模型不确定性、重新校准和三角织女星的出现

还请注意，对于D的选择，我们有（分别用D对角线上的dmax和Dmin最大和最小元素表示）dmax=ψ-1min/ψ，dmin=ψ-1max/ψ，特别是r，dmaxmin=ψmaxψmin.（a）：Fix（t，x）∈ D和ψ>0。根据引理A.1（A）（5.27）的最小值是z*= ψeζ（t，x）。在r e替换后，这将产生原始最小化问题（5.22）的最小化器（5.24）。此外，根据引理A.1（c），最小值（5.27）（与最小值（5.22）完全一致）为-v（t，x）z*= -v（t，x）eζ（t，x）ψ=-eg（t，x）ψ；回想一下（4.8）中eg的定义。为了进一步参考，我们还注意到| z上的界*| 引理A.1（A）翻译为eζ（t，x）≤ ψmax | v（t，x）|。（5.28）（b）：这紧跟引理A.1（d）的第二个断言。（c） ：根据假设4.2（d）和v（t，x）的定义，有一个常数Kv>0，例如v（t，x）|≤ Kvfor all（t，x）∈ D、 设置Keg=ψmaxKvand fix（t，x）∈ D和ψ>0。Asζ（∑）∈ Zlin（t，x）和Hψ（t，x；ζ（∑））=0，我们有eg（t，x）≥ 0乘以（5.2 3）。另一方面，使用Cauchy–Schwarz不等式和（5.2 8），我们得到了e very（t，x）∈ D： g（t，x）=v（t，x）eζ（t，x）≤ |v（t，x）|eζ（t，x）≤ ψmax | v（t，x）|≤ 小桶。（d） ：设置Kζ=max（ψmaxKv，1），其中Kvis如第（c）部分的证明所示，fix（t，x）∈ D以及ψ>0。If∑∈ {∑，∑}，然后通过构造ζψ（t，x）=ζ（∑），断言很简单。否则，如果∑∈ （σ，σ），然后ζψ（t，x）=ζψ*（t，x）和（5.2 8）意味着ζψ（t，x）- ζ（∑）=ζψ*（t，x）- ζ（∑）=eζ（t，x）ψ≤ ψmax | v（t，x）|ψ≤ Kζψ。（5.29）（e）：固定（t，x）∈ D和ψ>0。首先，我们假设∑∈ {∑，∑}。然后通过构造ζψ，ζψ（t，x）=ζ（∑），根据Hψ（t，x；ζ（∑））=0（参见（5.21））。其次，假设∑∈ （∑，∑）。则ζψ（t，x）=ζψ*（t，x）和（a）部分的断言。（f） ：让Kv>0与第（c）部分的证明相同。

那么引理A.1（b）的界（A.7）意味着，对于每个（t，x）∈ D、 |λ（t，x）c（t，x）- u（t，x）~ e |≤1+ψmaxψmin千伏。（5.30）从（4.1）中回忆c（t，x）=（c∑，SCSS，∑SCS∑，c∑）. 显然，λ（t，x）c（t，x）的前三个分量中的每一个的绝对值都以向量λ（t，x）c（t，x）的长度为界-u（t，x）~e。同时使用∑>0，我们可以找到一个常数K>0，使得对于每个（t，x）=（t，S，a，M，∑）∈ D、 |λ（t，x）C∑（t，S，∑）|≤ K、 |λ（t，x）SCSS（t，S，∑）|≤ K、 |λ（t，x）SCS∑（t，S，∑）|≤ K、 （5.31）（由于存在术语u（t，x）~ ein（5.30），该参数不适用于λ（t，x）c（t，x）的第四分量。）设置Kλ（t，x）=3K（2+KC（t，x）），其中KC∈ LPI如第4.2（c）条所述。很明显，Kλ∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x）∈ D、 使用向量的欧几里德范数由其每个条目的绝对值之和控制，以及假设4.2（c）约束| c∑|，|λ（t，x）|SCSSSCS∑SCS∑C∑F=|λ（t，x）|（SCSS，SCS∑，SCS∑，C∑）≤ |λ（t，x）||SCSS |+2 | SCS∑|+| C∑|≤ （2+KC（t，x））|λ（t，x）||C∑|+| SCSS |+| SCS∑|.将其与（5.31）相结合，并选择Kλ完成证明。推论5.7。对于每个（t，x）∈ D、 eg（t，x）=-∑φSCSS公司- （βVA+SΓ）eσ- ∑φSCS∑- S∑eη-（φC∑∑- V∑eξ，其中函数（eν，eσ，eη，eξ）=eζ在（4.5）和φ中定义=V∑C∑。证据We fix（t，x）∈ 并删除下面的所有参数以简化表示法。回想一下EG=v定义eζ（参见（4.8））。此外，ceζ=0，引理5.6（a）。因此，eg=（v- φc）eζ。请注意，v的第一个分量-φ通过选择φ，c为零（织女星对冲抵消了织女星组合）。

现在，该断言源自（4.1）和（4.2）中c和v的定义。本小节的其余部分提供了四项Hψ、Hψ、H和Hψ的估计值。粗略地说，以下第一个命题的（a）部分表明-eg（t，x）ψ不仅是Hψ（t，x；ζ）over rζ的下界∈ Zlin（t，x）（如引理5.6所示），但对于ζ，也可以达到O（ψ）级∈ Z（t，x）表示克隆e到ζ（∑）。此外，第（b）部分表明，该下界大约由接近候选反馈控制ζψ的控制ζ获得。命题5.8（Hψ估计）。（a） 让0≤ K∈ 有限合伙人。有一个非负K∈ LP（取决于K），以便对于每个（t，x）∈ D、 ζ∈ Z（t，x）和ψ∈ （0，1）令人满意ζ- ζ（∑）≤ K（t，x）ψ，（5.32）我们有hψ（t，x；ζ）≥ -eg（t，x）ψ- K（t，x）ψ。（b） 让0≤\'\'K∈ 有限合伙人。有一个非负K∈ LP（取决于'K）包括每个（t，x）的∈ D、 ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）令人满意ζ- ζψ（t，x）≤\'K（t，x）ψ，（5.33）我们有hψ（t，x；ζ）≤ -eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ+K（t，x）ψ。证据（a） ：选择0≤ Kλ∈ 引理5.6（f）中的LPas，并设置K（t，x）=Kλ（t，x）K（t，x）。问∈ L和Kλ∈ LP，那么K∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x）∈ D、 ζ∈ Z（t，x）和ψ∈ （0，1）满足（5.32）。Asζ=（ν，σ，η，ξ）∈ Z（t，x），我们有bC（t，x；ζ）=0和ξ≥ 因此，使用alsothatu（t，x）≥ 定义为0（参见（4.4）），Hψ（t，x；ζ）≥ Hψ（t，x；ζ）+λ（t，x）bC（t，x；ζ）- u（t，x）ξ。用表达式（5.5）代替Bc，并使用La grangian Lψ的定义（5.25），得到hψ（t，x；ζ）≥ Lψ（t，x；ζ，λ（t，x），u（t，x））+λ（t，x）σ- ∑ηSCSSSCS∑SCS∑C∑σ- ∑η.右侧的第一个术语从下方以-引理5.6（b）的eg（t，x）ψ。为了估计第二项，我们使用Cauchy–Schwarz不等式，Robenius范数和欧几里德范数的相容性，以及（σ-∑，η）只是ζ的第二和第三个分量- ζ（∑）。

因此，我们发现hψ（t，x；ζ）≥ -eg（t，x）ψ-|λ（t，x）|SCSSSCS∑SCS∑C∑Fζ- ζ（∑）.最后，条件（5.32）和Le mma 5.6（f）中的界限（5.26）给出ψ（t，x；ζ）≥ -eg（t，x）ψ-Kλ（t，x）K（t，x）ψ。这通过选择K.（b）证明了断言（a）：设置K′（t，x）=Kζ+’K（t，x），其中Kζ如引理5.6（d）中所选。很明显，K′∈ 有限合伙人。根据假设4.2（d）和v（t，x）的定义，存在一个常数Kv>0，使得| v（t，x）|≤ Kvfor all（t，x）∈ D、 接下来，设置K（t，x）=ψ-1minK′（t，x）+KvK（t，x）。自K′，K∈ LP，接下来是K∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x）∈ D、 ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）满足（5.3 3）。为简洁起见，我们写ζψ=ζψ（t，x）和ζ=ζ（∑）。现在，根据多元中值定理l ∈ [0，1]使得Hψ（t，x；ζ）=Hψ（t，x；ζψ）+DζHψ（t，x；ζl)（ζ）- ζψ）（5.34），其中ζl= （1）- l)ζψ+lζ。通过Hψ的定义，我们得到了ζHψ（t，x；ζl) =ψψ-1（ζl- ζ）- v（t，x）。引理5.6（d）和（5.33），ζl- ζ=ζψ- ζ+l（ζ）- ζψ）≤ζψ- ζ+ lζ- ζψ≤ Kζψ+(R)K（t，x）ψ≤ K′（t，x）ψ，所以DζHψ（t，x；ζl)≤ ψ-1minK′（t，x）+Kv。（5.35）此外，通过引理5.6（e），Hψ（t，x；ζψ）=-eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ。结合（5.34）中的（5.35）和（5.33），我们得到了inHψ（t，x；ζ）≤ -eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ+ψ-1minK′（t，x）+Kv\'K（t，x）ψ。这通过选择K证明了断言（b）。接下来的两个属性提供了参考反馈控制ζ（∑）和备选方案ζ之间欧氏距离Hψ和Hin项的估计：命题5.9（Hψ估计）。对于每一个（t，x，y），都有K>0的曲面∈ D×R，ζ∈ Z、 ψ>0，Hψ（t，x，y；ζ）≤ Kζ- ζ（∑）ζ- ζ（∑）+-U′（y）U′（y）最大值1.ζ- ζ（∑）ψ.证据设置K=最大值（KV，4 max（1，∑）KVKew），其中KV和Keware如假设4.2（d）–（e）所示。还有fix（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 ψ>0。

现在，首先请注意，bV（t，x；ζ）的形式为（5.16），其中=V∑，βVA+SΓ，S∑，V∑∑.因此，根据引理5.4，事实是| a |≤ 2KVby假设4。2（d），以及K，| bV（t，x；ζ）|的选择≤ 最大值（1，∑）| a|ζ- ζ（∑）+ |a|ζ- ζ（∑）≤KKew公司ζ- ζ（∑）最大值1.ζ- ζ（∑）.（5.36）接下来，使用命题5.9（a）证明中的第一个范数估计，然后使用假设4.2（d），以2KV的电压估计产生的Frobenius范数，我们发现σ- ∑ηβVA+SΓS∑S∑V∑∑σ- ∑η≤ 千伏ζ- ζ（∑）. （5.37）最后，使用（5.36）–（5.37）和| ew |≤ Kewon D根据假设4.2（e），我们得到Hψ（t，x，y；ζ）≤ 千伏ζ- ζ（∑）+ K-U′（y）U′（y）ζ- ζ（∑）最大值1.ζ- ζ（∑）ψ≤ Kζ- ζ（∑）ζ- ζ（∑）+-U′（y）U′（y）最大值1.ζ- ζ（∑）ψ.提案5.10（Hestimate）。有K∈ lp使得对于每（t，x）∈ D和ζ∈ ZH（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））≤ K（t，x）ζ- ζ（∑）最大值1.ζ- ζ（∑）.证据设置K（t，x）=2 max（1，∑）| a（t，x）| where（t，x）=ew∑，βewA+S（ewS+2γewSA+γewAA），S（ewS∑+γewA∑），ew∑.根据假设4.2（e），a的每个组件都在LPA中，因此也是K∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x）∈ Dandζ∈ Z、 很容易看出差值：=H（t，x；ζ）- 对于a=a（t，x），H（t，x；ζ（∑））的形式为（5.16）。因此，通过引理5.4和K的选择，| d |≤ 最大值（1，∑）| a|ζ- ζ（∑）+ |a|ζ- ζ（∑）≤ K（t，x）ζ- ζ（∑）最大值1.ζ- ζ（∑）.将命题5.9和5结合起来。10，以下推论保证，如果ζ接近ζ（∑），则Hψ（t，x；ζ）为O（ψ）级，H（t，x；ζ）可替换为H（t，x；ζ（∑））和O（ψ）级aterm。推论5.11。让0≤ K∈ 有限合伙人。有K2,3∈ LP（取决于K），以便对于每个（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 且ψ>0满足ζ- ζ（∑）≤ K（t，x）ψ，（5.38）我们有Hψ（t，x，y；ζ）≤ K2,3（t，x）1个+-U′（y）U′（y）ψ，H（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））≤ K2,3（t，x）ψ。证据选择K>0和K∈ 命题5.9和5.10中的LPA。

由于Z和∑，∑是有界的，所以存在一个常数K′≥ 1使得对于每个ζ∈ Z和∑∈ [∑，∑]，ζ- ζ（∑）≤ K′。设置K2,3=K（t，x）（Kmax（K′，K（t，x））+K（t，x）K′）。很容易看出K2,3∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 ψ>0满足（5.38）。然后根据命题5.9和（5.38），Hψ（t，x，y；ζ）≤ KK（t，x）ψK（t，x）ψ+-U′（y）U′（y）K′ψ≤ K2,3（t，x）1个+-U′（y）U′（y）ψ。同样，根据命题5.10和（5.3 8），H（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））≤ K（t，x）K（t，x）K′ψ≤ K2,3（t，x）ψ。最后，s下面的命题5.12表明Hψ从0到O（ψ）阶的m之间是有界的。回想一下（5.21），这个符号下界是由δvegahedge得到的，即Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）=0。命题5.12（Hψ估计）。有一个非负K∈ lp使得对于每个（t，x，y）∈D×R，ν∈ R、 ζ∈ Z、 ψ>0，Hψ（t，x，y；ν，ζ）≥ U′′（y）K（t，x）ψ。证据我们首先认为wψY≤ D×R上的U′。由于U具有递减的绝对风险厌恶（参见假设4.2（f）），我们对每个y∈ R、 0个≥ddy公司-U′（y）U′（y）= -U’（y）U’’（y）- U′（y）U′（y）。特别是，由于U′>0，我们得到了U′′>0。与ew一起≥ 0（参见假设4.2（e）），这将产生wψY=U′- U′′ewψ≤ D×R上的U′<0。现在，设置K（t，x）=KσS（ewS+γewA）+ew∑为了一些康斯坦特≥ 最大ζ∈Z（1+2η+（η+ξ））1/2。作为S（ewS+γewA），ew∑∈ LPby假设4。2（e），我们有K∈ 有限合伙人。接下来，fix（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 ψ>0。WriteQ公司=1ηηη+ξ安洛=σS（ewS+γewA）ew∑,考虑函数q:R→ R由q（z）=-wψY YzQz+ψU′（y）ewQz。很明显，在z上最小化q∈ Ris等价于在ν上最小化Hψ（t，x，y；ν，ζ）∈ R（根据假设4.2（C）重新调用C∑6=0）。此外，det Q=（η+ξ）- η=ξ≥ 0且trac e Q=1+η+ξ>0，因此对称矩阵Q是正半有限的。因此，q是凸的，并且是一阶条件q的nysolution-wψY Yz+ψU′（Y）ew= 0是（全局）最小化器。

作为z*=U′′（y）wψy Yewψ解一阶条件，在s代数之后，我们得到q的最小值是U′（y）wψy YewQewψ。也使用wψY≤ 在D×R上U′<0，我们得出结论，对于所有的Γ∈ R、 Hψ（t，x，y；Д，ζ）≥U′（y）ewQewψ。最后电子战Qew公司≤|ew | kQkF≤ K（t，x）通过选择K。结合前面的两个估计完成了证明。5.1.3 HJBI方程的近似解以下引理表明，（5.2）中定义的候选值函数wψ在高达O（ψ）级的条件下是HJBI方程（5.14）的“上解”。该分析结果是第5.1.4节不等式（5.3）证明的主要内容。引理5.13（下限）。固定常数Y≤ Y有一个非负的Klo∈ LP（依赖于Y，Y），因此对于每个（t，x，Y）∈ D×[Y，Y]和ψ∈ （0，1），wψt（t，x，y）+infζ∈Z（t，x）Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）≥ -Klo（t，x）ψ。（5.39）证明。作为辅助结果，我们证明了存在K∈ lp使得对于每个（t，x，y）∈D×[Y，Y]，ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）满足hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）≤ Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ（σ）），（5.40）我们有ζ- ζ（∑）≤ K（t，x）ψ。（5.41）利用命题5.9以及Z和[Y，Y]是紧的事实，存在一个常数K′>0，使得对于每个（t，x，Y）∈ D×[Y，Y]，ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1），Hψ（t，x，y；ζ）≤ K′ζ- ζ（∑）.类似地，使用命题5.10，有K′∈ lp使得对于每（t，x）∈ D和ζ∈ ZH（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））≤ K′（t，x）ζ- ζ（∑）.现在，设置K（t，x）=2ψmax（| v（t，x）|+K′+K′（t，x））。假设v（t，x）由假设4.2（d）一致有界，那么K∈ 有限合伙人。固定（t、x、y）∈ D×[Y，Y]，ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）满足（5.40）。

重新排列（5.40）并使用Hψ的分解（5.18），Hψ项vanis hes by（5.21），上述对Hψ的估计以及对Hψ项的直接估计，我们发现0≥Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）- Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ（∑）/U′（y）=Hψ（t，x；ζ）+Hψ（t，x，y；ζ）-H（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））ψ≥2ψψmaxζ- ζ（∑）- v（t，x）（ζ）- ζ（∑）- （K′+K′（t，x））ζ- ζ（∑）.通过重新排列ter-ms并应用Cauchy–Schwarz不等式，我们得到ζ- ζ（∑）≤ 2ψ最大值|v（t，x）|+K′+K′（t，x）ζ- ζ（∑）ψ≤ K（t，x）ζ- ζ（∑）ψ和（5.41）如下。现在我们来看看（5.39）的证明。选择K2,3∈ 推论5.11中的LPA（与辅助结果中的K相同），K∈ 命题5.8（a）中的LPA和setKlo（t，x）=U′（Y）K（t，x）+K2,3（t，x）2+-U′（Y）U′（Y）.很明显，Klo∈ 有限合伙人。固定（t、x、y）∈ D×[Y，Y]，ζ∈ Z（t，x）和ψ∈ （0，1）。首先，我们注意到ζ（∑）∈ Z（t，x）和（5.20）–（5.21）和引理5.6（c），wψt（t，x，y）+Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ（∑）=-U′（y）ewt（t，x）+H（t，x；ζ（∑））ψ=U′（y）eg（t，x）ψ≥ 0。鉴于断言（5.39），我们可以认为（5.40）是令人满意的。反过来，（5.41）又被辅助结果所满足。特别是，我们可以在下面使用命题5.8（a）（对于Hψ）和推论5.11（对于Hψ和H）的估计。加上Hψ项消失（5.21）yieldwψt（t，x，y）+Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）=U′（y）-ewt（t，x）ψ+Hψ（t，x；ζ）+Hψ（t，x，y；ζ）- H（t，x；ζ）ψ≥ -U′（y）ewt（t，x）+H（t，x；ζ（∑））+eg（t，x）ψ- U′（y）K（t，x）+K2,3（t，x）1个+-U′（y）U′（y）+ K2,3（t，x）ψ≥ -Klo（t，x）ψ，其中，在最后一个不等式中，我们还使用（5.20）来消除O（ψ）项，并且Uhas递减绝对风险厌恶（参见假设4.2（f））来估计O（ψ）项。

Asζ∈ Z（t，x）是任意的，（5.39）如下。下一个引理显示，（5.2）中定义的候选值函数wψ是HJBI方程（5.14）的“次解”。这里，如果∑在∑，∑的内部，则渐近估计为O（ψ）阶，否则为O（ψ）阶。该分析结果是第5.1.5节不等式（5.4）证明的主要内容。引理5.14（上界）。让0≤\'\'K∈ 有限合伙人。有一个非负的Kup∈ LP（依赖于“K”），因此对于每个（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）令人满意ζ- ζψ（t，x）≤K（t，x）ψ，（5.42）我们有wψt（t，x，y）+supν∈RHψ（t，x，y；Д，ζ）≤ Kup（t，x）U′（y）1个+-U′（y）U′（y）ψ1+1{∑∈（∑，∑）}。（5.43）证明。定义Kζ≥ 1如L emma 5.6（d）中所述，并设置K（t，x）=K（t，x）+Kζ。很明显，K∈ 有限合伙人。选择K，让K2,3∈ LPbe定义见推论5.11。此外，定义K∈ 提案5.8（b）和K中的LPA∈ 提案5.12中的LPA。此外，请注意keg>0使得0≤ eg公司≤ Kegon D引理5.6（c）。现在，设置Kup（t，x）=4 maxK（t，x）+2K2,3（t，x）+K（t，x），桶. 很明显，库普∈ 有限合伙人。固定（t、x、y）∈ D×R，ν∈ R、 ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）满足（5.42）。特别是，第5.8（b）条中的条件（5.33）成立。

引理5.6（d）和（5.42），ζ- ζ（∑）≤ζ- ζψ（t，x）+ζψ（t，x）- ζ（∑）≤\'K（t，x）ψ+Kζψ≤ K（t，x）ψ，因此推论5.11的条件（5.38）也满足。使用命题5.8（b）（对于Hψ）和命题5。12（对于Hψ）以及推论5.1 1（对于Hψ和H）来估计Hψ分解（5.18）中的四个和，以及（5.20）在最后一步中，我们得到了ψt（t，x，y）+Hψ（t，x，y；ν，ζ）≤ -U′（y）ewt（t，x）ψ+U′（y）-eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ+K（t，x）ψ+ U′（y）K2,3（t，x）1个+-U′（y）U′（y）ψ- U′（y）H（t，x；ζ（∑））- K2,3（t，x）ψψ-U′′（y）K（t，x）ψ=-U′（y）ewt（t，x）+H（t，x；ζ（∑））+eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ+U′（y）K（t，x）+2K2,3（t，x）+K2,3（t，x）+K（t，x）-U′（y）U′（y）ψ≤ U′（y）eg（t，x）1{∑∈{∑，∑}}ψ+Kup（t，x）U′（y）1个+-U′（y）U′（y）ψ≤Kup（t，x）U′（y）1个+-U′（y）U′（y）{∑∈{∑，∑}}ψ+ψ.Asν∈ RWA是任意的，断言通过区分案例∑很容易得出∈ （∑，∑）和∑∈ {∑，∑}（使用该ψ∈ （第二种情况下为0，1）。5.1.4根据第5.1节开头定理4.5的证明要求，随机微分方程的渐近下界现在可以建立SDG（2.16）的渐近下界。引理5.15。A sψ↓ 0，infP∈PJψ（ν）, P）≥ wψ+o（ψ）。证据选择Y，Y，就像在推论5.3中一样，通过这个选择，让Klo∈ 引理5.13中的LPbe。现在，fixε>0，ψ′∈ （0，ψ）使得kklopψ′≤ε、 让ψ∈ （0，ψ′）。我们需要证明这一点∈PJψ（ν）, P′）- wψ≥ -εψ。（5.44）选择P∈ P使得Jψ（ν, P）-εψ≤ infP′型∈PJψ（ν）, P′）。然后输入\'∈PJψ（ν）, P′）- wψ≥ Jψ（ν）, P）- wψ-εψ。