模型不确定性、重新校准和三角织女星的出现

由于Black-Scholes模型是完整的，且交易资产是局部鞅，因此v（ψ）的表达式（1.5）的零阶终端只是初始损益产生的效用U（Y）。Firstorder修正项-U′（Y）ewψ是非正的，并且描述了模型不确定性的影响【28，定理3.4】中获得了二阶展开和下一阶领先阶最优策略，其中仅使用股票而不使用额外的普通期权进行动态对冲。Delta是Black-Scholes期权价值对标的资产价格变化的敏感性。底层的织女星显然为零。Gamma、vanna和volga是二阶偏导数/S/(S∑），以及/Black的∑–期权的Scholes值。对于较小的不确定性厌恶。现金等价物EW由一个带源项的线性二阶抛物线偏微分方程（PDE）确定。它具有以下概率表示：ew=EP“ZTeg（t，St，∑）dt#，其中EG（t，S，∑）=-∑（φSCSS公司- SVSS{z}净现金gamma）eσ-∑（φSCS∑- SVS∑{z}净现金vanna）eη-（φC∑∑- V∑|{z}网伏尔加）eξ≥ 0。（1.6）此处，eζ（t，S，∑）=（eν，eσ，eη，eξ）（t，S，∑）和（1.6）右侧的所有函数在（t，S，∑）中计算。因此，现金等价物EW由期权V存续期内累积的三角织女星对冲头寸的预期净现金伽马、净现金瓦纳和净伏尔加确定。这三个净（现金）希腊s通过即期波动率的领先阶最优扰动、隐含波动率的相关波动率进行加权，和隐含波动率的不相关平方方差。eg越大，现金等价物ew越大。

特别是，短期净伽马头寸（在织女星对冲之后）暴露于高现货波动率（正eσ），短期净瓦纳头寸暴露于隐含波动率的波动率，该波动率与下方正相关（正eη），短期净伏尔加头寸暴露于隐含波动率的波动率（正eξ）。相反，净ga mma或净vanna中的多头头寸具有相反的风险敞口，但多头净伏尔加头寸不存在隐含波动性的波动性。Bec auseeξ不能为负。技术。与SDG（1.4）相关的HJBI方程涉及代理人套期保值策略和对手控制变量的p点min-maxproblem。这个最小-最大问题有一个非线性等式约束和一个源自漂移条件（1.3）和限制条件ξP的不等式约束≥ 分别为0。以ψ形式传递到极限↓ 0时，该问题可近似为线性约束二次最小化问题和无约束二次最大化问题。这两个pr问题都可以明确解决，并产生与模型族（Pψ）ψ近似对应的delta-vega对冲和候选控制（ζψ）ψ。将这些候选者重新插入HJBI方程，可以得到SDG值函数扩展中一阶项的PDE。这些候选者（渐近）最优性的严格验证将HJBI方程的渐近分析与SDG的经典验证参数相结合。它被分为纯分析部分和概率部分。

由于最小-最大问题中的约束，证明的两个部分需要与[28]中使用的方法相比有很大不同的方法。分析部分使用仔细的直接估计和拉格朗日对偶理论来解决约束优化问题，以表明候选值函数是HJBI方程的渐近（在适当意义上）解。证据的可能性部分将可持续发展目标的类别验证论据适应于简易环境。新的困难来自于这样一个事实，即活动adver的Andidate控件不能精确地满足漂移条件（1.3）（因为非线性约束仅近似于线性约束）。相关文献。现在，让我们通过讨论一些关于使用香草期权对冲异国情调的现有文献，将我们的结果置于上下文中。一组文献假设资产价格及其波动率都是随机的，并且遵循由两个布朗运动驱动的给定动力学。这种类型的随机波动率模型通常可以通过使用单一普通期权作为基础对冲工具之外的额外对冲工具来完成。相反，如果没有可用的流动交易看涨期权作为对冲工具，那么期权的现金Gammai是唯一出现在现金等价物概率表示中的希腊语【28】。根据公式（1.6），伏尔加空头净头寸仅暴露于隐含波动率中与标的资产不相关的部分。然而，从证据中可以看出，隐含波动率的相关波动率具有相同的影响，尽管仅在O（ψ）级。股票在马尔可夫环境中，复制策略可以与经典的Black-Scholes论证非常相似地确定。

这导致了所谓的“delta-sigma对冲”[34，56]，它抵消了投资组合对基础股价和现货波动率变化的敏感性。该策略与三角织女星对冲相关，因为它还利用期权价格的衍生工具，考虑到“波动性”。然而，在这里，“波动性”指的是可以（至少在理论上）从股票的实际变化中抵消的现货波动性。相反，delta vega对冲抵消了投资组合对（Black–Scholes）隐含波动率变化的敏感性，该波动率是从流动交易的市场价格中推导出来的。虽然现货波动率给出了股票价格的瞬时波动率，但隐含波动率是对从今天到流动交易期权到期的整个时间间隔内实现的未来波动率的估计。此外，在实践中，一旦流动性交易的模型和市场价格出现分歧，也必须对随机波动率模型进行重新调整。另一组文献研究了外部衍生品的稳健对冲。也就是说，这些研究寻找适用于某些大类模型（例如，任何连续鞅模型）的对冲策略。套期保值策略通常是半静态的形式：它们允许在看涨期权和看跌期权组合中进行静态头寸（通常是针对一个到期日和所有行权）和在基础中进行动态交易。对于方差掉期，这导致了一种逆向复制策略[45]，而对于各种其他外部期权（参见[29、12、18、17、16、32、30、31]），则确定了稳健的次级和超级对冲策略。

在这些研究中，我们的目标是找到在每种可能的情况下都能细分或超复制奇异期权的投资组合。潜在偏好TheRefore对应于给定模型中的风险厌恶和模型本身的不确定性。相比之下，如【28】所述，我们考虑对风险和不确定性采取更温和的态度，这种态度在最坏情况方法和固定模型的类别设置之间平滑插入。另一个主要区别是，我们允许在单一的普通期权中进行动态交易，而不是在多次行使的看跌期权和看涨期权中进行静态头寸。实际上，eve n最具流动性的货币期权的买卖价差远大于标的股票。因此，直接实施三角织女星对冲（如每日再平衡）会导致巨大的交易成本，并且在各种案例研究中被发现不如半静态替代方案【17，48】。作为补救措施，三角洲-织女星树篱需要使用合适的“缓冲液”来实施。也就是说，只有当对冲组合充分偏离其无摩擦目标时，才能进行再平衡交易。Black-Scholes delta对冲策略的相应交易边界已由【57】在smallcost limit中明确确定；参见[37]和其中的参考文献，以扩展到更一般的设置。将这些跟踪结果扩展到涉及液体香草选项的更一般的目标策略是未来研究的一个重大挑战。迄今为止，这类交易的唯一结果涉及期权的动态交易，以降低交易成本[26]，这导致了德尔塔加马对冲的一种减弱版本。论文的组织。本文的其余部分组织如下。

第二节介绍了模型不确定性下套期保值问题的数学框架。第3节概述了渐近最优解的启发式推导。我们的主要结果在第4节中进行了说明和讨论。最后，所有的证明都归入第5节。符号向量a∈ Rnand矢量值函数以黑体打印。向量a的变换用a表示其欧几里德范数为| a |。为了便于理解，我们主要支持符号中函数的参数。在计算和估计中，我们通常只在等式的最左侧显示参数；省略的参数应该从上下文中清楚地显示出来。函数的偏导数，例如，精确条件下的[52、19、20]。半静态套期保值问题也在拉格朗日不确定性波动率模型的背景下进行了数值分析[6，4]。[1，7，22，25，10]等获得了半静态环境下的一般超边缘对偶结果；另请参见其中的参考文献。标量变量用（1.3）中的下标表示，DζH表示函数H（…；ζ）相对于向量变量ζ的g半径。2问题公式考虑到股票和股票期权的动态交易，我们考虑两种资产联合演化的市场模型。我们没有描述期权的动态，而是遵循Sch"onbucher的方法[53]，并对其Black-Scholes隐含波动率进行建模。第2.1节概述了这种方法，并推动了第2.2节中介绍的精确设置。

第2.3.2.1节针对基础及其隐含波动性的市场模型依次规定了套期保值问题。我们认为，金融市场有三种流动交易证券：股票、股票期权和零利率银行账户。流动交易期权在到期日TC时的支付形式为C（STC）。为了避免与后面介绍的非交易期权混淆，这种流动交易期权将在下文中命名为“看涨期权”。市场惯例是根据（Black-Scholes）隐含波动率来报价。也就是说，交易者不引用看涨期权C的市场价格p，而是引用唯一的∑>0，这样p=C（t，St，∑），其中C（·，·，∑）是Black-Scholes PDECt（t，S，∑）+∑SCSS（t，S，∑）=0，（t，S）的解∈ （0，TC）×R+，C（TC，S，∑）=C（S），S∈ R+，（2.1）对应于C all的波动率∑、到期日TC和终端支付（STC）。按照这一做法和Sch"onbucher的方法[53]，我们对隐含波动率而非看涨期权的定价过程进行建模。也就是说，对于二元标准布朗运动（W，W）和过程σ，ν，η，ξ，我们假设股票S和call\'Simpled volatility∑的联合动力学由dst=StσtdWt，（2.2）d∑t=νtdt+ηtdWt+pξtdWt，（2.3）控制。这里，σ是点波动率，ν、η和ξ分别对应于隐含波动率的漂移、隐含波动率的相关波动率和隐含波动率的不相关平方波动率。调用的价格进程C依次为t=C（t，St，∑t）。（2.4）根据It^o的公式，其动力学由DCT=dC（t，St，∑t）=Ctdt+CSdSt+C∑d∑t+CSSdhSit+CS∑dhS，∑It+C∑dh∑It=CSdSt+ηtC∑dWt+pξtC∑dWt给出+Ct+νtC∑+σtStCS+σtηtStCS∑+（ηt+ξt）C∑dt。我们假设所有流动交易资产都是局部鞅（参见。

脚注6和备注2.1）。因此，流动性交易看涨期权的漂移必须消失。使用PDE（2.1）代替Ct=其他早期关于风险中性动力学的文章，用于随机隐含波动率模型，包括[41、11、39]。关于（部分或全部）期权价格面的无套利市场模型的最新发展，我们请读者参考[55、54、13、35、14、15、36]及其参考文献。注释3.2解释了隐含波动率平方波动率的参数化。Ct（t，St，∑t），得到以下漂移条件（参见[53，方程（3.6）]）：νtC∑+StCSS（σt- ∑t）+σtηtStCS∑+（ηt+ξt）C∑=0。（2.5）考虑到（2.5），在四个过程ν、σ、η和ξ中，最多可以任意选择三个，以得到满足漂移条件的模型。其他自然限制为σ>0，ξ≥ 0，且∑>0。请注意，标准Black-Scholes模型对应于选项ν=η=ξ=0和σt=∑t=∑。然后，漂移条件（2.5）明显满足，现场挥发率和隐含挥发率恒定且相同。备注2。1、让我们简明扼要地讨论一下【28，备注2.2】为什么我们假设交易资产和C具有零漂移。在非零漂移的情况下，代理将交易资产不仅用作对冲工具，还用作投资工具。这将使分析变得相当复杂，因为极限损益过程不再是常数，而是随机的。但实际世界漂移率通常对套期保值成分影响不大，即基于效用的套期保值策略与相应的基于效用的最优投资策略之间的差异。假设交易资产的漂移为零，我们可以专注于对冲，而不是最优投资。

事实上，代理人没有动机交易股票和赎回权，而不是作为非交易期权的对冲工具。在下面的第2.2节中，我们介绍了一种设置，用不确定的过程ν、σ、η、ξ来描述我们的对冲问题。2.2模型不确定性设置固定时间范围T>0，常数S>0，∑>0，以及∈ R、 让Ohm = {ω=（ωSt，ω∑t，ωAt）t∈[0，T]∈ C（[0，T]；R）：ω=（S，∑，A）}是从（S，∑，A）开始，具有一致收敛拓扑的连续路径的正则空间。此外，设F是上的Borelσ-代数Ohm. 我们用（St）t表示∈[0，T]，（∑T）T∈[0，T]和（At）T∈[0，T]规范过程的第一、第二和第三个分量，即St（ω）=ωSt、∑T（ω）=ω∑T和At（ω）=ωAt。我们写F=（Ft）t∈[0，T]表示由（S，∑，A）生成的（原始）过滤比n，用Mt表示：=supu∈[0，t]Su，t∈ [0，T]，S的运行最大值。除非另有说明，所有需要过滤的概率概念，如渐进可测性等，都与F有关。最后，我们写下（Xt）T∈[0，T]表示向量值process Xt=（St，At，Mt，∑T）。备注2。2、过程S、M和∑分别对股票价格、其运行最大值和交易看涨期权的隐含波动性进行建模。过程A是一个附加的状态变量，可以用来跟踪代理必须对冲的非交易期权的异常特征。例如，行使K>0的亚洲看涨期权具有TRTStdt- K+.

设置为=RtSudu时，支付可以为（TAT- K） +并利用过程（S，A）的马尔可夫结构，亚洲看涨期权的Black-Scholes值可以写成时间、当前股价和附加状态变量A的当前值的函数V（t，St，At）。我们现在在(Ohm, F） 这将作为交易资产演变的替代模型。定义2.3。概率测度集(Ohm, F） 存在四重ζP=（νPt，σPt，ηPt，ξPt）t∈[0，T]的实值渐进可测量过程，例如，[33]在莱维模型中发现（漂移相关）方差最优套期几乎等同于（漂移无关）Black-Scholes delta套期。（a） S和∑-R·νPtdt是（连续的）局部P鞅，二次（共）变量dhsit=St（σPt）dt，dh∑it=（（ηPt）+ξPt）dt，dhS，∑it=StσPtηPtdt；（2.6）（b）S和∑为P-a.S.阳性；（c） ξP≥ 0 P-a.s。；（d） 漂移条件νPtC∑+StCSS（（σPt）- ∑t）+σPtηPtStCS∑+（（ηPt）+ξPt）C∑=0（2.7）保持dt×P-a.e。这里，C的偏导数在（t，St，∑t）中计算。概率测度P∈ Pis称为模型，过程ζPis被称为与模型P相对应的控制。每个P代表股票价格和隐含波动率的市场模型∑，对于m（2.2）–（2.3）（σ替换为σPetc）和（2.7）保证买入价格过程是局部P鞅（参见（2.5））。定义2.4。函数ζ：R+→ Rgiven乘以ζ（∑）=（0，∑，0，0）称为referencefeedback控件。概率测度P∈ PsuchζPt=ζ（∑t）dt×P-a.e。