模型不确定性、重新校准和三角织女星的出现

通过这种选择，受约束的最小化overeζ（忽略（3.9）中质量约束中的o（ψ）项）降低为线性约束的二次规划问题：minimiseeζψ-1eζ- veζ受试者脚趾ζ∈ R、 c类eζ=0，eζ≥ 0，（3.10），其中c=C∑，∑SCSS，∑SCS∑，C∑∑.根据[28]，可以预期ψ（而不是，例如ψ1/2或ψ）是值函数展开的正确幂。或者，可以在（3.5）中写入ψα，而不是ψ，然后通过在HJBI方程的展开中匹配损益过程的惩罚项和漂移项的幂来确定α=1，从而使对ζ的优化变得不重要。求解线性约束二次规划。最小化问题（3.10）是严格凸和线性约束的，因此具有唯一的最小值。最小值ζ*以相关的Karush–Kuhn–Tucker条件ψ为特征-1eζ*- v+λ*c- u*~e=0，ceζ*= 0，eζ*≥ 0，u*≥ 0，u*eζ*= 0，对于某些标量λ*和u*. 结果是有一个显式解（eζ*, λ*, u*) （参见引理A.1（A）），这激发了我们在第4.1.4节主要结果中的定义。这篇文章包含了我们主要结果的精确数学陈述。在第4.1节中，我们首先介绍了所需的符号和技术假设；第一次阅读时，可以跳过这个特别重的部分。4.1符号和假设主要结果T heorem 4.5提供了值v（ψ）从（2.16）的渐近展开，用于小水平的不确定性厌恶ψ和渐近s addle点（ν, Pψ）ψ，其中ν是三角织女星树篱，（Pψ）ψ是一个合适的模型族。

为了确定描述展开式一阶项的偏微分方程，以及确定近似对应于Pψ的四重ζψ（见下文定义4.1（b）），我们需要引入一些符号。回想一下，G=R+×R×R+是进程（S，A，M）的状态空间，集合D=（0，T）×G×R+。数据的一种神经元素，写为（t，S，A，M，∑）或（t，x），x=（S，A，M，∑）。功能, Γ，∑：D→ 定义人（t，x）=VS+γVA，Γ（t，x）=VSS+2γVSA+γVAA，∑（t，x）=VS∑+γVA∑分别称为方案V的有效三角洲、有效γ和有效钒；我们注意到，如果γ，这些量对应于标准格力ks≡ 例如，0类似于香草、屏障或回溯选项，请参阅第3节了解案例γ6中此术语的动机≡ 0、函数c、v:D→ Rgiven byc（t，x）=C∑，∑SCSS，∑SCS∑，C∑∑, （4.1）v（t，x）=V∑，∑（βVA+SΓ），∑S∑，V∑∑, （4.2）分别称为调用和选项V的vega gamma vanna volga向量。用此符号定义函数λ，u：D→ R和ζ：D→ Ras如下：λ（t，x）=（cψvcψcif V∑∑-cψvcψcC∑∑≥ 0，cψv-C∑∑V∑∑∑ψξCψc-C∑∑ψξ，否则，（4.3）u（t，x）=（V∑∑- λC∑）-, （4.4）eζ（t，x）=ψ（v- λc+ue）。（4.5）注意，术语uein（4.5）确保了eζ的第四个共成分为非负。现在，fix常数0<∑<∑<∑<∑，并确定每个ψ>0，候选反馈控制ζψ=（νψ，σψ，ηψ，ξψ）：D→ Rbyζψ（t，x）=ζ（∑）+eζ1{∑<∑<∑}ψ。（4.6）在这里和下面，我们假设C和V的所有相关偏导数都存在；下面的假设4.2给出了精确的条件。指标1{∑＜∑＜∑}是一项技术修改，一旦隐含波动率达到∑，∑的边界，通过回落至参考反馈控制ζ（∑）（对应于恒定隐含波动率），确保隐含波动率在区间∑，∑内稳定。

更明确地说，候选反馈控制可以表示为νψ（t，x）=（V∑- λC∑）1{∑<∑<∑}ψνψ，σψ（t，x）=∑+∑βVA+SΓ- λSCSS{∑<∑<∑}ψσψ，ηψ（t，x）=∑S∑- λSCS∑{∑<∑<∑}ψηψ，ξψ（t，x）=（V∑∑- λC∑+{∑<∑<∑}ψξψ。一般来说，不存在Pψ∈ P当过程ζψ（t，Xt）仅在o（ψ）级满漂移条件（2.7）时，ζψ与控制ζPψ对应的顶部ψ重合。然而，为了精确匹配漂移条件，可以通过适当的渐近小项扰动ζψ。这激发了以下定义的第（b）部分。定义4.1。让P P、 （a）对于每个P≥ 1，我们用LPP表示Borel函数K:D的向量空间→ R satisfyingkKkLpP：=支持∈PEP“ZT | K（t，Xt）| pdt#1/p<∞.（b） A族（Pψ）ψ∈（0，ψ） P表示某些ψ∈ 如果存在K，则称（0，1）为候选渐近模型族（在P中）∈ lp使得对于所有ψ∈ （0，ψ），ζPψt- ζψ（t，Xt）≤ K（t，Xt）ψdt×Pψ-a.e.定义4.1（b）中形成的候选渐近模型族的关键性质是，与Pψ相关的控制ζPψt为O（ψ）-接近于可判定的控制ζψ（t，Xt）。用带源项的线性二阶抛物型偏微分方程的解，给出了v（ψ）的辛展开式的前导阶系数。具体而言，对于每个∑∈ [σ，σ]，我们考虑PDEewt+α+β∑ewA+∑SewSS+2γewSA+γewAA+（0，T）×G上的eg（·，∑）=0，δewA+ewM=0，在{（T，S，A，M）：S上≥ M} ，ew（T，·，∑）=0，在G上，（4.7），其中源项eg:D→ R由eg（t，x）=v（t，x）给出eζ（t，x）。（4.8）我们在以下假设下验证了我们的主要结果。假设4.2。

集合D=（0，T）×G×[∑，∑] D、 （a）交易策略集：有一个常数KY>0，因此对于每个交易策略ν∈ Yand每个P∈ P、 Yν，P>-KYdt×P-a.e.（b）模型集：P P包含一个候选的渐近模型族，一个参考模型，每个HP的常数分别为ν<0<ν，0<σ<∑，σ<σ，η<0<η，ξ>0∈ P、 νP∈ [ν，ν]，σP∈ [σ，σ]，ηP∈ [η，η]，ξP∈ [0, ξ], Σ ∈ [σ，σ]dt×P-a.e。（4.9）（c）呼叫PDE:TC≥ T和C∈ C1,2,2（（0，TC）×R+×R+）∩ C（[0，TC]×R+×R+），每个∑的C（[0，TC]×R+）∈ [∑，∑]、C（·，∑）是PDE（2.1）的经典解，C∑6=0和| C∑|≤ KC公司|C∑|+| SCSS |+| SCS∑|对于某些KC，on（0，T）×R+×[∑，∑]（4.10）∈ 有限合伙人。（d） 非交易期权PDE：有V∈ C1,2,2,1,2（D）∩ C（D）使得对于每个∑∈ [∑，∑]，V（·，∑）是∑V∑的PDE（2.9）的经典解，βVA+S（VSS+2γVSA+γVAA）, |S（VS∑+γVA∑）|，| V∑|≤ KVon D（4.11），对于某些常数KV>0。（e） 现金等价物PDE：存在ew∈ C1,2,2,1,2（D）∩ C（D）使得对于每个∑∈ [∑，∑]，ew（·，∑）是PDE（4.7）的经典al解决方案，0≤ 电子战≤ Kewon d对于某些常数Kew>0，andew∑，S（ewS+γewA），βewA+S（ewS+2γewSA+γewAA），S（ewS∑+γewA∑），ew∑∈ 有限合伙人。（f） 效用函数：U:R→ R是cw，U′>0，U′处处<0，且绝对风险厌恶程度降低，即y 7→ -U′（y）U′（y）在R上不递增。备注4.3。让我们讨论假设4.2中的各种要求：（a）对代理人信贷额度的约束是交易策略集的可接受条件。损益过程Yν，Pis需要从下到下，在Y中的所有策略和P中的所有模型上都是一致的。我们在推论5.3中表明，这对于与三角洲织女星对冲ν相关的损益过程是满意的（参见（4.13））。

因此，如有必要，可将恒常系数变大，三角织女星对冲始终可以添加到策略集Y中。（b）第4.3节概述了与（4.9）兼容的候选渐近模型族的构造。在证明主结果的各个步骤中，控制项上一致界的存在以及隐含的波动性是必不可少的。乍一看，这并不是一个很大的假设。事实上，由于我们主要结果的结论不依赖于这些边界的选择，因此可以选择任意大的边界。（c） 这些规律性假设确保c对应于流动交易看涨期权的Black-Scholes值。条件C∑6=0保证了三角洲织女星对冲（参见（4.13））得到了很好的定义。（4.10）中的第二个条件确保调用的伏尔加由其vega、cash gamma和cash vanna之和控制。对于纯香草c all选项，Payoff c（S）=（S-K） +，这些greeks的显式公式表明，如果log S∈ 有限合伙人。这很容易从S作为S-Tochstric指数的显式表示以及假设4.2（b）中的spotvolatility的有界性得出。另一个例子是payoffc（S）=log（S）的log契约，其中C（t，S，∑）=log（S）-∑（TC- t） 。计算相关的希腊语表明，在这种情况下，t（4.1 0）也成立。此外，如果TC>T，则即使引理4.9的更强条件（4.17）也满足。（d）这是选项V的规律性假设，类似于（c）。然而，我们另外强制执行边界（4.11），以确保织女星伽马-瓦纳-伏尔加矢量v有界。如果期权支付足够有规律，则可以满足这一需求。例如，考虑支付函数V（S，A，M）=H（S）仅取决于股票价格S的情况。

相应的Black–Scholes值可以是wr itten asV（t，S，A，M，∑）=Z∞-∞HS经验值∑√T- 德克萨斯州-∑（T- t）φ（x）dx，其中φ是标准正态分布的密度函数。如果“terminal cashdelta”yH′（y）和“terminal cash gamma”yH′（y）在y中有界∈ R+，然后使用支配收敛在积分符号下微分，表明V确实满足假设4.2（d）。对于异国情调的选择，人们可以持同样的观点。例如，对于具有充分规则支付V（S，a，M）=H（S，M）的回溯o选项n（回想一下，M是股票运行最大值的变量），我们可以再次验证其Black–Scholes值的概率表示解出了PDE（2.9），并从Payoff函数H（e）的正则性继承了假设4.2（d）所需的正则性。该假设假设假设存在PDE（4.7）的（经典）解ew，并满足一定的界限。该假设的有效性取决于输入量C、V、α、β、γ和δ的规律性，并且可以通过上述（d）的长线进行检查。（f） 不必在整个实数线上定义效用函数。事实上，因为我们只考虑这样的策略，即损益过程从下到下-如果采用统一的过度交易策略和模型，我们还可以在R+上使用（适当替换）效用函数。还要注意的是，电力和指数效用都具有降低绝对风险的作用。备注4。4、只要交易期权足够规则，就有许多模型可以对隐含波动率动力学的系数进行分类（4.9）。

例如，考虑形式DST=Sta（Yt）dWt，dYt=b（Yt）dt+c（Yt）dWt+c（Yt）dWt的随机波动率模型，（4.12），其中函数a、b、c、cas及其导数均为Lipschitz且有界，anda、c、care为正且远离零有界。然后现货波动率σt=a（Yt）在某个有界区间[σ，σ]内演化。现在，让Csv（t，St，Yt）为在该随机波动率模型中计算的某些TC>t（在某些价格测量下）的对数合约与支付对数（STC）的值。由于现货波动率σ从上到下是有界的，因此对数合约的Csvo值可以从上到下分别由其波动率σ和σ的Black–Scholes值来界定。因此，隐含波动率∑一致有界且远离零。为了确定其漂移和扩散系数νt、ηt和ξt，将It^o的公式应用于方程C（t，St，∑t）=Csv（t，St，Yt）的两侧，以定义∑并比较dW和dW项的系数。同时使用对数合同的现金增量为SCS=SCsvS=1，这导致ηt=c（Yt）CsvY（t，St，Yt）c∑（t，St，∑t），ξt=c（Yt）CsvY（t，St，Yt）c∑（t，St，∑t）.现在，区分Csv的偏微分方程得到其偏导数Csvy的偏微分方程，概率表示表明Csvy是有界的。当C∑一致有界远离z e ro时，对于该持有，例如，对于“平滑看跌期权”，其payoff是具有一些任意短期到期的Black–Scholes看跌期权值。关于类似环境中此类规律性假设的讨论，另请参见【28，备注3.2】。TC>T，η和ξar e一致有界的对数契约。最后，根据漂移条件（2.7）（此处自动成立，因为Csv（t，St，Yt）是构造的局部鞅），可以得出隐含波动率的漂移系数νtof也是一致成立的。

综上所述，市场模型源自随机波动率模型（4.12）和完整模型（4.9）。4.2主要结果我们现在可以陈述我们的主要结果，它提供了（2.16）中值的渐近展开和相应的渐近最优策略。下文第4.3节考虑了一个合适的对应模型se t P和一个候选的共形模型族的存在性。重述备注4。3（a）三角洲ve ga对冲如有必要，可通过将假设4.2（a）中的常数KYfrom变大，将其纳入交易策略集Y中。数值ew：=通过解ew到PDE（4.7）确定的ew（0，X）决定了值v（ψ）展开的主导系数或有序系数。由于它还描述了代理人要求的（标准化）溢价，作为对自己暴露于模型错误的补偿（参见下文差异询价的扩展（4.16）），我们将其称为现金等价物（小不确定性厌恶）。定理4.5。设Y为一组交易策略，P Pa模型集，并假设假设假设4.2已满足。定义delta vega对冲策略= （θt、 φt） t型∈[0，T]乘以θt型= -V∑C∑CS（t，St，At，Mt，∑t），φt=V∑C∑（t，St，At，Mt，∑t）。（4.13）如果ν∈ Y和（Pψ）ψ∈（0，ψ） P是一个候选渐近模型族，则为ψ↓ 0:v（ψ）=supν∈YinfP公司∈PJψ（ν，P）=infP∈PsupД∈YJψ（ν，P）+o（ψ）=Jψ（ν, Pψ）+o（ψ）=supν∈YJψ（ν，Pψ）+o（ψ）=infP∈PJψ（ν）, P）+o（ψ）=U（Y）- U′（Y）ewψ+o（ψ）。（4.14）尤其是三角织女星对冲是Y中所有策略中的领先阶O（ψ）的最优策略，而Pψ是P中所有模型中对抗性对手的领先阶最优模型选择。定理4.5的冗长证明推迟到第5.1节。（4.14）中v（ψ）膨胀的一阶项由现金等价物ew确定。

其概率表示可以识别决定期权对模型错误敏感性的主要因素：命题4.6（Feynman–Kac表示）。假设假设假设4.2成立，letP∈ P为参考模型。新=EP“ZTeg（t，St，At，Mt，∑）dt#。这里，函数eg（在（4.8）中定义）可以写成g（t，S，A，M，∑）=-∑φSCSS公司- （βVA+SΓ）eσ- ∑φSCS∑- S∑eη-（φC∑∑- V∑）eξ，（4.15），其中函数（eν，eσ，eη，eξ）=eζ在（4.5）和φ中定义=V∑C∑是定理4.5中的织女星对冲。证据Feynman–Kac表示在命题5.1中得到了证明（als o注意到，∑t=∑dt×P-a.e.因为Pis是一个参考模型）。eg的代表是Coro llary 5.7的含量。对于β情况下的该表述的解释≡ γ≡ 0，我们参考导言中方程式（1.6）之后的讨论。如果γ6≡ 0（例如，对于示例3.1中的正向启动调用），则有效gamma和有效vanna通常不同于选项的gamma和vanna。如果期权V取决于股票的已实现方差（例如，对已实现方差的认购），则在（4.15）中的有效伽马中添加一个术语βVAI。下一个命题意味着，每当看涨期权和非交易期权V的织女星伽马-瓦纳-伏尔加向量共线时，不确定性厌恶的局部影响将以主导顺序消失。提案4.7。固定（t，x）∈ D、 如果织女星伽马-瓦纳-伏尔加矢量c（t，x）和v（t，x）共线，则eg（t，x）=0。证据固定（t，x）∈ Dand让k∈ R使得v（t，x）=kc（t，x）。然后通过构造（参见（4.3）–（4.5）），λ（t，x）=k，u（t，x）=0，andeζ（t，x）=0。因此，eg（t，x）=0。例如，考虑非交易期权是与流动交易看涨期权具有相同行使和到期日的看跌期权的情况。

那么看跌期权意味着维加斯、伽马、瓦纳斯和沃尔加斯这两种期权在任何地方都是一致的。因此，例如≡ 0，因此现金等价物消失。预计这是因为看跌期权也为这种情况提供了无模型对冲。差异价格。差异要价（对于非交易期权V）是代理人在保持头寸和通过出售该价格的非交易期权来改变头寸之间的差异价格。回想一下，Vis是非交易期权V的初始参考值，EWI是其现金等价物。设v（y；ψ）表示我们的套期保值问题与初始损益y相对应的价值。如果代理人决定以pa（ψ）的价格出售非交易期权，则其套期保值问题的初始损益为y+pa（ψ）-五、 因此，确定差值ask pricepa（ψ）的方程如下：U（Y）=V（Y+pa（ψ）- 五、ψ） 。利用定理4.5中v的展开式，直接计算yieldpa（ψ）=v+ewψ+o（ψ）。（4.16）因此，ewψ是代理人要求的领先订单溢价，作为其暴露于模型不确定性的补偿。备注4.8。购买期权与出售该期权的负面内容是一样的。然而，与V和-V通常是不同的。这种不对称性是由不相关平方波动率必须为非负的解释以及参考模型具有z ero不相关平方波动率的事实造成的。换句话说，不相关平方方差只能在一个方向上偏离其参考值。相反，其他控制变量在两种情况下都可能偏离其参考值。4.3关于候选渐近模型族的存在性定理4.5的主要结果假设模型集P包含候选渐近模型族。