法如下：给定一个顶点集VX=X的2退化图GX=（VX，EX），我们定义一个顶点集V=X×Y的图G=（V，E），通过分割任何边E=xx获得边集E∈ EXINTO某些y的两条边xy和xy∈ Y新的图G通过构造满足（2LP）。对图论中的（2LP）和2-简并的深入理解超出了本文的范围。我们推迟了对这种相互作用的研究，以便将来进行研究。5.3可擦除设置在本节中，我们为WEP提供了另一个有效条件。当添加越来越多的点时，2-link属性在路径之间施加了一种兼容性条件，这里给出的条件是基于以某种方式擦除路径。

这是由非鞅情形中的类似性质推动的（参见[28]，定理2.3）。我们从以下引理开始：引理5.14。让我们 X×Y，设U={（X，Y）∈ S：| X（y）|=1或| y（X）|≤ 2} 。然后，WEP适用于S当且仅当其适用于S\\U证明。很明显，如果WEP适用于S，那么它适用于S\\U。现在，假设WEP适用于S\\U。Let（x，y）∈ U、 首先考虑| X（y）|=1和X的情况∈ 对于某些y，例如（X，y）∈ 在这种情况下，值ψ（y）可以取为ψ（y）：=f（x，y）- ^1（x）- h（x）（y）- x） 其中，μ（x）和h（x）由WEP针对S\\U给出。另一方面，如果| Y（x）|=2且Y（x）={Y，Y}，则通过以下等式，由Y（x）上的ψ值唯一确定Д（x）和h（x）：h（x）=ψ（Y）- ψ（y）y- y、 Д（x）=x- yy年- yψ（y）+y- xy型- yψ（y）。（5.7）如果| Y（x）|=1，即Y（x）={Y}，则选择φ（x）=ψ（Y）+f（x，Y）和h（x）=0允许沿路径（x，Y）满足WEP。让我们定义子集S X×Y以下擦除变换：E1，X（S）=S \\{（X，Y）∈ S：| X（y）|=1}，Ek，y（S）=S \\{（X，y）∈ S：| Y（x）|=k}，k=1，2，最终E=E2，Yo E1，yo E1，x.definition 5.15（已擦除集和完全可擦除集）。如果E（S）=S，则称为集S已擦除。此外，如果En（S），则称为完全可擦除↓  作为n→ ∞, i、 e.对于所有（x，y）∈ S存在n∈ N使得（x，y）/∈ En（S）（根据惯例，我们设置E=id）。示例5.16（Hobson和Klimmek【19】“三项式树”（续））。Hobson和Klimmek三项式树（如示例5.7所定义）是完全可擦除的：如果x≤ aor x≥ b、 对于x∈ （a，b），根据跃迁概率的定义，| X（X）|=1。由于网格源自x∈ （a，b）是三项式网格，在应用贴图E1、xa和E1后，ywe因此剩下二项式网格，并且最终ye（S）=.示例5.17。

这是一个非平凡的完全可擦除集示例：x1x2x3x4x5x6使用完全可擦除集的定义，可以擦除上述支持，并执行以下步骤：首先，应用E1，xwe获取x1x2x3x4x5x6，同时使用E1，yand E2，ygivesx1x2x3x4x5x6。此外，可以立即应用E1，x，然后是E1，yagain，我们获得x1x2x3x4x5x6的最后一个应用E2，yand最终是E1，充分利用支持。示例5.18（最终完全可擦除支持）。通过归纳，我们将首先构建一个辅助的不可擦除的有限集合，该集合将被稍微扰动以获得完全可擦除的集合。简而言之，辅助集将只有三项式网格，它的左手点将被排序，每个右手点将正好有两条路径指向它。此外，它将在某种意义上连接，即任何右侧或左侧点将在迭代中连接到初始网格。我们从一个三项式网格S=M（x）开始，其中M（x）Y={Y，Y，Y}都是不同的，我们再附加一个三项式网格M（x），右侧点{Y，Y，Y}chosenso thaty=Y，Y=Y，和y6=yi，i=1，2，3。通过归纳，我们假设有一个具有所需性质的集sn。因此，为了继续构造，我们考虑进一步的三项式网格M（xn+1），并设置Sn+1=Sn∪ M（xn+1）。我们需要指定新网格如何与之前的点连接。设M（xn+1）={yn+1，yn+1，yn+1}（三个不同的点），前一组Sn中的右手点可以划分为（Sn）Y=Fn∪ fn其中表示Fkn：={y∈（Sn）Y：| X（Y）|=k}对于k=1，2。假设Fn6=.

因此，我们考虑以下两种情况：o| Fn |=1，在这种情况下，我们选择yn+1∈ Fn（这是唯一可用的点），而我们选择yjn+1/∈ （Sn）yf对于j=2，3.o|Fn |≥ 2，在这种情况下，我们选择yn+1，yn+1∈ Fnand yn+1/∈ （Sn）Y，因此在添加新网格后，对于j=1，2，我们有| X（yjn+1）|=2。然后，集合Sn+1具有所有必需的属性，并且满足Fn+16=. 立即设置：=∪N≥1Sn。可以很容易地检查S中的每个左手点正好属于三条路径，每个右手点正好属于两条路径，并且通过构造，每个路径都连接到初始网格M（x）。特别是，我们知道S不是完全可行的。此外，序列（xn）n≥1可严格视为递增。现在拾取SY中的任意右侧点y，该点正好属于两条路径，例如（z，y）和（z，y），并将其替换为（z，y+ε）和（z，y- ε） 式中，ε等于neithery+εnor y- ε属于SY。让S（ε）代表新集合。然后可以证明它是完全可擦除的。实际上，取任何连接x到y的路径。通过y的归纳，每个子路径（x，z）都可以被擦除，因为它要么属于二项式网格，要么满足| x（z）|=1。所以最终M（x）也会被擦除。现在选择SX中最小的元素（自（xn）n以来定义良好≥1正在严格增加），以便其网格尚未擦除。由于它也连接到xin S，因此有一条asub路径，它要么属于二项式网格，要么沿着连接到X的前一条路径满足| X（z）|=1。因此，我们可以从该子路径中进行感应擦除。迭代地应用这样的方案将完全擦除集合S（ε）。下一个结果表明，完全可擦除性意味着WEP。提案5.19。假设S是完全可擦除的。然后WEP支持S.Proof。注意，当且仅当S=∪N≥0En（S）c（约定E=id）。

因此，为了证明WEP适用于S，我们可以通过归纳法在nas上进行如下操作。第一个E（S）c=, 因此，WEP适用于n=0。假设WEP适用于En（S），并让我们证明它适用于En+1（S）cas。通过定义erasuretransformations，任意（x，y）∈ En+1（S）c\\En（S）c=En（S）\\En+1（S）满意度| X（y）|=1或| y（X）|∈ {1，2}。因此，为了将WEP从En（S）cto扩展到路径（x，y），我们可以在引理5.14的证明中进行。备注5.20。完全可擦除不是WEP的必要条件：可以坦率地检查示例5.9中的集合是否不完全可擦除。另一方面，可以证明，在某些特殊情况下，这是必要的（见命题6.29）。请注意，删除路径（x，y），使| x（y）|=1可能会阻止剩余集成为鞅度量的支持。事实上，考虑集合{（x，yi）：i=1，2}，0<y<x<y。在后半部分中，我们需要以下擦除集概念的弱化，这确实保留了鞅属性：定义5.21（1-擦除集和2-擦除集）。如果E1，y（S）=S（分别E2，y），则集合S称为1-erased（分别为2-erasedo E1，y（S）=S），或等效地，如果| YS（x）|≥ 2（分别为| YS（x）|≥ 3） 对于所有x∈ SX。备注5.22。根据上述定义，1擦除或2擦除集可能具有右手自由路径，即路径（x，y），使得| x（y）|=1，不同于擦除集S，其中sx中的任何点通过S连接到y中的至少三个点，而sy中的任何点连接到x到S中的至少两个点。这意味着擦除集在x上的投影中至少有两个点，在Y上的投影上有三个点。我们通过研究fullyerasability概念与2-link属性之间的关系来结束本节。

事实证明，在有限的情况下，它们是等价的，而当X为有限时，可以很容易地构建一个支持的示例，以满足后者而不是前者。提案5.23。假设SXis有限。那么S是完全可擦除的，当且仅当它具有2-link属性时。证据对于一些非负整数n，设| X |=n≥ 1、假设S满足2link属性。因此，S可以构造为多个集合（Sk）nk=1的并集，如下所示：（S）Xis是一个单子，并且在每一个进一步的步骤中，Skis通过添加（Sk）获得-1） Xa新点，如xk，使属性（2LP）充满。现在，从这种构造的底部开始，请注意，任何对（xn，y）都可以通过应用转换E来擦除，因为| X（y）|=1的对（xn，y）将首先被取消，然后任何其他对（xn，y）将紧随其后，因为在第一次取消后，它们将满足| y（xn）|≤ 2、迭代E将对其他每对（xk，y），y产生相同的影响∈ Y（xk），1≤ K≤ N- 1，将减少到空集。因此S是完全可行的。现在，假设S是完全可擦除的。由于SXis有限，S是完全可擦除的，当且仅当Y（S）= 对于某些n≥ 空集平凡地满足了2-link属性。现在，我们可以进行归纳。我们假设Ek（S）满足2-link性质，我们想证明Ek-1（S）也可以。通过定义擦除转换E=E2，yo E1，yo E1，x，我们已经从Ek中删除了Ek-1（S）somepair（x，y）∈ S的顺序如下：首先是满足| X（y）|=1的，其次是满足| y（X）|=1的，最后是满足| y（X）|=2的。关键的观察结果是，将它们添加到Ek（S）中可以返回到Ek-1（S）将2-link属性转移到更大的集合Ek-1（S）。因此，根据归纳原理，我们可以得出结论，S=E（S）满足2-link属性。示例5.24。

这里我们展示如何构造一个集合S X×Y，具有R+的X和Y可数子集，满足2-link属性，且不可完全擦除。我们希望支持S满足| Y（x）|≥ 3和| X（y）|≥ 2代表全部（x，y）∈ S、 我们从somex开始∈ X，Y（X）={y1,1，y1,2，y1,3}。然后再加上第二个点x∈ X \\{X}具有两个带有X的链接和一个附加的自由y点，即y（X）={y1,1，y1,2，y2,1}对于某些2,1∈ Y\\Y（x）。我们继续构造，使得X（y2,1）在X中至少有两点。因此，我们添加X∈ X \\{X，X}，例如Y（X）={y1,3，y2,1，y3,1}。到目前为止，2-link物业已全部由建筑完成。现在，考虑x的左侧自由点，即y3,1，并添加第四个点xsuch，即Y（x）={y3,1，y4,1，y4,2}，依此类推。通过迭代，我们最终将得到具有所需属性的集S。下图说明了构建的前四个步骤：x1x2x3x4y1,1y1,2y1,3y2,1y3,1y4,1y4,26 WEP的几何特征本节的目标是提供集合S的特征 X×Y满足WEP。主要结果如定理6.21所述，该定理基于死锁的新概念（在定义6.18中引入）。现在，我们在下面的定义中介绍连接的初步直观概念。给定S上的二元关系R，我们记得R的传递闭包被定义为S上包含R.definition 6.1的最小传递关系。让我们 X×Y。我们说，如果x=xor y=y，则S areneighbours中的两条路径（x，y）和（x，y）。这种关系的传递闭包是等价的。S的相应等价类称为连通子类（ofS）。

具有单个子类的集合S将被称为connected。这种连通性的概念产生了以下分解特性，这将允许我们在不损失一般性的情况下处理1-擦除连通集。提案6.2。让我们 X×Y为1擦除集，设S=∪N≥1Snbe将其分解为相互不相交的连接子类。然后每个Sn，对于n≥ 1，被1擦除。此外，WEP适用于S当且仅当其适用于每个集合Sn，n时≥ 1.证明。假设S为1擦除，且S=∪nSnis将其分解为相互独立连接的子类。自相矛盾地假设SNI不是为某个人1擦除的≥ 因此存在（x，y）∈ sn使得{y}=YSn（x）。因为S是1擦除的，所以我们有| YS（x）|≥ 2，因此存在一个点yin YS（x）\\YSn（x）。此外，（x，y）和（x，y）areneighbours，这意味着sn不能是S的连通子类。如果WEP适用于S，那么它显然适用于每个子类Snas。现在假设WEP适用于每个子类Sn，n≥ 因此每个函数f:X×Y→ Rsatis表示每个子类Sn上的WEP，即f（x，y）=Дn（x）+hn（x）（y- x）- ψn（y），（x，y）∈ 序号，n≥ 1，对于某些函数Дn，hn：（Sn）X→ R和ψn：（Sn）Y→ R、 由于子类SNAREDISINET，我们可以安全地将这些函数粘贴在一起，并得到完整集S.6.1 S-a ffine函数和2-nets：定义和属性上f的WEP。本小节和下一小节将重点讨论S-a ffine函数和2-nets的两个重要辅助概念。从现在起，我们将在以下假设条件下工作：假设6.3。s X×Y是1擦除集，即E1，Y（S）=S或等效的| Y（X）|≥ 2对于所有x∈ SX。定义6.4（S-a ffine功能）。函数ψ：SY→ 如果R是每个集合YS（x）的一个函数，即对于所有x，则称为S-a ffene∈ 存在ψ（x），h（x），ψ（y）=Д（x）+h（x）（y- x） ，则，Y∈ YS（x）。

（6.1）A fff（S）表示所有S-A ffe函数的集合。基本上，S-a ffine函数是在每个部分Y（x），x上重合的函数∈SX，具有真正的a ffne函数，其斜率和截距可能取决于x。显然，a ffne函数是任何S的S-a ffne。此外，a fff（S）是向量空间。备注6.5。注意，（6.1）中的函数Д，h是从ψ中唯一定义的，因为| YS（x）|≥ 2，这是因为S被假定为1擦除。确实，拿y，y∈ y6=y的YS（x）。作为ψS-a ffne，我们特别得到ψ（yi）=Д（x）+h（x）（yi- x） ，i=1，2。这是一个由两个方程组成的线性系统，其中有两个未知量h（x），ν（x），可以通过给出h（x）=ψ（y）来求解- ψ（y）y- y、 Д（x）=x- yy年- yψ（y）+y- xy型- yψ（y）。（6.2）本节的另一个重要组成部分是2-net的新概念，我们将在以下定义中介绍。定义6.6（2净额）。A 1擦除集A 如果每个A-A ffene函数都是A ffene，则X×Y称为2-net。直观地说，2-网是X×Y的子集，其中WEP的定义没有歧义，即模函数，因此2-网本质上具有相应的两个自由度，因此其名称。以下属性源自2-net的定义：命题6.7。每2个网络A连接一个。证据通过矛盾假设A是不连通的，即至少存在两个断开连接的子类，例如A，A。。考虑一些Ai-a ffne函数ψi，对于i≥ 由于所有i都是一个2-网，所以对于所有y，我们有ψi（y）=αi+βiy∈ （Ai）Y，对于某些常数αi，βi∈ R、 定义ψ（y）：=π≥1ψi（y）1{y∈（Ai）Y}。这是一个A-A ffne函数，它不是。因此，必须连接A。接下来的引理分别给出了2-网的一个等价特征和一个sortof稳定性性质，根据该性质，向给定的2-网添加点可以保持2-网的结构。引理6.8。