演习边界XVA

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英文标题：
《XVA at the Exercise Boundary》
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作者：
Andrew Green and Chris Kenyon
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  XVA is a material component of a trade valuation and hence it must impact the decision to exercise options within a given netting set. This is true for both unsecured trades and secured / cleared trades where KVA and MVA play a material role even if CVA and FVA do not. However, this effect has frequently been ignored in XVA models and indeed in exercise decisions made by option owners. This paper describes how XVA impacts the exercise decision and how this can be readily evaluated using regression techniques (Longstaff and Schwartz 2001). The paper then assesses the materiality of the impact of XVA at the exercise boundary on swaption examples.
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中文摘要：
XVA是交易估值的重要组成部分，因此它必须影响在给定净额集中行使期权的决定。无担保交易和担保/清算交易都是如此，其中KVA和MVA起着重要作用，即使CVA和FVA不起作用。然而，在XVA模型中，甚至在期权所有者做出的行使决策中，这种影响经常被忽视。本文描述了XVA如何影响运动决策，以及如何使用回归技术轻松评估（Longstaff和Schwartz 2001）。然后，本文评估了XVA在行权边界对掉期期权示例的影响的重要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

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关键词：XVA Quantitative Applications Optimization QUANTITATIV

演习边界处的XVA Andrew Green*Chris Kenyon+2016年9月24日版本0.8AbstractXVA是交易估值的重要组成部分，因此它必须影响在给定净额结算集中行使期权的决定。这适用于bothunsecured Trade和secured/cleared Trade，其中KVA和MVA起着重要作用，即使CVA和FVA不起作用。然而，在XVA模型中，甚至在期权所有者做出的行使决策中，这种影响经常被忽视。本文描述了XVA如何影响运动决策，以及如何使用回归技术轻松评估（Longstaff和Schwartz，2001）。然后，本文评估了XVA在运动边界对互换期权示例的影响的重要性。1简介XVAS已成为衍生工具估值中日益重要的一部分（例如，见Kenyon和Green，2016年，以及其中的参考文献）。因此，XVA也应成为期权行使决策的一部分，除非在期权行使后立即进行现金结算。百慕大和美式期权的无行使价值或延续价值将包含与不行使期权相关的XVAs，而行使价值将包含与行使期权相关的XVAs。因此，XVAs的存在将明显改变选项的运动边界。这对于以长期到期为基础的交易（如实物结算的欧洲掉期期权）来说可能意义重大。因此，基本的期权行使标准是vex（t）>Vnoex（t）（1）*联系人：andrew。green2@scotiabank.com.安德鲁·格林（AndrewGreen）是丰业银行（Scotiabank）董事总经理兼XVAQuant主管TM 在伦敦。本文中表达的观点是作者的个人观点，不一定反映丰业银行的观点TM. TM 新斯科舍银行的商标，根据许可证使用。

有关商标的重要法律信息和其他信息可在此处访问：http://www.gbm.scotiabank.com/LegalNotices.htm+联系人：chris。kenyon@lloydsbanking.com所表达的观点仅为作者的观点，不应归因于其他表述。不保证出于任何目的。使用风险自负。例如，以现金结算的欧洲掉期期权在行权后0至2天之间以现金支付结算。与如此短的时间相关的XVAs可能不是实质性的。其中，Vexis为XVA自由行使价值，Vnoexis为XVA自由无行使价值，替换为BVEX（t）>bVnoex（t）（2）Vex（t）+Uex（t）>Vnoex（t）+Unoex（t）（3），其中BV为经济价值，U为估值调整。考虑到XVAs导致的练习边界变化，那么选项值本身也将发生变化。因此，XVAs影响期权决策和期权估值。随着估值受到影响，隐含期权微笑也将发生变化。此外，在某个时间t<t，对交易进行估值需要一个模型，以估计交易边界的变化。这种转变是由futureXVAs决定的，futureXVAs本身就是期望值，因此很明显，需要进行前向条件期望值计算。这当然是计算上的挑战，通常使用回归技术来实现。不幸的是，一般来说，XVA调整是按大于单个交易的单位计算的。例如，CVA/DVA和FVA是在净额设置级别计算的，而KVA包括在净额设置和投资组合级别计算的元素。这意味着需要至少在净额结算设定水平上对最佳练习进行评估。因此，应考虑方程式（2）适用于净额结算集，而非单个交易。历史上，XVA是作为对主要投资组合价值的估值调整单独计算的。

在期权产品的情况下，根据方程式（1）将最优行使编码到估值模型中，而通常不编码到XVA模型中，XVA模型对期权进行估值，就好像XVA对行使没有影响一样。这显然是不正确的，并且存在问题，原因有很多：o包括XVA在内的交易组合的总估值将是错误的。o如果XVA没有考虑到次优行使和潜在损失，行使期权的决定可能是不正确的在接近行权日期的时期内，期权的风险管理也将是错误的，因为组合估值和XVA敏感性将是错误的。本文通过提出模型来纠正这个问题，该模型通过使用基于回归的技术来解释XVA在期权行权决策中的影响。本文清楚地表明，XVA是行使决策中的一个重要因素，因此，在基础交易的XVA很重要的情况下，对所有期权进行估值。这包括在CSA下交易的期权和清算的交易，其中初始保证金和保证金估值调整（MVA）起着作用。举例说明了典型交易和交易对手投资组合的数字影响，以便评估XVAe影响对行权边界的影响程度。所选示例如下：1。无担保实物结算的欧洲掉期期权。2、实物结算的欧洲掉期期权，掉期已清算，因此受制于MVA。尽管监管资本框架包括适用于投资组合层面的杠杆率等要素，但正如塔什（2008）所示，可以将资本适当分配给投资组合。

Green和Kenyon（2014）证明，监管资本可以分配给净值集，包括杠杆率。2以XVA为行使边界对期权进行定价2.1在XVABurgard和Kjaer（2013）在场的情况下，根据Green et al.（2014）和Green and Kenyon（2015）的扩展，得出了在交易对手风险、资本和初始保证金存在的情况下，经济价值bV的PDE：0=bV公司t+σSbV公司S- （γS- qS）SbV公司S- （r+λB+λC）bV+gCλC+gBλB- hλB- sXX型- γKK+rφK+sIBIB- RICC（4）bV（T，S）=H（S），（5），其中表1总结了符号，交易对手（C）和发行人（B）违约的结算条件分别由bV（T，S，1，0）=gC（MC，X）（6）bV（T，S，0，1）=gB（MB，X）（7）给出，其中在标准结算条件下，gC和GBA分别由，gC=RC（V）给出- 十） ++（V-X）-+ X（8）gB=（V- 十） ++RB（V- X）-+ X（9）在之前的工作中，下一步是使用Black-Scholes PDE分离无风险价值V，从而得出估值调整U的表达式。然而，在期权行使决策中必须考虑XVA的情况下，直接求解经济价值更合适。

因此，我们可以应用Feynman-KacParameter描述bv（t，S）衍生工具或衍生工具组合的价值（包括估值调整）V衍生工具或衍生工具组合的无风险价值（不包括估值调整）U估值调整x股票基础抵押品r无风险利率r交易对手债券收益率r x抵押品头寸收益率γSStock股息Yieldqs股票回购利率λ交易对手债券的有效融资利率λC=rC- qCλb银行违约的潜在概率（风险率）sX抵押品利差，sX=rX- rh发行人违约时的边际误差衍生工具支付资本要求γK（t）资本成本（构成资本的资产本身可能有股息收益率，这可以纳入γK（t）φ可用于衍生工具资金的资本部分过账给交易对手的初始保证金（假设在一个综合账户中持有）i从交易对手收到的初始保证金（假设在独立账户中持有）。

请注意，如果交易对手是CCP，则IC=0已过账初始保证金收益率收到初始保证金收益率过账初始保证金收益率sIB=rIB- rgB、GCB和CRB违约的结算条件、RCB和CSF融资利差的回收率sF=（1- RB）发行人债券的lambdabrb收益率，回收率RB，RB=r+表1：XVA模型中使用的符号。XVAαβγδ估值调整CVA（1- RC）λCr+λC+λBV（u）+CreditFVA Sfitto V（u）FundingColvaxSditto X（u）CollateralColvaicDitto IC（u）MarginKVAγK- rBφ同上K（u）CapitalMVA sF- SIBDITO IB（u）保证金表2：方程式（11）中的一般值，用于在违约和标准结算条件下无短缺的半复制融资策略。定理直接应用于方程（4）中的偏微分方程，给出bv=Ethe-车辙（r（s）+λB（s）+λC（s））dsH（s）| Fti-ZTtλC（u）e-车辙（r（s）+λB（s）+λC（s））dsEt[gC（u）]du-ZTtλB（u）e-Rut（r（s）+λB（s）+λC（s））dsEt[gB（u）]du+ZTtλB（u）e-车辙（r（s）+λB（s）+λC（s））数据集[h（u）]du+ZTtsX（u）e-车辙（r（s）+λB（s）+λC（s））dsEt[X（u）]du+ztric（u）e-Rut（r（s）+λB（s）+λC（s））dsEt[IC（u）]du+ZTte-车辙（r（s）+λB（s）+λC（s））dsEt[K（u）（γK（u）- rφ）]du-ZTtsIB（u）e-车辙（r（s）+λB（s）+λC（s））dsEt[IB（u）]du。（10） 2.2使用Longstaff-Schwartz计算远期XVAs为了评估方程式（10）中的预期，有必要根据方程式（2）计算期权行权日的经济价值。这意味着需要计算正向XVA值，但在继续定义机制之前，有必要定义一个通用的XVA函数，XVA（α、β、γ、δ）=-ZTtα（u）e-Rutβ（s）dsEt[γ（u）δ]du（11），由Burgard和Kjaer（2013）定义，Green等人。

（2014）和Green和Kenyon（2015）对于无短期违约的半复制融资策略，参数如表2所示，尽管这种通用形式也涵盖了方程式（10）中的积分。方程（11）可以离散形式写在时间分割t=t。。。，ti。。。，tN=T使用梯形规则（或任何合适的替代数值积分方案），XVAj（T）=-NXi=1αj（ti-1） 埃鲁蒂-1βj（s）dsEt[γj（ti-1） δ]+αj（ti）eRutiβj（s）dsEt[γj（ti）δ]iti，（12），其中j为各个XVA项编制索引，以及ti=ti- ti公司-因此我们可以写eu（t）=MXj=1NXi=1wijE[γj（ti）δj | Ft]。（13） 回想一下方程式（2）给出的XVA存在时的最佳运动条件。现在很明显，为了在将来的某个练习日期评估这些XVA值，我们需要评估形式的条件期望值，E[γj（ti）δj | Ft]（14）这样的条件期望值很容易通过Green和Kenyon（2014）以及Kenyon和Green（2015）中描述的回归技术进行估计，实际上，Kenyon和Green（2015）描述的通用回归框架在这种情况下具有相当大的优势。如果我们使用具有N个时间步长的蒙特卡罗模拟和指数N的期权练习，那么我们必须评估，Uex（tn）=MXj=1NXi=1wijE[γexj（ti）δj | Ftn]（15）unonex（tn）=MXj=1NXi=1wijE[γnoexj（ti）δj | Ftn]（16），也就是说，我们必须获得2×（N）的回归近似值- n） ×M条件预期。对于Kenyon和Green（2015）的一般方法，这仅仅意味着在用于确定基本贸易估值的现有回归基础上再进行这些额外回归。当然，请注意，这些回归现在是针对γj（ti）的，而不是单个贸易值。通过简单修改Longstaff-Schwartz回归中的反向归纳步骤，可以调整调整后的练习边界，其中考虑到练习时的XVA。

在第二次正向蒙特卡罗模拟中，在期权行权日期，行权决策使用方程（2）以及方程（15）和（16）的回归近似值进行简单评估。此外，需要强调的是，该回归适用于相关投资组合中的所有交易。2.3投资组合的复杂性本文的重点是由于信贷、融资和资本效应，最优行使边界的变化。即使是单一的欧洲期权进行实物掉期交易，也可以观察到这一点，正如我们在第3节中的数字示例所示，这种影响是重要的。对投资组合（潜在的全银行范围）问题的全面处理超出了本文的范围，但我们在此提供了一个概要。在高层次上，投资组合解决方案与单一交易的解决方案相同，即使用反向归纳法。对投资组合案例建模的关键是正确识别决策状态空间。考虑两种欧洲利率掉期（IRS）转换为实物掉期，例如3Y-into-5Y（3x5）和2Y-into-4Y（2x4）。在最大投资组合到期日（8年），如果3x5已行使，则5年IRS将到期。在3x5的行使日期，决定将受到2x4是否行使的影响。因此，8Y处的决策状态空间有四个值{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，其中第一个指标表示是否执行了2x4，第二个指标表示是否执行了3x5。因此，我们可以看到，n个欧式实物期权产生了一个决策状态空间，其中有n个状态用于向后归纳算法。或者，考虑两个百慕大IRS进行实物掉期交易，每年的行使日期为1Y，第一次行使时间为7Y（因此最后一次行使日期为6Y）和7Y xY掉期，其中x是行使年份。在7Y年末，两个实物掉期可能已经到期。

每次物理交换可能是六种可能性之一。因此，n百慕大到物理选项中，每个选项都有m（i）个练习日期，为反向归纳算法生成一个具有Qni（m（i）+1）个状态的决策状态空间。有效处理portfolioproblem的这些指数大小的决策状态空间超出了本文的范围。它是量子计算的一个潜在应用领域。然而，从概念上来说，一切都没有改变——我们仍在应用反向归纳法。3数值示例在本节中，我们考虑两个示例，1。无担保实物结算的欧洲掉期期权。在这种情况下，与无担保衍生品相关的XVA，即CVA、FVA和KVA，将适用于基础掉期。2、实物结算的欧洲掉期期权，掉期已清算，因此受制于MVA。在这种情况下，初始保证金的存在将限制交易对手的敞口，因此CVA、FVA和KVA将很小。然而，在MVA中，初始利润的融资成本变得非常重要。这是一个重要的案例，在引入初始保证金之前，担保交易的XVAs常常被忽视或被认为是次要的。使用第3.1节所述的模型设置。第3.2.3.1节中给出了数值结果，建立了一个利率模型，该模型是一个带有CIR随机波动率的移位2因子LMM。远期利率动态由dln（t）=…+（Ln（t）+sn）px（t）λn（t）。dW（t）（17），其中随机波动率对所有远期利率都是常见的，并遵循CIR过程：dx（t）=θ（1- x（t））dt+η（t）px（t）dZ（t）（18）dZdW=0（19）x（0）=1（20）这是Numerix CrossAsset中可用的标准模型，详情见Mihai（2013）。该模型根据2015年7月31日的英镑数据进行了校准，采用了双曲线设置，即SONIA贴现。