随机红利美式期权的早期行权决策

在方程（4）中，矩阵G（t；t）仅取决于基础资产的动态，而不取决于支付。我们可以一次性计算它，并使用它为不同支付方式的不同期权定价，因为支付功能形式只影响向量H（T）。这种设计特别适合面向对象编程，它通常用于定量办公桌。在有限差分方案中，我们不能通过使用相同的转移矩阵对不同支付的期权进行定价，因为边界条件会影响矩阵的计算方式。数值应用与实证4.1。早期运动边界的数值比较在本节中，我们比较了Black-Scholes模型与Heston随机波动率和Merton跳跃扩散模型所暗示的早期运动边界。我们研究了两种情况：i）股票分配连续股息收益率，ii）股票分配离散股息。将案例i）和ii）与基础资产和不同到期日的不同建模假设相结合，会导致非常不同的模式。例如，在离散股息情况下，Black-Scholes模型下的提前行权边界低于Heston模型下的提前行权边界，而在连续股息情况下，则相反。因此，通过将离散股息建模为连续收益率，我们可以在次优不执行的实证评估中得出误导性结论。练习边界*t对于具有连续股息收益率的美式看涨期权，定义为St的最低值，例如- K≥ C（St、T、K）。如果当前库存的价值高于S*t、 然后是看涨期权持有人行使其期权的最佳选择。对于离散股息，只有在除息日前几天行使看涨期权才是最佳选择。

运动边界S*t对于美式看涨期权，则定义为SthsuchSth的最低值- K≥ （某物）- d、 T，K）。[图10关于此处]在图10的面板A中，我们绘制了美国看涨期权的赫斯顿和布莱克-斯科尔斯模型的早期行使边界，连续股息收益率rd=0.03（右图）和同等季度离散股息d=1.38（左图）。我们选择d=1.38，在连续股息收益率rd=0.03和离散股息情况之间有一个等价的年度总股息。实际上，1.38=0.03S*/4，其中S*= 184是Black-Scholes模型下到期日T=0.5的股息收益率情况下的临界股价。我们使用以下一组代表性参数：T=0.5，K=100，r=0.05，σ=0.2，ω=0.1，σLT=0.3，β=4，ρ=-0.5（Adolfsson等人（2013））。为了进行比较，我们遵循Heston（1993），并使用Black-Scholes模型，该模型的波动性参数与Heston模型中期权寿命期间即期回报方差（平方根）相匹配。当股票按季度定期派息时，在到期日为T=0.5的期权有效期内，只有两次派息，而在支付日期之前，行使期权才是最佳选择。在我们的示例中，两次股息支付发生在t=0和t=0.25时，分别对应于0.5和0.25的到期时间。在这两个日期，Black-Scholesmodel下的运动边界值都较低。对于连续股息收益率，赫斯顿早期行使边界始终低于布莱克-斯科尔斯边界，而对于离散股息，情况正好相反。尽管连续股息案例中的发现与Adolfssonet al.（2013）的结果一致，但离散股息案例中的发现是全新的。

这种差异需要进一步的直观讨论。假设只需支付一笔离散股息。除息日后立即买入期权的持续价值为剩余到期时间的Europeancall。当ρ≤ 0时，早期行使可能是最佳的深度货币认购的欧洲期权价格在赫斯顿案中高于布莱克-斯科尔斯案（见赫斯顿（1993）；赫尔和怀特（1987））。例如，在图10面板B的左图中，到期时间为0.25时，股价范围约为150。即使在计算续发价值时考虑到股息下降，除息股票价格也应保持在赫斯顿价格较高的地区。我们可以重复相同的论点，对一些离散股息进行有效分配（通常为百分之几），以防止股价在Black-Scholes模型下看涨期权更有价值的价格范围内下跌。具有连续红利的边界的行为不太容易理解。继Kim（1990）和Jamshidian（1992）之后，我们可以将美式期权的价值V（St，t）分解为两个部分，即欧洲价值VE（St，t）和早期行权溢价VA（St，t），即：V（St，t）=VE（St，t）+VA（St，t）（22）=e-r（T-t） E类（ST- K）+St，σt+中兴通讯-r（s）-t） E类（rdSs- rK）I（Ss>S*s）St，σtds，其中S*s和I时的早期运动边界（Ss>s*s） 如果在时间s，股票位于练习区域，则等于1，否则为零。我们可以将VA（St，t）解释为成熟度为t的欧洲看涨期权的连续体- s、 执行价格s*s、 和付款- rK。

对于这些欧式期权中的每一种，我们都可以应用Hull和White（1987）中表II的结果，该表比较了一般随机波动动力学下欧式期权的价值与Black-Scholes价格。在随机波动率假设下，当合同价格为货币和ρ时，看涨期权价值较低≤ 0、当Ss=S时，构成VA（St，t）的合同连续体为货币*s、 正如我们的数值模拟所证实的，s*S值分布在S=150正上方的区域，也就是说，赫斯顿模型下的美国期权价格低于布莱克-斯科尔斯模型下的价格，并在图10面板B的右图中解释了负起伏。同样，我们可以在默顿跳跃扩散模型下描述早期练习，其中资产根据以下跳跃扩散过程进行转移：dStSt=（r- 研发部- γν）dt+σMdWt+（ψ- 1） dqt，（23），其中Rdi是资产支付的连续股息收益率，σMis是在无跳跃到达的条件下回报的瞬时方差。泊松过程q（t）与Wt无关，因此dt中出现跳跃的概率为γdt，1- γ不发生跳跃的概率。参数γ表示单位时间内的平均跳跃次数。随机变量ψ为ψ- 1描述了发生Poisson事件时股票价格的百分比变化，且ν=E[ψ- 1] 是平均跳跃大小。我们进一步做出了标准假设（例如，见Amin（1993）；Bakshi et al.（1997））该对数（ψ）~ N（uψ，σψ）。如果γ=0，则恢复标准Black-Scholes模型，且无跳跃。我们使用以下一组代表性参数：K=40，r=0.08，γ=5，σM=0.05，σψ=0.05，uψ=0（Amin（1993））。

我们将Black-Scholes模型中的波动率参数设置为默顿模型中期权寿命内基础收益率的波动率。[图11关于此处]在图11的面板A中，我们绘制了美式看涨期权的默顿和布莱克-斯科尔斯模型的早期行使边界，其中连续股息收益率rd=0.05（右图），股票支付的季度离散股息D=1.125（左图）。至于赫斯顿案例，连续股息案例的结果与现有文献（如Amin（1993））一致，我们对离散股息案例提供了新的见解。为了解释图11中的图形，我们必须进行重要的区分。对于短期到期期权，方程式（23）中的跳跃部分主导了差异部分。正如Amin（1993）和Merton（1976）所解释的，结果是Merton模型下的短期到期债券价格高于Black-Scholes模型下的短期到期债券价格。我们称之为跳跃效应。对于更长期限的债券，跳跃效应不再主导波动成分，而是产生了一种相互作用，使得跳跃-波动过程在观测上类似于随机波动过程。对于离散股息，正如之前在赫斯顿案例中讨论的那样，跳跃效应和随机波动效应在默顿案例中预测的边界比在布莱克-斯科尔斯案例中预测的边界更高，这对所有到期日都适用。这一结果正是我们在图11面板A的左图中发现的结果。对于连续股息情况，我们发现短期到期债券的跳跃效应占主导地位，默顿模型下的边界比布莱克-斯科尔斯模型下的边界更高。

对于长期波动，跳跃效应减小，边界表现为之前的随机波动，我们取d=1.125，因为1.125=0.05S*/4，其中S*= 90是临界股价，到期日T=0.5时，分割收益率rd=0.05。模型，即采用比Black-Scholes情况下更低的值。这些见解解释了我们在图11面板A右图中观察到的早期运动边界的交叉。本节的一个关键数字结论是，当我们面临离散股息时，在Black-Scholes模型下，早期行使更有可能。在下一节中，我们将评估这一发现对次优不执行成本的经验后果。4.2。实证分析在这一部分中，我们应用递归投影方法来刻画一大样本看涨期权的早期行使边界。这些期权的到期日不到六个月，以支付股息的股票为标的，这些股票是道琼斯工业平均指数（DJIA）的一部分。样本包括1996年1月至2012年12月期间的每日观察结果。我们根据在标的资产的不同建模假设下，行权边界可以采取的不同价值，研究看涨期权持有人的早期行权决策。按照Pool等人（2008）建议的程序，我们首先通过比较股息支付前的内在价值与除息日的持续价值来检查应该执行哪些合同。我们量化了在次优非执行决策的情况下经济损失的金额。这一数量取决于连续值，并且是特定于模型的。我们将在三种建模环境下（即Black-Scholes、Merton跳跃扩散和Merton跳跃扩散）获得的结果与Heston模型的随机波动动力学进行比较。

贝茨（1996）是第一个建议将梅顿模型和赫斯顿模型相结合的人，因此，我们将该工艺规范称为贝茨模型。最后，每当我们发现次优非行权决策的证据时，我们都会表明，仅凭交易成本无法证明投资者的行为是合理的。在我们的实证分析中，我们充分考虑了标的股票分布的离散性和美国式的看涨期权，并对三种定价模型进行了定价。考虑到期权的标准实证文献主要集中于欧洲标准普尔500指数期权，其股息收益率或仅限于布莱克-斯科尔斯模型，这一特征是我们工作的一个特点。我们已经在第2.3节中的一个示例中展示了忽略股息支付的离散现金流特征，并将其近似为连续股息收益率，如何导致169bp的定价错误。在我们的实证分析中，我们还需要正确考虑付款时间。在处理美国股息支付股票期权时，Apopular方法就是所谓的“托管股息”模型。在这种近似情况下，期权的定价就好像它是一份欧洲合同，按现行股票价格减去剩余寿命内分配的所有股息的现值进行估价。这项技术正确地模拟了看涨期权的持有人不受股息分配的保护，但没有适当地整合美式期权的早期行权溢价，并且往往低估期权的价格。因此，采用这种方法的投资者可能会低估早期行权边界的价值，并行使一份通过保持活力会更好的合同。例如，2006年5月10日，杜邦公司的股票收于45.71美元。

如果连续值计算正确，则不应行使k=30且T=0.45的看涨期权，但如果连续值与Europeanprice近似，则应行使期权。在这种情况下，如果投资者错误地行使其期权，如果根据默顿动力学对现货价格进行建模，他将蒙受200个基点的损失。我们对替代建模环境的选择遵循Bakshiet al.（1997）的经验发现，他们认为跳跃和随机波动性在定价短期期权中起主导作用，而建模随机利率似乎并不能显著改善定价性能。此外，选择跳跃到达分布不等式（23）的动机是Bajgrowicz、Scaillet和Treccani（2015）的工作，他们的工作表明，单个股票的高频数据支持跳跃到达遵循简单的低强度泊松过程的假设。他们的发现也支持默顿（1976）的假设，即跳跃成分是非系统的，即多样化的，因为没有影响所有股票的CO跳跃。这解释了我们对贝茨模型的选择，其中Xt=log（St），我们在补充在线附录G节中进一步阐述了该示例，其中我们表明，在下一节的实证中，当衡量次优成本时，将股息作为离散现金流的正确建模确实很重要。带：dXt=（r- 研发部- γν-σt）dt+σtdW1，t+log（ψ）dqt，（24）dσt=βσLT- σtdt+ωqσt·dW2，t，E（dW1，t·dW2，t）=ρdt，和log（ψ）~ N（uψ，σψ）。为了在贝茨模型中实现递归投影，我们需要方程（24）中隐含的格林函数。

由于跳跃过程与布朗运动dW1、dW2、t无关，我们利用了一元过程的特征函数是独立一元过程特征函数的乘积的性质。然后，如第3.4节所示获得转移矩阵。贝茨模型表明，将递归投影调整到更复杂的模型是很简单的。贝茨模型的转移矩阵中的条目数与赫斯顿模型中的条目数完全相同。在校准过程中，我们将传递矩阵的计算与第3.3节所述的FFT和全采样方法进行了比较。因为我们发现FFT正确地再现了Γ（yi，wp，tl；tl+1）矩阵，所以我们选择在整个经验练习中使用FFT，以利用FFT算法提供的进一步提高的速度。所有期权属性、股票价格和股息分配详细信息的每日数据都来自Optionmetrics。我们从美联储H15报告中的国债持续期限中获取每日利率数据。共有101295系列的短期期权写入我们的数据库，这些期权由30只股票组成。记录总数约为950万条。这个数字强调了快速和通用的数值方法的重要性。表1列出了每只股票的报价数量，并按到期日和资金状况进行了细分。我们的研究重点是投资者的早期行使行为；因此，我们将重点放在货币期权上，这是报价数量最多的一类期权。[表1和表2关于此处]我们通过沃顿研究数据服务（WRDS）研究平台访问Optionmetrics和H15数据库。4.2.1。

估算次优非练习的成本表2报告了三个建模框架的校准结果。我们通过最小化隐含波动率均方误差获得参数，如inChristo Offersen和Jacobs（2004）。表2的第一行显示了在我们的单只股票样本上校准的参数的平均值，而第二行报告了Bakshi等人（1997）从标普500指数合约中获得的相同参数的平均值。控制波动率微笑水平的参数，即BlackScholes波动率σBS、长期波动率σLT和即期波动率σ，在我们的单只股票校准中比在指数校准中高得多，这反映了一个众所周知的事实，即指数的波动性比其组成部分要小。事实上，在我们的样本中，平均Black-Scholes波动率为29%，σ为28%，平均长期隐含波动率为32%，而对于指数期权，相同的参数值分别为18.15%、20%和20%。贝茨模型中的跳跃参数表明，单只股票的跳跃频率平均低于指数股票（γ股票=0.5，γSP 500=0.61），但单只股票的振幅和变异性更高（μψ，股票=-指数（uψ，SP 500=-0.09和σψ，SP 500=0.14）。鉴于该指数是一个多样化的投资组合，每当其中一个组成部分跳跃时，它就会显示跳跃，但单个股票跳跃的非系统性（见Bajgrowicz et al.（2015））削弱了总体水平上的变异性和幅度。