模型不确定性、重新校准和三角织女星的出现

（5.45）将It^o公式（P下）应用于过程wψ（u，Xu，Yν,Pu）（r e c s，A，M，∑和Yν的所有动力学,Pgiven in（2.6）–（2.8）和推论5.3），并使用（4.7）中的第三行（使dM积分消失）得出each u∈ [0，T]，Iψu（ν, P）：=wψ（u，Xu，Yν,Pu）+ψZuU′（Yν）,Pt）f（∑t，ζPt）dt- wψ=Nu+Zuwψt（t，Xt，Yν,Pt）+Hψ（t，Xt，Yν）,Pt；^1（t，Xt），ζPt）dt，（5.46），其中：=Z·wψS（t，Xt，Yν,Pt）+γ（t，St，At，Mt）wψA（t，Xt，Yν）,Pt）dSt+Z·wψ∑（t，Xt，Yν,Pt）d∑c，Pt。注释ThatζPt∈ Z（t，Xt）dt×P-a.e.乘以（2.7）。因此，引理为5.13，对于每个u∈ [0，T]，Iψu（ν, P）≥ 如新大学-ZuKlo（t，Xt）dtψ。（5.47）通过构造，N是从0开始的局部P-ma函数。假设N也是一个子鞅。然后，通过在（5.47）两侧取P下的期望值（对于u=T），我们得到jψ（ν, P）- wψ≥ -kKlokLPψ≥ -εψ。再加上（5.45）的收益率（5.44）。仍然需要证明N是P下的一个子鞅。由于它是一个局部martinga le，因此必须证明它是由一个P-可积随机变量从上而下界定的。为此，请注意（5.2）中wψ的定义≥ 通过假设4.2（e）和假设4.2（f）wψ≤ D×【Y，Y】上的U（Y）。显然，U′（y）f（∑，ζ）也是y上的统一边界≥ Y、 ∑∈ [σ，σ]，和ζ∈ Z、 鉴于Iψ（ν）的定义, P）在（5.46）中，偏移Yν,P∈ [Y，Y]dt×P-a.e.根据推论5.3和假设4.2（b），我们得出结论Iψ（ν, P）≤ KIdt×P-a.e.对于某些常数KI>0。使用此和（5.47），我们得到∈ [0，T]，Nu≤ KI+ZTKlo（t，Xt）dt。作为Klo∈ LP，N由一个P可积随机变量从上而下限定，因此是AsubMartingal。

这就完成了证明。5.1.5随机微分对策的渐近上界为了建立随机微分对策的符号上界（2.16），我们首先证明了在Pψ下，∑在时间T之前离开（∑，∑）的概率为O（ψ）。提案5.16。设τ：=inf{t∈ [0，T]∑t6∈ （∑，∑）}∧这是∑第一次离开（∑，∑）。那么τ是一个s打顶时间，对于每个ψ，Kτ>0∈ （0，ψ），Pψ[τ<T]≤ Kτψ。（5.48）证明。证明τ是（非增广、非右连续）过滤F的停止时间是一个简单的练习。这使用了∑的所有路径都是连续的，且（∑，∑）是开放的这一事实；参见[38，第1章中的问题2.7]。转向（5.48）的证明，根据It^o过程的标准估计（参见，例如，[51，LemmaV.11.5]），存在一个常数K>0（仅取决于T），使得对于每个ψ∈ （0，ψ），EPψsup0≤t型≤T∑T- ∑|≤ KEPψ“ZT（νPψt）+（ηPψt）+ξPψtdt#。（5.49）定义Kζ≥ 1如引理5.6（d）中所示，设K′（t，x）=K（t，x）+Kζ≥ 1以及Kτ=2l-2K kK′kLPwithl := 最小值（∑）-∑，∑-∑）>0。很明显，K′∈ 有限合伙人 LP，因此0≤ Kτ<∞.固定ψ∈ （0，ψ）。通过（5.1）和引理5。6（d），ζPψt- ζ（∑t）≤ζPψt- ζψ（t，Xt）+ζψ（t，Xt）- ζ（∑t）≤ K（t，Xt）ψ+Kζψ≤ K′（t，Xt）ψdt×Pψ-a.e.回顾ζ（∑）=（0，∑，0，0）, 这个估计得到（νPψt）+（ηPψt）+ξPψt≤ζPψt- ζ（∑t）+ζPψt- ζ（∑t）≤ K′（t，Xt）ψ+K′（t，Xt）ψ≤ 2K′（t，Xt）ψdt×Pψ-a.e.（5.50）此外，通过定义l 马尔可夫不等式，Pψ[τ<T]≤ Pψsup0≤t型≤T∑T- ∑|≥ l≤ l-2EPψsup0≤t型≤T∑T- ∑|. （5.51）组合（5.49）–（5.51）证明（5.48）。我们现在可以为随机微分方程（2.16）建立一个辛上界，这就完成了第5.1节开头定理4.5的证明。引理5.17。A sψ↓ 0，支持∈YJψ（ν，Pψ）≤ wψ+o（ψ）。证据设置“K=K”∈ 有限合伙人。

选择“K”，定义Kup∈ 引理5.14中的LPas。当U′减小且U的绝对风险厌恶度降低时（参见假设4.2（f）），KU>0，因此（参见假设4.2（a）选择KY）U′（y）1.- U′（y）U′（y）≤ KU，无论如何≥ -KY.（5.52）现在，fixε>0，选择ψ′∈ （0，ψ）使得kukkupklpψ′+KU√T kKupkLPK1/2τ（ψ′）1/2≤ε，其中Kτ>0与命题5.16中的a和letψ相同∈ （0，ψ′）。我们需要证明这一点∈YJψ（Д′，Pψ）- wψ≤ εψ。（5.53）选择Д∈ Y使得Jψ（ν，Pψ）+εψ≥ supИ′型∈YJψ（ν′，Pψ）。然后再上∈YJψ（Д′，Pψ）- wψ≤ Jψ（ν，Pψ）- wψ+εψ。（5.54）将It^o的公式（在Pψ下）应用于过程wψ（u，Xu，Yν，Pψu）（回想一下（2.6）–（2.8）和Le mma 5.2中给出的s，A，M，∑和Yν，Pψ的动力学），并使用（4.7）中的第三行（使dM积分消失）得出each u∈ [0，T]，Iψu（ν，Pψ）：=wψ（u，Xu，Yν，Pψu）+ψZuU′（Yν，PψT）f（∑T，ζPψT）dt- wψ=Nu+Zuwψt（t，Xt，Yν，Pψt）+Hψ（t，Xt，Yν，Pψt；νt，ζPψt）dt。（5.55）此处，N：=Z·wψS（t，Xt，Yν，Pψt）+γ（t，St，At，Mt）wψA（t，Xt，Yν，Pψt）dSt+Z·wψ∑（t，Xt，Yν，Pψt）d∑c，Pψt+Z·wψY（t，Xt，Yν，Pψt）dYc，ν，Pψtandyc，ν，Pψ=YД，Pψ+R·bV（t，Xt；ζPψt）dt是Pψ下YД，Pψ的局部鞅部分。我们想用引理5。14估计（5.55）最后一行中的漂移。注：引理5.14的条件（5.42），其中ζ和x分别替换为ζPψ和Xt，完全满足（5.1）的条件×Pψ-a.e.并且我们选择了K=K。此外，通过τ表示∑第一次离开（∑，∑）（参见命题5.16），我们有∈ [0，T）即∑T∈ {τ上的（∑，∑）Pψ-a.s≥ T}。因此，根据（5.43）、（5.52）和假设4.2（a），对于每个u∈ [0，T]，Iψu（ν，Pψ）≤ Nu+ZuKup（t，Xt）U′（Yν，Pψt）1+-U′（Yν，Pψt）U′（Yν，Pψt）！dt公司ψ{τ≥T}+ψ1{τ<T}≤ Nu+KUZuKup（t，Xt）dtψ{τ≥T}+ψ1{τ<T}. （5.56）通过构造，N是从0开始的局部Pψ-鞅。假设N也是一个超人。

然后，通过对（5.56）两边Pψ下的期望值（对于u=T），利用Cauchy–Schwarz和Jensen不等式以及命题5.16，我们得到了jψ（ν，Pψ）- wψ≤ KUkKupkLPψ+KUEPψ“ZTKup（t，Xt）dt 1{τ<t}#ψ≤ KUkKupkLPψ+KUEPψZTKup（t，Xt）dt！1/2Pψ[τ<T]1/2ψ≤KUkKupkLPψ+KU√T kKupkLPK1/2τψ1/2ψ≤εψ。再加上（5.54）的收益率（5.53）。还有待证明的是，N是Pψ下的上鞅。由于它是一个局部鞅，因此必须证明它是由一个Pψ-可积r andom变量从下而下的界。为此，首先注意（5.2）中wψ的定义以及假设4.2（e）和（f）中的每（t，x）∈ D安迪≥ -KY，wψ（t，x，y）=U（y）- U′（y）ew（t，x）ψ≥ U型(-肯塔基州）- U′型(-KY）丘。根据假设4.2（a）和f≥ 0，我们为每个u获得∈ [0，T]，Iψu（ν，Pψ）≥ U型(-肯塔基州）- U′型(-KY）丘- wψ=：KI。使用该值和（5.56）每个u∈ [0，T]，Nu≥ KI公司- 库兹特库普（t，Xt）dt。作为Kup∈ LP，N由一个Pψ-可积随机变量从下方限定，因此是一个Pψ-可积随机变量。这就完成了证明。5.2引理4.9修正反馈控制证明的构造。对于每个ψ>0，定义函数bν，ˋζψ*,ˇζψ：D→ R bybν（t，x）=-2C∑eσeηSCSSSCS∑SCS∑C∑eσeη, （5.57）ˇζψ*（t，x）=ζ（∑）+eζψ+bν~eψ，ˋζψ（t，x）=ζ（∑）+（eζψ+bν~eψ）1{∑<∑<∑}=ζψ+bν~eψ{∑<∑<∑}，（5.58），其中函数eσ和eη是（4.5）中定义的ζ的第二和第三分量。也就是说，ˋζψ是由ζψ（参见（4.6））产生的，由第一个共分量的扰动（内隐极性的漂移）产生一个O级项（ψ）。首先，我们证明了ˋζψ的断言连续性和扩张性质。从假设4.2（c）和（d）很容易看出，织女星伽马-瓦纳伏尔加矢量c和v是连续的。

然后也是λ（当V∑∑时，（4.3）右侧的两个表达式重合不是hard-cψvcψcC∑=0）、u和henceeζ在D上是连续的。因此，bν和ˋζψ也是连续的*在D，a上是连续的，因此ˋζψ在（0，T）×G×（∑，∑）上是连续的。副构造，ˇζψ*是ˋζψ的连续扩展（0，T）×G×（∑，∑）到D。其次，对于非常小的ψ，我们证明ˋζψ的范围包含在Z=[ν，ν]×[σ，σ]×[η，η]×[0，ξ]中∈ （0，ψ）。为此，必须证明eζ和bν有界onD=（0，T）×G×[∑，∑]。首先，根据引理5.6（a）的证明（5.28），我们得到eζ（t，x）≤ ψmax | v（t，x）|，（t，x）∈ D、 根据假设4.2（D），| v |在D上有界，因此eζ也在D上有界。其次，利用eζ的有界性以及（4.17），从（5.57）可以得出bν也有界于D。我们的结论是有ψ∈ （0，1）使得ˋζψ（t，x）∈ 每个（t，x）的Z∈ D和ψ∈ （0，ψ）。第三，证明（c）部分。乘以（5.58），对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，我们有ˇζψ（t，x）- ζψ（t，x）≤ |bν（t，x）|ψ。如上所述，bν在D上有界，K>0（4.18）成立。第四，我们展示了（b）部分，即bC（t，x；ˇζψ（t，x））=0。固定（t，x）∈ D、 If∑∈ {∑，∑}，然后通过构造ˋζψ（t，x）=ζ（∑），断言很简单。假设∑∈ （∑，∑）。通过bC的表示（5.5），注意到ˋζψ的第二和第三分量与ζψ的第二和第三分量重合，我们得到bC（ˋζψ）=cˇζψ- ζ（∑）+σψ- ∑ηψSCSSSCS∑SCS∑C∑σψ- ∑ηψ.我们注意到cζψ- ζ（∑）= c通过引理5.6（a），eζψ=0，因此cˇζψ- ζ（∑）=cˇζψ- ζψ. 再加上σψ=σ+eσψ和ηψ=eηψ（因为∑）∈ （∑，∑）以及bνyieldsbC（ˋζψ）=c的定义ˇζψ- ζψ- C∑bνψ。现在由（5.58）和c的定义（参见。

（4.1）），c（ˇζψ）- ζψ）=C∑bνψ，s o等于bC（ˇζψ）=0。最后，第（a）部分紧接着ζˇψ的构造。线性约束二次规划的拉格朗日对偶。我们回顾了[8，第5.1.5节]中的一些基本拉格朗日对偶结果。Fixn公司∈ N和函数f，g，h:Rn→ R、 我们指的是问题最小化f（z）受制于z∈ Rn，h（z）=0，g（z）≤ 0，（A.1）作为原始问题，表示byf*= inf{f（z）：z∈ Rn，h（z）=0，g（z）≤ 0}其最佳值。相应的拉格朗日isL（z，λ，u）=f（z）+λh（z）+ug（z，z∈ Rn，λ，u∈ R、 和一对（u*, λ*) 称为拉格朗日乘子iff*= infz公司∈RnL（z，λ*, u*) 和u*≥ （A.1）的对偶问题是受λ约束的极大q（λ，u）∈ R、 u≥ 0，其中对偶函数q isq（λ，u）=infz∈RnL（z，λ，u），λ，u∈ R、 最后，q*= sup{q（λ，u）：λ∈ R、 u≥ 0}表示对偶问题的最优值。具有线性等式和不等式约束的二次规划问题。以下引理提供了具有严格凸二次成本函数和特定线性等式和不等式约束的原始问题的解决方案。引理A.1。修复n∈ N、 对角线矩阵D=对角线（D，…，dn）∈ Rn×nw，带正对角线项，向量v=（v，…，vn）和c=（c，…，cn）在Rn中，对于某些情况，ci6=0∈ {1，…，n- 1} 。此外，如果vn，则将1A设置为1-cD-1vcD-1ccn<0，1A=0，否则，定义λ*=cD-1伏- cnvnd公司-1nAcD-1c级- cnd公司-1nA，（A.2）u*= （vn- λ*中国）-, （A.3）z*= D-1（v- λ*c+u*~en）。（A.4）（A）z*是原始问题Minimisez的唯一优化者Dz公司- vz受z约束∈ Rn，cz=0，zn≥ 0，（A.5）并满足界限| z*| ≤ d-1min | v |，其中dmin=min（d，…，dn）。（b） （λ*, u*) 是（A.5）对偶问题的唯一优化程序，可写成Maximise-（五）- λc+uen）D-1（v- λc+uen）根据λ∈ R、 u≥ 0

（A.6）优化者满足|λ的界限*c- u*~en |≤1+dmaxdmin|v |，，（A.7），其中dmax=最大值（d，…，dn）。（c） 原始问题和对偶问题的最优值重合（即不存在对偶间隙）且相等-vz*.（d） 三重态（z*, u*, λ*) 满足最优性条件z*= arg minz∈RnL（z，λ*, u*), cz*= 0，z*n≥ 0，u*≥ 0，u*z*n=0，（A.8），其中L是对应于原始问题的拉格朗日函数。此外，（λ*, u*) 是原始问题的阿拉格兰奇·穆特·伊普利尔。证据首先，注意拉格朗日（z，λ，u）=zDz公司- vz+λcz- u~ enz对应的主要问题是严格凸于z∈ 注册护士。因此，对偶函数q（λ，u）=infz∈RnL（z，λ，u）可以通过将解z′替换为一阶条件0=DzL（z′，λ，u）=Dz′来显式计算- v+λc- u~返回到L（z′，u，λ）。该y ie ldsq（λ，u）=-（五）- λc+uen）D-1（v- λc+uen），因此对偶问题的形式为（A.6）。证明的关键部分是证明三重态（z*, λ*, u*) 满足最佳条件（A.8）。因为L在z上是严格凸的∈ Rn，最优性条件等价于toDz*- v+λ*c- u*~en=0，cz*= 0，z*n≥ 0，u*≥ 0，u*z*n=0。（A.9）回顾λ的定义*, u*, 和z*在（A.2）–（A.4）中，请注意，对于某些i∈ {1，…，n- 1} 以及D的积极不确定性-1确保λ*定义良好。稳定条件Dz*-v+λ*c-u*~en=0，定义为z*. 对于其他条件，我们区分两种情况。首先，假设1A=0，即vn-cD-1vcD-1ccn≥ 0。然后λ*=cD-1vcD-1c，u*= 0和z*n=d-1n（vn-λ*中国）≥ 0.此外，cz*= cD-1伏-λ*cD-1c=0。其次，假设1A=1，即vn-cD-1vcD-1ccn<0，或等于（乘以cD-1c，加减cnvnd-1n，然后除以cD-1c级- cnd公司-1n>0），vn- λ*cn<0。然后u*> 0和z*n=0，定义为u*和z*.

最后，设置c=cD-1c和v=cD-1v表示简洁，cz*= cD-1（v- λ*c+u*~en）=v- λ*c+u*cnd公司-1n=v- λ*c- （vn- λ*cn）cnd-1n=v- λ*（c）- cnd公司-1n）- cnvnd公司-1n=v- （五）- cnvnd公司-1n）- cnvnd公司-1n=0。因此，（A.9）在这两种情况下都成立。根据原始最优解的特征【8，命题5.1.5】，这意味着z*是原始问题的优化者，即（λ*, u*) 是一个拉格朗日乘子，并且没有对偶间隙。此外，（λ*, u*) 是弱对偶定理[8，命题5.1.3]的推论[8，命题5.1.4（a）]对对偶问题的优化者。由于原问题和对偶问题分别是严格凸和严格凹的，所以优化问题是唯一的。堵塞优化装置（λ*, u*) 将对偶问题转化为对偶问题的成本函数（A.6），并使用z的定义*, 最佳值q*（关于原始问题和对偶问题）readsq*:= -（五）- λ*c+u*~英语）D-1（v- λ*c+uen）=-（五）- λ*c+u*~英语）z*.现在，请注意cz*= 0和u*~e新西兰*= u*z*n=0乘以（A.9）。因此，q*= -vz*.接下来，使用z*达到最佳值-vz*对于原始问题，应用Cauchy–Schwarz不等式，我们得到了Dmin | z*|≤（z）*)Dz公司*=vz*≤|v | | z*|.这就产生了（a）部分的最后一项权利要求。最后，使用（A.4）、三角形不等式和界| z*| ≤ d-1min | v |我们刚刚证明了，我们得到|λ*c- u*~en |=| Dz*- v |≤ |Dz公司*| + |v |≤ dmax | z*| + |v |≤1+dmaxdmin|v |。这证明了第（b）部分的最后一项权利要求，从而得出结论。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer，资产定价基础理论和超级复制定理的无模型版本，数学。《金融》26（2016），第2期，233–251。[2] H.Ahn、A.Muni和G.欺诈、指定错误的资产价格模型和稳健对冲策略，应用。数学财务4（1997），第。

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