随机红利美式期权的早期行权决策

这意味着我们必须在除息日期前立即监控期权价值函数V（x，t），当内在价值（s-- K） +对于小型 > 0可以大于连续值v（Sth，th）。然后，美式看涨期权与百慕大期权共享一个特征，即其价值函数只能在有限的日期进行评估。定价算子的半群性质确保我们递归计算百慕大期权的价值函数v（x，t）。递归包括在时间上向后移动和在每个tl计算，l=1，L- 1:V（x，tl）=最大值H（x，tl），Ee-r（tl+1-tl）V（Stl+1，tl+1）| Stl=x, （6） 边界条件V（y，tL）=H（y，tL）。为了加速递归，我们设置了一个条件，即值网格{yj}j=1，。。。，我们对函数V（y，tl+1）和网格{xi}i=1，…，进行采样，。。。，我们计算函数V（x，tl）的Mat在每个运动日期都重合，这意味着M=N。从现在起，我们使用x变量作为一般条件值，例如，在日期t的基础值，如V（x，t）。如果x在网格{yi}i=1，…，中取特定值，。。。，N、 然后我们写V（yi，t）。然后，在近似的矩阵表示法中，我们得到以下结果：V（tl）~ v（tl）=最大值H（tl），G（tl；tl+1）v（tl+1）, （7） 近似值v（tl）是以下递归步骤的输入，以计算近似值v（tl-1） 共V（tl-1） 。图2显示了在每个行使日期将投影和递归步骤与相同的网格相结合如何将路径相关期权的定价问题转化为一系列矩阵时间向量乘法。[图2关于这里]第3节的命题1正式确定了v（tl）到v（tl）的收敛性质。

从（7）中可以看出，计算仅在百慕大合同中规定的行使日期进行，不需要在任何其他时间点进行任何输入。此外，在之前对网格的附加约束下，如果时间间隔τ=tl+1-tl，l=1，L-1是常数，如果定价算子具有平稳性（时间平移不变性），则矩阵G（tl；tl+1）=G（τ）具有常数项，并且该算法只涉及矩阵的一次计算。在潜在行权日支付的离散股息存在的情况下，该方法很容易扩展。这意味着除息日期集是百慕大运动日期的子集，我们有{th}h=1，。。。，H {tl}l=1，。。。，五十、 我们只需要将股息δ加到（6）中的连续值上。因此，为了给美国期权定价，必须通过在网格{yi）处采样状态价格密度G（x，tl；y，tl+1）来修改等式（7- δ（yi）}i=1，。。。，对于调节值x，每当tl∈ {th}h=1，。。。，H、 矩阵G（tl；tl+1）的入口随后变为Gij=G（yi- δ、 tl；yj，tl+1）y、 如果自由选择采样位置，δ（x）可以是x的任何函数。如果δ（x）=rdx，那么我们可以计算成比例的股息。如果δ（x）=d，那么我们可以适应离散的离散量d。如果δ（x）=0，那么我们返回百慕大期权案例。价值函数V（th）仍然给出了网格点{y，…，yN}处合同的价值；因此，我们可以使用其近似值v（th）作为算法后续步骤的输入，并保持算法的递归性。图3显示了递归方案如何更改为股息帐户。[图3关于此处]美国长期看跌期权持有人的早期行权决策更为复杂。我们考虑了百慕大群岛的运动日期{t。

，，并假设支付股息的日期{th}构成行权日期的子集。然后，通过取L大，我们的方法还提供了一个快速近似值，用于定价支付离散股息的单只股票的美式看跌期权。在Black-Scholes模型中，状态价格密度以以下闭合形式已知：G（x，t；y，t）=ye-r（T-t） p2πσ（t- t） 经验值-对数y- 日志x-（r）-σ/2）（T- t）2σ（T- t）, （8） 其中σ是波动率，定价算子满足平稳性。因此，我们期望得到一种快速、简单、准确的数值算法。在报告之前，我们可以很容易地扩展到除息日期不属于行权日期集的情况。鉴于我们主要对百慕大期权感兴趣，并将其作为研究美国期权的基石，因此我们没有明确说明这一情况。当我们考虑离散股息时，我们排除了股息相对于股价太大的套利情况（参见Haug、Haug和Lewis（2003）的讨论）。结果，我们强调，我们已经尽可能简单地设置了这个介绍性示例，通过限制技术细节来强调直觉。虽然计算结果表明有利于我们的构建，但递归投影方法在以下章节中充分发挥了其潜力，具有更复杂的价格动态。2.3。Black-Scholes模型中的数值示例作为Black-Scholes框架中的第一个数值示例，我们比较了二叉树和递归投影方法在股息支付股票美式看涨期权定价中的收敛速度。股息支付的两种流行建模选择是已知现金金额d或已知股息收益率rd。后者计算方便，因为它会导致重组树。

然而，经验证据表明，公司倾向于承诺在固定日期支付固定金额，并平滑其分配，而不是向下调整并发出现金流减少的信号（有关基于信号的股息政策理论，请参见Miller和Rock（1985））。这些论证证明了我们倾向于将股息建模为固定的已知金额，而不是给定的收益率。已知股息金额假设不会导致重组树，并且在除息日期后的每个节点都会生成一个新的树，这增加了问题的数值复杂性。Vellekoop和Nieuwenhuis（2006）的工作提供了对经典二叉树方法的最新改进，该方法通过近似除息日期权的连续值来合并离散股息支付。这种新算法已被证明比标准的非重组二叉树（non-recombining binomialtree）快得多，因此是此模拟练习的可靠基准。[图4和图5关于此处]图4比较了增强二叉树和递归预测法在离散股息支付股票上的美式看涨期权定价的收敛速度。该期权的到期日为3年，股息d=2在每年年底支付。其他参数，即利率、波动率和履约价格都是设置的。所有代码都是用C++编写的。这些代码可根据要求从作者处获得。分别等于r=0.05、σ=0.2和K=100。我们计算了3种价格：货币价格、货币内价格和货币外价格，分别对应于S=80、100和120。在二叉树中，用10000个时间步获得7.180、18.526和34.033的真实值。

图表显示，在S的三个不同值中，递归投影的速度增加了约10倍，达到了可比的精度水平。如果我们考虑到每个s值都需要一棵新树，那么速度优势就更大了。相反，递归投影方法以一种简单的方式一次性提供整个值函数v（0）。此功能在通过数值微分计算希腊语时特别有用。作为另一个基准，图5显示了递归投影和标准非重组树的收敛速度。尽管非重组树被认为是一种非常有效的方法，但在文献中它仍然被用作一个常见的参考点，我们展示了此图以进行比较。我们可以看到递归投影的速度增益约为10。在补充在线附录的E节中，我们扩展了上述定价实践，并将递归预测与Longstaff和Schwartz（2001）基于蒙特卡罗的方法进行了进一步比较。递归投影比Longstaff-Schwartz方法快至少四个数量级。另一方面，对于S=100，如果我们用已知的连续股息收益率rd=0.013来近似已知的常数股息d=2，那么具有10000步的二叉树的值为18.213，而不是18.526，相对误差约为169bp。这个误差远远高于观察到的买卖价差。这个简单的例子指出了在实证分析中使用能够明确处理离散股息的模型的重要性，而不是使用基于连续股息收益率的近似方法。

在第4节中，我们更广泛地分析了选择连续股息收益率或离散股息收益率对行权边界的影响。此外，我们选择了一种抽样方案，该方案相当于将支付函数投影到一组局部性很好的基函数上，因为它们的支持是通过仅考虑t=1和t=2时支付的股息来获得收益，因为t=3时支付的股息对期权价格没有影响。考虑到2%的股息收益率，期权价值为16.857，这是一个更大的错误。关闭间隔。这意味着Payoff函数的局部特征，如不连续性，由相对于一个或最多两个基函数的系数来描述，这些基函数位于不连续性旁边。该描述避免了在整个域上定义的基函数（如傅立叶正余弦基或埃尔米特多项式基）上投影不连续时，杂散振荡引起的噪声近似。从计算的角度来看，即使对于具有强烈不连续性的支付，如数字支付（Stl，tl）=IStl>Kin a百慕大数字看涨期权，该属性也可以转化为精确的近似值。不连续性最多可能在与不连续性所在区间的指示函数相关的系数中引入噪声。如果我们确保罢工值位于两个连续的网格点之间，使不连续性位于两个连续的指标函数之间的边界，则噪声将完全消除。在这个数字样本中，我们使用标准二叉树作为基准，因为Vellekoop和Nieuwenhuis（2006）的方法在没有股息的情况下没有优势。

图6（示例参数值见表中的标题）显示，二叉树在捕捉Payoff函数的不连续性方面存在问题。因此，百慕大数字看涨期权的树方法的收敛速度非常慢。这些粗略的预测也至少比货币期权定价快一个数量级。对于S=120，二叉树的明显非单调收敛是因为这两种方法都可以快速收敛于货币期权，并且该图仅显示围绕真值的半个基点的小振荡。[图6关于此处]3。快速递归投影估价在本节中，我们概括了第2.1节介绍性示例中开发的方法。我们考虑一组练习日期{tl}l=1，。。。，五十、 tL=T。起点是下列恒等式：V（x，t）=ZG（x，t；y，t）H（y，t）dy=Z∞Xi=-∞hG，ИiiИi（y）∞Xj公司=-∞hH，ИjiИj（y）dy公司=∞Xi，j=-∞hG，ИiihH，ИjiZИi（y）Иj（y）dy=∞Xj公司=-∞hG，ДjihH，Дji，（9）其中{j}i∈Zi是L中的一个通用局部正交基，即每个函数的支持度。hG（x，t；·，t）Дj（·）i和hH（·，t），Дj（·）i（分别缩写为hG，Дji和hH，φji）是G和H在{Дj}i上的线性投影系数∈Z、 快速递归预测估值基于两个步骤：投影步骤和递归步骤。投影步骤包括基于{j}j在时间T投影G和H∈Zand计算系数hG，Дji和hH，Дji。由于对局部基函数{Дj}j的有限支持∈Z、 作为函数H和局部基函数Дjare之间的内积计算的所有系数hH，Дji都会自动定义，即使H不是L-可测的。

递归步骤包括通过计算最终和不等式（9）将系数传输回时间。我们通过考虑指标函数的正交集{ej}j来发展该方法∈Z、 ej=1/√y Iyj，yj，对于具有步长的等距网格{yi}y和yj=yj- y/2，yj=yj+是/2。集合{ej}j∈Zis是Lwhen的基础y→ 然后，如等式（5）所示，我们可以用√yH（yj，T）和√y G（x，t；yj，t）。因此，投影步骤仅包括在网格点{yj}j处对相关函数进行采样∈Z、 递归步骤源自这样一个观察结果，即如果等式（9）中的x取网格{yj}j中的值∈Z、 然后v（yi，tL-1） =P∞j=-∞G（yi，tL-1.yj，T）H（yj，T）yand v（yi，tL-2） =P∞j=-∞G（yi，tL-2.yj，tL-1） v（yj，tL-（1）y是V（yi，tL）的近似值-1） 和V（yi，tL-2） 。也就是说，有一个递归线性表达式，它在连续时间和{yj}j的不同点连接合同的值∈Z、 这里，所有函数都在同一网格{yj}j上采样∈Z对于每个潜在行使日期{tl}l=1，。。。，五十、 这样做可以实现方程（7）的矩阵表示。在以下部分中，我们将在两个不同的框架中描述projectionstep和递归步骤。在第3.1节和第3.2节中，我们考虑了状态价格密度以闭合形式已知的情况，如第2节中开发的Black-Scholes示例或Merton跳跃扩散模型。在第3.3节和第3.4节中，当状态价格密度的特征函数具有已知的分析形式时，我们对投影步骤和递归步骤进行了描述，如赫斯顿模型。在我们的演示中，我们一般将第二类模型称为“随机波动率”情况。

第3.3节和第3.4节中开发的方法涵盖了一个有效的跳跃差异模型和Levymodels，其中我们通过转换分析进行定价。这里，关键要求是能够数值计算国家价格密度的特征函数。在第3.5节中，我们提供了赫斯顿案例中的数值示例。3.1。Merton Black-Scholes：投影步骤投影步骤基于正交函数集{ej（y）}j对Payoff函数和stateprice密度的近似∈Z： ~H（y，T）=py∞Xj公司=-∞H（yj，T）ej（y），（10）~G（yi，T；y，T）=py∞Xj公司=-∞G（yi，t；yj，t）ej（y）。（11） 每个区间[yj，yj]中的▄H（y，T）和▄G（yi，T；y，T）的值由在每个区间中点yjo处采样的函数G和H的值给出。然后，我们得到▄H（y，T）和▄G（yi，T；y，T）是H（y，T）和G（yi，T；y，T）的分段常数近似值。在算法中，我们只需要量{H（yj，T）}j∈Zand{G（yi，t；yj，t）}j∈Z、 我们使用proveProposition 1补充在线附录A节中的完整表述（10）和（11）。在这里，我们表明，依赖抽样近似值（10）和（11）而不是等式（9）中内积给出的正交投影，使得定价算法的收敛性不受影响。3.2。默顿-布莱克-斯科尔斯：递归步骤下面的命题给出了一个递归公式，该公式关联了网格{yj}不同点处期权的近似值∞j=-∞在练习日期集的不同点{tl}l=1，。。。，五十、 它还说明了算法的收敛速度。提案1。设H（y，T）为| H（y，T）-H（y，T）|<C | y-y |对于正常数，对于| y- y |<y

此外，对于一组日期{tl}l=1，…，定义vi（tl），。。。，五十、 其中tl=T，如下所示：vi（tl）=maxnH（yi，tl），Xj∈ZG（yi，tl；yj，tl+1）H（yj，tl+1）哟，因为l=l- 1，（12）vi（tl）=maxnH（yi，tl），Xj∈ZG（yi，tl；yj，tl+1）vj（tl+1）yo，对于l=1，L- 2.（13）然后，对于每个tlin{t，…，tL-1} ，在（12）和（13）中定义的近似值vi（tl）收敛到真值V（yi，tl），近似误差为O级(y）.证据见补充在线附录A节。原则上，H（y，T）上的连续性条件排除了数字支付。我们需要在每个间隔内保持该条件以网格{yj}为中心的y∞j=-∞. 我们仍然可以通过确保罢工价值位于两个连续网格点之间来为数字期权定价。那么命题1中的收敛性质仍然成立。此过程与在求积法中放置节点不同，因为所有日期{tl}l=1，…，网格保持不变，。。。，L规定履约价格不随时间变化。通过固定的网格，我们可以为更奇特的选项定价，例如，如果障碍发生在每个tl的基础值相同的情况下，具有向下和向外功能的数字看涨。方程式（12）和（13）之间的主要差异由以下解释提供。在（12）的右侧，我们找到了网格{yj}j上Payoff函数h（y，T）所取的精确值∈N、 也没有近似的支付。在方程（13）的右侧，我们发现值{vj（tl+1）}j∈n在算法的前一步中得到，这些是真值{V（yj，tl+1）}j的近似值∈N、 不管这种基本差异如何，命题1指出，两种情况下的收敛速度是相同的。对于到期日为T的欧式期权，通过取T=tlin（12），我们得到了T时期权的近似价格。