随机红利美式期权的早期行权决策

这一特征是O\'Sullivan（2005）和Lord et al.（2008）无法跨越的障碍，但被Chen et al.（2014）克服了。然而，尽管后者认识到将特征函数和FFT用于Heston的可能性（这也可以用于Heston加Merton跳跃），但他们专注于演示其跃迁密度近似技术。我们构建过渡矩阵的方式使得这些矩阵的近似误差与时间范围无关。所需的时间步数仅由合同的特征决定，例如合同需要监控的日期，而不是由时间维度中的网格大小要求决定。我们可以评估任意时间步的值函数的转换，而Schen et al.（2014）最多可以处理等于0.1年的时间步，如果他们使用近似值，而不是特征函数，这会增加中间步骤，从而减慢他们的定价算法。此外，在我们的方法中，转移矩阵具有一些空间和时间同质性，这使得其条目的计算看起来非常简单。例如，股息支付等中间现金流不会影响草率性质以及时间和空间的同质性。本文的数值贡献是一种一般的随机最优控制方法，其矩阵形式在随机折扣因子方面有着诱人的解释。Hodder和Jackwerth（2007）的工作与我们的方法有一些共同的直觉，通过在等距网格上离散单变量控制变量，解决了对冲基金管理的一个时间依赖和变量依赖的最优控制问题。最后，我们认为，我们进行的实证研究有利于递归预测的执行速度和速度。

为了说明速度和简便性，我们只需要两次矩阵/向量乘法，不到一秒钟就可以评估BlackScholes案例中美国看涨期权及其希腊股票在到期日前支付一次股息的情况。竞争方法是Vellekoopand Nieuwenhuis（2006）引入的一种改进的树方法，大约慢一个数量级。类似地，在赫斯顿模型中，对于在到期日之前支付三等分的股票，几秒钟就足以评估美国看涨期权及其希腊看涨期权，而有限差分法替代法则需要更多数量级的时间才能达到同样的精度。迄今为止，Black-Scholesworld之外还没有关于股息支付股票期权的实证研究，因为现有方法过于耗时。事实上，Broadie et al.（2007）指出，“美式期权所需的计算时间使得校准非常大的期权集不切实际。”由于递归投影，我们证明了这是可行的。本文的组织结构如下。下一节回顾了数字期权定价的最新进展。在第2节中，我们开发了一个基于BlackScholes模型的介绍性示例，并给出了一些初步的数值结果，显示了我们的技术的优势。在第3节中，我们研究了通过快速递归预测进行估价的一般情况，以便包括标准的a ffne模型。我们给出了Black-Scholesand-Heston模型的数值例子。我们还提供了计算期权价格在采样频率方面的理论收敛性，并刻画了计算期权价格的收敛速度。在第4节中，我们介绍了算法的创新应用。在第4.1节中，我们描述了不同建模假设下的早期练习边界。

在第4.2节中，我们给出了关于未能最佳行使Americancall期权的成本的实证结果。第5节总结了一些结论。补充在线附录包含命题证明、与现有方法的额外比较，并对数据和校准程序进行了详细描述。1、备选定价方法回顾如上文导言部分所述，期权定价的数值方法分为以下两类：差分法和积分法。微分方法通过对相关的偏微分方程进行数值近似，提供定价问题的解决方案（参见上一节的参考文献）。本文前面报告的积分方法，Broadie et al.（2007）在其附录A中表明，将美国选项转换为欧洲选项对于其应用中的校准目的并不重要，但我们在下文中表明，这确实在我们的研究中产生了差异。近似条件预期，给出金融合同的无套利价值。一些方法位于两组的边界。一般而言，二叉树技术和晶格方法（Cox、Ross和Rubinstein（1979）、Broadie和Detemple（1996）、Vellekoopand Nieuwenhuis（2006））虽然在实施上与有限的差异相似（Rubinstein（2000）表明它们基本相同），但属于完整的方法家族，假设它们提供了条件期望的离散近似。

Barone Adesi和Whaley（1987）从Black Scholecase中的偏微分方程表示出发，提出了一种具有连续股息收益率的美式期权的闭合形式近似。在本节中，我们重点讨论积分方法，因为包括我们在内的主要近期贡献都属于这个家族。积分表示法源于这样一种观察，即无套利经济体中的期权估值相当于使用线性算子，将当日价格分配给期货日期的支付。这些线性算子是条件期望算子。在多时期经济体中，估价的时间一致性确保了此类经营者家族能够满足半集团财产的要求（Garman（1985））。由于大多数估价模型对应于标的资产价格的马尔可夫环境，因此半群属性由马尔可夫过程的迭代期望定律形式化（Hansen和Scheinkman（2009）），其中马尔可夫状态由潜在行使的时间范围索引。从计算角度来看，定价算法试图近似以下内容：（i）在一个潜在行使日期对信息的条件预期，以及（ii）在不同潜在行使日期条件预期之间的递归关系。Geske和Johnson（1984）将离散化日期的期权定价问题表示为多元积分。Kim（1990）、Jamshidian（1992）和Carr、Jarrow和Myneni（1992）将这种方法扩展到连续时间，并将美国合同的早期行使溢价表示为一个完整的术语，其解释是连续现金流的风险中性估值。该附加积分是练习边界的函数。

Bunchand Johnson（2000）、Huang、Subrahmanyam和Yu（1996）、Ju（1998）和Ibá~nez（2003）提出了计算Black-Scholesmodel环境下自由边界和期权价格的算法。Detemple和Tian（2002）将这些贡献扩展到随机利率的扩散过程。这些方法很难适应离散股息。Roll（1977）、Geske（1979）和Whaley（1981）提供了Black-Scholes框架下支付单个离散股息的美国期权定价的闭合形式近似。Medvedevand Scaillet（2010）利用短期渐近性，发展了随机波动率和随机利率下的美式期权价格近似值（对于Black-Scholes案例，见Lamberton和Villeneuve（2003））。这些近似值准确且灵活，但无法适应离散股息。它们主要适用于指数和汇率期权。近似定价运算符的另一种方法是模拟基础资产的轨迹，以计算条件期望。Broadie和Glasserman（1997）在Black-Scholes案例中首次对美式期权进行了基于模拟的分析。最近的蒙特卡罗方法从Longstaff和Schwartz（2001）的工作开始，发展为Haugh和Kogan（2004）、Rogers（2002）和Andersen和Broadie（2004）的所谓对偶方法。对偶方法使用模拟来确定真实价格的下界和上界。从这个意义上说，它是《道路和模板》（1996）的延伸。正如Andersen和Broadie（2004）的数值实验所示，区间可能很紧，这使得该方法非常精确。这种方法的优点是，它几乎可以处理任何类型的过程动力学、状态变量结构和支付规范。

然而，与所有基于仿真的方法一样，为了达到精度，时间维度上的离散步骤必须很小（除了几何布朗运动等琐碎情况），这使得计算很长。Desai、Farias和Moallemi（2012）通过提供一种新的算法来计算上界，从而在速度方面提高了上界，从而重新定义了二元方法。我们可以在适当的基础函数上表达系列开发的条件期望，这是我们在后续章节中将绿色和价值函数投影到局部基础函数时所遵循的方法。我们已经可以通过一组基函数（如Madan和Milne（1994）、Lacoste（1996）、Darolles和Laurent（2000）中的多项式）的表示在文献中找到复杂支付的简单且易于处理的预测。Chiarella、El Hassan和Kucera（1999）提出了一种基于Black-Scholes模型中Hermite多项式的快速递归投影方法（关于Merton（1976）模型的扩展，请参阅Chiarella和Ziogas（2005））。他们还解释了他们的方法如何为期权定价的路径积分方法的实施提供可行的数值方法，如Inlinesky（1997）所述。我们的论文是前一篇文章的扩展，因为我们使用投影的抽样技术来提高速度。这一系列模型通常假设标的资产为几何布朗运动，有些例外情况下考虑跳跃，但不考虑随机波动。在最近将埃尔米特多项式应用于定价的过程中，休（2014）通过使用转移密度的有限元展开，提供了欧洲期权价格的一般、封闭形式近似，但不是路径依赖的期权价格（有关展开的相关工作，另见a"it-Sahalia和Kimmel（2007，2010））。

Kristensen和Mele（2011年）通过扩大真实模型价格和Black-Scholes价格之间的差异来近似期权价格。他们可以为某些特定的路径相关期权定价，如障碍期权，但不能解决更一般的路径相关支付功能，如离散股息。我们的递归投影方法与Ben Ameur、Breton和Martinez（2009）的动态规划方法有一些共同的特点，即它们也在固定网格上近似值函数，并使用局部多项式插值以重建值曲面。他们假设随机波动率为GARCH过程，并获得条件期望的封闭式公式，以计算前一时间的gridof值。虽然计算效率很高，但他们的方法仅限于GARCH过程族，自然无法容纳红利。如上所述，我们的方法与正交模型族具有相同的特征。除上述贡献外，Jackson、Jaimungal和Surkov（2008）还引入了一种更为先进的时空步进算法，对Levy过程下的百慕大期权进行定价。这种有效的方法无法扩展到随机波动率框架。2、介绍性示例在本节中，我们将展示Black-Scholesmodel中欧洲支付的定价问题如何转化为函数预测。推导使用初等微积分概念。然后，我们解释了当股票支付离散ividends时，我们如何利用投影来构建与价值路径相关的期权（如百慕大期权和美式期权）的快速递归方案。我们设计这个介绍性示例是为了强调支持我们方法的直觉。2.1。方法说明：欧洲案例是指t日标的资产的价格，并假设利率不变，以便于说明。

对于St=x，欧式期权的值函数V（x，t）由以下条件期望给出：V（x，t）=Ee-r（T-t） H（ST，t）St=x, （1） 其中，H（ST，T）是支付函数，表示为时间T和基础资产统计到期日T的函数，r是恒定无风险利率。当（1）中的定价算子承认状态价格密度G（x，t；y，t）时，即所谓的格林函数，即从时间t的点x到时间t的点y的转移概率密度的贴现值，我们得到了熟悉的积分形式：V（x，t）=ZG（x，t；y，t）H（y，t）dy。（2）现在考虑一个由点{y，y，…，yN}组成的规则间距网格，该网格定义了一个有限区间d=[y-y/2，yN+是/2]，带y=yj-yj公司-我们知道，在适当的正则条件下，限制在区间D内的积分（2）可以用黎曼和近似如下：V（x，t）~N-1Xj=1G（x，t；yj，t）H（yj，t）y、 t<t，（3）其中~ 符号表示右手项收敛到左手项，如下所示y→ 表示法（3）在标准积分学中称为“矩形法”。如果我们有兴趣在点{x，…，xM}的规则间距网格上计算V（x，t）的值，例如绘制合同的值函数，或计算希腊语，我们可以用矩阵形式表示（3）如下：V（t）~ v（t）=G（t；t）H（t），（4），其中v（t）=V（x，t），V（xM，t）），V（t）是V（t）的近似值，V（t）是从输入为Hj=H（yj，t）的x 1向量H（t）和输入为nriesgij=y G（xi，t；yj，t）。方程（4）描述了经济的离散化。

我们可以把矩阵G看作是Arrow-Debreu价格矩阵，其中的行表示离散状态{xi}i=1，。。。，Mat当前日期t，列表示离散状态{yj}j=1，。。。，未来日期T。我们可以将列向量V（t）和H（t）分别解释为日期t和t的状态或有值向量。矩阵算子G将日期的未来支付折扣为日期t的当前价格（Garman（1985））。让我们更仔细地研究H（T）的元素。为了便于阅读，我们定义了yi=yi-yand yi=yi+y、 我们可以将值H（yj，T）解释为数量（1）的近似值/y） ZyjyjH（y，T）dy=（1/py） Z√yIyj，yjH（y，T）dydef=√yZej（y）H（y，T）dy，（5）其中ej（y）=√yyj，yj，其中Iyj，yjis是区间[yj，yj]的指示函数。由于{ej（y）}j=1，…，是一个正交集，给定标准林纳积hf，gi=Rf（x）g（x）dx，我们可以将向量H（T）的条目视为（1）的近似值/√y） times网格{y，…，yN}定义的正交指标函数集上支付函数H（y，T）的分解系数。类似的论点也可以应用于G（t；t）矩阵的系数：G（t；t）的每一行都由√y乘以条件密度G（xi，t；y，t）在同一正交正态集上的投影系数。我们希望将（4）中出现的所有数量解释为价格，从而调整了G和Hare条目的归一化因子的不同选择。我们知道V（x，t）和H（y，t）是值函数，G（x，t；y，t）是状态价格密度。总的来说，我们可以将积分（2）的数值近似解释为函数在正交基上的投影。在下一节中，这种解释是将递归投影方法推广到更复杂模型的关键。

在我们的例子中，函数投影归结为在N个点{yj}j=1，…，的网格上对给定函数进行采样，。。。，Nvia离散变换。从计算角度来看，H（T）项总结了未来行权日的支付如何依赖于标的资产的价格，G（T；T）项总结了标的资产的价格如何根据行权日之间的时间从一种状态过渡到另一种状态。图1给出了快速递归投影方法的两个计算步骤的图形表示，（i）投影步骤，和（ii）递归步骤。对右侧t处的值函数和左侧给定值x=St的状态价格密度进行采样（投影步骤）；将得到的值数组逐元素相乘，然后将乘积求和，得到V（x，t）的值（递归步骤）。[图1关于此处]2.2。方法描述：路径依赖案例现在让我们讨论路径依赖合同的估价。我们首先考虑aBermudan方案。我们考虑一组{t=t，…，tL=t}练习日期。在每个tl，百慕大期权持有人可以决定是否行使。如果内在值h（Stl，tl）def=（Stl- K） +=最大{Stl- K、 0}大于保留选项的值，即连续值。百慕大期权是研究美国股息支付股票期权的理想基石。众所周知，在除息日{th，t<th<t}h=1，…，之前立即行使美式看涨期权是最佳的，。。。，H例如，有关早期锻炼策略的讨论，请参见Pool等人（2008）。