解耦随机波动率的短期和长期行为

值得强调的是，由于G通常是一个非半鞅，而且其参数值确实与粗糙波动率建模相关，因此（2.4）中的随机积分不能定义为It^o积分，但需要使用pathwise Young积分（Dudley和Norvaisa，2011），这需要对v的粗糙度进行一些额外的假设。在柯西过程G粗糙的情况下，这些假设变得很严格，不幸的是，例如，v不能是半鞅（具有非零二次方差）。总之，Cauchy类提供了一个将粗糙度和记忆属性解耦的方便模型。由于Cauchy类的特征是封闭形式的ACF，因此很容易使用它。此外，正如我们将在下面的预测实验中看到的，使用柯西类模型得出的波动率预测表现相当好。然而，这类模型不容易超越高斯性，这限制了其作为对数波动率模型的适用性。接下来，我们提出了一个不同的建模框架，它很容易适应非高斯性。2.1.2布朗半平稳过程一个能够捕捉我们所有需求的随机过程，包括粗糙度、强持久性、平稳性和非高斯性，这就是布朗半平稳过程（BSS），Barndor Off-Nielsen和Schmiegel（2007、2009）引入了该过程。此过程通过移动平均表示XT=Zt定义-∞g（t- s） vsdWs，t≥ 0，（2.5），其中W=（Wt）t∈Ris是定义在R，g：（0，∞) → R是平方可积核函数，v=（vt）t∈Ris是一个适应的协方差平稳波动（波动）过程。注意，当v是确定性的时，X是高斯的，而随机v使X非高斯的。

特别地，当v独立于W时，我们有xt |（vs）s≤t型~ N0，Z∞g（x）vt-xdx公司,表明XT的边缘分布是一个正态均值-方差混合，条件方差由v和g控制。Barndor ff-Nielsen等人（2013）表明，当g由所谓的gamma核给出时（下面的示例2.2），我们可以选择正态逆高斯（NIG）分布作为X的边缘分布。在上述假设下，过程X已经得到了很好的定义，并且具有协方差统计性。对于平稳性，从-∞ 在（2.5）中是至关重要的。现在，我们将介绍关于核函数g的性质的附加假设，这些假设使我们能够推导关于X.（A1）的一些α的理论结果∈ (-1/2，1/2）\\{0}，g（x）=xαL（x），x∈ （0，1），（2.6）其中函数是连续可微分的，以零为界，函数在零处缓慢变化，即limx↓0L（tx）L（x）=1表示所有t>0。此外，微分Lof Lsaties | L（x）|≤ C（1+x-1） ，x∈ （0，1），对于某些常数C>0。（A2）函数g与导数g连续可微，导数g最终单调且满足∞g（x）dx<∞.在本文的早期版本中(https://arxiv.org/abs/1610.00332v2)，我们表明，NIG分布似乎很好地符合对数波动率的经验分布，尤其是在日内时间尺度上。这是BSS框架的一个鼓舞人心的特性，并以此为指导来指定波动性的波动性模型是一种很有希望的方法，但超出了本研究的范围。我们参考Bingham等人。

（1989）对缓慢变化（和规律变化）功能的广泛处理。（A3）对于某些λ≥ 0和γ∈ R、 当λ=0，g（x）=e时，γ>1/2-λxx-γL（x），x∈ （1，∞), （2.7）其中，Lis在整体上缓慢变化，且以零为界，且∞ 在任何时间间隔。假设（A1）和（A3）重新定义了早期的假设，即g是平方可积的。实际上，在λ=0的情况下，所谓波特边界的简单应用（Bingham et al.，1989，定理1.5.6（ii））表明α>-根据规范（2.6）和（2.7），1/2和γ>1/2是g可平方积的充分条件。类似地，在λ>0的情况下，条件α>-1/2和γ∈ R、 在（2.6）和（2.7）下，平方可积性的证明。假设（A1）、（A2）和（A3）与Bennedsen et al.（2017）中使用的假设相似，唯一的区别是（A3）与该论文中的相应假设相比，稍微更具体一些。以下命题表明，在假设（A1）和（A2）下，（2.5）定义的BSS过程X的粗糙度指数为方程式（2.1）意义上的α。其结果是对Bennedsen et al.（2017）中的命题2.1进行了前瞻性的改编，我们参考该论文进行证明。下面，我们用ρX表示X的自相关函数。命题2.1。如果核函数g满足（A1）和（A2），则1- ρX（h）~2α+1+R∞（x+1）α- xαdxR公司∞g（x）dx！L（| h |）| h | 2α+1，| h |↓ 0.如（A3）所述，核函数g在整体上的尾部行为控制X的长期记忆特性。我们首先考虑λ=0的情况，其中指数阻尼因子n（2.7）消失。在这种情况下，参数γ控制BSS过程X的渐近记忆性质。命题2.2。

假设核函数g满足（A3），λ=0，且rg（x）dx<∞.（i） 如果γ∈ （1，∞), 然后ρX（h）~R∞g（x）dxR∞g（x）dxL（| h |）| h|-γ、 | h |→ ∞.（ii）如果γ∈ （1/2，1），然后ρX（h）~R∞x个-γ（1+x）-γdxR∞g（x）dxL（| h |）| h | 1-2γ，| h |→ ∞.备注2.1。在临界情况γ=1时，ρXis的渐近行为在（A3）下是不确定的，需要对慢变函数L进行额外假设。备注2.2。从命题2.2可以看出，如果核函数g满足λ=0的（A3），则产生的BSS过程将具有自相关函数，该函数随h多项式衰减→ ∞. 实际上，如（2.2）所示，让多项式衰减率用β表示，当γ>1时，我们看到γ=β，而β=2γ-γ时为1∈ （1/2，1）。由此也可以得出，如果γ∈ （1/2，1），然后Z∞ρX（h）dh=∞,i、 例如，X具有长内存属性。与λ=0的情况相反，λ>0的假设（A3）允许模型的自相关性以指数速度衰减到零，导致内存不足，如以下结果所示。提案2.3。假设核函数g满足λ>0和γ的（A3）∈ R、 Suchthatg（x）dx<∞. 然后ρX（h）~R∞g（x）e-λxdxR∞g（x）dx！e-λ| h | h|-γL（| h |），| h |→ ∞.备注2.3。假设（A1）是RG（x）dx<∞ 建议2.2和2.3。幂律核函数是满足（A1）、（A2）和（A3）的核函数的一个例子，这将在后面对我们很重要。示例2.1（幂律内核）。设g为幂律核g（x）=xα（1+x）-γ-α、 x>0，α∈-,, γ∈, ∞. （2.8）Bennedsen等人（2017，示例2.2）表明，该核函数确实满足（A1）、（A2）和（A3）。特别是，如命题2.2所述，利用该核函数，BSS过程X具有粗糙度指数α和由γ控制的记忆特性。

在下面，我们将使用幂律内核的BSS进程称为幂BSS进程。稍后，我们将需要功率BSS过程的相关结构。根据v的协方差平稳性，一般BSS过程（2.5）的自协方差函数iscX（h）：=Cov（Xt，Xt+h）=E[v]Z∞g（x）g（x+| h |）dx，h∈ R、 （2.9）由此我们推断，当g如（2.8）所示给出时，我们有cx（0）：=V ar（Xt）=E[V]Z∞x2α（1+x）-2γ-2αdx=E[v]B（2α+1，2γ- 1） ，其中B（x，y）=Rtx-1（1-t） y型-1dt=R∞德克萨斯州-1（1+t）-x个-ydt是β函数（例如，Gradshteynand Ryzhik，2007，公式8.380.3）。为了计算相关函数ρX（h）=cX（h）/cX（0），我们采用（2.9）的数值积分。注意，ρxd不依赖于E[v]。满足方程式（A1）、（A2）和（A3）的核函数的另一个例子是gamma核，这在续集中也很重要。示例2.2（Gamma内核）。设g为伽马核g（x）=xαe-λx，x>0，α∈-,, λ∈ （0，∞) ,满足（A1）、（A2）和（A3），如Bennedsen等人（2017年，示例2.1）所示。利用该核函数，过程X具有粗糙度指数α和由λ控制的记忆特性，asper命题2.3。在下面，我们将使用gamma内核将BSS进程称为gamma BSS进程。我们还需要Gamma BSS过程的相关结构。我们很容易发现cx（0）：=V ar（Xt）=E[V]Z∞x2αe-2λdx=E[v]（2λ）-2α-1Γ（2α+1），其中Γ（a）=R∞xa公司-1e级-xdx是gamma函数。对于一般h∈ R、 我们使用Gradshteyn和Ryzhik（2007，公式3.383.8），cX（h）：=Cov（Xt+h，Xt）=E[v]Γ（α+1），得到了自方差函数√π|h | 2λα+1/2Kα+1/2（λ| h |），其中Kν（x）是第三类带指数ν的修正贝塞尔函数，在x处进行评估（参见Gradshteyn和Ryzhik，2007，第8.4节），自相关函数可以使用等式ρx（h）=cX（h）/cX（0）计算。

我们注意到，Cx是Mat'ern协方差函数（Mat'ern，1960；Handcock和Stein，1993），广泛应用于许多统计领域，例如空间统计、地质统计和机器学习。备注2.4。这两个核函数的例子说明了长内存和短内存之间的理论区别。特别是，根据命题2.3，伽马BSS过程遵循ρX（h）~ c·e-λhhα，h→ ∞,i、 例如，其内存较短，而功率BSS过程将具有多项式衰减的ACF，尤其是当γ<1时的长内存特性，参见备注2.2。虽然从理论上讲，gamma-BSS过程的内存较短，但通过选择非常小的λ值，可以指定具有非常高持久性的过程，模拟有限时间间隔的长内存。从经验上看，这两个BSS模型使我们能够评估使用具有丰富长记忆的模型是否有任何收益，而不是使用具有（形式上）短记忆的高度持久性模型，特别是在预测准确性方面。备注2.5。由于Barndor Off-Nielsen和BasseO\'Connor（2011）得出的移动平均表示，分数Ornstein-Uhlenbeck过程是BSS过程的特例（2.5），因此FSV和RFSV模型是本节中制定的一般模型的特例。也就是说，由于前面讨论的这些模型的局限性，我们在本文中不分析这些模型。2.2对波动性的影响以下结果表明，当对数波动性是BSS过程时，粗糙度和记忆属性将延续到波动性过程本身。与定理2.1（i）有关的一个结果，如孔德和雷诺（1998）在X是fBm的情况下给出的。

我们这里的结果是针对高斯BSS过程的，即当vt=v>0对于所有t都是常数时，但我们推测，在适当的假设下，这些结果对于更一般的BSS过程也是适用的。设σ=（σt）t≥0be如（2.3）所示，ρ（h）=Corr（σt+h，σt），h∈ R、 以下定理的第一部分表明σ继承了BSSprocess X的粗糙度特性。第二部分表明，长期记忆特性也是如此。定理2.1。设σ由（2.3）给出，其中X是满足（A1）、（A2）和（A3）的BSS过程，对于所有t，vt=v>0。然后，（i）为| h |→ 0,1- ρ（h）~ c | h | 2α+1L（| h |）。（ii）as | h |→ ∞,ρ（h）~ c·ρX（h）。2.3随机波动率模型的模拟快速有效地模拟随机波动率模型有利于许多原因。例如，有人可能希望进行模拟实验来评估模型的属性，或者有人可能希望通过蒙特卡罗模拟对衍生品进行定价。我们在此讨论如何更轻松有效地模拟我们的模型。然而，不应想当然地认为粗糙波动率模型的数值有效模拟方法，如本文所考虑的方法。粗糙波动率模型通常是非马尔可夫模型，这取决于整个过程的历史，这使得传统的递归模拟方法不适用。此外，BSS过程非高斯性的可能性带来了进一步的问题，因为这排除了基于高斯性的模拟方法，如Cholesky分解和循环嵌入方法（例如，Asmussen和Glynn，2007，第XI章）。要模拟的模型isSt=SexpZtσsdBs-Ztσsds,σt=ξexp（Xt），其中S>0，ξ>0，B是布朗运动，X是我们的对数波动率候选模型之一，如第2节所示。我们可以使用积分的黎曼和近似在网格上模拟S。

为此，我们需要首先在同一网格上模拟B和σ，这归结为模拟B和X。由于我们通常希望使这些过程相互关联，为了捕获平均效应，有必要联合模拟B和X。当X为高斯时，例如Cauchy过程或具有恒定波动性的BSS过程，可以使用观测协方差矩阵的Cholesky分解（Asmussen和Glynn，2007，第311-314页）精确模拟。此外，还可以计算高斯双变量过程（B，X）的协方差结构，并联合模拟B和X，这样就可以解释这两个过程之间的相关性。这是拜耳等人（2016）采用的方法。然而，正如作者也指出的那样，Cholesky分解在计算上是昂贵的，如果要模拟的观测数量很大，它甚至可能变得不可行。相反，我们建议在高斯情况下使用循环嵌入方法（Asmussen和Glynn，2007，第314-316页），或在一般情况下使用Bennedsen等人（2017）的混合方案。混合方案是为BSS过程量身定制的，其优点是：（i）模拟速度快，在大多数情况下准确（虽然近似），（ii）允许通过波动率（波动率）调制实现X的非高斯性，以及（iii）包含杠杆，即Nx和B之间的相关性，非常简单。我们参考Bennedsen等人（2017）在假设（A1）、（A2）和（A3）下对BSS processX混合方案的阐述，由（2.5）定义。作者在论文（Bennedsen et al.，2017，第3.1节）中解释了如何合并v和W之间的相关性，同时可以使用相同的程序引入W和B之间的相关性，或者实际上，模型的W、B和v.3估计之间的相关性。我们为第2节的模型提出了两步估计程序。

首先，我们使用比例关系（2.1）半参数估计粗糙度参数α，然后使用参数矩方法估计其余参数。混合方案需要截断积分表示（2.5）“近似”的完整性。如果内核函数的衰减速度非常慢，那么这种截断可能会导致进程的内存属性方面的精度损失。我们考虑α的两个不同估计量，详细信息见第3.1节。Firstestimator在文献中很有名（例如，Constantine and Hall，1994；Gneiting et al.，2012），它依赖于简单的OLS回归。第二种估计是新颖的；它依赖于非线性最小二乘（NLLS）回归，其构造使其对观测中的测量噪声具有鲁棒性。在本文中，后一个特征很重要，当我们将这些方法应用于实际数据时，我们无法获得现货方差过程，只能获得其噪声估计值。第3.2节brie Fly回顾了我们提议的估计方法的第二个矩量法步骤，该步骤也可以以噪声鲁棒性的方式进行。3.1估计对数挥发度的粗糙度参数根据对数方差过程Xt=对数σ的观测值估计粗糙度参数α，这是很好理解的。一个特别简单且常用的估计器可以如下构造。方程（2.1）表明二阶变差函数γ（·）满足γ（h）：=E[（对数σt+h- 对数σt）]~ c | h | 2α+1，| h |→ 0，对于常数c>0。这促使运行普通最小二乘（OLS）回归log^γ（k）=a+alog k+k、 k=1，2，m、 （3.1）其中m∈ N是带宽参数，kis是一个误差项，且^γ（k）=n- 千牛-kXi=1 |对数σ（i+k）- 对数σi|是对应于γ（k）的经验变差函数).

因此，α的OLS估计量为^α=^αOLS=（^a-1） /2，其中^ais是回归（3.1）中afrom的OLS估计量。此后，我们将把α的这个估计量称为OLS估计量。根据Bennedsen（2020），我们为带宽选择一个较小的值，并将m设置为6。不幸的是，在现实中，我们无法访问潜在波动率过程logσt。相反，可用数据是对数波动率的估计值，log^σt，详情请参见下文第5节。有理由问，是否有可能使用log^σk准确估计最新对数波动过程logσtus的粗糙度指数。正如我们将看到的，这种担心是合理的，因为α的OLSestimator在存在测量噪声的情况下可能会产生严重偏差，这可能是因为使用log^σtin代替logσt。为了缓解这种可能的偏差，我们给出了一个估计量，它是针对观测值中的加性噪声的。为了验证想法，假设观察值通过logσk=logσk与潜在过程相关+ uk，（3.2），其中uk是噪声术语。如果噪声项是平均值为零的iid，且Uk与对数σk无关,我们有γ*（h） ：=E[（log^σt+h- log^σt）]=2σu+γ（h），（3.3），其中γ（·）是潜在过程logσ的二阶变差函数，σu是uk的方差。当σu>0时，记录γ*（h） 在对数h中不是线性的，因此不能期望OLS回归（3.1）得出一致的α估计值（Bennedsen，2020，命题3.3）。相反，（3.3）激发了一种非线性最小二乘（NLLS）回归：^γ*（k） =b+b（k)2α+1+k、 k=1，2，m、 其中m∈ N是带宽参数，kis是一个误差项，而^γ*（k） =n- 千牛-kXi=1 | log^σ（i+k）- 对数σi|是与γ相对应的经验变差函数*（k）). 在续集中，我们将此估计器称为NLLSestimator。下面的结果表明，NLLS估计量是渐近一致的。