解耦随机波动率的短期和长期行为

在命题2.2的证明中，我们取h>1，然后写下∞g（x）g（x+h）dx=Z∞g（x）（x+h）-γe-λ（x+h）L（x+h）dx=e-λhh-γL（h）Z∞g（x）（x/h+1）-γe-λxL（x+h）L（h）dx~ e-λhh-γL（h）Z∞g（x）e-λxdx，其中我们使用了支配收敛定理，该定理可以用与命题2.2证明相同的方式进行证明。B、 2定理的证明2.1我们首先回顾一下下面需要的一个基本结果。即x↓ 0，∞Xk=2xkk！=o（x）。（B.1）通过检验指数函数的泰勒展开式并应用l\'H^opital规则，很容易证明这一结果。定理2.1的证明。（i） 假设w.l.o.g.ξ=1。由于σ是协方差平稳的，因此必须研究ρ（h）=Corr（σt，σt+h）=Cov（σt，σt+h）V ar（σ），h≥ 我们使用σCov（σt，σt+h）=E[σtσt+h]的定义（2.3）得出- E[σ]=E[经验（Xt+Xt+h）]- E[经验（X）]。现在，由于X是一个零均值高斯过程，我们使用高斯分布的矩生成函数，得到E[exp（Xt+Xt+h）]=expV ar（Xt+Xt+h）= exp（V ar（X）+cov（X，Xt+h））=exp（γX（0）+γX（h）），andE[exp（X）]=expγX（0）,其中，我们为Cov（Xh，X）=E【XhX】写γX（h）。综合起来，我们得出ρ（h）=exp（γX（h））- 1exp（γ（0））-现在，使用一般的正常数C，C，C，这可能会因行而异，1- ρ（h）=exp（γX（0））- 1.- （exp（γX（h））- 1） exp（γ（0））-1=exp（γX（0））- exp（γX（h））exp（γ（0））-1=C[1- exp（γX（h）- γX（0））]=C[1- 经验值(-γX（0）（1- ρX（h））]=C（1- ρX（h））+C∞Xk=2(-γX（0）（1- ρX（h）））kk！~ C | h | 2α+1L（h），假设为1- ρX（h）和渐近结果（B.1）。（在倒数第二行，weTaylor扩展了指数。）这就是（i）的证明。（ii）假设w.l.o.g.ξ=1。

使用与第（i）部分相同的方法，我们通过泰勒展开得到：ρ（h）=exp（γX（h））- 1exp（γ（0））-1=CγX（h）+C∞Xk=2γX（h）kk！=CγX（0）ρX（h）+C∞Xk=2γX（h）kk！~ CρX（h），h→ ∞,我们最终应用的地方（B.1）。B、 3定理3.1的证明定理3.1的证明。LetQn（θ）=Qn（a，b，α）：=mXk=1^γ*（k）) - 一-b（k)2α+1,andQ（θ）=Q（a，b，α）：=mXk=1a+b（k)2α+1- 一-b（k)2α+1,式中，a：=2σu。因为，根据X和Z的假设，^γ*（k）) 是a+b（k）的一致估计量)2α+1，不难证明supθ∈Θ| Qn（θ）- Q（θ）|→ 0，n→ ∞. （B.2）因为m≥ 3，θ：=（a，b，α）是Q（θ）的唯一极小值（实际上Q（θ）=0），因此剩下的证明遵循标准参数，我们在这里给出的是完整性。允许 > 对于n非常大的情况，由于一致收敛（B.2），我们有| Q（^θ）- Qn（^θ）|<.首先使用Q（θ）=0，然后使用^θ最小化Qn（θ），最后再次使用一致收敛（B.2），它认为| Qn（^θ）- Q（θ）|=Qn（θ）≤ Qn（θ）<,对于n个足够大的。设B是θ的开邻域。现在，P（^θ）∈ 卑诗省∩ Θ）≤ P（| Q（^θ）- Q（θ）|>0）≤ P（| Q（^θ）- Qn（θ）+Qn（θ）- Q（θ）|>0）→ 0，n→ ∞,根据上述结果，自 > 0是任意的。