关于给定边值的极值鞅测度的支持度

我们可以在不丧失一般性的情况下假设网格M（x）上的φ=h=0，给出f1,6+ψ=f1,4+ψ=f1,1+ψ=0。在第二个网格M（x）上，我们有ν+h（y- x） =f1,3+ψ，Д+h（y- x） =f2,2+ψ=f2,2- f1,1，Д+h（y- x） =f2,1+ψ。因此，通过选择ψ作为参数，上面的最后两个方程给出了ψ=（y- x） （f2,2- f1,1）- （y）- x） （f2,1+ψ）y- y、 h=（f2,2- f1,1）- （f2,1+ψ）y- y、 利用剩余的第一个，我们得到ψ=y- yy年- yψ+y- yy年- y（f2,2- f1,1）+y- yy年- y（f2,1- f2,3）。（6.5）在这一阶段，我们得到了（ψ，h，ψ）作为ψ的函数。与网格M（x）的方式完全相同，当取ψ时有一个参数，我们得到了ν=（y- x） （f3,4- f1,4）- （y）- x） （f3,3+ψ）y- y、 h=（f3,4- f1,4）- （f3,3+ψ）y- y、 所以ψ=y- yy年- yψ+y- yy年- y（f3,4- f1,4）+y- yy年- y（f3,3- f3,5）。（6.6）我们现在有（ψ，h，ψ）作为ψ的函数，因此也有ψ的函数。计算网格M（x），利用这个时间ψ有一个参数，我们得到φ=（y- x） （f4,6- f1,6）- （y）- x） （f4,1+ψ）y- y、 h=（f4,6- f1,6）- （f4,1+ψ）y- y、 屈服ψ=y- yy年- yψ+y- yy年- y（f4,6- f1,6）+y- yy年- y（f4,1- f4,5），（6.7），因此得到ψ的（ψ，h，ψ）。现在，我们有两个不同的ψ表达式（因为它们涉及沿不同路径计算的f），所以协调它们的唯一方法是调整ψ的值。

替换方程式（6.6）中ψ的表达式（6.5），我们得到ψ=y- yy年- y·y- yy年- yψ+y- yy年- y（f2,2- f1,1）+y- yy年- y（f2,1- f2,3）+y- yy年- y（f3,4- f1,4）+y- yy年- y（f3,3- f3,5）。因此，我们需要在上面ψ的表达式和（6.7）中的表达式之间保持相等，这是yieldsy- yy年- yψ+y- yy年- y（f4,6- f1,6）+y- yy年- y（f4,1- f4,5）=y- yy年- y·y- yy年- yψ+y- yy年- y（f2,2- f1,1）+y- yy年- y（f2,1- f2,3）+y- yy年- y（f3,4- f1,4）+y- yy年- y（f3,3- f3,5）。上述方程有一个解，当且仅当- yy年- y6=y- yy年- y·y- yy年- y、 否则WEP（f）无法满足。计算临界条件-yy年-y=y-yy年-y·y-yy年-通过把它看作一个方程，经过一些处理，我们得到了临界情况y=y*实施例6.20。我们的计算还表明，在非关键情况下，不存在死锁，这并不完全明显，因为使用死锁定义需要仔细检查S的每个子集T。备注6.28。如上例所示，定理6.21并没有真正简化实际中WEP的调查，因为应该为S的每个子集T验证无死锁属性。相反，它在另一个方向上起作用：如果通过直接考虑发现一些死锁，WEP无法保持。其理论价值在于将WEP转化为S子集的局部函数的性质，这说明了此类函数在这方面的重要性。6.4关于2-网的一些补充结果，在本节中，我们收集了定理6.21和扩展交集引理（推论6.24）的一些结果和补充。事实上，使用后者，我们现在能够证明，当SY足够小时，完全可擦除性和WEP是等效的：命题6.29。假设SY≤ 那么，当且仅当S可满时，WEP适用于S。证据我们已经知道（参见。

命题5.19）对于给定的集S，完全可擦除性意味着WEP。因此，必须证明相反的含义。我们可以假设，在不损失一般性的情况下，S是2擦除的，因此| Y（x）|≥ 3，对于所有x∈ SX。让x∈ SX。我们区分了三种不同的情况。（i） 情况| SY |=3：然后| Y（x）|=3，通过交叉引理5.1，在SX中不能有其他点，因此M（x）的路径是隔离的，S是完全可擦除的。（ii）情况| SY |=4：如果| Y（x）|=4，则我们可以得出上述结论。如果| Y（x）|=3，letx∈ SX。通过相交引理，| Y（x）|=3，Y（x）与Y（x）正好在两点相交。因此M（x）∪ M（x）是一个2-网，通过扩展的交集引理6.24，在SX中不可能有另一个点。现在，由于网格M（x）有一个孤立的分支，即x（y）={x}的路径（x，y），它是可擦除的，然后我们可以擦除隔离的M（x）。（iii）案例| SY |=5：如果| Y（x）|=5，我们可以得出与案例（i）相同的结论，如果| Y（x）|=4，证明与前一案例（ii）相同。如果| Y（x）|=3，则设x∈ SX。根据相交引理，| Y（x）|=4且Y（x）与Y（x）在两点相交，或| Y（x）|=3。在前一种情况下，M（x）∪ M（x）是一个2-网，在SX中不可能有另一个点。亨斯，我们的结论如上所述。在后一种情况下，我们区分两个子情况。如果Y（x）与sy（x）相交于两点，则M（x）∪ M（x）是一个2-网。因此，第三点x∈ sx具有Y（x）与Y（x）相交的属性∪ Y（x））Yin正好是两个点，我们最终得到了一个2-net，比如a，Y=Y，所以在SX中不可能有另一个点。首先检查S是否完全可擦除，从Y（x）开始，然后是Y（x）和Y（x）。如果Y（x）与Y（x）在一个点相交，则第三个点x∈ sx在两点上与Y（x）相交，在一点上与Y（x）相交，或者相反。

因此，我们最终得到了一个具有完整Y投影的2网，因此在SX中不可能有另一个点。很容易检查S是完全可擦除的，从网格M（x）或M（x）开始，其Y投影与Y（x）只有一个交点，然后继续M（x）和M（x）。以下命题是对定理6.21的轻微补充。它描述了一种情况，在这种情况下，我们可以得出结论，WEP适用于集合Sn的递增极限：命题6.30。Let（Sn）n≥1b是一个递增序列，使得WEP保持每个Sn，并且让S=∪N≥1Sn。对于每个n≥ 1，任何Sn-a ffne函数都是对Sn+1-a ffne函数的sno限制，那么WEP将保持S证明。设f是S上的实值函数，对于任意n≥ 1设fn为其对Sn的限制。然后有一些三重态（Д，h，ψ），使得f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y）on。通过归纳，假设存在一系列三元组（ψp，hp，ψp）1≤P≤n、 对于n≥ 1，使得所有1的φp+1 |（Sp）X=φp≤ P≤ N- 1如果n≥ 2，其他两个功能也一样。然后，由于WEP对Sn+1成立，我们对一些三元组（Дn+1，hn+1，ψn+1）fn+1（x，y）=Дn+1（x）+hn+1（x）（y- x）- ψn+1（y）在Sn+1上。尤其是（Дn+1- ^1n）（x）+（hn+1- hn）（x）（y- x）- （ψn+1）- ψn）（y）=0on Sn和qn：=ψn+1 |（Sn）y-ψ是一个Sn-a ffne函数。设tn+1为Sn+1-a函数，其对sni的限制为qn。我们有关于Sn+1tn+1（y）=rn+1（x）+Sn+1（x）（y- x） 对于合适的功能rn+1、sn+1。定义φn+1：=φn+1- rn+1，hn+1：=hn+1- sn+1，ψn+1：=ψn+1- tn+1，收益率νn+1 |（Sn）X=Дn+1 |（Sn）X- （^1n+1 |（Sn）X- νn）（x）=Дn，同样，我们得到hn+1 |（Sn）x=hn和ψn+1 |（Sn）Y=ψn。因此，函数Д：=limn→∞^1n，h：=limn→∞hnandψ：=limn→∞ψnarewell定义了整个集合S。实际上，对于任何（x，y）∈ S存在k≥ 1使得（x，y）∈ Sk公司。因此limn→∞Дn（x）=Дk（x），对于其他两个极限，情况类似。

最后，我们得到f（x，y）=Д（x）+h（x）（y- x）- ψ（y）在S上。最后，我们有以下结果：推论6.31。Let（Sn）n≥1是2个网络的递增序列，使WEP保持每个Sn，并设S=∪N≥1Sn。然后WEP支持S.Proof。上述命题6.30和（Sn）Y，n上的anya ffne函数的事实很容易得出结果≥ 1，是对（Sn+1）y上定义的函数的（Sn）yo的限制，具有相同的斜率和截距。7个圈和极值在本节中，我们研究了M（u，ν）中度量Q的极值与其支持的圈的存在之间的关系。这是因为我们在导言中已经提到了给定边值的极值概率（不含鞅性质）的以下广为人知的度量特征：设u，ν为具有可数支集的边值，则具有边值u，ν的测度Q为极值当且仅当其支集不包含任何循环。为清晰起见，为便于以后使用，我们在以下定义7.1中回顾了（经典）循环的相关概念。让我们 X×Y。S中的（经典）循环C是路径sc=（xi，yi）2ni=1的任何有限序列 S带n≥ 1，即：1。y2i=y2i-1，x2i+1=x2i，x2i6=x2i-1，且y2i+16=y2i，或x和y互换的相同条件；2.x=x2n（在这种情况下y=y）或y=y2n（在这种情况下x=x）和xi6=xjand yi6=yj1≤ 我≤ J- 3<2n- 注释7.2。由于循环是一系列路径，因此在循环中有一个自然顺序。对于循环中的给定路径（xi，yi），要么xi+16=xind，我们会说（xi，yi）是xi的一条输出路径，要么xi+1=xind，我们会说它是一条输入路径。我们使用约定xi+1=xif i=2n。如有必要，通过重新标记，我们可以在不失去一般性的情况下假设（x，y）是来自x的传出路径。然后，我们可以枚举从x开始的循环，如下所示：（x，y），（x，y）。

，（x2n，y2n），其中y=yand x2n=x。我们将通过点的序列直接表示循环来简化表示法，其中最后一个点按照约定与第一个点重合：（x，y，x，y，…，x2n）。注：也可以通过支撑和方向来识别周期：例如，周期（x，y，x，y，x）和（x，y，x，y，x）是相同的周期，（x，y，x，y，x）具有相同的支撑，但方向相反。Q的极值与Q的支持下无环之间等价的证明可以在[25，28]中找到。其主要思想是，如果存在这样一个循环，度量qc可以沿着该循环扰动，同时保留如下边缘：设α>0为一个参数，setQ（xi，yi）=Q（xi，yi）+(-1） iα，Q（xi，yi）=Q（xi，yi）- (-1） iα，1≤ 我≤ 2n，（7.1）和Q（x，y）=Q（x，y）=Q（x，y），否则。因此，由于α可以被选择为su fficientlysmall，因此对于k=1，2，Qk是概率度量，因此我们有Qk∈ P（u，ν），k=1，2，Q=（Q+Q）/2。其中Q在P（u，ν）中不是极值。在本节中，我们将研究在我们的鞅上下文中可以在多大程度上利用这个想法。我们将首先在我们的上下文中介绍一个非常自然的循环概念，即2网格的循环，并且我们将在本节结束时根据经典循环对这个概念进行概括。7.1 2-meshes的循环让我们从重新研究引理5.2（极值下的相交引理）的证明开始，其中我们构造了初始概率Q的扰动∈ 子组A中的M（u，ν）={（xi，yj）}i∈{1,2}，j∈{1,2,3}。事实证明，这种扰动可以从不同的角度看到。事实上，可以将其视为沿2网格循环的扰动。给定的2-网格M：={（x，yi）：i=1，2}可以清楚地视为产品空间x×Y的元素。

稍微滥用一下符号，我们有时会写出M=（x；y，y）。然后，我们以自然的方式定义了2个网格的循环：定义7.3。两个网格的循环是X×Y中的循环。因此，在两个网格的循环中集合A的分解是（X；Y，Y），（X；Y，Y），（X；Y，Y），（X；Y，Y），（7.2），或者使用应用于乘积空间X×Y的符号7.2，（X，（Y，Y），X，（Y，Y），X）。现在关键的观察结果如下：将总质量α的扰动关联到每个2网格（x；y，y）上，作为路径（x，y）上的p和路径（y，z）上的q，因此α=p+q，即q（x，y）+p，q（x，y）+q，p+q=α，对于p，q∈ [0，1]。为了使这种扰动保持鞅性质，weimposepy+qy=0，givingq=αyy- y、 p=-αyy- y、 因此，给定α，p，q有一个唯一的可能选择，它不依赖于2网格的原点。沿2个网格的循环（7.2），以保持每个点y的质量ν（y）∈ Y，我们选择以下扰动序列：α，-α、 α，-α。这也说明X上每个点的微扰总质量为零。选择足够小的α，这样的过程会产生一个新的概率度量，比如Qα∈ M（u，ν）。最后，应用具有相反符号的扰动，即。-α、 α，-α、 α，我们得到另一个概率，比如▄Qα∈ M（u，ν），使得Q=（Qα+～Qα）/2。这与Q inM（u，ν）的极值相矛盾。对于任意长度的2个网格的循环，构造完全相同。因此，我们可以将刚刚得到的结果总结如下，其中我们用x×y的子集{（x，y），（x，y）}确定x×y中的一个点（x，（y，y））。命题7.4（沿2网格循环的扰动）。让Q∈ M（u，ν）为极值。那么Q的支持度不包含任何2网格的循环。WEP替代极值也有类似的含义：命题7.5。

设S是X×Y的子集，并假设WEP对S有效。然后S不包含任何2网格的循环。证据假设WEP适用于S，且S包含2个网格的循环M，MN对于某些n≥ 2、选择任意函数f:S→ R和let（Д，h，ψ）是f asin（4.1）的分解。在任何2网格Mi=（xi；yi，1，yi，2）内，一个hasf（xi，yi，2）- f（xi，yi，1）yi，2- yi，1=h（xi）+ψ（yi，2）- ψ（yi，1）yi，2- yi，1，i=1，n、 沿着这两个网格的循环求和，请注意，只要连续的两个网格的x点（分别为一个或多个Y点）相同，h项（分别为ψ项）就会取消。因此我们得到等式0=Xi(-1） if（xi，yi，2）- f（xi，yi，2）yi，2- 易，1。自函数f:S起→ R是任意的，我们得到一个矛盾。因此，对于极值和WEP，都需要缺少2网格的循环。在这一点上，很自然地会问对方的说法是否也是正确的。不幸的是，尽管这是在鞅环境中考虑的一个自然概念，但事实证明，它既不适用于极值，也不适用于WEP，如以下示例所示。示例7.6。设X={X，X，X}和Y={yi}i=1，。。。，5be按降序排列，即x>x>x>0和y>y>0。此外，我们假设y=x，y<x<x<y。考虑以下模式：x1x2x3y2y3y4y5这不能支持具有给定边缘的极值鞅测度，因为WEP不成立。此外，还可以通过直接检查来检查它是否不包含任何2网格循环。因此，这似乎意味着2网格循环的概念太强了。

下一节的主题是找到一个更一般的模式，承认一个保持边缘和马尔丁格尔性质的扰动。7.2沿着循环池的扰动首先，我们观察到，如果概率测度在M（u，ν）中不是极值，那么在P（u，ν）中也不是极值，因此在其支持下会有一个经典循环（参见[25，28]）。我们知道，一个单参数微扰自然地附加到一个循环上，如（7.1）所示，以这样的方式，边缘被保留。这一单一扰动也不可能保持鞅性质：实际上，周期x部分任意点x的鞅条件读数为±α（y- y） =0，其中yand是y中的两个不同点，因此路径（x，y）和（x，y）属于循环。我们将要利用的思想是，以适当的方式组合多个循环应该为扰动添加足够多的自由度，以完善鞅性质。7.2.1重新审视2网格周期作为一种预热，我们根据经典周期重新审视了2网格周期的概念。考虑2个网格的循环M，M2n，对于某些n≥ 1，如定义7.3所示。具有相同Y截面的两个网格Mi，Mi+1的每个连续对可被视为经典循环Ci（长度为4），因此长度为2n的两个网格的循环可被视为一组长度为4的n个经典循环。如果我们向（7.1）中的每个周期附加一个非常小的扰动参数αi>0，则边缘将被保留。我们对任何循环Ci的点使用以下符号：其左手点由（Ci）X={xi，xi+1}给出，而右手点是（Ci）Y={yi，1，yi，2}。请注意，循环性质特别意味着，对于所有i，yi，2=yi+1,1。让我们检查鞅性质是否在上述参数αias给出的扰动下也保持不变。

我们从一个左手点x和一个循环C开始。CW的另一个左手点是x，也是循环C的左手点XO。当且仅当-α（y1,1- y2,1）+α（y2,1- y2,2）=0，对于其他点也是如此。最终我们得到了xas点的鞅条件-αn（yn，1- yn，1）+α（y1,1- y2,1）=0。关键的观察结果是，由于循环特性，最后一个方程是由n- 1以前的。事实上：0=nXi=1αi（（yi，1- 易，2）- （易，1- yi，2））=-α（y1,1- y2,1）+α（y2,1- y2,2）+···+(-αn（yn，1- yn，1）+α（y1,1- y2,1））。因此我们得到一个n的系统- 1具有n个未知数的方程，在这种情况下可以通过归纳法轻松解决，例如，将α作为自由参数。因此，我们得到了同时保持边值和鞅性质的扰动。7.2.2推广到任意循环我们现在可以通过以下方式将之前的模式推广到任意长度的循环：考虑n个经典循环，i=1，n、 任意长度的每一个，其性质是圈的X-截面的并集正好包含n个不同的点X，xn，即Sni=1（Ci）X={X，…，xn}。设γi，j=yi，j- yi，j+1是从xjan流出路径的右手点与进入路径的右手点之间的差异，toxjalong循环Ci。我们从一个关于WEP和某些子集的特定循环模式的语句开始 X×Y：提案7.7。假设X×Y中的集合S包含，对于某些n≥ 2，一组n类循环，如下所示：1|Sni=1（Ci）X |=n；循环是自由的，即每个循环C包含一条不属于任何其他循环Ck，k 6=j的路径。那么WEP不适用于S证明。假设WEP（f）适用于任何函数f。设Hj为（y）的系数- x） 在连接到点xj的WEP分解中。