随机红利美式期权的早期行权决策

方程（13）允许我们递归计算不同时间点的期权值，从而为百慕大期权、美式期权和其他类型的路径依赖期权定价。在第2.1节的实施过程中，我们将Payoff函数投影到一定数量的指标函数上。因此，值{H（yj，T）}j=1，。。。，Nand{y G（yi，t；yj，tl+1）}j=1，。。。，分别计算有限维矩阵H（T）和G（tl；tl+1）的条目。因此，我们可以用与（4）和（7）中完全相同的矩阵形式表示方程（12）和（13）。通过选择N个足够大的值，我们可以将（10）和（11）中的单位总和截短，使引入的误差任意小。截断只会抑制位于状态价格密度消失区域的指标函数，而我们可以忽略对计算期望的局部贡献。当时间步长为常数τ=tl+1时-tl，我们得到了介绍性示例的快速且易于实现的算法。此外，如第2.2节所述，无论何时行权日期TL与股息支付日期th重合，我们只需替换条目{y G（yi，tl；yj，tl+1）}j=1，。。。，Nof G（tl；tl+1）和值{y G（yi- d、 tl；yj，tl+1）}j=1，。。。，N、 每当tl∈ {th}h=1，。。。，H、 以适应离散股息d.3.3。随机波动率：预测步骤在随机波动率模型类别中，有两个状态变量，基础资产为方差σt。双变量状态价格密度G（St，σt，t；y，w，t）描述了从资产水平的方差水平σtat time到资产水平y=方差水平w=σtat time t的贴现转移概率密度。

其傅里叶变换用^G（St，σt，t；λ，κ，t）表示，因此G（St，σt，t；y，w，t）=4πZZdλdκe-ι（λy+κw）^G（x，ξ，t；λ，κ，t），其中ι是虚单位。对于基础资产获取的值，让网格{yj}j∈与正交集{ej（y）}j∈Zbe定义为Black-Scholes案件。{ej（y）}j的傅里叶变换∈由{^ej（λ）}j引导∈Z、 这样（参见补充在线附录的C节，了解运行N相当于选择一个ymin和ymax，并将我们的分析限制在L（[ymin，ymax]）。这是每种基于正交的方法中的标准假设。这也确保了H∈ L（[ymin，ymax]），即使补充文件附录A和附录B中的证明不需要H的可测性。解析形式^ej（y））：ej（y）=2πRdλe-ιλy^ej（λ）。对于方差，我们使用相同的等距网格{wq}q∈对于变量σtand w=σT取的值，因此w=wq+1- wq。设{εq（w）}q∈Nbe以网格{wq}q为中心的规格化指示函数∈宽度Nandw、 和{εq（κ）}q∈Nbe theirFourier变换。此外，设{λr}r∈Zand{κz}z∈Zbe由变换变量λ和κ构成的两个等宽规则间距的数值网格λ和κ、 分别为。Payoff函数H（y，T）的近似值与方程式（10）中的相同。由于我们没有G（St，σt，t；y，w，t）的解析形式，我们无法直接对传递度进行采样，因此我们必须依赖下面给出的近似值。

当条件变量取值sst=yi且σt=wp时，二元状态价格密度G（St，σt，t；y，w，t）的投影步骤基于以下近似值：~G（yi，wp，t；y，w，t）（14）=pyw∞Xj公司=-∞,q=14π∞Xr，z=-∞^G（yi，wp，t；λr，κz，t）^ej(-λr）^εq(-κz）λκej（y）εq（w）def=pyw∞Xj公司=-∞,q=1Γ（yi，wp，t；yj，wq，t）ej（y）εq（w），其中（14）中的第二个等式定义了数量{（yi，wp，t；yj，wq，t）}j∈Z、 q∈N、 在Black-Scholes情况下，平行于方程式（11）的讨论，数量{（yi，wp，t；yj，wq，t）}j∈Z、 q∈n显示与{G（yi，t；yj，t）}j相同的角色∈Z、 我们可以按如下方式激发这些近似值。状态价格密度g（yi，wp，t；y，w，t）在两个正交集{ej（y）}j上的正交投影∈Nand{εq（w）}q∈Nis由内部产品SRRDYDWG（yi，wp，t；y，w，t）ej（y）εq（w）给出。因为我们只知道^G的闭式（yi，wp，t；λ，κ，t），见Griebsch（2013）。对于^G（yi，wp，t；λ，κ，t）和非G（yi，wp，t；y，w，t），我们利用以下关键关系：ZZdydwG（yi，wp，t；y，w，t）ej（y）εq（w）=ZZdydw4πZZdλdκe-ι（λy+κw）^G（yi，wp，t；λ，κ，t）ej（y）εq（w）=4πZZdλdκ^G（yi，wp，t；λ，κ，t）Zdye-ιλyej（y）Zdwe-ικwεq（w）=4πZZdλdκG（yi，wp，t；λ，κ，t）^ej(-λ） εq(-κ） 。（15） 每个Γ（yi，wp，t；yj，wq，t）是方程（15）中出现的最后一个积分的近似值，通过对傅里叶变换（xi，wp，t；λ，κ，t）和^ej的直接采样获得(-λ） 和εq(-κ） 关于二元网格{（yj，wq）}j∈Z、 q∈N、 在一元网格{λr}r上∈Zand{κz}z∈Z、 如第3.1节所述，只有数量{（yi，wp，t；yj，wq，t）}j∈N、 q∈查找定价算法的输入。表示式（14）仅用于补充在线附录的B部分，以证明算法的收敛性。3.4。

随机波动率：递归步骤在随机波动率框架中，百慕大期权的递归包括在时间上向后移动，如方程（6）所示：V（x，ξ，tl）=maxH（x，tl），Ee-r（tl+1-tl）V（Stl+1，σtl+1，tl+1）Stl=x，σtl=ξ. （16） 因此，赫斯顿模型中的递归步骤是（16）的采样对应项。下面的命题给出了一个递归公式，该公式将二元网格{（yj，wq）}j不同点上的选项近似值联系起来∈Z、 q∈在时间tl+1和tl的不同点上的Nand。它还说明了算法的收敛速度。定义（yi、wp、tl；yj、tl+1）=∞Xq=1Γ（yi，wp，tl；yj，wq，tl+1）√w、 提案2。设H（y，T）为| H（y，T）-H（y，T）|<C | y-y |对于正常数，对于| y- y |<y、 让vip（tl）定义为一组日期{tl}l=1，。。。，五十、 tL=T时，如下所示：vip（tL）=maxnH（yi，tL），∞Xj=1Γ（yi，wp，tl；yj，tl+1）H（yj，tl+1）p哟，因为l=l- 1，（17）vip（tl）=maxnH（yi，tl），∞Xj，q=1Γ（yi，wp，tl；yj，wq，tl+1）vjq（tl+1）pywo，对于l=1，L- 2.（18）然后，对于每个tlin{t，…，tL-1} ，在（17）和（18）中定义的近似值vip（tl）收敛到真值V（yi，wp，tl），近似误差为O级, 具有 =p(y） +(w） 。证据见补充在线附录B节。对于t=tL-公式（17）给出了赫斯顿模型中欧式期权的价格。由于支付函数H（y，T）仅取决于基础资产tL=T所取的值y，因此计算出的价格vip（tL-1） 仅通过条件值σtL依赖于随机方差-1=wp。因此，我们可以使用{（yi，wp，t；yj，t）}j∈n代替{（yi，wp，t；yj，wq，t）}j，q∈N

使用值{（yi，wp，t；yj，t）}j∈Nin（17）相当于对傅里叶变换^G（yi，wp，t；λ，t）=Rdκ^G（yi，wp，t；λ，κ，t）应用投影步长。例如，在赫斯顿（1993）关于欧式期权的原著中，出现的是单变量函数^，而不是双变量函数^。图7以图形方式显示了双变量情况下的投影和递归步骤。在实现中，我们截断（17）和（18）中的总和，使网格{（yj，wq）}j=1，。。。，Nq=1。。。，什么是N×W点。t=tl时计算价格的N×W矩阵用v（tl）表示，即v2，jq（tl）=vjq（tl）。设Γ（yi，wp，tl；tl+1）为从初始点（yi，wp）到整个网格的端点{（yj，wq）}j=1，…，的近似转移概率的×W矩阵，。。。，Nq=1。。。，W、 如第2.1节所述，我们对归一化参数进行积分√y在转移矩阵的定义中。然后我们得到Γ2，jq（yi，wp，tl；tl+1）=Γ（yi，wp，tl；yj，wq，tl+1）√yw、 设φj={^ej(-λr）}r=1，。。。，兰特？q={εq(-κz）}z=1，。。。，Zbe函数的值^ej(-λ） 和εq(-κ） 在网格{λr}r=1，…，处采样，。。。，Rand{κz}z=1，。。。，Z、 分别为。此外，我们定义了R×N矩阵φ=（φ，…，φN），Z×W矩阵φ=（φ，…，φW），以及R×Z矩阵^G（yi，wp，tl；tl+1），其条目为^G2，rz（yi，wp，tl；tl+1）=^G（yi，wp，tl；λR，κZ，tl+1）。然后，我们可以将投影步骤（14）的系数写成矩阵形式：Γ（yi，wp，tl；tl+1）=φ^G（yi，wp，tl；tl+1）Дpyw

（19） 递归步骤（18）如下：vip（tl）=maxnH（yi，tl），NXj=1WXq=1Γ（yi，wp，tl；yj，wq，tl+1）vjq（tl+1）pywo=最大值H（yi，tl），Γ（yi，wp，tl；tl+1）：v（tl+1）, （20） 其中符号“：”表示Frobenius或条目式产品。在补充在线附录的D节中，我们展示了如何利用转移密度的空间平移不变性来加速矩阵Γ（yi，wp，tl；tl+1）的计算。我们的方法包含快速傅立叶变换（FFT）作为特例。在FFT中，λ和κ的单变量网格是自动设置的，这有时会导致Γ（yi，wp，tl；tl+1）矩阵的重建不精确。3.5。Heston模型中的数值说明我们研究了我们的方法在标准a fine模型（如Heston（1993）模型）中的性能。我们研究了一种写在资产St上的美式期权，该期权支付离散的IVidends，并根据以下随机波动率模型演变：dXt=r-σtdt+qσt·dW1t，dσt=βσLT- σtdt+ωqσt·dW2t，E（dW1t·dW2t）=ρdt。（21）在方程（21）中，Xt=log St，σ是方差过程。我们与XT合作，以实现过渡矩阵的空间不变性，如补充在线附录第Dof节所述。我们进行了两项模拟研究。在第一种情况下，美国催缴股款的到期时间为一年，价值d=2的3份股息按0.25、0.5、0.75的比例分配。在第二种情况下，到期时间仍为一年，但在六个月后支付d=10的大额股息。工艺参数值如下：r=0.05，σLT=0.2，β=2，ω=0.2。此外，我们选择参数ρ等于零。我们计算货币期权的价格（S=K=100）。

本分析中的基准方法是偏微分方程（PDE）的有限差分（以下简称FD）数值解，该方程描述了美式看涨期权价格过程的演变。实现有限差分方案的交替方向隐式（ADI）变体。有关与FD类似的方案的近期讨论，请参见，例如，in’t Hout和Foulon（2010）。这个实现相当于Crank-Nicolson方案，在标准问题中，该方案的收敛速度为(t）, 哪里t是时间离散化间隔。在FD格式和递归投影中，期权价格VT的演化是在空间（X，σ）中的矩形网格上研究的，其中X∈ [日志（K）- 10σLT√T，对数（K）+10σLT√T]和σ∈ [0，0.3]。在OFFD格式中，参数Ms给出X方向上等距网格点的数量，而Mv给出σ方向上等距网格点的数量，因此网格点{（Xi，σp）}i=1，。。。，太太p=1，。。。，mv。参数Lt给出了使用的时间步数。在递归预测中，我们根据抽样方案确定y=2-Ja，其中a是一个正常数，给出{yj}j=1，。。。，J=0时的Ngrid。用参数J描述递归投影的收敛性强调了每次网格点数加倍时近似误差是如何减小的。同样地，w=2-Jwaw，其中a是{w}p=1的Jw=0的步长，。。，σt变量取值的Wgrid。假设同时相关性ρ=0简化了FDscheme的实现，因为忽略XT和σt之间的相关性会使FD Scheme更容易编码，速度更快。另一方面，递归投影方法的速度和复杂性不受为参数ρ选择的值的影响。

相关关系在格林函数G（x，σt，t；y，w，t）中解决，因此在矩阵^G的系数中解决。由于该方法的速度取决于^Gmatrix中的条目数，而不是条目数取的值，因此ρ的选择显然不会影响递归投影的收敛速度。这一特点是递归投影相对于有限差分方案的第一个优势。该模拟研究将给出递归投影和FD方案之间速度差异的下限。为了给美式期权定价，我们应该实施与重组树等价的FD方案。这样做实际上是不可行的，因为这将意味着在每个除息日计算网格中每个点的新期权价格。相反，在每个除息日和每个网格点（Xi，σp），我们选择将固有值H（Xi，th）与连续值V（eXdi，σp，th）进行比较，其中eXdi是最接近log（eXi）的X网格值- d） 。这一选择导致在每个除息率下扰动FD方案，这可能导致收敛速度慢于理论O(t）. 这一特征是递归投影相对于有限差分方案的第二个优势，因为正如我们在第2.3节中所解释的，递归投影可以很容易地适应离散股息，而不会影响算法的收敛特性。递归投影在σ方向上快速收敛。通过设置大于Jw=4的分辨率级别，该方法似乎没有改善；因此，我们在整个模拟过程中保持该值不变。FD格式对σ方向上使用的点数也不太敏感。我们发现，mv=31时，没有任何改善。图8显示了3股息情况的结果。

用于计算pricingerrors的真值为7.397，在分辨率水平J=13时获得。右侧的图表显示FD方案的定价误差作为时间离散化参数LT的函数。每条线都与空间离散化参数ms的不同值相关。时间标签都与ms=3200曲线相关。LT=2048，ms=6400的FD方案交付值在1bp以内；因此，我们假设当相对误差的绝对值在7.397的1bp以内时，这些方法已经收敛。左侧的图绘制了递归投影相对于分辨率水平J的相对优先级错误。左侧图上的回归线显示，估计的斜率几乎与-2由命题2的理论收敛结果预测。FD至少慢一个数量级。例如，比较传递4bp错误（2s对65s）或1bp错误（8s对130s）所需的计算时间。图9比较了两种方法在1-股息情况下的收敛速度。通过J=13的递归投影方法获得7.302的真值。FD方案需要48秒才能达到5bp的相对误差，参数ms=400，LT=2048。相对于ms=200的底部曲线表明，对于较小的空间离散化参数值，该方法不会收敛。FD的小5BP偏差是由于股息d的大值和每个股息日期的方案扰动造成的。正如理论预测的那样，递归投影达到1bp误差带时，作为分辨率水平J函数的速率约为-2。递归投影和FD模式之间速度差异的原因在于，有限差分和求积方法处理时间步进的方式根本不同。

这两种方法都通过矩阵乘法实现时间步进。但是，虽然FD中的时间步数为2或更高，但递归预测只需要3或4个时间步，每个分期付款一个，加上到期日。参数LT、msand mv的大小决定了FD方案的实施效率。如果我们将获得收敛所需的参数LT、Ms和Mv的大小与in\'t Hout和Foulon（2010）中的等效参数值进行比较，我们会发现我们的实现与文献中的最新实现接近。虽然具体的实现可能会比我们的略有改进，但我们认为我们公平地展示了这两种技术的潜力。我们提醒大家，在我们的模拟中，每个时间步的计算时间被低估了，因为ρ=0的假设减少了FD方案ADI实现中中间步骤的数量。最后，如果我们像在我们的经验应用中那样，在标的股票的过程中包含跳跃，那么递归预测的数值复杂性仍然与随机波动率情况下的数值复杂性完全相同。在基础过程中引入跳跃，同时从计算角度保持有限差异的可行性，需要技术设备（例如，见d\'Halluin et al.（2005）），这些设备是模型特定的，尚未与随机波动性结合实施。在补充在线附录的附录H中，我们进一步阐述了ρ=0选项的含义、递归预测和ADI的相对优势，并将我们的实现与d\'Halluin et al.（2005）的实现进行了详细比较。FD和递归投影法之间的另一个显著差异是，后者需要的更改要少得多，以适应不同的定价问题。