关于给定边值的极值鞅测度的支持度

集合A是2-网当且仅当对于所有ψ∈ A off（A）如（6.1）所示，我们有h（x）=h（x），（x，x）∈ （AX）。证据直接含义显而易见。让我们证明另一个方向。Letψ∈ A fff（A）并让β表示x的h（x）的公共值∈ AX。则ψ（y）=Д（x）+β（y- x） 对于某些函数Д（x），或仍然Д（x）-βx=ψ（y）-βy.对于x和x以及YA（x）∩YA（x）6= 这将产生ν（x）- βx=Д（x）- βx.由于A中的每两个点都是连接的，所以φ（x）- 对于某些常数α，βx=A上的α，证明已完成。引理6.9。设A，B是两个2-网，这样| AY∩ 由|≥ 2、然后A∪ B是2网。证据设ψ为a∪ B-a函数。设α+βy为匹配ψon的a ffne函数，γ+δy为匹配ψon的a ffne函数。自|日起∩ 由|≥ 2我们有α=γ和β=δ，因此ψ是AY上的一个函数∪ BY=（A∪ B） Y.以下两个示例阐明了2-网络和2-链接属性之间的关系。示例6.10。任何满足等式（2LP）的子集都是2-网。实际上，假设存在编号AX=（xn）n≥1如此| Y（xn）∩N-1[i=1Y（xi）|=2，n≥ 1.（6.3）为了证明A是一个2-网，我们通过归纳法进行。首先，{x}×Y（x）是一个平凡的2-网。现在假设-1： ={（xi，y）：y∈ Y（xi），i=1，n} 是一个2-net。由于（6.3）适用于所有n，我们可以应用引理6.9得到-1.∪ （{xn}×Y（xn））是一个2-网。因此，A是2网。具体而言，实施例5.10中描述的2-网提供了一个有限2-网的示例。示例6.11。示例5.9中描述的支持也是一个2-net。事实上，两个集合{x，x}和{x，x}都是2-网，它们通过两个链接相互连接。因此，它们的并集是引理6.9.6.2 S-极大2-网的2-网。在本节中，我们介绍了S-极大2-网的概念，并给出了一些性质，这些性质将在本节后面介绍。定义6.12（最大2净）。

A 2网A S是S-极大如果对于任何2-网A S确认A A、 我们有A=A。命题6.13。存在S-极大2-网。证据Zorn引理的应用（如[2]中的1.7）保证了最大2-网的存在。设A表示S中所有2-网的类，并设A的任何子类，相对于集合包含完全有序，即对于任意两个元素A，A∈ Awe Havea或 Aor A A、 我们需要证明A是A.ConsiderA的上界：=∪A.∈AA，其定义包含A中的任何2-网。总之，Ais仍然是2-网。为此，取一个S-a ffine函数f。通过定义，f在每2个净Aw上取一个a ffine函数，可能有不同的截距和坡度Дa，hA。考虑A中的两个2-网，比如A，A。因为它们是完全有序的，所以我们有 反之亦然。这两种情况都意味着ДA=ДA和hA=hA。因此，由于Ai，i=1，2，任意，我们得到f的斜率和截距在每个2净A上是相同的∈ A、 由于这对于所有S-A ffine函数f都是正确的，因此我们得出结论，Ais是2-netand Zorn引理适用。提案6.14。让A、B S是两个S-极大不同的2-网。以下属性适用：（i）对于所有z∈ SX\\AX，我们有| Y（z）∩ Y（A）|≤ 1.（ii）AX∩ BX= 和| AY∩ 由|≤ 1.证明。性质（i）是引理6.9和定义6.12的直接结果。关于（ii）中的性质：假设存在z∈ AX∩ BX。因此∪ Bis是相互联系的，因为两者都有共同点。取一个S-a ffne函数ψ。由于A和B都是2-网，这样的函数分别在A和B上，分别具有斜率和截距，分别为ДA、Ha和ДB、hB。此外，由于ax和bx有一个共同点{z}，因此ДA=ДBand hA=hb：实际上，由于每个2-网都是1-擦除的，因此我们有| Y（z）∩ AY |≥ 2和| Y（z）∩ 由|≥ 2.

因此，ψ是∪ 由于ψ是任意的，我们得到A∪ B是一个2-网，因此与a和B是最大的假设相矛盾。因此，AX∩ BX=. 现在，假设|是∩ 由|≥ 按照引理6.9的顶部进行，我们可以证明∪ B是严格大于a和B的2-网，因为它们是不相交的，所以与它们是S-极大的事实相矛盾。引理6.15。让T X×Y是分解（Ai）ki=1in k的1-擦除连通集，最大2-网为k≥ 1、让x∈ （A） X并考虑集合T=T∪ {（x，y）}其中（x，y）/∈ T和y∈ 泰。然后TDE分解成最多k个最大2-网。证据首先，我们观察到∪ {（x，y）}是T中的一个2-网。根据6.6的定义，T中的任何2-网也是T中的一个2-网，因此所有集Ai，对于i=2，k、 T中是否有2-网。由于T中的任何2-网都包含在T中的最大2-网中，因此最多有k个这样的集。备注6.16。在上述引理的情况下，新的基数可以是1和k之间的任何数字，这取决于2-网络Ai之间的连接：o如果y∈ （A） Y，则A=A∪ {（x，y）}a ffene函数正是k个最大2-网a，a，…，中的a ffene和t分解，Ak.o如果y∈ （A） y如果交点B=（A）y中有点z 6=y∩ （A） 是，然后是∪ Ais为2网。其他2个网络Ai、i的Y截面≥ 3与这个新2-网的Y-截面有一个交集，并且它的分解基数为k- 1，或包含B的t最大2-网包含其他集Ai，t的分解基数严格小于k- 1，可能的后果1.6.3饱和2-网、死锁和WEP本节我们研究WEP与下文介绍的死锁新概念之间的关系。根据定义，给定函数f的WEP仅定义为S-a ffine函数。

回想一下，如果我们有f（x，y）=Дa（x）+hA（x）（y），那么WEP（f）保持在集合a上- x）- ψA（y），（x，y）∈ A、 （6.4）对于某些函数ДA，hA，ψA。由于在2-网上所有S-A ffne函数都是A ffne，我们立即得到以下命题，其证明很简单，因此被提交。提案6.17。设f:X×Y→ R是一个给定的函数。假设WEP（f）保持在2-net A上。然后相应的分解（6.4）定义为A函数。现在让我们介绍以下死锁定义，将在本节的主要结果中使用。示例6.27将说明这种概念的重要性。我们记得，在我们的设置中，网格M是S的任何子集，其| MX |=1。如果MX={x}，我们也使用旋转M（x）=M，即M（x）={x}×Y（x）。定义6.18。让我们 X×Y。我们说任何三元组（T，x，y），其中T S和（x，y）∈ S是S中的死锁，如果|（M（x）∩ T）Y |>1，以下两个性质成立：（i）x∈ 德克萨斯州，y∈ TY，while（x，y）/∈ T，（ii）在（M（x）上为null的每个T-a ffne函数∩ T）Y，在Y处也为空。备注6.19。请注意，任何满足上述性质（i）的2-net T都可以免费满足（ii）。事实上，T是一个2-net的任意T-a ffne函数，比如ψ，实际上就是a ffne。此外，ψ在（M（x）上为null∩ T）Y，其中至少包含两个不同点，因为通过定义2-net，T也是1-erased。因此ψ在TY中处处为空，尤其是在y点。鉴于上述备注，如果定义6.18中的性质（i）在T中不成立，即对于所有对（x，y），我们将说2-net T是饱和的∈ S带x∈ TXand y型∈ TYone有（x，y）∈ T示例6.20（死锁示例）。考虑以下集合S，它取自R。帕洛蒂尼的论文【30，第4.5节】。设T=S \\{（x，y）}。X1X2X3X4Y1Y2Y3Y4Y5Y6当存在临界值y时，表示为y*, 其中T是一个死锁。

考虑（M（x）上为空的T-a ffne函数∩ T）Y={Y，Y}。这类函数在{y，y，y}、{y，y，y}和{y，y，y}上都有面积函数，因此它们可以通过它们的右值（比如u，在y）进行参数化。我们在下面的图中绘制了u=2（红色实线）和u=6（蓝色实线）的两个T-a fine函数示例。y1y2y3y4y5y*60123456（米（x4）∩ T）Y={y1，y5}和（T，x4，y6）是一个死锁。我们可以看到，无论u的值是多少，虚线都在同一水平穿过x轴，u是临界值Y*. 在这种情况下，在（M（x）上为null的任何T-a ffne函数∩ T）Y={Y，Y}在点Y（=Y）处也为空*).为了证明交叉点不依赖于u，设z为其值。根据泰雷兹定理，我们得到了thatzz=y-zy公司-z其中，zand zare T-a ffene函数在点yan和y处的值，因此z=uy-yy年-yand z=uy-yy年-y、 从而得出thatzz=y-yy年-y·y-yy年-y不依赖于u，最终我们得到y的值*通过解方程- yy年- y·y- yy年- y=y- Y*Y- Y*.注意，根据相同的推理，当y6=y时*, 任何在m（x）Y={Y，Y，Y}上为空的S-a ffne函数在（Y，Y）上必然为空，因此无处不在。这证明了Sis在非临界情况下是一个2-网。仅在这种情况下如此，因为在临界情况下存在非空的S-a ffinefunctions。我们最终可以陈述本节的主要结果。定理6.21。设S为X×Y的任意子集。如果WEP保留S，则S不包含任何死锁。相反，如果S不包含任何死锁，则存在子集（Sn）n的递增序列≥1. 使以下属性保持不变：（i）|（Sn）X |=n表示所有n≥ 1，每个SNI分解为若干个最大2-网；（ii）WEP保存在每个序列号上，对于n≥ 1.（三）∪N≥1Sn=S证明。

我们首先证明，S的WEP意味着它不包含任何死锁。让我们从矛盾的角度出发，考虑一个死锁（T，x，y），如定义6.18所示，并且让f=1{（x，y）}（x，y）。当WEP（f）成立时，设（ψ，h，ψ）为它的任何分解。特别是自f以来≡ T上的0，ψ是一个T-a ffne函数，使得ψ（y）=Д（x）+h（x）（y- x） 。现在考虑函数y 7→ Д（x）+h（x）（y- x） 。它可以写为Д（x）+h（x）（x- x） +h（x）（y）- x） 因此，三重态（Д，h，ψ）由Д=Д给出- （Д（x）+h（x）（x）- x） ），h=h- h（x），ψ=ψ- （Д（x）+h（x）（y）- x） ，也是f的分解。此外，我们有φ（x）=h（x）=0，因此T-a ffinefunctionψ在集M（x）yinty上为空，这由死锁属性（ii）索引6.18规定ψ（y）=0。因此Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y）=0，其中s1=f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y），由此产生矛盾。这完成了该定理第一部分的证明。为了证明第二部分，我们需要证明，在无死锁假设下，存在一个集合序列Sn↑ 填写报表中的属性（i）-（ii）-（iii）。根据命题6.2，我们可以在不丧失一般性的情况下假设S是连接的（参见定义6.1）。设f:X×Y→ R可以是任意函数。我们证明了f在合适的子集序列Sn上局部满足WEP 对于已宣布的属性，其执行结构如下所示。设S=M（x）。WEP在M（x）y上保持f在Sby设置（Д（x），h（x））=（0，0）和ψ（y）=f（x，y）。此外，|（S）x |=1，Sis是最大2网络。现在让我们假设f满足Sn上的WEP。因此，要么Sn=S，我们完成了，要么还有其他点xn+1，比如C：=M（xn+1）Y∩ （序号）Y6=. 事实上，如果C是空的，那么S就不会被连接，这与我们最初的假设相矛盾。Let（Ai）1≤我≤kbe—Snin极大2-网的分解。

根据推论6.24，C在每个Ai的Y截面上有两个atmost点。现在我们要将WEP（f）扩展到Sn+1=Sn∪ M（xn+1）。第一步是将其扩展到Sn∪ {（xn+1，y）：y∈ C} 。区分两种情况很有用：（a）假设| C |=1。那么对于唯一的点y∈ C有必要将φ（xn+1）=f（xn+1，y）+ψ（y）和h（xn+1）=0。（b） 现在考虑一下情况| C |≥ 2、有两种可能的子情况：（b.1）首先，假设有两个不同的点y，yin C，它们属于同一个最大2-网的y部分，我们可以假设它们在重新标注后是可能的。我们可以通过（6.2）中的公式将WEP（f）扩展到集合{（xn+1，yj）：j=1，2}，得到值ν（xn+1）和h（xn+1）。现在，M（xn+1）中不再有右手点，我们完成了，或者还有另一个点y。由于Ais饱和，y不能属于（A）y。重新标记后，我们可以假设y∈ （A） Y.由于S没有死锁，我们可以选择一个Sn-A ffne函数χ，使得χ（z）=0，对于所有z∈ （A） Y，和χ（Y）+ψn（Y）=Д（xn+1）+h（xn+1）（Y-xn+1）-f（xn+1，y）。然后，我们通过将χ分解为Sn-a ffne函数添加到Д和h中来修改Sn上的WEP（f）。请注意，由于命题6，WEP被保留。然后我们在最大2-网中分解新的集合T：=Sn∪ {（xn+1，yj）：j=1，2，3}，其中WEP（f）已被扩展。注意，由于引理6.15，这样的分解的基数小于或等于k.（b.2）秒，假设在分解（Ai）ki=1of Sn的任何最大2-网的C和它们的相交处最多有一个点。在这种情况下，我们选取两个不同的点y，y∈ C、 并通过公式（6.2）获得WEP（Д（xn+1），h（xn+1））的分解。现在的关键点是观察二项式网格Mbin={（xn+1，y），（xn+1，y）}形成了一个2-网，它将在集合T的分解中达到最大：=Sn∪ Mbin。

这是以下事实的结果： A fff（Sn），因为M（xn+1）上的A ffne函数是一个很好的函数。现在，要么在M（xn+1）中没有更多的右手点，我们完成了，要么有另一个右手点，比如y，因为S没有死锁，我们可以选择一个函数χ，使得χ（（Mbin）y）=0，χ（y）+ψn（y）=Д（xn+1）+h（xn+1）（y- xn+1）- f（xn+1，y）。然后，我们修改了T-mbin上的WEP（f），将χ分解为T-a ffne函数。最后，我们观察到，在这种情况下，新集合T的最大2-网中的分解的基数小于或等于k+1。这是由于与上面的参数相同，除了现在我们有k+1（而不是像以前一样的k），因为额外的2-net Mbin。现在，要么在M（xn+1）中没有更多的右端点（如果分解中有一个最大的2-网，那么必然是这种情况，根据推论6.24），在这种情况下，我们就完成了。否则还有另一个点y∈ M（xn+1）Y，并迭代上述步骤，以这种方式将WEP（f）扩展到Sn∪ {（xn+1，y），y∈ C} 。第二步，也是最后一步，通过设置ψn+1（y）=Д（xn+1）+h（xn+1）（y），将WEP（f）扩展到M（xn+1）的其余部分- xn+1）- f（xn+1，y）表示该集合的右侧点y。最后，我们观察到新的集合Sn+1满足|（Sn+1）X |=n+1，并且它分解了无数个最大2-网。因此，证明是完整的。备注6.22。注意，如果S X×Y不一定是1-擦除的，我们总是可以把上面的主要定理应用到集E1，X（S），它是1-擦除的。备注6.23。当sx不确定时，上述主要定理可以重新表述如下：当且仅当S不包含任何死锁时，WEP保持S。因此，在我们的公式中，死锁的作用似乎与循环在刻画具有给定边缘的测度的极值（没有[12]中的鞅性质）中的作用相同，即：。

在各自极端措施的支持下，两者都是禁止模式。关键的区别在于，在鞅情形下，y的数值似乎很重要，而不仅仅是点的连接方式（比较例6.27）。下面是在上述证明的第二部分中使用的“扩展交集引理”的陈述和证明。推论6.24（扩展交叉引理）。假设WEP适用于S，并假设A是S中的2-网。然后对于任何z∈ SX\\AX，| Y（z）∩ AY |≤ 2.证明。假设相反，则集合A∪ {（z，yi）：i=1，2}其中yi属于交点Y（z）∩ 是一个2-网，因此是饱和的。因此，十字路口不可能有第三个点，我们有一个矛盾。我们用一些简单的例子来结束本节，说明主要定理6.21的内容和“无死锁”假设所起的作用。示例6.25。考虑一个非常简单的情况，X={X，X}，Y={Y，Y，Y}，其中S中的路径在下图中给出：x1x2yy2y3这显然满足（2LP），因此WEP成立。让我们验证它不包含任何死锁。考虑具有|（M（x）的任何三元组（T，x，y）∩ T）Y |>1，（x，Y）∈ （TX×TY）\\T。我们需要证明我们可以找到一个T-a ffine函数，它在（M（x）上为空∩ T）x，而不是在点y。在本例中，具有上述属性的唯一三元组是T的（T，xi，yj）∈ {S，M（xi）}和j=3（分别为1），如果i=1（分别为2）。对于其中的每一个，我们可以检查定义6.18中的属性（ii）是否不满足。例如，考虑（S，x，y）并取任意S-a ffine函数ψ（y）=α（x）+β（x）y表示y∈ SY和x∈ X（y），在M（X）={y，y}上为空。这意味着α（x）+β（x）y=α（x）+β（x）y=0，因此α（x）=β（x）=0。现在，我们还有ψ（y）=α（x）+β（x）y=0，因此α（x）=-β（x）y。

因此ψ（y）=α（x）+β（x）y=β（x）（y- y） ，因此我们可以清楚地得到β（x）6=0。这意味着（S，x，y）不是死锁。我们同样可以对其他三元组得出相同的结论。示例6.26。示例5.9中的集合是一个最大的2-net，它完全符合OREM 6.21中的条件。因此，WEP成立。为了看到这一点，让我们考虑一个任意函数f，并寻找一个三元组（ψ，h，ψ），使得（4.1）成立。此外，对于所有i=1，…，我们将使用符号Дi=Д（xi），hi=h（xi）和ψj=ψ（yj），4和j=1，首先，请注意，我们始终可以假设（ψ，h）=（0，0），因此网格M（x）上的关系（4.1）给出了值（ψ，ψ，ψ）。M（x）分支上以M（x）Ygives结尾的相同关系依次为（Д，h），M（x）的最后一个分支给出ψ。转到M（x）（x，y）处的方程式（4.1）给出了作为h函数的ν，它在（4.1）的表达式中替代了M（x）中的两条剩余路径，因此得到了高（y- y） =ψ+已知项，和h（y- y） =ψ+已知项。对M（x）的相同分析得到h（y- y） =ψ+已知项，和h（y- y） =ψ+已知项。最后替换ψ和ψ，我们得到（h，h）中的一个线性系统，其行列式由（y）给出- y） （y）- y）- （y）- y） （y）- y） 。这样的行列式不是空的，因为将yas视为变量，最多有一个值使其为零，即y=y，点（yi）1≤我≤6被认为是不同的。因此，由于f是任意的，WEP（f）是满足的。我们记得，前面第5节中讨论的任何有效条件都不适用于该示例。示例6.27。让我们重温一下示例6.20。在临界情况下，即y=y*, 存在adeadlock，因此根据定理6.21，WEP不应保持不变。让我们直接调查一下WEP。为了简化符号，我们将所有i，j表示为fi，j：=f（xi，yj）。