马尔可夫美式篮子期权的隐含止损规则

定义二阶线性微分算子（Lv）（t，x）=-r+Xiaixi+xi jbbT公司i jxixj公司（t，x）v（t，x），我们可以在线性HJB方程上写出相应的n。在HDOU和Pironneau（2005年，方程式（6.2））陈述之后，美式期权价格，uA，满意度（LuA+tuA）（t，x）≤ 0，（t，x）∈ [0，T]×D，uA（T，x）≥ g（Px），（t，x）∈ [0，T]×D，（（LuA+tuA）（t，x））（uA（t，x）- g（Px））=0，（t，x）∈ [0，T]×D.引入哈密顿量，（HuA）（T，x）=（LuA）（T，x）max（（LuA）（T，x），uA（T，x）-g（Px））>0，（9）我们将UAHJB方程简写为-tuA（t，x）=（HuA）（t，x），（t，x）∈ [0，T]×D，uA（T，·）=g（P·）。（10） 对于Bachelier模型，D是无边界的。对于Black-Scholes模型，X（t）的一个或多个成分在边界处消失D、 由于漂移（2）和波动率（4）在其参数中都是线性的，漂移和波动率在界元处消失。结果边界值由（10）w的低维变量给出，其中X（t）的一个或多个分量固定为零。我们没有试图直接解决（10），而是首先将注意力转向（5）中所述投资组合过程的低维近似。这一近似值是6 C.BAYER、J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONEMarkovian对S的投影（Gy¨ongy，1986；Piterberg，2006）。

在d中，我们通过以下替代过程来近似SBO的非马尔可夫演化，dS（x）（t）=a（x）t、 S（x）（t）dt+b（x）t、 S（x）（t）dW（t），t∈ [0，T]，S（x）（=Px，（11）通过条件期望来评估（11）中的漂移和波动系数，即a（x）（T，S）=E[Pa（T，x（T））| Px（T）=S，x（）=x]，（12）b（x）（t，s）=EhPbbTPT（t，X（t））| PX（t）=s，X（）=xi。（13） 马尔可夫投影（11）生成其正则滤波，Ft=σS（x）（q）：0≤ q≤ t型.观察（11）中的替代过程S（x）（t），由于漂移和波动性函数的正确选择以及适当的初始值，对于所有t∈ 【0，T】（Gyongy，1986）。对于（6）中产生确定价格的任何给定支付函数，这意味着经验值(-rT）g（PX（T））| X（）=X= E经验值(-rT）gS（x）（T）|S（x）（=Px,（14） 这意味着，我们可以仅使用我们对马尔可夫过程（x）的了解，对篮子上的欧洲期权进行定价。假设我们知道动力学（11），我们可以使用Feynm a n-Kac公式计算（1 4）的右侧。通过表示（t，s）=E经验值(-r（T- t） ）克S（x）（t）|S（x）（t）=S,（15） 我们只在一维空间中解出了相应的线性后向偏微分方程，-星期二（t，s）=-ruE（t，s）+a（x）（t，s）苏（t，s）+b（x）（t，s）（t，s）{z}≡LuE公司（t，s），t∈ [0，T]，s∈D、 uE（T，·）=g（·）。（16） 备注2.1（预测PDE的解释）。我们已经确定了Black-Scholes类型的预测PDE（16）。此外，通过调节到SDE（1）的初始值构建的等式的系数A（x）和b（x）。这里，我们使用PDE（16）作为数学构造来评估实验（14）。

我们不会将（16）的解或本工作剩余部分中定义的扩展解释为可赎回期权价格。注意，上述过程可以推广到在维数D>1的空间上进行马尔可夫投影的情况。这只需引入传统投资组合及其加权hts，PT=【PT，PT，PT，…，PdT】，并通过预测波动率系数定义S（x）的多维动态，如下所示：bbT公司（x） i j（t，s）=EhPiTbbTPj（t，X（t））| PX（t）=s，X（）=xi，1≤ i、 j≤d、 （17）马尔可夫投影中美式篮子期权的隐含止损规则7综上所述，只要我们能够有效地评估SDE（11）中的系数，就有可能求解低维sio nal方程（16），而不是从维度电流中得到的方程（8）。显然，通过（13）中的条件期望对SDE ofS（x）中的系数进行有效评估原则上是一项艰巨的任务。第3.1.1节提出了进行该评估的有效近似值。备注2.2（计算区域和边界条件）。在这项工作的数值部分，我们没有使用PDE（16）的完全无界域，而是使用修改后的计算域，我们在其上施加了如下艺术边界条件。首先，请注意，（8）的适当域D取决于所选的模型。对于d-d维Black-Scholes模型，我们有d=DdBlack-Scholes=Rd+，相应地，对于Bachelier模型，D=Ddbhelier=Rd。当数值求解完整的D维方程（8）时，通常会将域截断为复合域，并在局部计算域的边界上施加人工边界条件。在这里，我们还将投影域D投影到一个本地化的计算域中。

在计算域的边界处，我们施加人工边界条件“u（t，s）=g（s）”。除截断外，我们注意到（16）中的系数仅针对过程PX（t）的密度φ有支持的区域定义。我们通过将相关系数a（x）和b（x）. 对于b（x）我们还设置了一个下界来保证数值稳定性和适定性。在我们所有的数值例子中，我们确保截断和外推的计算域足够大，从而使相应的域截断误差可以忽略不计。关于这一问题的更深入讨论，请读者参阅（Kangro和Nicolaides，2000；Choi和Marcozzi，2001；Matache等人，2004；Hilber等人，2004）。此外，为了保持符号的简洁性，我们将避免明确书写艺术边界条件。这项工作中所有相关的偏微分方程都被理解为使用Dirichlet边界条件（由期权的固有值隐含）进行数值求解。正如Black-Scholes方程（8）有相应的HJB方程（10），我们可以使用对应的HJB来预测Black-Scholes方程（16）。结果HJB方程描述了写在lio端口上的美式期权的成本函数A，其预测动态为（11）：-大士（t，s）=卢阿（t，s）最大值卢阿（t，s），uA（t，s）-g（s）>0个=华（t，s）（t，s）∈ [0，T]×D，uA（T，·）=g（·）。（18） 然而，对于美式期权价格，没有对应于等式的id实体（14）。因此，不同e | uA（0，Px）的大小- uA（0，x）|可能不需要太小。此外，（18）中的边界条件与备注2.2中讨论的（16）中的条件相同。

这项工作的主要重点是增加这些问题，并估计AA的计算值和所寻求的uA之间的差异，我们认为这超出了我们的能力范围，计算成本太高。我们顺便注意到，过程X和dS（X）存在于不同的概率空间中。同样，与全维和预测SDE相对应的停止ping时间分别适用于FtandFt。8 C.拜耳、J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONE2.2。隐含停止时间和价格界限。在上面，我们已经提出了在美式期权定价中使用预测动力学S（x）的可行性问题，我们现在在第2.2.1节中展示了预测问题的解决如何产生次优的行使策略。这种分时行权策略为期权价格提供了较低的基础。我们在第2.2.2.2.2.2.1节中用相应的上界来补充该下界。下限。在全美式期权定价问题（7）中，最优停止时间τ*∈ T、 使Ua（0，x）=E经验值(-rτ*)g（PX（τ*))|X（）=X,由τ给出*= inf{t∈ 【0，T】：uA（T，X（T））=g（PX（T））}。（19） 任何停止时间τ∈ t为选项p大米提供下限。我们无法使用全部的运营成本功能uA，因此，预计的运营成本功能每年会进行自然替换。

实际上，预计的运行成本函数ua产生了两个命中时间s：τ*≡ inf公司t型∈ 【0，T】：uAt、 S（x）（t）= g级S（x）（t）,式中，ofS的动力学由（11）和τ+≡ inf{t∈ 【0，T】：uA（T，PX（T））=g（PX（T））}。（20） 我们注意到，由于终端条件onain（18），所有命中时间都以T为界。我们通过说明命中时间τ+隐含的下界来结束关于optio n值下界的讨论∈ T、 uA（0，x）≥ 进出口商品-rτ+g级PXτ+|X（）=xi。（21）我们强调，我们尚未对uA（0，x）和uA（0，Px）进行比较。备注2.3（关于最小二乘蒙特卡罗）。我们采用的方法与最小二乘蒙特卡罗方法有一些相似之处。然而，有一些关键的区别：在最小二乘蒙特卡罗方法中，停止时间可以理解为进入某个区域的击中时间，该区域通过回归到一组基函数估计的期权持有值超过了早期行使价格。搭便车时间（20）同样定义为预计运行成本、uA和早期行使价格之间的比较。然而，估计的运行成本uA并不取决于基函数的选择，只取决于预测的方向。另一方面，uAis使用马尔可夫投影S（x）而不是tru e forwardmodel x.2.2.2构建。上限。为了评估用低维马尔可夫投影近似过程的准确性，我们想设计一个相应的上界。为此，我们使用了Rogers（2002）提出的双重表示法。定价问题的对偶表示如下。

Americanoption的价格由以下公式得出：uA（0，x）=infR∈HE“sup0≤t型≤TZ（t）- R（t）|X（）=X#，（22）马氏投影9中美式篮子期权的隐含停止规则，其中Hdenotes表示所有可积鞅R，t的空间∈ [0，T]这样对于R∈ Hsup0≤t型≤T | R（T）|∈ 五十、 R（）=0。此处▄Z（t）表示贴现支付过程▄Z（t）=exp(-rt）g（X（t）），t∈ [0，T]。（23）自然地，用任意鞅R（t）计算等式（22）中的语句∈ H、 将给出期权价格的上限。A鞅，R*（t） ，达到单位m（22）称为最优鞅。一般来说，找到优化鞅与找到定价问题的解决方案一样复杂。事实上，当成本函数uA（t，x）已知时，优化鞅可以按照Haugh和Kogan（2004）的方法写出*（t） =经验值(-rt）(uA）Tb（t，X（t））dW（t），t∈ [0，T]，R*（）=0。（24）我们构造了一个近似最优鞅R∈ HB将（24）中的确切uA替换为近似的运行成本函数uA。这将产生显式上界（0，x）≤ E“sup0≤t型≤TZ（q）- R（t）|X（）=X#，（25），其中（t） =经验值(-rt）(uA）T（T，PX（T））Pb（t，X（t））dW（t），t∈ [0，T]，R（）=0。（26）换句话说，我们使用真实随机过程的投影、非马尔可夫版本来评估预测的近似值函数的敏感性或δ。我们还注意到，预测的近似值函数的灵敏度可以用作期权价值相对于下伏Portfo lio价值的近似灵敏度。（Rogers，2002年，第3章）2.3。与定量融资相关的模型降维。我们利用马尔可夫预测建立了同一篮子期权价格的上下限。

对于我们方法的适用性来说，哪些模型具有紧密边界的问题自然是一个有趣的问题。因此，本节重点讨论马尔可夫投影的适用范围。下面，我们证明了马尔可夫投影的过程为Bachelier模型产生了精确的结果。这是模型中高斯回报的结果。事实上，事实证明，由于Bachelier模型的常数波动率（3），可以在没有拉普拉斯近似的情况下评估相关低维PDESC的系数。在讨论了Bachelier模型之后，我们集中讨论了BlackScholes模型，该模型产生的期权价格与Bachelier模型非常接近。最后，我们陈述了Black-Scholes模型也证明期权的价值函数仅取决于单个状态变量s，即投资组合价值Px的条件。10 C.拜耳、J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONE2.3.1。定义。首先，让我们定义一些术语。让1≤ n<d和d Rdbe是一个具有piec-ewise光滑边界的凸集。定义2.4。我们称函数为v:D→ R本质上是n维的，如果存在函数ζ：Rn→ R和a矩阵N∈ Rn×Dw，具有正交行，使得v:Rd→ R由v（x）=ζ（Nx）给出。定义2.5。通过推广，我们称微分算子K本质上是n维的，如果下面的向后偏微分方程是适定的-tw（t，x）=K w（t，x），（t，x）∈ [0，T）×D，w（T，·）=wT（·），（27），对于任何本质上为n维的交替值wT，它都有一个唯一的本质上为n维的解。这里我们特别指出，函数ζ可能依赖于时间，即w（T，x）=ζ（T，Nx），但矩阵n不依赖于时间。备注2.6（低维子空间的时间独立性）。

上述定义排除了（27）的解，这些解在每一时刻都基本上是低维的，尽管这些函数沿其方向具有非消失的部分导数随时间而变化。在此定义中，我们还默认允许的终值使问题（27）处于适定状态。后来，我们在证明Lemma2.12时利用了这种结构，它允许我们将对基本低维模型的分析简化为仅对欧洲价值函数的研究，而忽略了早期练习的可能性。2.3.2。学士模型。首先，我们证明了在Bachelier模型上使用马尔可夫投影即使对美式期权定价也能给出准确的结果。这是因为马尔可夫投影的b a SKET（x）与真实篮子PX在法律上一致。在讨论了Bachelier模型的一维性质之后，我们提出了引入随机时钟的可能扩展。引理2.7（Bachelier模型中的降维）。让X（t）解（1），并由（2）和（3）分别给出提离和波动率。此外，让（x）（t）为等式定义的马尔可夫投影。（11） ，对于PX（t）（12）和（13）。然后s（x）（t）和px（t）在定律上重合。证据证据是直接的。我们已经确定，多元Bachelier模型基本上是一维的。然而，我们知道，模型d不具有收益率或波动率聚类的厚尾分布。市场上观察到了这两个特征（见Fama（1965）、Melino和Tur nbull（1991）、Mandelbrot（1997）和Cont（2001））。在下面的推论中，我们通过引入随机c锁来解决这些问题。

通过这种方式，我们引入了一类更大的无套利动态，对于这种动态，随机时钟值的价格分布将减少到BacelierModel中的价格分布。MARKOVIAN PROJECTION 11推论2.8中美式篮子期权的隐含止损规则（Bachelier模型中的Sto c hastic时间变化）。设X由Bachelier模型（2，3）给出，U（t）是一个几乎肯定的递增过程，或一个随机时钟，与R+中的X无关，U（）=0。让折扣价格对应于X beRX（t）=exp(-rt）X（t），（28）然后是相关的股价过程Y，Y（t）=exp（rt）exp(-rU（t））X（U（t））=exp（rt）RX（U（t））具有基本上一维的生成器。证据证明分为两个步骤。第1步。（28）和（1）的组合得出RXis是关于其正则过滤的鞅。我们证明了相同的保持f或RY（t）=exp(-rt）Y（t）=RX（U（t））。我们接受0≤ s<t≤ T并考虑条件期望E[RY（T）| RY（s）]=E[RX（U（T））| RX（U（s））]=E[RX（U（T））| RX（U（s）），U（T），U（s）]| RX（U（s））]=E[RX（U（s））| RX（U（s））]=RY（s）。第2步。验证基本上是一维的说法。我们现在的目标是表示篮子中的欧式期权价格PY（T），w，中间是欧式期权的加权平均值，每个期权都写在篮子PX上。我们有，回顾Y（t）=exp（rt）exp(-rU（t））X（U（t）），w（t，y）=exp(-r（T- t） ）Eg（PY（T））| Y（T）=Y= 经验值(-r（T- t） ）EEg（PY（T））| U（T），U（T），Y（T）|Y（t）=Y= 经验值(-r（T- t） ）E∏Y（t）=Y（29）带∏=Eg级经验值(-r（U（T）- T）PX（U（T））|U（T），U（T），X（U（T））为一篮子PX上的欧洲期权的价格，包括到期时间U（T）和到期时间U（T）-U（t）。