不完全条件下的多维传递与福利措施

在δ=1和mc=0的对称均衡中，当均衡价格为零时，最大市场份额为1/（n+1），这意味着外部商品的市场份额不低于每个企业的市场份额：s>s.4多维传递框架Now，我们将之前的结果推广到涉及多种税收工具的更一般的税收规范。我们定义了两种不同类型的传递向量：（i）传递率向量和（ii）传递准弹性。我们研究了它们的性质，并表明它们在评估福利变化对税收变化的响应中起着核心作用。4.1传递、行为指数和福利：一般性讨论4.1.1广义传递和税务敏感性考虑一种税收结构，在这种结构下，企业的纳税额表示为φ（p，q，T），其中≡ （T，…，Td）是税收工具的d维向量，因此企业在对称性平衡中的利润被写为π=pq- c（q）- φ（p，q，T）。注意，到目前为止的参数是二维传递的特殊情况：φ（p，q，T）=tq+vpq，其中T=（T，v）。（每家公司）税收梯度向量的组成部分φ（p，q，T）是φT`（p，q，T）≡φ（p，q，T）T `。在这里，正如本文的其他部分一样，我们使用符号 对于相对于T的d维梯度，φ（p，q，T）中的参数p和q被视为固定的，以获取该梯度。我们还用f表示向量分量φT`（p，q，T）/q。我们用p？（T） 其梯度，即通过率向量，乘以ρ≡ p（T） 。此外，我们使用f和ρ的分量将穿透准弹性向量定义为ρ≡ρT。。。，ρTd, ρT`≡~ρT\'fT`=qφT`（p，q，T）pT `。注意ρ的分量都是无量纲的。

我们定义了税收的（一阶）价格敏感度ν和（每家公司）税收的（一阶）数量敏感度τ。为了精确，φ（p，q，T）表示带d+2参数的函数φ（p，q，T，…，Td）的简化表示法。与反向需求函数p（q）不同，函数p？（T） 以税收向量为参数，其函数值是最终均衡中的价格。如下：ν（p，q，T）≡qφp（p，q，T），τ（p，q，T）≡pφq（p，q，T），其导数为νT`（p，q，T）≡ν（p，q，T）T`，τT`（p，q，T）≡τ（p，q，T）T `。二阶灵敏度的类似定义为：ν（2）（p，q，T）≡pqφ（p，q，T）p、 τ（2）（p，q，T）≡qp公司φ（p，q，T）q、 κ（p，q，T）≡φ（p，q，T）pq、 一阶和二阶灵敏度是无量纲的，ρ的分量也是无量纲的。在本节中，我们对弹性保持相同的定义 和η一样。4.1.2广义行为指数我们将行为指数θ作为一个函数引入，独立于寡头垄断的成本方面，因此在均衡状态下，以下条件成立：[1- τ- （1）- ν） ηθ]p=mc。（3） 在单位和从价税的情况下，这一定义减少到前面定义的行为指数（方程式1），其中τ=v+t/p和ν=v：这就是为什么我们可以在下面继续使用τ的原因。原则上，在单位和从价税的情况下，有许多可能的定义与先前的定义一致。然而，我们发现方程3的规定特别方便。4.1.3传递向量组件的关系我们现在为传递向量组件的相对大小建立以下关系。提案8。通过率和准弹性满足▄ρT`▄ρT`=τT`- νT`ηθτT`- νT′ηθ，ρT′ρT`=fT′fT′τT`- ηθνT′τT`- ηθνT`。附录A.3.1证明了这一主张。

由于分量具有已知的比例，我们可以使用公共因子pρ（0）将其表示为▄ρT`=（τT`- νT`ηθ）pρ（0），ρT`=pfT`（τT`- νT`ηθ）ρ（0），（4），系数ρ（0）在以下命题中确定。提案9。方程式（4）中引入的系数ρ（0）的值由以下公式得出：ρ（0）=1- κ+τ（2）+（1）- τ）χ+ν- κ+ην（2）+（ω- η- χ） （1）- ν）θ、 （5）式中ω≡ q（ηθ）/（ηθ），素数表示数量q的导数。证明见附录a.3.2.4.1.4福利变化及其与传递向量的关系。我们在多维传递框架中建立了公共资金边际成本和关联度的一般公式。税收微小变化引起的福利成分变化如下所示。（每家公司）消费者剩余变化如果分母为零，则分数将不明确。当然，在这种情况下，这种说法并不适用。如果φ（p，q，T）=tq+vpq，则τ=（T+vp）/p=T/p+v，ν=vq/q=v。首先，ρT=qφ/t▄ρt=qq▄ρt=▄ρt，ρv=qφ/v▄ρt=qpq▄ρt=p▄ρt。接下来，ρt=pqφ/t型τt- νtθDρ（0）=ρ（0），因为τt=1/p，νt=0。那么，ρ（0）=[（1- κ|{z}）=1-v+Dτ（2）|{z}=0+（1- τ）DS] +ν- κ+ην（2）{z}=0+ω-D-S（1）- ν|{z}）=1-vθ=（1- 五）1+1- τ1- vDS-D+Sθ+Dq公司（θ/D）q自κ（p，q，T）≡φ（p，q，T）pq=v，τ（2）（p，q，T）≡qp公司·φ（p，q，T）q=0，和ν（2）（p，q，T）≡pq·φ（p，q，T）p=0。对税收T\'ISDC中的微小变化dT的响应=-qdp=-q▄ρT\'dT\'，这意味着在向量表示法中，qCS=-ρ。（每家公司）生产者盈余的变化isdP S=d（pq- c（q）- φ（p，q，T））=φT`（p，q，T）- （1）- ν） （1）- θ） §ρT`dT`，其中我们利用等式（3）来消除边际成本。在向量表示法中，此isqP S=（1- ν） （1）- θ） ρ- f、 因为f=qφ（p，q，T）。

税收变化isdR=φp（p，q，T）dp+φq（p，q，T）dq+φT`（p，q，T）dT`=φT`（p，q，T）- (τ- ν） §ρT`dT`。在向量表示法中，qR=f- (τ- ν） ρ。最后，对于社会福利的变化，我们有dW=（p- mc）dq=[τ+θ（1- ν） ]▄ρT“dT”。在向量表示法中，qW=- [τ+θ（1- ν） ]▄ρ。请注意，福利成分CS（T）、Ps（T）、R（T）和W（T）=CS（T）+Ps（T）+R（T）均被视为税收的函数，并表示均衡结果。这与税收函数φ（p，q，T）不同，税收函数φ（p，q，T）也以p和q为参数，由政府指定，无论均衡情况如何。我们在下面的命题中总结了这些发现。提案10。消费者剩余、生产者剩余、税收收入和社会福利相对于税收的税收梯度都属于一个由f和ρ组成的二维向量空间。f和ρareq的精确线性组合CS=-ρ，qP S=（1- ν） （1）- θ） ρ- f、 qR=f+（ν- τ） ρ，qW=- [（1- ν） θ+τ] ρ。从组成部分来看，这些关系立即暗示了福利变化率的以下结果，并概括了命题1和命题2。提案11。

税收的公共资金边际成本T`，MCT`=(W）T`/(R） T`，isMCT`=（1- ν） θ+τρT`+ν- τ。此税的发生率，IT`=(CS）T`/(P S）T`，等于：IT`=ρT`- （1）- ν） （1）- θ） 。同样，社会发生率，SIT`=(W）T`/(P S）T`，等于：SIT`=（1- ν） θ+τρT`- （1）- ν） （1）- θ） 。4.2传递、行为指数和福利：特殊情况上一小节的结果包含我们对从价税和单位税作为特殊情况的结果，但提供了更大的通用性，因为税收（政府干预）可能以非常灵活的方式指定。4.2.1对称寡头垄断下的外部竞争和持牌人贬值Sweyl和Fabinger（2013）的结果可以解释为当前结果的特例。特别是，Weyl和Fabinger（2013）的分析考虑了这两个单位中的任何一个。记住，向量f的T`分量是φT`（p，q，T）/q=△ρT`/ρT`。税收或外部竞争（供应给市场的外部数量）。目前的结果中明确包含了单位税的情况，这激发了本文的写作动机。同时，事实证明，外部竞争的情况也包括在内。理由如下。考虑以下形式的税收T=~q：φ（p，q，~q）=~q p+c（q- q）- c（q）。然后，该公司的利润由：pq给出- c（q）- φ（p，q，~q）=p（q- q）+c（q- q）。因此，该公司的职能与外部竞争的职能相同q inWeyl和Fabinger（2013）。上述命题11（专用于恒定边际成本和零初始q）则暗示了Weyl和Fabinger（2013，p。

548）。同样，命题8的一般结果暗示了单位税转嫁与外部竞争之间的关系，即税收规范T=T，T=挈q，φ（p，q，T，挈q）=tq+挈q p+c（q- q）- c（q）。要获得这两种传递类型的绝对大小，可以直接使用命题9。更一般地，φ扩展为φ=c（q- q）+v（q- q）p（q）+（1- v） qp（q）+t（q- q）- c（q），其中也考虑从价税。例如，我们可以想象一个政府从国外采购商品并将其供应给市场，以降低国内价格。在具有恒定边际成本的垄断企业的特殊情况下，数学允许进行另一种有趣的解释：它与Weyland Zhang（2017）中的“许可证贬值”情况同构。折旧许可证对应于一种税收方案，即资产所有者宣布其愿意出售的保留价格，并按该价格的固定比例征税。经济中的另一个代理人可能会以公布的价格购买资产。然后，所有者面临着宣布低价、支付低税和宣布高价之间的权衡，以便能够保留资产并从中获得效用。然后，优化问题得到的数学形式与具有恒定边际成本的垄断者面对外部竞争的问题完全相同。我们在附录a中提供了更详细的解释。3.3.4.2.2销售限制政府通常规定产品的销售时间、地点和对象。例如，对周末销售、门店位置等有限制。模拟这种情况的一种简单方法是假设由于这些限制，一家公司失去了固定比例的客户。如果没有监管和税收，则利润函数为p（q）q- c（q）。

新的pro-fit函数将是（1- v） p（[1+κ]q）q- tq公司- c（q），其中1- 1/（1+κ）是客户流失的分数。唯一的变化是反向需求函数的论点：对于企业销售数量q，每个主要客户需要购买（1+κ）倍于没有监管的情况下的数量，价格必须相应更低。这种变化可用以下公式描述：φ（p，q，t，v，κ）=（1- （1）- v） h（q，κ））pq+tq，h（q，κ）≡p（q）- p（（1+κ）q）p（q）。对于具有恒定弹性的需求, h（q，κ）=1- （1+κ）-1个/, 与q.4.2.3逃税/避税和隐瞒成本无关，逃税在许多情况下显然是一个非常重要的问题，因为经济代理人并不总是严格遵守法律（Choi、Furusawa和Ishikawa，2017）。为简单起见，考虑一家需要支付从价税vpq的公司，其中p是向政府报告的价格，可能与真实价格p不同。我们通过引入以下形式的隐藏成本来捕获与欺骗政府相关的成本：4λp-ζ（￠p- p） 第一季度-ξ。我们感谢Glen Weyl提出Weyl和Zhang（2017）之间的这种关系以及我们的分析。然后，公司选择报告价格p，以最小化这两个额外成本的总和：vpq+4λp-ζq1-ξ（p）- p） 。相应的一阶条件意味着▄p=p-2λvpζqξ，给出有效的额外成本pqv- λvpζq1+ξ。φ（p，q，t，v，λ）=tq+pqv- λvpζq1+ξОφ（p，q，t，v，λ）=tq+pqv- 2λvpζq1+ξ政府需要支付与λ成反比的额外执行成本，这需要在福利分析中记住。5异质企业在本节中，我们将结果扩展到n家异质企业（即不对称企业）的情况，其中每个企业i控制一个战略变量σi，例如，其产品的价格或数量。

我们允许税收函数φi（pi，qi，T）明确取决于企业的身份；我们写fi T`（pi，qi，T）=qiT′φi（pi，qi，T）表示其相对于税收T′的导数。同样，敏感性τi（pi，qi，T）、νi（pi，qi，T）等现在也有了企业指数i。企业i的边际成本mci（qi）也可以取决于企业的身份，我们表示其弹性χi（qi）≡ qimci（qi）/mci（qi）。5.1定价强度指数和传递我们将公司i的定价强度指数ψi（q）定义为独立于经济问题成本方面的函数，因此公司i的一阶条件为：{1- τi（pi（q），qi，T）- ψi（q）[1- νi（pi（q），qi，T）]}pi（q）=mc（qi）。在对称企业的特殊情况下，该定义减少到ψi=ηθ。我们用这些定价强度指数表示通过率。具体而言，通过率是一个n×d矩阵|ρ，行|ρT`≡ p/T`和元素▄ρi T`=pi/T`。结果表明，通过率等于△ρT`=b-1、ιT’，（6）其中右侧的系数定义如下。

矩阵b是一个n×n矩阵，与T′的选择无关，元素为sbij=1.- κi-1.- νi- ν（2）iψiδij- （1）- νi）ψiψij+τ（2）i+νiψi- κi+[1- τi- （1）- νi）ψi]χiij，其中δij是Kronecker三角洲，以及ij=-皮奇qi（p）pj，ψij=πψiψi（q（p））pj。对于每个税T`，ιT`是一个n维向量，分量为ιi T`=piτi（pi，qi，T）T型`- πψiνi（pi，qi，T）T `。对于对称企业和对称价格，通过率表达式不等式（6）与第4节方程式（4）和（5）表示的表达式一致。为了将穿透准弹性的概念推广到异质企业的情况，我们将穿透准弹性矩阵ρ定义为一个n×d矩阵，元素ρi T`=fi T`（pi，qi，T）piT`，为确认本协议，请注意，在对称价格下，Pnj=1ψij=-ω。还请注意ii（p）| p=（p，…，p）=F（p），对于j 6=i，ij（p）| p=（p，…，p）=-n-1.C（p）。行表示为ρT`。5.2以下福利变化，对于每个i，iis一个n维向量，其第j分量等于ij。对于我们获得的与个体企业对应的福利成分的税收梯度：qiCSi=-ei。§ρ，qiP Si=（1- νi）（ei- ψii） 。ρ- fi、qiRi=fi+（νiei- τii） 。§ρ，qiWi=- [τi+ψi（1- νi）]i、 ρ。然后，通过将单个企业的贡献相加，获得总福利成分的相应梯度。例如CS=Pni=1CSi。表示总数量asQ≡Pni=1qi，这意味着QCS是-ei。§ρ，权重与qi成比例。其他福利组成部分的论点是相似的。

这概括了上述命题10。我们还可以考虑与某些税收T`:MCi T`=[τi+（1- νi）ψi]ρi T`ρi T`+νi- τiρi T\'，Ii T`=ρi T`- （1）- νi）（1- ψiρi T`），SIi T`=[τi+（1- νi）ψi]ρi T `ρi T`- （1）- νi）（1- ψiρi T`），其中ρi T`≡ i、 ρT`/▄ρi T`=i、 ρT`/ρi T`。相应的总福利变化的比率将是这些企业特定比率的加权平均值。重量与Denominators乘以qi的大小相对应。例如，MCT`将位于miniMCi T`和maxici T`之间。同样的推理也适用于其他比率。这概括了上述命题11。5.3行为指数和福利变化对于异质企业，我们引入企业i的行为指数，以便θi=-Pnj=1{pj[1- τj（pj，qj，T）]- mc（qj）}dqjdσiPnj=1[1- νj（pj，qj，T）]qjdpjdσiholds。在仅征收单位税的特殊情况下，这一定义简化为Weyl和Fabinger（2013，第552页）方程（4）。在对称企业的特殊情况下，定义简化为方程（3），θi=θ。行为指数θi与定价强度指数ψi密切相关，但不像对称寡头垄断情况下那样紧密。使用指数的定义，它显示在θi=-Pnj=1（1- νj）ψjpjdqjdσiPnj=1（1- νj）qjdpjdσi。对于对称寡头垄断，该方程简化为θ=ψ。行为指数用于表示福利组成部分的变化，以响应税收的整体变化。这些关系比使用pricingstrength指数的情况要复杂一些：它们可以表示如下。我们将价格对战略变量σkof fim j的微小变化的响应定义为ζij=dpidσj。由于向量ζi1，ζi2。。。