解耦随机波动率的短期和长期行为

附录B中给出了证明。定理3.1。设X是一个平方可积连续过程，具有平稳增量和变差函数γ（h）=E[| Xt+h- Xt |]=ch2α+1，h>0，常数c>0，粗糙度参数α∈ (-1/2，1/2）。修理 > 0和letZi= xi+ ui，i=1，n、 等距离观测，使u={ui}ni=1为零平均iid序列，独立于X，有限V ar（u）=σu≥ 0、用γ表示*（h） Z的变差函数，设Θ是R+×R+×的紧子集(-（2σu，c，α）位于Θ的内部。最后，将θ的NLL估计值：=（a，c，α）定义为θ=（a，c，α）：=arg infθ∈ΘmXk=1^γ*（k，) - 一- c（k)2α+1,固定带宽m≥ 3和^γ*（k，) :=n- 千牛-kXj=1 | Z（j+k）- Zj公司|, k=1，2，m、 然后（^a，^c，^α）→ （2σu，c，α）的概率，如n→ ∞.备注3.1。定理3.1中γ（h）=ch2α+1，h>0的假设在某种程度上是理想化的，并且没有涵盖许多感兴趣的模型。例如，在本文中，我们主要使用γ（h）=h2α+1L（h），h>0的模型，其中函数L在零处缓慢变化，我们回忆起这意味着limx→0L（tx）L（x）=1表示所有t>0。函数L的存在可能会使NLL估计产生偏差。然而，我们推测，这种偏差通常应该很小，因为根据缓慢变化函数的性质（例如，Bingham等人，1989），可以找到所有 > 0和h非常小，Ch2α+1+≤ γ（h）≤ Ch2α+1-, （3.4）表明α估计中的任何潜在偏差可以通过设置我足够小了。在这些更一般的假设下，发展NLLS估计量的渐近结果超出了本文的范围。

然而，正如我们将在第4节的模拟研究中看到的那样，我们发现函数L的存在对与本文所考虑的情况相关的情况下α的NLL估计只有可忽略的影响。如何为NLLS估计器选择最佳带宽m是一个公开的问题，这超出了本文的范围。相反，在第4.1节中，我们使用模拟来指导实际中的带宽选择。3.2通过动量法对剩余参数的参数估计Let X是一个单位方差的零均值随机过程，满足假设（A1）–（A3）。考虑对数挥发度logσt=u+νXt的模型，常数u=logξ∈ R和ν>0。显然，u和ν可以分别通过对数σt的样本平均值和样本标准偏差来估计，而X的粗糙度参数α可以使用上面讨论的OLS或NLLS估计器来估计，并应用于对数σt。向量θ中模型的其余参数取决于X的参数规格的特定选择。例如，如果X是第2.1.1节中介绍的柯西过程，则θ=β，而如果X是示例2.1中的幂BSS过程，则θ=γ，如果Xis是示例2.2中的伽马BSS过程，则θ=λ。考虑到α的第一步估计，我们建议通过将对数σ的经验估计自相关函数设置为X的参数模型所隐含的自相关来估计θ。让经验自相关实际上，在伽马BSS和幂BSS模型的背景下，函数L实际上有界于原始so（3.4）附近 = 然后为0。数据用ρ（h）表示，模型forX隐含的参数自相关函数用ρ（h；α，θ）表示。

我们现在可以将θ的估计量定义为θ=arg minθHXi=1（ρ（h）- ρ（h；^α；θ）），对于某些h≥ 其中，α是α的第一步估计量，通过第3.1节中讨论的OLS或NLLS方法获得。可以用一种简单的方式构造一种噪声鲁棒的替代估计器^θ。实际上，根据噪声观测的模型（3.2），我们可以写出ρ*（h） ：=Corr（log^σk+h，log^σk）=Cov（logσ（k+h）+ uk+h，对数σk+ uk）V ar（对数σk+ uk）=Cov（对数σ（k+h）, 对数σk)V ar（对数σk) + V ar（uk）=C·ρ（h），其中ρ（h）：=Corr（σt+h、 σt），C=（1+γ噪声）-1是一个常数，噪声信号比γnoise由γnoise=V ar（uk）V ar（logσt）给出。因此，噪声观测值的相关函数对数log^σi，i=1，n、 服从slogρ*（h） =c+logρ（h），其中c=log c是一个常数。综上所述，我们可以通过^θ以抗噪声的方式估计θ*从非线性最小二乘回归（^c，^θ*) = arg min（c，θ）HXi=1（log^ρ（h）- c- logρ（h；^α；θ）），其中^α是在第3.1.4节模拟研究中开发的α的第一步噪声鲁棒NLLS估计器。本节的目的是研究前一节中提出的估计程序的有限样本特性。Web附录包含更广泛的模拟结果。第4.1节介绍了一项小型模拟研究的结果，这有助于为α的NLLS估计器选择带宽参数m。其中包括与OLS估计值的简要比较。第4.2节对OLS和NLLS估计器在应用于更现实的数据时的性能进行了更深入的比较。

第4.3节brie fly研究了第3.2.4.1节所述剩余参数矩量法估计器的特性带宽参数m对NLLS估计器的影响为了评估带宽参数m对NLLS估计器的影响，我们进行了一项小型模拟研究。考虑模型y=u+Bα+1/2t+κt、 t型≥ 0，其中u=logξ∈ R、 κ≥ 0，Bα+1/2是分数布朗运动，Hurst指数x H=α+1/2，α∈ (-1/2，1/2），独立于iid错误项t型~ N（0，1），t≥ 因此，Yt满足了定理3.1的基本假设。我们设置u=0，α∈ {-0.4，-0.2，0，0.2}和模拟Yi的n个观测值具有 = 0.10，对于i=1，2，n、 我们生成了500个yt的蒙特卡罗复制，并使用NLLS估计器估计带宽参数m、真实粗糙度指数α和噪声方差κ的各种值的α。从这500个模拟状态中，我们记录带宽参数m的“最佳”值*, i、 e.，使500次模拟中α估计值的均方误差最小的m值。forn的结果∈ {1000，2000}，m∈ {3，4，…，50}，和κ∈ {0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5}如图1所示。很明显，随着噪声级κ的增加，最佳带宽也随之增加。同样，底层进程Bα+1/2tis越长，即α越低，最佳带宽越大*. 从n=1000到n=2000似乎对m没有太大影响*.

对于α的相关值，即α≤ 0时，最佳带宽似乎大致介于m*= 10和m*= 20，尽管α值非常接近-0.50，米*可能更大。NLLS估计量对所采用的数值优化程序非常敏感。再加上m的精确值的不确定性*在实际应用中，Promptsu建议对来自带宽参数项的多个值的估计进行平均。（或者，可以取估计值的中位数，而不是平均值。）鉴于本节的初步模拟研究，我们建议对设置m=10，11，…，得到的11个估计值进行平均，20、我们发现这一策略在实践中效果很好，但我们再次强调，更系统地选择m是更好的选择。然而，这超出了本条的范围，留给今后的工作。为了说明该策略的性能，并与OLS估计器进行比较，图2绘制了拟议NLLS估计器的偏差，即NLLS估计值的平均值from=10，20，以及OLS估计器的偏差，在用于构造图1的同一模拟研究中。很明显，OLS估计对κ>0有很大的偏差，而theNLLS估计似乎在很大程度上缓解了偏差。下一节将在更现实的环境中进一步检验这两个估计量的性质。4.2估计噪声时间序列的粗糙度指数，现在考虑模型y=u+νXt+κt、 t型≥ 0,0.1 0.2 0.3 0.4 0.50102034050M*n=10000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50102034050M*n=2000=0.2=0=-0.2=-0.4图1：确定最佳（关于均方误差）带宽m*对于NLLSestimator，使用模拟。

第4.1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.6-0.4-0.20Biasn=10000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.6-0.4-0.20Biasn=2000图2：第4.1节模拟研究中NLL（实线）和OLS（虚线）估计器的偏差。NLLS估计器是带宽m=10，11，…，的单个NLLS估计器的平均值，20，而OLS估计器使用m=6。其中u=logξ∈ R、 ν，κ>0，X是一个单位方差满足假设（A1）–（A3）的零均值随机过程，且t型~ N（0，1），t≥ 0，是iid错误项。术语ut=κt出现干扰潜在过程观测的测量噪声*t=u+νXt。相关噪声信号比用s=pV ar（ut）/V ar（Y）表示*t） =κ/ν。使用此设置，我们希望评估α的两个估计器的有限样本特性，当nx是示例2.2中的伽马BSS过程时，以每天或更高的频率采样。请注意，严格来说，此过程不满足定理3.1背后的假设，参见Remark3.1。我们设定λ=0.02，u=1，ν=1，并用采样频率模拟n=1000个观测值 > 0，模拟对数波动率数据的n个观测值，观测值1/ 每天次。我们改变噪声信号比s∈ {0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5}通过改变噪声κ的标准偏差∈ {0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5}。考虑α的两个值，即α=0和α=-0.35，这在本文中特别有趣：α=0对应于“标准”半鞅框架，而α=-0.35是在估计已实现波动率指标的粗糙度指数时经常发现的值，参见Gathereal等人（2018）和下文第5节。采样频率也考虑两个值，即 = 1和 = 0.1。

第一个值对应于每日观察值，而第二个值对应于已实现对数波动率的日内观察值（大约每小时一次）。平均回归参数的值λ=0.02，与我们在下面第5.1节中对标准普尔500指数数据的估计值相对应。我们对α、λ和, 并发现了非常相似的结果，这些结果显示在Web附录中。我们模拟了500个YT实例，并使用OLS和NLLS估计器估计粗糙度指数α。表1报告了来自两个估计器的500个α估计值的平均值、中值和标准差（SD）。如上所述，我们认为α=0（面板A和C）和α=-0.35（面板B和D），以及 = 1（面板A和B）和 = 0.1（面板C和D）。从结果中可以学到一些东西。首先，NLLS估计器比OLS估计器更分散，NLLS估计器估计值的标准差更大就证明了这一点。其次，当信噪比s增大时，OLS估计器很快变得有偏差。然而，NLLS估计器能够在很大程度上缓解这种偏差。在α=0的情况下，这一点尤其明显，其中OLS估计量是非常有偏差的，而NLLS估计量更精确。不经常采样时，即 = 然而，由于过程中的均值回归，NLLS估计值略有向下偏移，参见表1的面板A。这证明了这样一个事实，即当采样频率较低时，平均回复可以类似于粗糙度。

然而，在与本文相关的平均回归水平上，即对于非常持久的过程，偏差很小。我们让感兴趣的读者参考Web附录，在那里我们对这种行为进行了更详细的研究。4.3使用momentsTable 2方法估计剩余参数，给出了使用第3.2节中给出的基于矩的λ估计器的估计结果。为简洁起见，我们只报告 = 1，作为 = 0.1类似，可在Web附录中找到。模拟程序与第4.2节中用于研究α估计量的程序相同，即X是λ=0.02的伽马BSS过程。面板A和Bof表2包含α=0和α=-分别为0.35。使用普通估计量^θ=^λ和稳健估计量^θ报告平均值、中值和标准偏差*=^λ*,参见第3.2节。Abi Jaber和El Euch（2019）表明，粗糙模型可以由具有不同程度均值回归的标准模型的混合物来近似，包括具有任意快速均值回归的成分。

然而，与本文提出的粗糙模型相比，这种模型可以说不那么节俭和灵活。表1：蒙特卡罗模拟结果面板A：α=0， = 1s=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5OLS平均值-0.01-0.10-0.24-0.33-0.38-0.42中值-0.01-0.10-0.24-0.33-0.38-0.42SD 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01NLLS平均值-0.04-0.07-0.08-0.07-0.07-0.06中值-0.04-0.07-0.08-0.07-0.07-0.07SD 0.04 0.04 0.06 0.07 0.08 0.09面板B：α=-0.35， = 1s=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5OLS平均值-0.35-0.35-0.37-0.38-0.40-0.41中值-0.35-0.35-0.37-0.38-0.40-0.41SD 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02NLLS平均值-0.33-0.33-0.33-0.33-0.33-0.33中值-0.34-0.34-0.35-0.35-0.36-0.36SD 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.08面板C：α=0， = 0.1s=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5OLS平均值-0-0.33-0.44-0.47-0.48-0.49中值-0-0.33-0.44-0.47-0.48-0.49SD 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01NLLS平均值0.00-0.01-0.01 0.01 0.02 0.02中值0.00-0.01-0.01-0.00 0.02 0.05SD 0.05 0.07 0.11 0.18 0.24 0.28面板D：α=-0.35， = 0.1s=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5OLS平均值-0.35-0.36-0.38-0.40-0.42-0.44中值-0.35-0.36-0.38-0.40-0.42-0.43SD 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01NLLS平均值-0.32-0.32-0.32-0.33-0.32-0.32中值-0.33-0.34-0.34-0.35-0.34-0.34SD 0.05 0.06 0.06 0.07 0.09 0.10α的OLS和NLLS估计量的蒙特卡罗模拟研究。DGP：λ=0.02的伽马BSS。此外，u=1，ν=1，n=1 000，T=n.

蒙特卡罗模拟次数：500。表2：蒙特卡罗模拟结果面板A：α=0， = 1s=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5标准平均值0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02中值0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02SD 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01稳健平均值0.02 0.02 0.02 0.02中值0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 SD 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01面板B：α=-0.35， = 1s=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5标准平均值0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03中值0.03 0.03 0.03 0.02 0.02SD 0.02 0.02 0.02 0.02 0.03稳健平均值0.03 0.03 0.03 0.02中值0.03 0.03 0.02 3.2。DGP：λ=0.02的伽马BSS。此外，u=1，ν=1，n=1 000，T=n. 蒙特卡罗模拟次数：500.5已实现波动率数据的应用我们采用了高频资产回报的一般模型，其中有效对数价格Y=（Yt）t≥资产的0遵循It^o半鞅DYT=utdt+σtdBt+dJt，t≥ 0，（5.1）使用标准布朗运动B=（Bt）t指定≥0，漂移过程u=（ut）t≥0，跳转进程j=（Jt）t≥0和波动过程σ=（σt）t≥0，满足通常的适应性和局部有界性假设。由于我们对价格进行高频抽样，我们遵循高频金融计量经济学的标准做法，将数据视为有效价格Y的噪声观测值，受到市场微观结构噪声的污染，log St=Yt+Ut，t≥ 0，其中U=（Ut）t≥0是微观结构噪声过程。由于我们的重点是波动过程σ，因此我们对跳跃过程J或噪声过程U没有太多细节。我们仅对这些过程施加温和的标准假设，以便下文解释的波动过程的跳跃和噪声稳健估计值是一致的。