随机红利美式期权的早期行权决策

贝茨模型随机波动率组成部分的其余两个参数，相关参数ρ和波动率的波动率ω，对隐含波动率微笑的形状有特殊影响（Hagan、Kumar、Lesniewski和Woodward（2002）；West（2005））。负ρ表示微笑呈负斜率。在单一股票情况下，相关参数的绝对值较低（ρSP 500=-ρ库存=0.52-0.35），这意味着指数的隐含波动率微笑比个股的更为负斜率。这一发现与Bakshi、Kapadia和Madan（2003）的发现一致，他们描述了指数斜率与补充在线附录F部分斜率之间的相同关系，并对数据和校准程序进行了详细描述。个股隐含波动性微笑。Bollen和Whaley（2004）也发现了相同的模式，并通过将指数微笑的斜率与指数看跌期权的购买压力联系起来加以解释，同时看涨期权的需求驱动了单只股票微笑的形状。波动率ω的波动率决定了隐含波动率微笑的凸性。ω所测值的差异是惊人的。我们发现股票期权的ω值为75%，而Bakshi等人（1997）发现短期指数期权的ω值要小得多，为40%。这种差异是由于股票期权相对于指数期权的隐含波动率微笑具有更高的凸性，Bollen和Whaley（2004）也记录了这一特征。参数ρ和ω通过基础收益分布的高阶矩与微笑形状相关。

ρ越负，指数收益率相对于股票收益率的分布越负偏斜，而单支股票收益率的ω越高，则指数收益率分布的峰度越高。在补充在线附录的表I中，我们提供了更详细的结果，包括按库存分类的校准，并且我们表明，校准参数的值在库存中是均匀的。在校准模型后，我们可以计算价格C（某物-1.-d、 K，T）在股息支付日th的前一天，使用递归预测。价格（某物）-1.- d、 K，T）是在分配股息d之日，期权的持续价值。将其与内在价值进行比较-1.- K、 我们可以评估应该在- 如果应行使期权（即C（某事物-1.- d、 K，T）≤某物-1.-K） ，然后在除息（OIth）前一天结束时为正的未平仓利率-1> 0）衡量投资者未能行使期权。在这种情况下，我们按照以下比率计算次优非运动百分比：NE%=OIth-1第个-2、（25）即第天结束时未履行的合同数量- 第天结束时未履行的合同总数的1- 2、方程式（25）中定义的数量是实际非行权比率的近似值，因为它忽略了在日期-1、该事件不太可能发生；事实上，Pool等人（2008年）在拥有实际锻炼数据的合同子样本上测试了近似值。

他们得出结论，近似值（25）是对期权投资者实际行使行为的精确描述。由于次优未行使而留在表上的总金额由以下公式给出：T L=100×OIt-1×[（St-1.- K）- C（St-1.- d、 K，T）]。（26）连续值C（St-1.- d、 K，T）取决于用于定价的模型；因此，次优不行权（TL）造成的总损失本身就是模型特有的。表4给出了投资者次优不行权行为的结果。[表4关于此处]表4清楚地表明，最佳的早期行使决策取决于股票价格所使用的模型。在Black-Scholes模型下，应执行约9.5%的未偿合同，而在替代模型下，该百分比下降（约7.5%）。该结果与第4.1节的数值结果一致，其中我们表明，在离散股息的情况下，Black-Scholes模型下的早期行使边界低于Merton和Heston模型所暗示的边界。一般来说，根据默顿或贝茨模型应执行的合同也应根据布莱克-斯科尔斯模型执行。在我们的样本中，我们发现了该规则的一些例外情况，因为在第4.1节中，我们选择了模型参数，以便在所有模型中，期权寿命期间的回报总方差是相同的，而在实际数据中，这种情况可能不成立。举一些例子，4680份期权应该在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）下行使，但不能在贝茨模型（Batesmodel）下行使，相反，只有249份合同才是如此。同样，我们发现，在Black-Scholes模型下应行使2872项期权，而在Merton模型下则不行使，相反，只有53项期权。

我们学到的第一个重要教训是，通过允许使用比Black-Scholes模型更复杂的模型，应该最佳执行的合同数量减少了近25%。次优图取决于模型，可能是校准程序的结果。我们的校准结果与Bakshi et al.（1997）的结果之间的比较，就我们的校准方法的可靠性而言，令人放心。为了证明在我们的样本中发现的次优行为，我们应该获得不合理的高跳跃和强度参数值。表4中突出的第二个证据是，Black-Scholes模型下未行使次优期权的投资者比例高于其他模型，分别为39%和30%。我们根据定义（25）计算这些百分比。如果我们仅关注样本中1965年的合同，这些合同应在Black-Scholes模型下执行，而不是在Merton模型或theBates模型下执行，那么我们发现81%的合同没有执行。这些结果可能表明，投资者在评估期权时并不局限于布莱克-斯科尔斯世界，而是依赖于更复杂的模型，包括跳跃或随机波动。即使这一证据是理解投资者决策过程的一个重要步骤，但它并不能完全解决这个难题。事实上，即使在默顿和贝茨模型中，我们仍然发现次优非锻炼的比例很高，这导致全球损失约130-1.4亿美元，比Black-Scholes模型的2.06亿美元损失减少了约30%。对早期行权之谜的第二种可能解释是，投资者等到期权在资金中的深度更大时才行权。

如果我们将自己限制在只能在Black-Scholes模型下行使而不能在Merton或Batesmodels模型下行使的期权上，那么以期权的增量衡量的合同的平均货币性为0.962。如果我们考虑在Black-Scholes模型下应执行的所有合同，包括在其他两个模型规范下也应执行的合同，则平均货币性上升至0.986。图12显示了合约的货币性与投资者的非行权决策的相关性：期权的货币越多，次优非行权的数量越少。投资者可能不会立即对有利的股价变动作出反应，可能需要一段时间才能做出反应并以最佳方式行使其期权，这与Tanton（1995）记录的提前偿还抵押贷款的行为一致。[图12关于此处]我们关于Black-Scholes模型中运动决策的总结结果与Pool et al.（2008）获得的结果一致。在这项工作中，作者通过使用具有历史波动性的Black-Scholes模型，将早期行使决策规则应用于所有期权系列，并发现53.1%的投资者在本应行使期权的情况下未行使期权。他们的数据跨越十年（1996年至2006年），为了将我们的结果与他们的结果进行比较，我们将样本分为两个子样本，第一个子样本跨越1996年至2006年，第二个子样本跨越2006年至2012年。然后，我们计算了两个子样本中次优非锻炼的平均百分比，发现在Black-Scholes模型下，第一个子样本中次优非锻炼的百分比约为47%，第二个子样本中为37%。随着时间的推移，不锻炼行为的减少表明投资者在监控其投资时变得更加专注。

我们的结果（47%）与Pool等人（2008年）发现的53.1%之间存在微小差异。这种解释很可能是我们关注道琼斯工业平均指数的组成部分，而Pool等人（2008）则考虑了alloption系列。对于大型股公司来说，股票和期权价格的监控可能比平均水平更为密切。在整个实证研究过程中，我们选择了基于模型的方法来计算期权C（Sth）的持续价值-1.- d、 K，T）。我们也可以使用基于市场的方法，其中持续价值是期权的市场价格。基于市场的方法检查数量是否-1，K，T）-（某物）-1.-K） +等于0，其中cmkt（Sth-1，K，T）是T=th时观察到的市场价格-正如Pool等人（2008）和Barraclough and Whaley（2012）所述，基于市场的方法存在缺陷。最重要的是，它无法计算因次优非运动导致的总损失，我们在方程式（26）中进行了计算。此外，买卖价差和价格的离散性使得很难决定应该使用哪种CMKT。出于所有这些原因，wefollow Pool et al.（2008）和Barraclough and Whaley（2012）采用基于模型的方法和方程（25）来解释期权投资者的实际行使行为。Barracloughand Whaley（2012）仅将基于市场的方法作为一种有用的无模型测试，以证实次优非锻炼行为的存在。他们发现，基于市场的方法给出的次优程度与基于模型的方法所暗示的次优程度相当。最后一项证据是针对可能存在的异议的另一个论点，即模型参数的正确校准可能是次优练习图的来源。4.2.2。

根据最近有关期权价格的文献，价格的作用（Jensen和Pedersen（2016）；Christoffersen、Goyenko、Jacobs和Karoui（2015b）），交易成本和金融摩擦通常会对期权价格和美式期权的早期行使决策产生强烈影响。在本节中，我们研究了投资者的次优不行权行为是否是由于投资者在行使期权时所面临的交易成本所致。继Pool等人（2008年）之后，我们将退出多头看涨期权头寸的成本建模为个人一次性基金，投资者在决定行权时必须支付。F的具体价值取决于如何根据投资者的不同可能目标完成退出。当投资者想要行使期权并重新进入相同的看涨期权头寸时，费用F的最昂贵价值就会达到。Pool等人（2008年）通过使用高成本经纪人的佣金估算了展期成本F的平均值，他们得出了非常保守的金额F=每股0.4446美元。关于费用F组成部分的详细描述，请参见Pool等人（2008）。为了了解费用在早期行使决策中的作用，我们进行了两次不同的临时行使。作为第一次检查，我们重新执行第4.2.1节的练习，并计算因次优非练习决策而导致的损失，但这次使用C（Sth-1.- d、 K+F，T）作为连续值，和（Sth）-1.-K-F）作为内在价值。费用值为F=0.4446。费用F计入行权收益和延续价值。实际上，在行权决定之时，投资者应决定是否行权，从而立即支付行权费，并将行权费的支付推迟至未来日期。

因此，通过以下公式计算因次优非行使而损失的总金额：T LF=100×OIt-1×[（St-1.- K- F）- C（St-1.- d、 K+F，T）]。（27）表4第二列显示了包括费用在内的汇总结果。它们与未考虑费用的情况下获得的结果没有太大区别（表4第一列）。我们可以得出结论，如前一段所述，将交易成本包括在内并不会改变投资者行使次优权的大局。作为第二次实证练习，我们计算费用的价值，这将证明投资者的非执行决定是合理的，以检测费用F中未考虑的可能额外成本。为此，对于C（某事物-1.-d、 （某事物）-1.-K） ，但这不是一些投资者的最佳行使，我们计算了隐含基金F的价值，这将证明不行使决定的合理性。这相当于在数字上找到以下函数的零：f（f）=C（Sth-1.- d、 K+F，T）- （某物）-1.- K- F）。（28）结果见表3。平均隐含费用在7至8美元/股之间，与Pool等人（2008年）估计的0.4446美元/股的保守费用相比，这是一个非常高的数额。任何现实的隐性费用都不可能达到每股7美元，退出多头看涨期权头寸的交易成本也不能完全证明投资者的次优非行权行为是合理的。我们可以将8美元的隐含费用与0.4446的保守费用之间的差异解释为期权持有人监控美式期权最佳行使的隐含机会成本。期权持有人选择将该金额用于其他活动。[图3关于此处]5。

结论性意见我们在101295系列短期美国看涨期权的大型数据库中调查投资者的行使行为。Pool等人（2008年）发现，超过40%的投资者未能以最佳方式履行其合同。我们扩展了他们的分析，包括随机波动性和跳跃到基础股票的过程。为了处理大型期权数据库以及校准和定价所需的重复计算，我们开发了一种快速、精确的期权定价技术，该技术可以处理多维动态和现金股利分配。我们从观察开始，通过在离散时间监控期权的价值，并在标的资产价值的有限网格上对合同的价值函数进行采样，我们可以用初等矩阵算子描述价格过程的演变。根据函数投影对此类矩阵的元素进行解释，使我们能够将矩阵方法扩展到资产上合同的定价，其过程的转移概率在直接空间中没有已知的分析表达式。递归投影法的速度归功于其基于采样的算法的简单性。此外，我们的方法允许我们推导过渡矩阵，该矩阵与任意距离的时间点的期权价格相关。所需的时间步数完全由合同的特征决定，例如合同需要监控的日期，这是使我们的方法比现有备选方法更快的主要特征。通过将我们的技术应用于数据集，我们可以解释高达25%的因次优运动决策而放弃的收益，如Pool等人（2008）计算的那样。

这一结果证实了我们从论文理论部分获得的结论。事实上，我们表明，如果股息是离散的，则Merton和Heston模型下的exerciseboundary高于Black-Scholes模型下的exerciseboundary。这一结果强调了正确建模离散分布的重要性。我们表明，通过将股息建模为连续收益率而非离散现金流，贝茨模型中的行权边界将更低而不是更高，Pool等人（2008）的次优行权行为将得到加强而不是缓解。我们进一步尝试检查是否能够从交易成本的角度解释剩余75%的次优行为（Jensen和Pedersen（2016））。我们表明，隐藏的交易成本需要非常大，才能解释投资者放弃的全部金额。这一观察结果导致我们将隐含的交易费用解释为监控成本。我们可以设想两条进一步研究的路线：我们的方法的其他可能应用和改进算法。美式期权定价只是随机最优控制问题的一个特例。我们可以考虑将递归投影法应用于其他问题，例如涉及复杂且路径依赖的金融资产的最优投资组合分配。目前，这些类型的复杂问题是通过使用蒙特卡洛模拟（Detemple、Garcia和Rindesbacher（2003））来解决的，我们的方法可以提供更有效的计算方法。