模型不确定性、重新校准和三角织女星的出现

被称为引用模型。请注意，参考模型对应于具有常数波动率σt的Black-Scholes模型≡ ∑t≡ ∑且基本满足漂移条件（2.7）。接下来，我们考虑一个子类P Pwhich（与P相反）还规定了跟踪非交易期权奇异特征的附加状态变量A的动态。为此，我们定义了Borel函数α、β、γ、δ：[0，T]×R→ R、 定义2.5。P=P（α，β，γ，δ） Pis是概率测度s P的子集，因此它是一个具有正则分解的（连续）P-半鞅=α+（σPt）βP下的dt+γdSt+δdMt（2.8）（函数α、β、γ、δ在（t、St、At、Mt）中计算）。A的动态形式（2.8）足够灵活，可以表示Black-Scholes值，例如亚洲期权、基于现实方差的期权或采用PDE方法的远期启动期权。我们还注意到，给定充分正则函数α、β、γ、δ，P.2.3套期保值问题动态模型重新校准中有一个独特的参考模型。考虑一位经纪人，他在到期日T时在S上出售了一个非交易期权（可能是非交易期权），并充分登记了ularpayo ffv（ST、AT、MT）。她可以通过在股票、账户和银行账户中进行动态、无摩擦的交易来对冲风险敞口。在所有可能的动力学中，代理认为与当前观察到的隐含波动率相对应的B-lack-Scholes模型最为合理，即ν=η=ξ=0和σ=∑（再次说明漂移条件（2.5）适用于该选择）。这与参考信念相对应，具体细节见假设4.2。回想一下，M是S的运行最大值，A是一个具有形式（2.8）动力学的一般状态变量，它可以跟踪期权的奇异特征，如平均S股票价格或中期股票价格；查阅

【28，第4.2节】举例。“未来隐含波动率保持在当前观察到的水平。”请注意，这与“未来隐含波动率等于在时间0观察到的隐含波动率”的信念不同：前者允许动态更新观察到的隐含波动率，后者则不允许。特别是r，在每次t时，代理人（重新）将其Black-Scholes模型校准为流动交易看涨期权的观察市场价格。这与市场上经常根据观察到的期权价格对定价模型进行重新校准的做法是一致的。非交易期权的相应Black–Scholes值可通过偏微分方程方法轻易获得。为此，letG=R+×R×R+是过程（S，A，M）的状态空间，对于e ach∑>0，让V（·，∑）b是PDEVt+（α+β∑）VA+∑S（VSS+2γVSA+γVAA）=0 on（0，T）×G，δVA+VM=0 on{（T，S，A，M）：S的经典解≥ M} ，V（T，·，∑）=G上的V。（2.9）确定过程V=（Vt）T∈[0，T]byVt=V（T，St，At，Mt，∑T）。（2.10）然后，众所周知，V是非交易期权V在时间t的Black-Scholes值，给出了股票价格St、状态变量at和Mt的当前观察值，以及隐含的可用性∑t。换句话说，用于评估期权V的Black-Scholes模型与观察到的看涨期权价格进行了动态校准。交易策略和盈亏流程。（自我融资）交易策略由一对真值、局部有界、渐进可测量过程θ=（θt）t表示∈[0，T]和φ=（φT）T∈[0，T]，分别描述代理持有的股票数量和认购数量。固定常数Y∈ R和每个P∈ Pand any trading strategyД，define the pro fit&Loss（P&L）process YУ，P=（YУ，Pt）t∈[0，T]byYν，Pt=Y+V+ZtθudSu+ZtφudCu- Vt.（2.11）这里，随机积分是在P下构造的。

过程Yν，pt描述了模型P下代理人在时间t的投资组合的价值，即：。，她的初始资本Y+V（回想一下Vtin（2.10）的定义）加上流动交易资产的自融资交易收益（计算不足）减去时间t时无交易期权的（重新校准的）Black-Scholes价值Vt。请注意，虽然流动交易资产中的头寸是“按市值计价”的，并构成“实际价值”（因为这些资产可以通过清算进行即时清算），非交易期权必须“按模型标记”，因此只有“理论价值”。然而，在非交易期权的交易中，VT等于期权的支付，期权的价值变为“真实”。特别是，Yν，PTI是代理人的实际终端财富。不确定性厌恶。修复模型集P 制定一套交易策略。与[28]类似，我们假设代理人Rank根据其对forminfP偏好的数字表示在Y中的交易策略∈PEP“U（Yν，PT）+ψZTU′（Yν，PT）f（∑t，ζPT）dt#），（2.12）对于局部有界的渐进可测被积函数，（2.11）中的随机积分在P中的每个度量下都有很好的定义。在我们的主要结果定理4.5中考虑的delta-vega对冲甚至是连续的，只有潜在的但没有流动性的看涨期权可用于动态对冲，而标的期权波动率是竞争对手的唯一控制变量。其中，f是一个合适的函数，对于每个∑>0，R ζ7→ f（σ，ζ）是严格凸的，在参考点ζ（σ）处具有唯一的最小值0。效用函数U描述了在给定模型中，代理人对风险的态度。P中的最后一个模型以及P enaltyterm（第二次总结，在（2.12）中的预期范围内）表达了她对模型不确定性的态度。

参数ψ>0量化了她的不确定性厌恶程度。实际上，在极限ψ内↓ 0，则（2.12）中的第二个求和收敛到指示器+∞1{ζP6=ζ（∑）}，标准（2.12）崩溃为参考模型下的标准预期效用。在这种情况下，代理根本不面临不确定性厌恶，因为她只认为参考模型是合理的。相反，在极限ψ内↑ ∞, 对于所有P，惩罚项收敛到0∈ P和标准（2.12）成为人们熟悉的最坏情况预期infP∈PEPhU（Yν，PT）i.在这种情况下，代理厌恶不确定性，因为她认为P中的每个模型都是同样可信的。标准（2.12）在这两种极端情况之间平滑插值。参考模型不受惩罚，而代理决策中的备选模型根据其与参考模型的“距离”而权重不足。解释是，参考模型被认为是最合理的。可供选择的模型重复使用较少，但不排除先验性。对于可跟踪性，我们关注惩罚函数f的以下二次规格：f（∑，ζ）=（ζ- ζ（∑）ψ-1（ζ- ζ（σ））=（ν/ψν+（σ-∑）/ψσ+η/ψη+ξ/ψξ）（2.13），其中ψ=diag（ψν，ψσ，ψη，ψξ），ψν，ψσ，ψη，ψξ>0。（2.14）参数ψν、ψσ、ψη、ψξ分别描述了代理人对隐含波动率真实漂移、即期波动率、隐含波动率相关波动率和隐含波动率不相关平方方差的相对不确定性。标度参数ψ衡量了她对不确定性的整体波动水平。备注2.6。让我们在[28，备注2.6]中论证为什么我们在数字表示（2.12）的惩罚规则中包括术语U′（Yν，Pt）。首先，在标准预期效用框架中，偏好在效用函数的有效变换下是不变的。

术语U′（Yν，Pt）确保了该属性为不确定性厌恶决策者保留，其偏好如（2.12）所述。第二，U′（Yν，Pt）（而不是，例如，U′（Y））是套期保值问题（2.16）动态公式的自然选择，根据一系列条件问题，在初始时间t，股价St=s，和损益Yν，Pt=Y。第三，我们的结果表明，（2.12）中描述的偏好具有近似“恒定的不确定性厌恶”，即现金等价物EWD不依赖于损益（参见命题4.6）。如果在（2.12）中省略了术语U′（Yν，Pt），情况就不会如此。请注意，在代理人选择其交易策略ν后，选择模型P的对手将受到处罚。或者，这可以解释为代理人的实际奖金。[28]中考虑了更一般的函数f，其中很明显，只有在最小值处的局部二次结构才对前导阶渐近有影响。在形式上，这与直接以货币形式提出罚款相对应，即在效用函数内（2.12）。使用U′（Y）代替U′（Yν，Pt）将产生与定理4.5中相同的v（ψ）展开式。从形式上讲，织女星对冲和竞争对手的候选最优控制仍然是领先的顺序最优。这是因为损益过程在较小的不确定性厌恶极限下收敛到一个常数。因此，也可以通过将矩阵ψ替换为ψ/U′（Y），从惩罚项中删除U′（Yν，Pt）。然后，U′（Y）将再次出现在竞争对手的候选人反馈控制中，因此也会出现在现金等价物中。将U′（Yν，Pt）保持在惩罚项中可以避免候选最优控制依赖于agent的当前P&Lof。

这避免了对冲问题公式中的一些数学细节；参见[28]，其中损益过程Y存在于正则空间中，因此（逐步可测量的）控制可能依赖于Y。在稳健投资组合选择的背景下，Maenhout【43】also观察到，对标准（非财富相关）熵惩罚的一些修改是合理的，以避免代理人的不确定性厌恶随着财富的增加而减弱，并通过直接修改HJBI方程来解决这一影响。我们还注意到，罚金取决于代理人仅通过其当前损益所选择的交易策略（正如投资者的间接风险承受过程仅通过其当前财富取决于其交易策略）。对冲问题。固定ψ>0。对于每个交易策略∈ Y和每个型号P∈ P、 我们用jψ（ν，P）确定套期保值问题的目标：=EP“U（Yν，PT）+ψZTU′（Yν，PT）f（∑t，ζPT）dt#。（2.15）我们注意到下面的假设4.2（a）保证了（2.15）中被积函数的负部分有界，因此期望得到了很好的定义。套期保值问题的值为v（ψ）=v（ψ；Y，P）：=sup∈YinfP公司∈PJψ（ν，P）。（2.16）也就是说，代理人希望在Y中找到一个策略，最大化她偏好的数字表示（2.12）。本文的目标是为小水平的不确定性厌恶ψ找到值v（ψ）的渐近展开式，并找到一种能够实现领先或有序最优绩效的交易策略。3启发式SDG族（2.16）的渐近解与线性约束二次规划问题有关。在本节中，我们从与（2.1.6）相关的HJBI方程中启发式地推导出该优化问题。这推动了后续第4节中介绍的功能定义。有效的希腊人。

现在让我们假设股票价格的真实动态由Black–Scholes模型给出，具有一些（恒定）波动率∑。然后，它的公式和V的DE（2.9）表明，带有Payoff V（ST，AT，MT）的期权的复制策略（仅交易股票和银行账户，而不是看涨期权）由θt=（VS+γVA）（t，ST，AT，MT，∑）给出。特别是，该选项的delta-VSof仅在γ≡ 0，即如果附加状态变量A具有有限的变化（例如，对于普通期权，如流动交易看涨期权，或其他期权，如障碍期权、亚洲期权或回望期权）。然而，一般来说，复制策略还必须考虑期权价值对附加状态变量A引起的股价变化的间接敏感性（例如，对于示例3.1中的远期启动期权）。因此，我们呼吁 = VS+γV选项V的有效增量。类似地，我们称Γ=VSS+2γVSA+γVAAand∑=VS∑+γVA∑选项V的有效γ和有效钒。示例3.1（前向启动调用）。带Payoff（ST）的前向启动呼叫-STreset）+是一个调用选项，其strike设置在将来的某个重置日期Treset∈ （0，T）（参见[44，第6.2节]）。通过选择A=Sandγ（t）=1{t<Treset}，可以将此选项嵌入到我们的框架中。实际上，那么At=St∧treset和选项payoff可以写为V（ST，AT）=（ST- AT）+。损益过程的动态。为了写下与套期保值问题相关的HJBI方程，我们需要损益过程的动力学Yν、一般策略的pf和模型P。将It^o的公式应用于P（相关控制ζP）下的YД，P（定义在（2.11）中）产量（cf。

引理5.2）dYν，Pt=θt- (（t，Xt）- φtCS（t，St，∑t））dSt公司+φtC∑（t，St，∑t）- V∑（t，Xt）d∑c，Pt- bV（t，Xt；ζPt）dt，其中∑c，P=∑-R·νPudu是∑在P和（writingx=（S，A，M，∑）下的（连续）局部鞅部分∈ Randζ=（ν，σ，η，ξ）∈ R） ，bV（t，x；ζ）=νV∑+（βVA+SΓ）（σ- ∑）+σηS∑+（η+ξ）V∑。（3.1）对于较小的不确定性厌恶，远离参考模型的模型将受到严重惩罚。因此，对手需要在参考反馈控制ζ（∑）=（0，∑，0，0）的小扰动ζ=ζ（∑）+eζψ中进行选择。将该扰动代入（3.1），我们发现bv（ζ）=veζψ+o（ψ），（3.2），其中v=（v∑，σ（βVA+SΓ），σS∑，V∑）。注意，通过围绕ψ=0展开函数bV（ζ（∑）+eζψ），也可以将（3.2）中的向量值函数v识别为ζ（∑）中计算的梯度DζbV。备注3.2。我们现在解释使用隐含波动率ξ的不相关平方波动率作为控制变量。方程（3.2）表明，平方挥发度的O（ψ）-扰动（即，eζ的正第四分量）会影响O（ψ）阶的漂移BV（至少只要我们在V∑∑非零的一般情况下）。如果我们使用不相关的可用性ξ′：=√ξ作为基本控制变量，则（3.1）中的ξ将替换为（ξ′）。根据导致（3.2）的论点，我们将发现形式为ζ′=ζ（∑）+eζ′ψthatbV（ζ′）=（v′）的扰动 eζ′ψ+o（ψ），（3.3），其中v′由v给出，第四分量替换为零。因此，O（ψ）阶零附近的ξ′扰动将不会影响bV展开式（3.3）中的O（ψ）项。

这是Black-Scholes参考模型的一个假象：对于任何具有隐含波动率的anonzero不相关波动率的参考模型，ξ′06=0，v′的第四个分量通常不会消失，因此ξ′0周围的O（ψ）-ξ′扰动将影响O（ψ）阶的漂移bv。HJBI方程。漂移条件（2.7）可以重新表述为bC（t，Xt；ζPt）=0 dt×P-a.e.，其中bC（t，x；ζ）=νc∑+SCSS（σ- ∑）+σηSCS∑+（η+ξ）C∑。此外，隐含波动率ξP（ζP的第四个分量）的不相关平方波动率必须为非负（参见定义2.3）。因此，与Hedging问题相关的HJBI方程为aswψt（t，x，y）+supν∈Rinfζ∈R： bC（t，x；ζ）=0，ζ≥0Hψ（t，x，y；ν，ζ）=0，wψ（t，x，y）=U（y），（3.4），其中函数Hψ（t，x，y；ν，ζ）（在（5.15）中明确说明）取决于wψ相对于空间变量x和y的一阶和二阶导数，以及描述S、a、M、∑和yν的动力学的漂移和扩散系数，在模型P下，ζPt=ζ。关于从随机最优控制的鞅最优性原理推导HJBI方程，请参考[28，第4.1节]。本质上，HJBIequation的左边是由过程wψ（t，Xt，Yν，Pt）+ψRtU′（Yν，Pu）f（∑u，ζPu）du undp的漂移引起的，这可以通过It^o的公式来计算。渐近ansatz。由于Black-Scholes模型是完整的，并且假设每个模型下的流动交易资产的漂移为零，我们期望v（ψ）的零阶项只是初始损益产生的效用U（Y）。

类似地，具有零不确定性厌恶的最优控制ζ可以简单地作为参考反馈控制ζ（∑）。这激发了以下关于值函数渐近展开和最优反馈控制的问题：wψ（t，x，y）=U（y）- U′（y）ew（t，x）ψ，（3.5）ζψ（t，x）=ζ（∑）+eζ（t，x）ψ，（3.6）对于要确定的函数ew和ζ=（eν，eσ，eη，eξ）。在参考模型中，股票中的任何策略和中和净增量的调用都是一种复制策略。因此，三角洲织女星树篱是否或任何其他中和代理的净增量的策略（例如，标准的不在看涨期权中交易的增量对冲）应该是对冲问题的候选策略ν=（θ，φ）。因此，我们暂时不考虑φ的选择，只假设θ= - φCS（3.7）中和了（有效）净三角洲。将（3.5）–（3.7）插入HJBI方程（3.4）（使用Hψ的明确公式（5.15）），绘制supДinfζ（我们假设候选策略和控制形成鞍点），使用展开式（3.2），并按ψ的幂排序，我们得到u′×-ewt公司- （α+β∑）ewA-∑S（ewSS+2γewSA+γewAA）+eζψ-1eζ- veζ-eξ（φC∑）- V∑）-U’’U’’ψ+o（ψ）=0。（3.8）此外，HJBI方程最小化部分的约束条件转换为eνC∑+e∑∑SCSS+eη∑SCS∑+eξC∑ψ+o（ψ）=0和ξ≥ 0。（3.9）我们的候选者foreζ和φ现在作为min-max问题（minimisingove reζ和max overφ）c的鞍点出现，对应于（3.8）中的O（ψ）项，受约束条件（3.9）。显然，织女星树篱φ=V∑C∑使φ上的O（ψ）项最大化∈ R、 不考虑Eζ的选择。