模型不确定性、重新校准和三角织女星的出现

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英文标题：
《Model Uncertainty, Recalibration, and the Emergence of Delta-Vega
  Hedging》
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作者：
Sebastian Herrmann, Johannes Muhle-Karbe
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study option pricing and hedging with uncertainty about a Black-Scholes reference model which is dynamically recalibrated to the market price of a liquidly traded vanilla option. For dynamic trading in the underlying asset and this vanilla option, delta-vega hedging is asymptotically optimal in the limit for small uncertainty aversion. The corresponding indifference price corrections are determined by the disparity between the vegas, gammas, vannas, and volgas of the non-traded and the liquidly traded options.
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中文摘要：
我们研究了Black-Scholes参考模型的不确定性期权定价和套期保值，该模型被动态地重新校准为流动交易的普通期权的市场价格。对于标的资产和普通期权的动态交易，delta vega对冲在小不确定性厌恶的限制下是渐近最优的。相应的无差异价格修正由非交易期权和流动交易期权的维加斯、伽马、瓦纳斯和沃尔加斯之间的差异确定。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Model_Uncertainty,_Recalibration,_and_the_Emergence_of_Delta-Vega_Hedging.pdf (695.04 KB)

2022-5-31 08:42:20 上传

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关键词：不确定性 织女星 确定性 不确定 Mathematical

模型不确定性、重新校准和Delta Vega对冲的合并*Sebastian Herrmann+Johannes Muhle KarbeAbstracts我们研究了Black-Scholes参考模型的期权定价和不确定性套期保值，该模型动态重新校准为流动交易Vanilla期权的市场价格。对于标的资产和普通期权的动态交易，delta vega Hedging在小不确定性厌恶极限下渐近最优。相应的差异价格修正由非交易期权和流动交易期权的维加斯、加马斯、瓦纳斯和沃尔加斯之间的差异决定。模型不确定性；重新校准；三角织女星对冲；较小的不确定性厌恶；渐近性。AMS MSC 2010初级，91G20，91B16；次级，93E20。JEL Cl ASSITION G13、C61、C73.1简介在对冲奇异衍生品的背景下，金融市场的数学模型在实践中的应用方式往往与这些模型所基于的假设以及在学术研究中的分析方式不一致。经典模型规定了某些金融变量（如资产价格或利率）在确定性输入量、模型参数方面的随机行为。然而，在实践中，这些确定性参数往往根本不被视为确定性的：异国衍生品交易员经常根据观察到的流动交易普通期权的市场价格重新校准参数，并使用这些期权来中和其头寸对这些参数变化的敏感性（Reboota恰当地称为模型外对冲[50]）。基准Black-Scholes模型通常通过将波动率参数（该模型为常数）动态更新为流动交易普通期权的市场价格来重新校准。

Vega Hedging对应于中和交易者总头寸对波动性参数变化的敏感性。Rebonato[50，第1.3.2节]简要总结了这种做法的逻辑不一致性，例如：“不用说，模型外套期保值在概念上相当不稳定：如果波动率是确定性的，并且是众所周知的，正如许多模型过去在价格评估时所认为的那样，就没有必要低估织女星套期保值。此外，计算织女星统计意味着估计对*作者感谢Martin Herdegen、David Hobson、Jan Kallsen和Frank Seifried的卓有成效的讨论，特别是Martin Schweizer对初稿的中肯评论。感谢两位匿名推荐人的详细和有益的评论。+密歇根大学数学系，530 Church Street，A nn Arbor，MI 48109，USA，emailsherrma@umich.edu.感谢瑞士金融研究所提供的财政支持密歇根大学数学系，530 Church Street，A nn Arbor，MI 48109，USA，emailjohanmk@umich.edu.Vega是指B lack–Scholes价格对波动率参数变化的敏感性。Davis【19，第2（b）节】、Musiela和Rutkowski【44，第7.1.8节】以及Wilmott【58，第7.10.5节】提出了同样的担忧。假设同一波动率具有确定性且完全已知，则得出的价格波动率。

尽管存在这些逻辑问题，但在复杂的衍生品交易社区中，普遍采用模型外hedg，尤其是vega对冲。”本文通过从一开始就承认底层的真实动态并不确定，从而为Black–Scholes vega的使用提供了一致的理由。我们假设模型被认为或多或少是合理的，这取决于它们与参考布莱克-斯科尔斯模型的“距离”。一个新的特点是，将参考模型的波动率参数动态地重新校准为流动交易Vanilla期权的观察价格。在s mall对该模型不确定性的厌恶极限下，delta vega对冲自然出现。对冲问题。考虑一个年龄段的nt，她在股票S上出售了无n交易的期权，并有权使用三种流动交易证券来对冲她的风险敞口：股票、股票的普通期权（她的名字叫“看涨”），以及一个零利率的银行账户。在实践中，看涨期权的市场价格通常根据其（Black-Scholes）隐含波动率进行报价。也就是说，交易者不计算市场价格Ct，而是计算唯一的∑t>0，从而得出Ct=C（t，St，∑t），（1.1），其中C（t，S，∑）是波动性参数∑对应的看涨期权的Black-Scholes价格。

因此，可以等效地描述股票价格的动态和看涨期权的隐含波动性，而不是对股票和看涨期权价格的动态进行建模，并通过（1.1）定义看涨期权价格。如果股票和看涨期权采用自我融资策略进行交易，则相应的损益（P&L）过程Yγ具有以下动态：dYγt=θtdSt+φtdCt- dV（t，St，∑t）。这里，V（t，St，∑t）是在隐含可用性∑t从时间t的看涨期权价格中计算出的非交易期权V的B lack–Scholes价格。也就是说，根据行业惯例，非交易期权是“按模型标记”，而流动交易的股票和看涨期权是“按市场标记”。然而，在非交易期权到期日T时，V（T，ST，∑T）=V（ST）是期权支付，因此YνT与代理人的实际期末损益有关。我们假设代理人对股票和看涨期权的动态不确定。也就是说，她考虑了所有概率测度P，其中（S，∑）的动力学由dst=StσPtdWt，d∑t=νPtdt+ηPtdWt+qξPtdWt控制，（1.2）对于布朗运动（W，W），在随机过程中ζP=（νP，σP，ηP，ξP）满足νPtC∑+StCSS（（σPt）- ∑t）+σPtηPtStCS∑+（（ηPt）+ξPt）C∑=0。（1.3）为了简单起见，我们在本简介中仅限于普通选项。

我们的主要结果，即定理4.5，同样适用于范围广泛的奇异期权，如障碍期权、回望期权、亚式期权、远期启动期权和股票实现方差期权。正如渐近分析中的惯例，选择过程σP、νP、ηP和ξPin的幂（S，∑）的动力学，以便所有这些过程都对下面渐近展开式中的前阶项有重要影响。相反，使用隐含波动率的不相关波动率pξp代替不相关平方波动率ξp只能产生更高阶的影响。这是Bl-ack-Scholes模型的一个假象：对于隐含波动率的非零不相关波动率的任何参考模型，pξp应该是自然参数化；更多详情请参见备注3.2。这里，在（t，St，∑t）中计算C的偏导数C∑、CSS、CS∑和C∑。漂移条件（1.3）确保买入价格过程C是局部P鞅。请注意，Black–Schole s模型c对应于pw，pw为ζP=ζ（∑）：=（0，∑，0，0），即隐含波动率为常数，与即期波动率一致。我们假设代理具有适度的风险和不确定性厌恶。关于Riskaversion，我们假设在任何给定的模型中，代理都试图从其终端损益中获得最大的预期效用。关于不确定性厌恶，我们假设她对模型的重视程度越低，模型与参考Black-Scholes模型的偏离程度就越大。根据Maccheroni、Marinacci和Rustichini【42】的变量偏好和Hansenand Sargent【27】的乘数偏好的精神，这导致了以下随机微分博弈（SDG）：v（ψ）=supν=（θ，φ）infPEP“U（YУT）+2ψZTU′（YУT）ζPt- ζPtdt#。

（1.4）这里，ψ>0，U是一个效用函数，上确界覆盖了一个合适的交易策略类别，下确界是针对满足（1.2）–（1.3）的一类合适的概率测度。一种解释是，代理人与控制流动交易资产交易动态的敌对对手（恶意）进行博弈。然而，该对手的“极端”选择受到（1.4）中第二项的惩罚：所选模型P越偏离参考Black-Scholes模型P，对手的惩罚越高。比例因子ψ>0衡量了代理人对不确定性的厌恶程度：ψ的所有值都会导致很高的惩罚，即使是与Black-Scholes参考模型的所有偏差，这意味着替代模型的重视程度较低。注意，当ζPt=（0，∑t，0，0）时，参考Black-Scholes模型反映了“未来隐含波动率保持在当前观察水平”的信念不同的是，参考Black-Scholes模型被动态地重新校准为当前的期权价格。文献[28]针对局部波动率参考模型研究了没有流动交易的c all的相关套期保值问题。在这里，竞争对手选择股票的真实现货波动率，但根据其与参考局部波动率的距离进行处罚。渐近性。为了得到显式公式，我们将不确定性厌恶ψ趋于零时的极限传递给它。也就是说，我们将套期保值问题（1.4）视为Black-Scholes模型中经典套期保值问题的一个小扰动，并寻找以渐近最优方式考虑模型不确定性影响的套期保值策略和价格修正。

我们的主要结果，定理4.5，描述了套期保值策略= （θ, φ), 一类模型（Pψ）ψ和ew≥ 0使得，作为ψ↓ 0:v（ψ）=U（Y）- U′（Y）ewψ+o（ψ）=EPψ“U（YνT） +2ψZTU′（Yνt）ζPψt- ζPtdt#+o（ψ）。（1.5）（1.5）中的第一行是对冲问题最优值的t阶展开，用于不确定性厌恶参数ψ的小值。第二行显示了家族流动交易资产的局部鞅性质足以排除套利机会。它还确保代理人没有投资市场的意愿，而只是将其用作非交易期权的对冲工具；参见备注2.1。相比之下，大多数关于模型不确定性下套期保值的文献都研究了Avellanda、Levy、Parás[5]和Lyons[40]引入的不确定波动性模型的变体。这些和许多最近的研究（例如，[24、21、46、49、9、47]）寻找支配非交易期权支付的对冲策略，几乎可以肯定的是，对于每种预先指定类别的模型。这种最坏情况下的方法对应于具有有限风险和不确定性厌恶的偏好。有关这些偏好及其与标准预期能力框架以及最坏情况方法的关系的更多详细信息，请参阅【28，第1节】。我们的分析也适用于更一般的术语；参见（2.13）–（2.15）。termU′（Yνt）的包含并不重要，但有一些吸引人的特性。例如，它在效用函数的有效变换下呈现偏好不变；查阅

备注2.6了解更多详情。[40，2，3，23]对不确定波动率模型进行了渐近分析。（^1）, Pψ）ψ在前导阶O（ψ）处达到该最佳值。更重要的是，定理4.5表明（ν, Pψ）ψ实际上是SDG（1.4）序列的渐近鞍点，即策略的执行在领先阶O（ψ）和（Pψ）ψ上是最优的，而（Pψ）ψ是一系列领先或有序的最佳选择，供竞争对手选择。代理人在保持仓位和出售期权V之间存在差异的卖出价格具有扩张PA（ψ）=V+ewψ+o（ψ），其中相对于期权V在时间0的Black–Scholes价格，用波动率∑进行评估。因此，ewψ是代理要求的主要订单溢价，作为对自己暴露于模型不确定性的补偿。因此，EW衡量期权对模型错误指定的易感性，我们称之为现金等价物（小不确定性厌恶）。接下来，我们展示并讨论对冲策略的显式公式, 模型族（Pψ）ψ和等价腰果。套期保值策略= （θ, φ) 是选项V的三角织女星对冲：θt=VS（t，St，∑t）- φtCS（t，St，∑t），φt=V∑C∑（t，St，∑t）。也就是说，呼叫数φ选择，以便代理位置的净织女星φC∑- V∑，消失。这就给代理留下了一个净deltaof-VS+φCs通过保持θ来中和d基础股票，因此总投资组合为三角洲和织女星中性。我们强调，delta-vega对冲的领先阶最优性与a-gent效用函数及其不确定性厌恶参数ψ无关。

虽然代理厌恶风险（否则，在任何给定的模型中根本不需要对冲）并且在我们的意义上适度厌恶不确定性（织女星对冲是多余的，没有不确定性波动），但代理偏好的精确配置基本上是不相关的。此外，请注意，delta vega对冲与当前观察到的隐含波动率∑Tof流动交易看涨期权进行了计算，即用于计算对冲的Black-Scholes模型进行了动态再校准。接下来我们讨论了渐近最优模型（Pψ）ψ。描述模型Pψ的过程ζPψ满足ζPψt=ζPt+eζ（t，St，∑t）ψ+o（ψ），其中有些ζ=eζ（t，S，∑），这是由与SDG（1.4）相关的Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs（HJBI）方程衍生的线性约束q数值规划问题引起的（约束源于漂移条件（1.3）和非相关平方可用性的限制隐含波动率为非负）。模型Pψ是Black-Scholes模型P的扰动，由四个过程νP、σP、ηP和ξPin（1.2）进行参数化。显式公式Foreζ（参见（4.5））表明，渐近最优扰动利用了非交易期权V的vegas、gammas、vannas和Volgas与流动交易赎回权之间的差异，同时保持漂移条件（1.3）和限制ξP≥ 事实上，如果这些GreekS中的每一个对于非交易期权和流动交易看涨期权都具有相同的值（例如，如果V是一个与看涨期权具有相同到期日和行使权的看涨期权），则前序最优扰动ζ为零。最后，我们讨论了扩展（1.5）和现金等价ew的结构。