解耦随机波动率的短期和长期行为

有效但并非必要的条件是，跳跃项由复合泊松过程给出，噪声项为iid，具有零均值和有限四阶矩，且独立于有效价格Y（Christensen et al.，2014，命题1）。此外，在高频返回的情况下，漂移过程u在经验上可以忽略不计，从现在起将被忽略。以下章节将解释我们用于S的数据、我们如何估计潜在波动率过程σ以及该过程的后续经验发现。我们试图提取已实现的即期波动过程（σt）t∈[0，T]，对于一些时间范围T>0，从资产价格S的高频观察。由于σ不可直接观察到，我们需要为它构建一个代理。特别是在本节中，我们对评估波动率的日内变化感兴趣。这应该与Gatheral等人（2018）的观点形成对比，Gatheral等人认为波动率指标是以日频率计算的。为此，我们首先指定步长 > 0，使得T=n 对于一些大型n∈ N、 然后，我们旨在估计综合方差（IV），IVt： =Ztt-σsds，t=, 2., . . . , n.IV的估计量已被广泛研究，突出的例子包括实现方差（Andersen et al.，2001；Barndorff-Nielsen和Shephard，2002）、实现核（Barndorff-Nielsenet al.，2008）、双尺度估计量（Zhang et al.，2005）和预平均法（Jacod et al.，2009）。除第一种方法外，这些方法对市场微观结构影响具有鲁棒性，当使用更高频率的价格抽样时，市场微观结构影响至关重要（如Hansen和Lunde，2006）。

此外，正如我们将在下文中看到的，预平均方法可以以一种简单的方式进行调整，以处理价格过程中的跳跃，这是我们选择这种特殊方法的主要原因。通过出租 要足够小，以便在每个时间间隔的大小中波动水平的变化 很小，我们可以使用代理^σt=-1cIVt、 t=, 2., . . . , n, （5.2）其中CIV这是根据上述方法之一得出的IV估计值。我们事先不想确定步长的任何特定值 对波动性进行采样，因为此参数的选择会因应用程序而异，并且在以下情况下没有规范的选择 不到一天。因此，我们对 而且，正如我们所看到的，我们的经验发现基本上在所有日内以及每日时间尺度上都是相似的。代理（5.2）可被视为IV估计值的（有限差异）时间导数。假设这些数据可以用上述模拟研究中考虑的模型来描述，即log^σk= u+νXk+ κk、 k=1，2，n、 在哪里k~ N（0，1）是一个术语，用于捕捉因使用log^σk（如（5.2）所示）代替真实的对数波动过程logσk而产生的测量误差= u+νXk. 文献中提出了现货波动率的相关估计；例如，见Kristensen（2010年）、Bos等人（2012年）、Zu和Boswijk（2014年）。在本文中，我们将把注意力限制在（5.2）中，其中weestimate IV使用Jacod et al.（2009）开发的所谓预平均双功率变化度量。在下面的内容中，该度量将用BV表示,*t；附录A简要回顾了其实施情况。统计数据BV*对跳跃（J）和市场微观结构波动（U）都具有鲁棒性，这就是为什么我们选择使用这种特殊的IV度量。

我们还使用所谓的预平均实现方差RV进行了分析*（定义见附录A），获得与本文一致的结果。最后，我们问在这里研究的数据中，真实的信噪比s是多少。这个问题的答案很重要，因为它将使我们能够判断我们是否可以依赖第4节的promisingsimulation结果，并在合理的置信度下，依赖我们的各种估计员得出的估计。要计算s的粗略估计值，请注意Kristensen（2010）的相关现货挥发度估计值符合（Kristensen，2010，定理3）σt=σt+ηt，ηt~ MN（0，2Kσt/n），其中MN表示混合正态分布，表示ηt正态分布，以σt为条件，而n是用于计算估计值σt的观测数。constantK与Kristensen（2010）估计值中使用的核函数有关。例如，对于所谓的Epanechnikov核，K=0.6，对于统一核，K=0.5。这意味着，在该设置中，s=p2K/（n).假设K≈ 1，然后，使用这些粗略计算( = 1天）每5分钟采样一次价格（n=6.5·60/5=78），我们得到s=p2/（78·1）=0.16，而对于hourlyIV( = 65分钟）根据每分钟采样的价格，我们得到s=p2/（65/6.5）=0.45。这些计算忽略了可能存在的测量噪声，这会增加噪声与信号的比率。另一方面，我们使用逐点数据，因此在我们的应用程序中n将很大。这表明s∈ [0，0.5]是我们数据中噪声信号比的合理值范围，至少对于 ≥ 比如说30分钟。

（对于较小的, 比方说10或15分钟，噪声与信号的比率甚至可能高于0.5。）我们得出的结论是，第4节的模拟结果应该给出一个合理的想法，即当应用于我们的数据时，估计量将如何表现。特别是，OLS估计器容易向下偏移，尤其是当粗糙度参数α的真实值接近0时，而NLLS估计器应该能够显著缓解这种偏移。我们还使用Barndorff-Nielsen等人（2008）的已实现核估计进行了分析，获得了类似的结果。有关详细信息，请参阅本文件的第一版，网址为：https://arxiv.org/1610.00332v1.5.1标准普尔500指数期货合约的应用我们分析了2011年1月2日至2014年12月31日（周末和节假日除外）在CME Globex电子交易平台上交易的前一个月标准普尔500指数期货合约的逐笔交易数据。剔除非完整交易日后，我们的样本中的总交易日数为996天。由于我们有兴趣评估日间波动率，因此我们依赖于标的资产上存在大量交易活动。因此，我们将注意力限制在一天中大部分交易发生的时间段；这是现金股票市场开放的时间，从东部时间上午9:30到下午4:00。众所周知，日内波动表现出显著的季节性（例如，Andersen和Bollerslev，1997、1998）。特别是，“U形”无处不在，在开盘和收盘时波动性较高，而在中午左右波动性较低。

（例如，参见Andersen等人，2016年，图1。）什么时候 < 因此，在进行任何进一步分析之前，必须控制这一季节性，因为如果不考虑这一点，后续估计可能会受到影响（Rossi和Fantazzini，2015）。我们使用乘法分解σt=σstσt，t≥ 0，其中σ是季节性成分，σ是我们感兴趣的去季节化随机过程。为了估计σswe，我们使用Andersen和Bollerslev（1997、1998）的灵活傅立叶形式（FFF）方法。然后，我们估计▄σtbyc▄σt=-1cIVt/[（σst）=-1伏*t/[（σst），t=, 2., . . . , n,从现在起，当 < 1天。此外，weabuse符号略加注释，并将写出σ，即使我们实际上指的是去季节化过程σ。本文的早期版本包含对去季节化E-mini标准普尔500指数波动率数据动态特性的深入分析。主要发现如下：（i）对数波动率过程对于所有的; （ii）对数波动率自相关的长期衰减率的半参数估计显示出极低衰减自相关的证据；和（iii）对数波动率的经验概率分布似乎明显偏离高斯分布，尤其是在日内水平测量的对数波动率，即 < 1天。事实上，正态逆高斯分布（如Barndorff-Nielsen，1997）为这些经验概率分布提供了很好的拟合。表3的A组报告了第2节中提出的不同模型的α、β和λ估计值，使用了上述提取的E-mini标准普尔500指数期货合约的对数波动率数据。我们使用ACF中的H=dn1/3e滞后来估计https://arxiv.org/abs/1610.00332v2.

详细结果也可从作者uponrequest获得。程序虽然这种选择似乎有点武断，但结果对于备选选择是可靠的。我们发现，α的OLS和NLLS估计量都表明对数波动率的已实现度量是粗糙的，带有^α∈ [-0.3，-0.40]。对于较小的, 可能是因为这样的想法，即此处的数据在相对方面可能会表现出较高的噪声水平，如上所述。在所有情况下，记忆参数的估计值都很低，事实上，在估计Cauchy和Power BSS模型时，我们发现β<1，这表明数据生成过程可能具有长记忆特性。Gamma-BSS过程的指数衰减参数λ也被估计为非常低的值，约为0.01。内存参数的估计似乎对 以及是否使用噪声鲁棒性估计程序。（表3中，anasterisk表示噪声稳健估计。）综上所述，本节研究的E-mini标准普尔500指数期货数据的对数波动率的已实现度量似乎很粗糙，并且表现出高度的持续性。虽然我们试图通过使用（理论上）对噪声具有鲁棒性的估计器来缓解测量误差的不利影响，但得出的结论当然带有一个警告，即真正的随机波动率是无法观察到的。因此，严格来说，上述关于波动性性质的结论只能在有关已实现测度σ的范围内得出。然而，第4.2节（见表1）的模拟结果似乎表明，如果粗糙度指数的真实值为α=0，则OLS估计值将有严重偏差，但LLS估计值不会。

因此，尽管数据的噪声性质使得不可能精确确定潜在波动过程的α的准确值，但根据模拟结果，α的真实值为α=0有些不可信。表3的B组和C组报告了类似分析的结果，但现在分别使用（非对数）波动率和方差作为数据。从波动率（面板B）和方差（面板C）时间序列获得的参数估计值与对数波动率时间序列（面板A）的估计值非常相似。总的来说，正如定理2.1所示，波动率和方差似乎比对数波动率的粗糙度和记忆特性大。当然，这个结论有其内在的警告。也就是说，它基于某些基本假设，如（5.1）给出的有效对数价格过程、噪声信号比s不太大、对数波动率不受跳跃或结构突变的影响等。对于方差时间序列（面板C），我们在进行分析之前从数据中排除了三个最大的观察值，由于这些观察结果非常极端，因此参数的估计，尤其是^α*NLL似乎不稳定。这三个大型观测值或“异常值”都发生在2011年，即样本的第一年。我们使用三个观察值和2011年全年的数据进行了分析，得到了类似的结果。为了使结果尽可能与波动率和对数波动率的结果具有可比性，我们使用前一种方法进行报告，该方法删除的观测值要少得多。

使用后一种方法的结果可根据需要提供。表3：估计结果：E-mini S&P500期货数据面板A：对数波动率 αOLSα*NLLS^βCau^β*Cau^βpBSS^β*pBSS^λgBSS^λ*gBSS10分钟-0.38-0.38 0.17 0.18 0.31 0.26 0.03 0.0215分钟-0.35-0.37 0.18 0.18 0.02 0.26 0.04 0.0330分钟-0.31-0.35 0.18 0.18 0.02 0.31 0.03 0.0365分钟-0.30-0.35 0.18 0.18 0.30 0.31 0.02 0.02130分钟-0.32-0.35 0.00 0.17 0.29 0.30 0.02 0.021天-0.30-0.33 0.00 0.18 0.32 0.34 0.02 0.02面板B：波动性 αOLSα*NLLS^βCau^β*Cau^βpBSS^β*pBSS^λgBSS^λ*gBSS10分钟-0.33-0.35 0.21 0.21 0.02 0.29 0.06 0.0315分钟-0.32-0.36 0.19 0.19 0.02 0.21 0.04 0.0230分钟-0.29-0.38 0.00 0.15 0.23 0.23 0.02 0.0165分钟-0.35-0.36 0.00 0.16 0.26 0.27 0.02 0.02130分钟-0.35-0.28 0.22 0.23 0.47 0.48 0.04 0.031天-0.23-0.31 0.00 0.19 0.33 0.35 0.02 0.02面板C：差异 αOLSα*NLLS^βCau^β*Cau^βpBSS^β*pBSS^λgBSS^λ*gBSS10分钟-0.37-0.38 0.26 0.27 0.73 0.43 0.11 0.0615分钟-0.35-0.37 0.23 0.23 0.50 0.27 0.07 0.0330分钟-0.33-0.39 0.00 0.16 0.26 0.26 0.02 0.0265分钟-0.36-0.36 0.20 0.21 0.38 0.38 0.03 0.03130分钟-0.34-0.35 0.00 0.20 0.36 0.38 0.02 0.021天-0.35-0.37 0.00 0.16 0.25 0.26 0.01 0.01使用OLS和NLLS估计器估计α，以及通过将经验ACF与我们三个参数模型（Cauchy、Power和GammaBSS模型）中的理论ACF匹配而获得的矩估计方法。我们使用H=dn1/3e滞后来估计记忆参数λBSS、βBSS和βCauchy。由幂BSS过程γ矩估计法计算的βBSS估计；即，当^γ>1时，设置^βBSS=^γ，否则设置^βBSS=2^γ- 星号表示噪声稳健估计。

使用正文中描述的方法，从2011-2014年期间的E-mini标准普尔500指数期货数据中提取了面板A-C中的波动率序列（关于面板C，另请参见脚注11）。5.1.1粗糙度是否随时间变化？人们可能想知道，波动率的粗糙程度是否会随着时间的推移而变化。Gathereal等人（2018）也研究了这一问题，他们将波动率数据分为两部分，并发现了初步证据，表明在2008年和2011年金融动荡期间，波动率较不剧烈。我们的方法和数据使我们能够更准确和系统地调查这个问题。为此，我们仍然使用E-mini标准普尔500指数上的交易数据，但现在使用的时间更长，从2005年1月3日到2014年12月31日。图3提供了当波动率为代理时，使用NLLS估计器对α进行滚动窗口估计的结果 = 65分钟。窗口长度为900次观测，相当于大约150天。我们还对不同的窗口大小和, 但结果与这里给出的结果相当一致。图3还显示了整个周期的总体中值，以及平滑的估计时间序列。图中显示α的指数似乎随时间变化。特别是，我们观察到平滑度的两个峰值，这两个峰值似乎都与市场萧条时期相吻合。第一次大而长的平稳期发生在2007-2008年的金融危机期间，而第二次平稳期则发生在2011年，即希腊债务危机的最低点。虽然从单个时间序列中得出任何明确结论似乎都是不明智的，但这里的发现以及Gatheral等人的经验证据。

（2018），似乎表明波动性在市场动荡期间表现出较少的粗糙度，这可能是由于在这种时期发生了更持续的交易活动。我们使用下文第5.2.1节中的大型股权面板对此进行了进一步研究。5.2个别权益的应用我们的目标是研究上述发现是否仅适用于E-mini标准普尔500未来合约，或者它们是否更普遍地适用。因此，我们研究了大量美国股票的波动率数据。数据包括每日预平均双功率变化测量值（即BV*具有 = 1天），使用从交易和报价（TAQ）数据库获得的交易价格计算。我们掌握的数据集从1993年1月4日至2013年12月31日，而一些资产的数据可能仅部分涵盖这一时期。样本中共有10744项资产，根据全球行业分类标准分为十个行业。由于美国股票市场的特征在过去三十年中，通过价格的十进制化、交易的电子化和竞争性交易场所的激增，可以说已经发生了实质性的变化，因此我们仅使用2003年1月2日至以下期间的数据：https://msci.com/gics20062007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15（估计值）平滑中值=-0.36图3：α的滚动窗口NLLS估计值。波动率代理使用 = 65分钟，平滑版本是一个简单的移动平均滤波器，使用特定估计两侧的75个观测值。2013年12月31日，为当前和未来的相关性而奋斗。此外，为了确保波动率估计的可靠性，我们只保留最具流动性的资产。