不完全条件下的多维传递与福利措施

ThenA（T）B（T）=ZT∈（T，∞)ΘABdw（T，∞)B（T）。例如，CS（T）P S（T）=ZT∈（T，∞)ITdw（T，∞)P S（T），W（T）R（T）=ZT∈（T，∞)MCTdw（T，∞)R（T）。在单位税的情况下，我们得到Cs（t）P S（t）=R∞tITq dtR∞tq dt。3特定竞争类型下的税收和福利在本节中，我们表明，对于不同寡头垄断中的价格竞争和数量竞争，我们对公共资金边际成本和传递的一般表达式导致了需求原语的表达式，如弹性和曲率，以及上文定义的边际成本弹性χ。在本节中，我们假设企业的行为仅由一次性纳什行为描述，没有任何其他可能性，如默契共谋。如下所示，这一假设使人们能够直接使用方程式（1）（见第3.2小节）以需求弹性和反向需求弹性来表示行为指数。我们还注意到，在这种情况下，dw（t，∞)P S=q dt/P S=q dt/R∞tq DT数量或价格设定公司是否更合适的问题取决于竞争的性质。正如Riordan（2008年，第176页）所言，如果一个模型描述了企业决定必要生产能力的情况，那么数量竞争是一个更合适的模型。然而，如果重点行业的企业能够通过改变价格快速适应需求，那么定价企业更合适。尽管现实世界中的竞争情况并不像这一点那么明确，正如我们在导言中所强调的那样，我们在下文中认为，有可能通过指定竞争模式，为公共资金的边际成本和通过率提供另一个有用的表征。为这些结果提供参数化示例。3.1需求系统的弹性和曲率直接需求。霍姆斯之后（1989年，p。

245），我们定义了自己的价格弹性F（p）与交叉价格弹性公司直接需求的C（p）F（p）≡ -pq（p）qj（p）pj | p=（p，…，p），C（p）≡（n）- 1） pq（p）qj（p）pj | p=（p，…，p），其中j和jis是任意一对不同的指数。这些都与行业需求相关（p） 根据F= + C、 接下来，我们定义了行业直接需求的曲率α（p）、企业直接需求的自身曲率αF（p）以及企业直接需求的横曲率αC（p）：α（p）≡-pq（p）q（p），αF（p）≡-pqj（p）pj公司-1.qj（p）pj，αC（p）≡-（n）-1） pqj（p）pj公司-1.qj（p）pj公司pj，其中导数在p=（p，…，p）处进行计算，j和jis是任意一对不同的指数。这些曲率满足α=（αF+αC）F级/ 与F（p）乘以pF（p）/F（p）=1+ （p）- αF（p）- αC（p）（推导和相关讨论见附录A.2.1）。反向需求。我们引入了反向需求的类似定义。我们将企业反向需求的自有数量弹性ηF（q）和交叉数量弹性ηC（q）定义为ηF（q）≡ -qp（q）pj（q）qj | q=（q，…，q），ηC（q）≡ （n）- 1） qp（q）pj（q）qj | q=（q，…，q），Holmes（1989）对两个对称企业显示了这一点，但更普遍地验证这一关系很简单。见上文脚注7中的方程式。请注意，方程式F= + C简单意味着，因j公司产品价格上涨而停止购买该产品的消费者的百分比被分解为（i）不再从任何一家公司购买的消费者() 以及（ii）转向（任何）其他公司产品的人(C） 。因此F衡量企业自身的竞争力：它分解为行业弹性和竞争程度。

从这个意义上讲，这三个价格弹性表征了“一阶竞争力”，它决定了均衡价格是高还是低，但其中一个弹性并不是独立于其他两个弹性来决定的。此处的曲率αF（p）对应于Aguirre、Cowan和Vickers（2010，第1603页）的α（p）。对于任意不同的j和j。这些满足ηF=η+ηC。我们通过σ（q）定义行业反向需求的曲率σ（q）、企业反向需求的自身曲率σF（q）和企业反向需求的横向曲率σC（q）≡-qp（q）p（q），σF（q）≡-qpj（q）qj公司-1.pj（q）qj，σC（q）≡-（n）-1） qpj（q）qj公司-1.pj（q）qj公司qj，其中导数在q=（q，…，q）处进行评估，指数j和jare不同。这些曲率代表了Aguirre、Cowan和Vickers（2010，第1603页）垄断σ（q）的寡头垄断对应物。它们满足关系σ=（σF+σC）（ηF/η），并通过qηF（q）/ηF（q）=1+η（q）与ηF（q）的弹性相关- σF（q）- σC（q）（有关推导和相关讨论，请参见附录A.2.2）。3.2行为指数和通过率的表达式在价格竞争的情况下，行为指数θ为θ=/F=1/（η）F） ，通过将公司的一阶条件与方程式（1）进行比较来验证。将这些表达式代入命题1和命题2，即可得到公共资金的边际成本和关联度。提案6。通过价格竞争。在具有价格竞争且边际成本可能为非常数的对称寡头垄断下：ρt=1- v1+（1-α/F）F级+1.-τ1-v-Fχ、 ρv=1- v1-1个/F+（1-α/F）F-1个+1.-τ1-vFF-1.-F-1. χ。恒等式ηF=η+ηc表示，作为对j公司产量增长的反应，整个行业都会通过降低j公司的价格（η）来做出反应。然而，每个企业（j除外）都会通过减少自身产出来应对j\'soutput的增长。

这抵消了价格的初始变化（ηC<0），因此企业j的价格下降百分比（ηF）小于η，而η不考虑战略措施。请注意，1/ηF，而不是ηF，衡量行业的竞争力。因此，这三个数量弹性表征了“一阶竞争力”，这决定了均衡数量是高还是低。证明见附录A.2.3，详细讨论见附录A.2.4。接下来，在数量竞争的情况下，行为指数θ由θ=ηF/η给出，再次通过将企业的一阶条件与方程（1）进行比较来验证。同样，通过将这些表达式替换为命题1和命题2的表达式，可以获得公共资金的边际成本和发病率。有关证明和相关讨论，请参见附录a.2.5和a.2.6。提案7。在数量竞争下通过。在具有数量竞争且边际成本可能为非常数的对称寡头垄断下：ρt=1- v1+ηFη- σ+1.-τ1-v- ηFχη，ρv=1- 五（1- ηF）1+ηFη- σ+1.-τ1-v- ηFχη。3.3简单的参数示例尽管我们的公式是通用的，但通过几个简单的示例可以说明问题。

下面我们提供了两个具有n家对称企业和恒定边际成本的参数示例：χ=0。在这种情况下，传递表达式简化为ρt=（1- v） h1+1.-αFθi，ρv=F- 1.Fn（1- v） h1+1.-αFθi低于价格竞争，其中θ=/F、 ρt=（1- 五）1个+1.-σθθ, ρv=1- ηF（1- 五）1个+1.-σθθ在数量竞争下，其中θ=ηF/η。3.3.1线性需求是指每个企业都面临以下线性需求，qj（p，…，pn）=b- λpj+uPj6=jpj，其中b>mc和λ>（n-1） u≥ 0，意味着所有企业都生产替代品，并且u衡量可替代性的程度（当u=0时，企业实际上是垄断企业）。21,22不对称定价下，行业需求由q（p）=b给出- [λ- （n）- 1） u]p.反向需求系统由Pj（qj，q）给出-j） =λ- （n）- 2） u（λ+u）[λ- （n）- 1） u]（b- qj）+u（λ+u）[λ- （n）- 1） u]“Xj6=j（b- qj）#，表示p（q）=（b- q） /[λ- （n）- 1） u]对称生产下。显然，直接和间接需求曲率均为零：α=0，σ=0。因此，通过率由ρt=（1）简单给出- v） （1+θ），ρv=F- 1.F（1- v） （1+θ），其中θ=[λ- （n）- 1） u]/λ，和F=λ（p/q）（其中p和q是价格设定下的均衡价格和产量），ρt=（1- v） （1+θ），ρv=1- ηF（1- v） （1+θ）在数量竞争下，其中θ=[λ-（n）-2） u]/（λ+u）和ηF={[λ-（n）-2） u]（q/p）}/{（λ+u）[λ- （n）- 1） u]}（其中q和p是数量设置下的均衡产量和价格）。现在，根据命题1和命题2，公共资金的边际成本和发病率为Ymct=（1- v） θ+ τ1+（1- v） θ-  τ、 MCv=（1- v） θ+τ（1-v） （1+θ）F-1+v- τ这些线性需求是通过最大化代表性消费者的净效用U（q，…，qn）得出的-Pnj=1pqj，关于q。。。，和qn。见Vives（1999，pp。

145-6）了解详情。在我们下面的符号中，对称平衡中的需求由qj（pj，p）给出-j） =b- λpj+u（n- 1） p-j、 鉴于其书写为QJ（pj，p-j） =α1+γ（n- （1）-1+γ（n- 2） （1）- γ） [1+γ（n- 1） ]pj+γ（n- 1） （1）- γ） [1+γ（n- 1） ]p-jin H¨ackner和Herzing（2016）表示法，其中γ∈[0，1]是衡量（对称）产品之间可替代性的参数。因此，如果我们的（b，λ，u）由b=α/[1+γ（n- 1） ]，λ=[1+γ（n-2） ]/{（1）- γ） [1+γ（n- 1） ]}，且u=γ/{（1- γ） [1+γ（n- 1） ]}，考虑到H¨ackner和Herzing（2016）（α，γ），下面的结果也可以用H¨ackner和Herzing（2016）的符号表示。请注意，我们的公式更灵活，因为参数的数量是三个。这是因为低价系数被标准化为一：pj（qj，q-j） =α- qj公司- γ（n- 1） q-j、 这在分析上是无害的，H¨acknerand Herzing（2016）γ是归一化参数。表一：弹性、导电指数和曲率（a）线性需求价格设置数量设置 = [λ- （n）- 1） u]pqη=λ-（n）-1） uqp公司F=λpqηF=λ-（n）-2） u（λ+u）[λ-（n）-1） u]qp公司θ=/F=1- （n）- （1）uλθ=ηF/η=λ-（n）-2） uλ+uα=0σ=0（b）Logit DemandPrice设置数量设置 = β（1- ns）pη=β（1-ns）pF=β（1- s） pηF=1-（n）-1） sβ（1-ns）pθ=/F=1-ns1-sθ=ηF/η=1- （n）- 1） sα=（2ns-3） ns1-nspσ=1-2ns1-nsIt=2（1- v） [1- （n）- 1） （u/λ）]，Iv=F- 1（1- v） [2- F（1- θ） ]在价格竞争下 = [λ- （n）- 1） u]（p/q）是另外提供的，其中p和q是价格设定下的均衡价格和产量，MCT=（1- v） θ+ητ1+（1- v） θ-ητ，MCv=（1- v） θ+ητ（1-v） （1+θ）1-ηF+v-ητIt=λ+u2（1- v） [λ- （n）- 2） u]，Iv=1- ηF（1- v） [ηF+（2- ηF）θ]在数量竞争下，1/η=[λ- （n）- 1） u]（p/q）是额外提供的，其中pand q是数量设置下的均衡价格和产量。

因此，必须在这两种情况下求解均衡价格和产出，以计算所有四种情况下的通过率和公共资金的边际成本。表I（a）总结了决定公共资金通过率和边际成本的关键变量。经证实，在价格和数量竞争下，θ/n<0和θ/u<0。为了关注直接影响竞争程度的这两个参数n和u的作用，我们采用以下简化方法来计算p/qin均衡比率：b=1、mc=0和λ=1（价格和数量竞争下均衡价格和产出的实际表达式见附录A.2.7）。图II中顶部的两个面板显示了ρ和ρvbe如何随着企业数量（n；theleft）或可持续性参数（u；left）的增加而变化，上标表示价格（P）或数量（Q）设置。类似地，中间和底部面板分别绘制MCtand MCv和Iv。据观察，从价税转嫁率接近于零，因为在这种情况下Fandη票价接近1。随着竞争的加剧，ρpT和ρqT都会变大，尽管差异也会变大。在线性需求的情况下，竞争模式的差异不会在三个指标中产生显著差异。正如Anderson、de Palma和Kreider（2001b）所证实的，从价税比单位税更有效：中间两个面板中的虚线位于实线下方。这种排名与通过率和发生率成反比：随着通过率或发生率变大，公共资金的边际成本变小。3.3.2 Logit需求下一个参数示例是Logit需求。

每个表格j=1。。。，n面临以下需求：sj（p）=exp（δ- βpj）/[1+pj'=1，…，nexp（δ- βpj'）]∈（0，1），其中δ是（对称）产品特定效用，β>0是对价格的响应。我们确定s=1-Pj=1，。。。，nsj<1，占所有外部商品的份额。表I（b）总结了决定通过率和公共资金边际成本的关键变量。我们需要对这两种情况下的均衡价格和市场份额进行数值求解，以计算所有四种情况下的传递率、公共资金的边际成本和发病率。为了关注两个参数β和n，我们假设δ=1，mc=0。因为sj（p）/pj | p=（p，…，p）=-βs（1-s） 对称均衡价格和市场份额满意度的一阶条件- t/（1）- v） =1/[β（1- s） ]和s=exp（1- βp）/[1+n经验（1- βp）]。如果p和s在此求解，则qj（p，…，pn）是通过对选择产品j的个体进行聚合得出的（个体总数归一化为1）：个体i消费j的净效用由uij=δ给出- βpj+～εij，而ui0=～εi0是不消费的净效用，而～εi0，～εi1。。。，根据所有个体的I型极值分布，εI独立且相同地分布。详见安德森、德帕尔马和提斯（1992年，第39-45页）。

我们根据市场份额变量sj和s来工作，而不是qjand q，这与产业组织文献中的常用符号一致。2 4 6 10 N0.00.20.40.60.81.0ρt，ρvρtPρvPρtQρvQ（以下）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25μ0.00.20.40.60.81.0ρt，ρvρtPρvPρtQρvQ（以下）2 4 6 8 10 N0.00.10.20.30.40.50.60.7MCt，MCvMCtPMCvPMCtQMCVQ0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25μ0.00.10.20.30.40.50.60.7MCt，MCvMCtPMCvPMCtQMCVQ2 4 6 8 10n012345It，IVITPIVQIVQ0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25μ012345It，IVitPitqivqfigure II：通过率（顶部）、公共资金边际成本（中间）和线性需求的发生率（底部）。左侧和右侧面板上的水平轴分别对应于形式数（n）和可替代性参数（u）。图三：通过率（顶部）、公共资金边际成本（中部）和符合logit需求的发病率（底部）。左侧和右侧面板上的水平轴分别为公司数量（n）和价格系数（β）。然后是数字, F、 θ和α也可以数值计算。接下来，我们考虑数量竞争下的反向需求。然后，如Berry（1994）所述，企业j的反向需求由pj（s）=[δ]给出-log（sj/s）]/β，这意味着pj（s）/sj | s=（s，…，s）=-[1-（n）-1） s]/[βs（1-ns）]。因此，对称均衡价格和市场份额满意度的一阶条件为- t/（1）- v） =[1- （n）- 1） s]/[β（1- ns）]，p=[1- 日志/[1- ns]）]/β。然后，如上所述，通过数值求解p和s的一阶条件来计算η、ηF、θ和σ。有趣的是，在数量设置下的对称平衡中，p/n=0：无论企业数量多少，均衡价格都是相同的，而单个市场份额随着企业数量的减少而减少：s/n<0。

另一方面，均衡价格和市场份额的价格系数β都在下降。与图二类似，图三说明了通过率、公共资金的边际成本和发病率。右侧面板现在显示了变量对价格系数β的依赖性。总的来说，与线性需求的情况一样，从价税的增加对n和β中的每一个指标的影响都很小，而单位税的增加则会产生很大的影响。然而，线性需求和逻辑需求之间存在重要差异。首先，数量竞争下的单位税转移ρqt在企业数量上有所减少。为了理解这一点，比较ρPt=1/{（1）分母的差异-v） [1+（1- α/F） θ]}和ρQt=（1- v） [1+θ- σ] 。随着θ的减小（即竞争加剧），ρpT分母中的第二项减小，因此ρpT随着n的增加而增大。然而，θ- σ随θ减小而增大，因此ρqt减小。分母的这种差异也反映在n的IQT减少这一事实上。自然地，由于1/ρqt变大（见命题1中的公式），MCqt在n中减少，就像在线性需求的情况下一样。其次，虽然通过率和发生率随着β的增加而增加，但与线性需求的情况相比，公共基金的边际成本也在增加。原因是θ减小的效应MC弱于: 随着消费者对价格上涨变得更加敏感，该行业的需求很快变得有弹性。可以验证sj（·；p-j） 只要sj<1/2，则是凸的，因为sj公司/pj=-β(sj公司/pj）（1- 2sj）>0。然而，二阶条件总是满足的，因为πj/pj=-βsj<0。