模型不确定性、重新校准和三角织女星的出现

在本节中，我们预设了一组模型P，并在P中勾画出了一个条件渐近模型F的构造。固定常数0<∑<∑<∑<∑，ν<0<ν，0<σ<∑，σ<σ，η<0<η，ξ>0，并让P表示Psuch中模型P的子集，其边界（4.9）是满足的。在一些关于液体期权g气味的进一步正则性假设下，然后，P包含一个候选渐近模型族。候选符号模型族的构建包括两个步骤。第一个是证明候选反馈控制ζψ可以由O（ψ）阶项修改，从而使最终修改的反馈控制ˋζψ满足漂移条件（2.7）：引理4.9。让P Pbe使得（4.9）对于每一个P都成立∈ P、 此外，假设假设假设4.2（c）–（d）成立，假设4.2（c）中的（4.10）被| c∑|的更强条件取代≥ 1/KCand | SCSS |，| SCS∑|，| C∑|≤ KCon（0，T）×R+×[∑，∑]，（4.17）对于某些常数KC>0。然后有ψ>0和函数ˋζψ：D→ [ν，ν]×[σ，σ]×[η，η]×[0，ξ]，ψ∈ （0，ψ），对于每个ψ∈ （0，ψ），约束ˋζψ|（0，T）×G×（∑，∑）是连续的，并且可以扩展为D=（0，T）×G×R+上的连续函数。此外，K>0使得对于每个（t，x）=（t，S，A，M，∑）∈ D和ψ∈ （0，ψ），（a）ˇζψ（t，x）=ζ（∑）if∑6∈ （∑，∑），即，如果达到隐含波动率的界限，则修改后的反馈控制回落至参考反馈控制；（b） 写（ˋνψ，ˋσψ，ˋηψ，ˋξψ）=ˋζψ（t，x），我们有ˋνψC∑+scs（ˋσψ）- ∑）+ˋσψˋηψSCS∑+（（ˋηψ）+ˋξψ）C∑=0，即满足修正反馈控制ˋζψ的漂移条件（2.7）；（c）ˇζψ（t，x）- ζψ（t，x）≤ Kψ，（4.18），即修改后的反馈控制ˋζψ为O（ψ）-接近候选ζψ。证据见第5.2节。设ψ、K和ˋζψ如引理4.9所示。

现在，第二步是证明与修改后的反馈控制ˋψ=（ˋνψ，ˋσψ，ˋηψ，ˋξψ）相对应的随机微分方程（SDE）有一个弱的解决方案。固定ψ∈ （0，ψ）。书写ν，σ，η，ξ而不是ˋν，ˋσψ，ˋηψ，ˋξψ以减轻旋转，相关的SDE读取为ds′t=S′tσdWt，d∑′t=νdt+ηdWt+pξdWt，dA′t=α+βσdt+γS′tσdWt+δdM′t，（4.19），其中α、β、γ和δ在（t，S′t，A′t，M′t：=supu∈[0，t]S′u）、ν、σ、η、a和ξ在（t，S′t，a′t，M′t，∑′t）处计算，a和（W，W）是一个二元标准布朗运动。假设（4.19）（从S，∑，a开始）存在一个弱解，其性质是∑′几乎可以肯定地在∑，a中演化，并用正则空间上的Pψ表示其imag e测度（在（S，∑′，a′）下）(Ohm, F） 。然后通过构造（参见定义2.3和2.5），Pψ∈ PandζPψt=ˋζψ（t，Xt）dt×Pψ-a.e.此外，引理4.9和在Pψ下，∑在∑，∑中演化的事实几乎可以肯定，（4.9）适用于每一个P∈ （Pψ）ψ∈（0，ψ）和ζPψt- ζψ（t，Xt）=ˇζψ（t，Xt）- ζψ（t，Xt）≤ Kψdt×Pψ-a.e.So（Pψ）ψ∈（0，ψ）是P中的一个候选渐近模型族。关于（4.19）弱解的存在性，仍需讨论∑′evolvesin[∑，∑]的性质。注意，我们不能直接应用弱解的标准存在性结果，因为控制ˇζψ在∑中不是连续的∈ R+。然而，我们可以将标准的存在性结果应用于与ˇζψ|（0，T）×G×（∑，∑）到D的连续扩展相对应的SDEs。然后，显而易见的是，一旦s∑′到达[∑，∑]的边界，就停止产生的弱解，并从那里重新启动SDEs，并从那里获得新的动力学。重启后，我们保持∑′∈ {∑，∑}常数，letS′像一个标准的Black-Scholes模型一样演化，具有常数的波动率∑′，并且（假设a的SDE系数上有合适的Lipschitz和线性增长条件；cf。

[28，附录B]）根据（4.1.9）中的动力学，但采用新的动力学S′，找到解决方案a′。然后可以检查所构建的过程是否满足SDEs（4.19）和原始反馈控制ˉζψ；有关类似设置的更多详细信息，请参见[28，定理3.7]。5证明c部分包含我们主要结果的证明。我们首先确定了理论4.5中所述的三角织女星对冲的价值扩展和最优性。然后，我们从引理4.9.5.1的值扩展和三角织女星对冲的几乎最优性开始构建修改后的反馈控制。在本节中，我们证明了定理4。5、自始至终，我们认为假设4.2有效∈ Y、 （Pψ）ψ∈（0，ψ） P是一个候选的渐近模型族。特别是（回顾定义4.1（b）），我们确定了1≤ K∈ lp使得对于每个ψ∈ （0，ψ），ζPψt- ζψ（t，Xt）≤ K（t，Xt）ψdt×Pψ-a.e.（5.1）对于每个ψ>0，定义候选值函数wψ：D×R→ R bywψ（t，x，y）=U（y）- U′（y）ew（t，x）ψ（5.2），集wψ：=wψ（0，S，A，M，∑，y）。假设我们已经证明了以下两个不等式（参见引理5.15和5.17）：infP∈PJψ（ν）, P）≥ wψ+o（ψ），asψ↓ 0，（5.3）supД∈YJψ（ν，Pψ）≤ wψ+o（ψ），asψ↓ 0.（5.4）表示。“小于或等于o（ψ）阶项”，我们从（5.3）–（5.4）中得到wψ。infP公司∈PJψ（ν）, P）。supД∈YinfP公司∈PJψ（ν，P）。infP公司∈PsupД∈YJψ（ν，P）。supД∈YJψ（ν，Pψ）。wψ和wψ。infP公司∈PJψ（ν）, P）。Jψ（ν）, Pψ）。supД∈YJψ（ν，Pψ）。wψ。因此，我们在任何地方都有高达o（ψ）阶的等式。特别是，第4.5项的一个部分（4.14）成立。这就完成了定理4.5的证明，模化了（5.3）–（5.4）的证明。

这两个不等式的证明是基于对HJB I方程的仔细估计，该方程与备注4.3（a）中的要求相关，即三角织女星对冲ν如有必要，可通过将常数KYfrom假设4.2（a）放大，将其纳入交易策略集。第4.3节讨论了候选渐近模型族的存在性。SDG（2.16）。第5.1.1节介绍了其余证明中使用的符号d以及一些初步结果。第5.1.2–5.1.3节纯粹是分析性的，提供了HJBI方程所需的估计值。最后，第5.1.4节和第5.1.5节包含不等式（5.3）和（5.4）的证明。5.1.1符号和预备步骤设置ψmin=min（ψν，ψσ，ψη，ψξ），ψmax=max（ψν，ψσ，ψη，ψξ）（回忆（2.14）），并用矩阵Q的kqkf Frobenius nor m表示。回忆一下，s四次不相关波动率ξPhas为非负，设Z：=R×[0，∞) 是控制ζP的自然范围。Zis的一般元素总是用ζ=（ν，σ，η，ξ）表示. 接下来，定义函数bC:D×Z→ R bybC（t，x；ζ）=νC∑+SCSS（σ- ∑）+σηSCS∑+（η+ξ）C∑=C（t，x）（ζ）- ζ（∑）+σ- ∑ηSCSSSCS∑SCS∑C∑σ- ∑η; （5.5）参考（4.1）中织女星伽马-瓦纳伏尔加矢量c（t，x）的定义。这一定义是由漂移条件（2.7）推动的，该条件规定bC（t，Xt；ζPt）=0 dt×P-a.e.For everyP∈ P、 对于每个（t，x）∈ D、 writeZ（t，x）={ζ∈ Z： bC（t，x；ζ）=0}对于在（t，x）处满足漂移条件的控制ζ集，definelin（t，x）={ζ∈ Z： c（t，x）（ζ）- ζ（σ））=0}，（5.6）在（t，x）处满足“线性化漂移条件”的控制集ζ。接下来，对于P中的控制范围，setZ=[ν，ν]×[σ，σ]×[η，η]×[0，ξ]（参见假设4.2（b）），并用Z（t，x）=Z（t，x）表示∩ Zand Zlin（t，x）=Zlin（t，x）∩Z分别是Z（t，x）和Zlin（t，x）与Z的交点。

还可调用fr om定义2.4，即参考反馈控制为ζ（∑）=（0，∑，0，0）.我们从腰果当量=ew（0，X）的PDE（4.7）解的概率表示开始。提案5.1（费曼-科航代表）。让P∈ P为参考模型。Thenew=ew（0，X）=EP“ZTeg（t，Xt）dt#.（5.7）证明。我们仅略述了标准证明。将其公式应用于Pand下的ew（t，Xt），使用ew的PDE（4.7）表示ew，表明tew（0，X）=ZTeg（t，Xt）dt+（局部鞅）。使用假设4.2（e），局部鞅项很容易显示为一个鞅。因此，取期望得到费曼-卡茨表示（5.7）。下一个引理提供损益过程的动力学：引理5.2。设ν=（θ，φ）∈ Y和P∈ P、 然后在P，dYν，Pt下=θt- (（t，Xt）- φtCS（t，St，∑t））dSt公司+φtC∑（t，St，∑t）- V∑（t，Xt）d∑c，Pt- bV（t，Xt；ζPt）dt。（5.8）这里，∑c，P=∑-Z·νPuduis∑在P和bV下的（连续）局部m鞅部分：D×Z→ R由bv（t，x；ζ）=νV∑+（βVA+SΓ）（σ）给出- ∑）+σηS∑+（η+ξ）V∑=V（t，x）（ζ）- ζ（∑）+σ- ∑ηβVA+SΓS∑S∑V∑∑σ- ∑η,（5.9）其中v是非交易期权的vega gamma vanna volga向量（参见（4.2））。证据Fixν=（θ，φ）∈ Y和P∈ P和（2.11）和（2.10）tha tdYν的回忆，Pt=θtdSt+φtdCt- dVt，（5.10），其中Vt=V（t，St，At，Mt，∑t）。因此，需要计算P下C和V的动力学。首先，通过（2.4）、It^o公式（P下）和漂移条件（2.7），我们得到dct=CSdSt+C∑d∑C，Pt。（5.11）其次，将It^o的公式应用于Vt=V（t，St，At，Mt，∑t），并使用PDE（2.9）代替Vt=Vt（t，Xt），并消除dMt项，我们得出了dvt= dSt+V∑d∑c，Pt+bV（ζPt）dt。（5.12）最后，在（5.10）中插入（5.11）和（5.12）得到（5.8）。

bV定义（5.9）中的最后一个等式是bV（ζ）在ζ（∑）附近的泰勒表达式，可以通过计算梯度和bV（ζ）在ζ（∑）处的海森来验证。接下来，我们分析损益过程的动力学,P对应于delta vegahedgeД. 为此，我们为每个（t，x）定义∈ D： ^1（t，x）= -V∑C∑CS，V∑C∑. （5.13）注意，尽管符号有点滥用，我们还是使用了符号ν函数定义（5.13）和定理4中定义的三角织女星对冲。5、这当然是由关系ν推动的t=ν（t，Xt）。引理5.2的以下推论表明，损益过程ν,P对应于三角洲织女星树篱ν无局部鞅部分且在P中一致有界∈ P、 推论5.3。有常数Y，Y∈ R使得对于每个P∈ P、 YИ,P∈ [Y，Y]dt×P-a.e.此外，在每个P∈ P、 dYД,Pt=-bV（t，Xt；ζPt）dt，其中bV在（5.9）中定义。证据通过构造νt=ν（t，Xt），Yν动力学（5.8）中的局部鞅部分,每个P的Pis为零∈ P、 因此，有必要找到一个统一的界限（独立于P∈ P） 对于位移系数bV（t，Xt；ζPt）。

但这是直接FROM假设4.2（b）和（d）。有点滥用符号，^1t表示过程ν的时间t值而不是函数ν的部分导数关于第一个变量。引理5.2以及S和∑in（2.6）的协变量和一个特定样本的半鞅分解（2.8），描述了P∈ P、 这允许写下对应于Dg（2.16）的Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs方程：对于每个ψ>0，HJBI方程读取aswψt（t，x，y）+supν∈Rinfζ∈Z（t，x）Hψ（t，x，y；ν，ζ）=0，（5.14），其中哈密顿量Hψ：D×R×R×Z→ R由hψ（t，x，y；ν，ζ）=ψU′（y）f（∑，ζ）+νwψ∑+（α+βσ）wψA给出- bV（ζ）wψY+σS（wψSS+2γwψSA+γwψAA）+σSη（wψS∑+γwψA∑）+（η+ξ）wψ∑+σS[θ- ( - φCS）]（wψSY+γwψAY）+σSη[φC∑- V∑（wψSY+γwψAY）+σSη[θ- ( - φCS）]wψ∑Y+[φC∑- V∑]（η+ξ）wψ∑Y+σS[θ- ( - φCS）]wψY+（η+ξ）[φC∑- V∑wψY+σSη[θ- ( - φCS）][φC∑- V∑wψY.（5.15）我们强调，（5.2）中定义的候选值函数wψ不能精确解HJBIequation（5.14）。然而，证明这两个不等式（5.3）–（5.4）的关键步骤是证明wψ是（5.1-4）的渐近解（在适当意义上）；参见下面的引理5.13和5.14。我们通过提供一个辅助引理来结束这一初步部分，该引理允许根据以下条件估计bV（t，x；ζ）或bC（t，x；ζ）等量：ζ- ζ（∑）.引理5.4。定义函数q:R+×R×R→ R byq（σ，a，ζ）=νa+a（σ- ∑）+σηa+（η+ξ）a，（5.16），其中a=（a，a，a，a）和ζ=（ν，σ，η，ξ）. 然后：| q（σ，a，ζ）|≤ 最大值（1，∑）| a|ζ- ζ（∑）+ |a|ζ- ζ（∑）.证据固定∑∈ R+，a∈ R、 和ζ∈ R、 由于q在ζ中是二次的，我们可以在矩阵中重新计算它：q（σ，a，ζ）=a∑a∑aaζ-ζ（∑）+σ- ∑ηaaaa级σ- ∑η.

（5.17）使用Cauchy–Schwarz不等式，可以通过max（1，∑）| a轻松估算（5.17）右侧第一个和的绝对值|ζ-ζ（∑）. 同样地，利用弗罗贝尼乌斯范数与欧几里德范数的可比性，二次求和的绝对值由aaaa级Fσ- ∑η≤ |a|ζ- ζ（∑）.请注意，Hψ的定义已经包含了值函数的候选一阶展开式wψ，因此不以一般解函数及其导数为参数。5.1.2哈密顿量的估计为了证明候选值函数是HJBIequation（5.14）的渐近解，我们需要（5.15）中定义的哈密顿量Hψ的一些估计。为此，我们将其分解为四部分：Hψ（t，x，y；Д，ζ）=U′（y）Hψ（t，x；ζ）+U′（y）Hψ（t，x，y；ζ）- U′（y）H（t，x；ζ）ψ- Hψ（t，x；ν，ζ），（5.18），其中Hψ（t，x；ζ）：=2ψ（ζ- ζ（∑）ψ-1（ζ- ζ（∑）- v（t，x）（ζ）- ζ（σ）），（5.19）Hψ（t，x，y；ζ）：=-σ- ∑ηβVA+SΓS∑S∑V∑∑σ- ∑η+U′′（y）U′（y）bV（ζ）ewψ，H（t，x；ζ）：=νew∑+（α+βσ）ewA+σS（ewS+2γewSA+γewAA）+σηS（ewS∑+γewA∑）+（η+ξ）ew∑，Hψ（t，x，y；ν，ζ）：=-wψYσS（θ- ( - φCS））φC∑- V∑1ηηη+ξσS（θ- ( - φCS））φC∑- V∑+ ψU′（y）σS（ewS+γewA）ew∑1ηηη+ξσS（θ- ( - φCS））φC∑- V∑.Hψ包括惩罚项（参见（2.13）中f的定义）和bV（ζ）wψY的线性O（1）部分；Hψ包含bV（ζ）wψY的二次O（1）部分和O（ψ）部分；Hψ收集wψ的所有二阶偏导数，这些偏导数至少涉及Y的一个偏导数；和Htakes c是wψ的所有剩余部分导数。为了以后的参考，我们注意到，通过定义Handζ，ew的PDE（4.7）可以写成WT（t，x）+H（t，x；ζ（∑））+eg（t，x）=0（t，x）∈ D

（5.20）此外，对于每个（t，x，y）∈ D×R和ζ∈ Z、 Hψ（t，x；ζ（∑））=0，Hψ（t，x；ζ（∑））=0，Hψ（t，x，y；Д（t，x），ζ）=0，（5.21），通过构建参考反馈控制ζ（参见定义2.4）和三角织女星对冲Д（参见（5.13））。备注5.5。回想一下，HJBI方程（5.14）涉及到ζ的最小化∈ Z（t，x）和ν上的最大化∈ R、 策略变量ν仅出现在Hψ项中。此外，使用形式为ζ=ζ（∑）+eζψ的ans atz，可以检查eζ仅影响Hψ到Hψ的O（ψ）项（前提是Д=Д使得Hψ项va为hes；参见（5.21））。eζ通过Hψ和Honly的影响出现在更高阶。这种区别反映在以下这种情况的证明中。一方面，Hψ和Hin命题5.9–5.10以及推论5.11的估计非常直接，同时提供了渐近上界和下界。另一方面，当相应边界分别来自策略变量和控制的优化问题时，Hψ，尤其是Hψ估计的证明更加困难。Hψ的渐近界比较容易，因为Hψ是四分之一，且优化是无约束的。相反，命题5.8中Hψ的符号界来自线性约束二次规划问题（3.10）。另一个困难源于这样一个事实，即我们需要为控制ζ保持这个界限∈ Z（t，x）满足非线性约束bC（t，x；ζ）=0而不是线性约束（参见命题5.8（a））。我们首先提供了一个线性约束二次规划问题的解决方案，该问题涉及织女星伽马-瓦纳-伏尔加向量c（t，x）和v（t，x），这两个向量位于HJBI方程最小化部分的核心。特别地，候选反馈控制ζψ（cf。

（4.6））是最小值ζψ的合适修改版本*（参见下面的（5.24））；这两种控制仅通过指标1{∑<∑<∑}进行区分，确保一旦隐含波动率达到[∑，∑]的边界，ζψ回落到参考反馈控制ζ（∑）。回顾（2.14）和（4.1）–（4.6）中ψ、c、v、λ、u、eζ和ζψ的定义。引理5.6。对于每个（t，x）∈ D且ψ>0，考虑线性约束极小问题minimizehψ（t，x；ζ）subject t oζ∈ 兹林（t，x）。（5.22）（a）对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，我们有minζ∈Zlin（t，x）Hψ（t，x；ζ）=-eg（t，x）ψ（5.23），在ζψ处达到最小值*（t，x）=ζ（∑）+ψeζ（t，x）。（5.24）尤其是作为ζψ*∈ Zlin（t，x），c（t，x）eζ（t，x）=0和~eeζ（t，x）≥ 0.（b）对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，（λ（t，x），u（t，x））是（5.22）的拉格朗日乘数（与ψ无关），即。，-eg（t，x）ψ=infζ∈RLψ（t，x；ζ，λ（t，x），u（t，x）），其中lψ（t，x；ζ，λ′，u′）=Hψ（t，x；ζ）+λ′c（t，x）（ζ）- ζ（∑）- u′~e（ζ）- ζ（∑）（5.25）是对应于约束最小化问题（5.22）的拉格朗日函数。（c） 桶>0，因此0≤ eg公司≤ Kegon D.（D）有Kζ≥ 1使得对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，ζψ（t，x）- ζ（∑）≤ Kζψ。（e） 对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，Hψ（t，x；ζψ（t，x））=-eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ。（f） 有Kλ∈ lp使得对于每（t，x）∈ D、 |λ（t，x）|SCSSSCS∑SCS∑C∑F≤ Kλ（t，x）。（5.26）证明。回顾Hψ（t，x；ζ）（参见（5.19））和Zlin（t，x）（参见（5.6））的定义，并使用替代z=ζ- ζ（∑），很容易看到每个（t，x）∈ 当ψ>0时，最小化问题（5.22）可以被重新定义为最小值2ψzψ-1z- v（t，x）z受z约束∈ R、 zc（t，x）=0，z≥ 0。（5.27）注意，（5.27）是形式（a.5）的线性约束最小化问题，n=4，D=ψ-1/ψ，v=v（t，x），c=c（t，x）。