马尔可夫美式篮子期权的隐含止损规则

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英文标题：
《Implied Stopping Rules for American Basket Options from Markovian
  Projection》
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作者：
Christian Bayer, Juho H\\\"app\\\"ol\\\"a, Ra\\\'ul Tempone
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This work addresses the problem of pricing American basket options in a multivariate setting, which includes among others, the Bachelier and the Black-Scholes models. In high dimensions, nonlinear partial differential equation methods for solving the problem become prohibitively costly due to the curse of dimensionality. Instead, this work proposes to use a stopping rule that depends on the dynamics of a low-dimensional Markovian projection of the given basket of assets. It is shown that the ability to approximate the original value function by a lower-dimensional approximation is a feature of the dynamics of the system and is unaffected by the path-dependent nature of the American basket option. Assuming that we know the density of the forward process and using the Laplace approximation, we first efficiently evaluate the diffusion coefficient corresponding to the low-dimensional Markovian projection of the basket. Then, we approximate the optimal early-exercise boundary of the option by solving a Hamilton-Jacobi-Bellman partial differential equation in the projected, low-dimensional space. The resulting near-optimal early-exercise boundary is used to produce an exercise strategy for the high-dimensional option, thereby providing a lower bound for the price of the American basket option. A corresponding upper bound is also provided. These bounds allow to assess the accuracy of the proposed pricing method. Indeed, our approximate early-exercise strategy provides a straightforward lower bound for the American basket option price. Following a duality argument due to Rogers, we derive a corresponding upper bound solving only the low-dimensional optimal control problem. Numerically, we show the feasibility of the method using baskets with dimensions up to fifty. In these examples, the resulting option price relative errors are only of the order of few percent.
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中文摘要：
这项工作解决了多变量环境下的美式篮子期权定价问题，其中包括Bachelier和Black-Scholes模型。在高维情况下，由于维数灾难，用于解决问题的非线性偏微分方程方法变得成本高昂。相反，这项工作建议使用一个停止规则，该规则取决于给定一篮子资产的低维马尔可夫投影的动态。结果表明，通过低维近似逼近原始值函数的能力是系统动力学的一个特征，不受美式篮子期权的路径依赖性的影响。假设我们知道正向过程的密度，并使用拉普拉斯近似，我们首先有效地计算对应于篮子的低维马尔可夫投影的扩散系数。然后，我们通过在投影的低维空间中求解Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程来逼近期权的最优提前行使边界。由此产生的接近最优的早期行使边界用于生成高维期权的行使策略，从而提供美式篮子期权价格的下限。还提供了相应的上限。这些界限允许评估拟议定价方法的准确性。事实上，我们的近似提前行使策略为美国篮子期权价格提供了一个简单的下限。根据Rogers提出的对偶论证，我们导出了仅解决低维最优控制问题的相应上界。从数值上看，我们使用尺寸高达50的篮子证明了该方法的可行性。在这些例子中，由此产生的期权价格相对误差只有几个百分点。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Implied_Stopping_Rules_for_American_Basket_Options_from_Markovian_Projection.pdf (469.92 KB)

2022-5-31 10:58:31 上传

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关键词：马尔可夫 Differential Multivariate Applications Quantitative

Markovian PROJECTIONCHRISTIAN BAYER、JUHO H¨APP¨OL¨A和RAUL TEMPONEAbstract的美国篮子期权隐含止损规则。这项工作解决了多变量环境下的美式篮子期权定价问题，其中包括Bachelier和Black-Scholes模型。在高维情况下，由于维数灾难，用于解决该问题的非线性偏微分方程方法变得成本高昂。相反，这项工作建议使用一个停止规则，该规则取决于给定一篮子资产的低维马尔可夫投影的动态。结果表明，通过低维近似来近似原始值函数的能力是系统动力学的一个特征，并且不受美国篮子期权的路径依赖性质的影响。假设我们知道正向过程的密度，并使用拉普拉斯近似，我们首先有效地评估与篮子的低维马尔可夫投影相对应的扩散系数。然后，我们通过在投影的低维空间中求解Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程来近似期权的最佳早期行使边界。由此产生的接近最优的早期行使边界用于生成高维期权的行使策略，从而提供美式篮子期权价格的下限。还提供了相应的上限。这些界限允许评估拟议定价方法的准确性。事实上，我们的近似提前行使策略为美国篮子期权价格提供了一个简单的下限。根据Rogers提出的对偶问题，我们推导出了仅解决低维最优控制问题的相应上界。在数值上，我们使用尺寸高达五英尺的篮子展示了该方法的可行性。

在这些示例中，产生的期权价格相对误差只有几个百分点。引言这项工作解决了多变量集合中美式一揽子期权的定价问题。我们的应用程序roach依赖于一个停止规则，该规则依赖于给定一篮子资产的低维马尔可夫投影的动态。路径相关期权的定价是一个众所周知的难题。即使对于相对简单的情况，如Black-Scholes模型或Bachelier模型，其中可以找到风险中性预期收益在终端时间T的解析表达式，路径依赖期权（如美式期权）的价格通常也必须进行数值求解。这种困难在高维情况下会加剧，其中众所周知的数值方法的收敛速度会随着维数的增加而显著恶化。然而，在并购市场、公开交易市场或场外交易（OTC）中提供了大量的美国期权。也许最著名的例子就是芝加哥期权交易所（CBOE）上引用的标普100指数期权。此外，种类繁多的交易所交易基金（ETF）跟踪DICE有美国期权，在CBOE上公开报价。这些基金会2010年数学学科分类。初级：91G60；次要：91G20、91G80。关键词和短语。篮式期权，最优停站，布莱克-斯科尔斯，误差界，蒙特卡罗，马尔可夫投影，汉密尔顿-贾布科比-贝尔曼。2.拜耳、J.H¨APP¨OL¨A和R.Tempones包括许多著名指数，如欧盟ro Stoxx 50指数和道琼斯工业平均指数，以及许多地区指数。如果人们只对指数感兴趣，那么指数的低维模型显然是有效的。

然而，在许多情况下，可能需要指数与部分或全部个股的一致联合模型，这将导致本文所面临的中高维期权定价问题。两种最广泛使用的路径相关期权定价方法，二项式树形方法和偏微分方程（PDE）方法，都来自所谓的维度过程。在概率树或格的情况下，概率树的大小，即使是在重组树的情况下，在中等维上已经变得非常大。另一种流行的方法要求使用有限差分法（FD）或有限元法（FEM）求解Black-Scholesequation。这两种方法都涉及离散微分算子，其大小也在维数上按经验比例缩放。在蒙特卡罗模拟中，弱近似的收敛速度并不明显取决于维数。然而，有了早期的锻炼选择，如美国，蒙特卡罗方法变得更加复杂。尽管传统的蒙特卡罗方法非常适合在广泛的模型中对不确定性进行正向预测，但它并不能提供构建训练策略的简单方法。这种策略通常需要通过反向导入获得。由于美式期权的价格是基于假设期权的最优执行，任何解决方案都需要产生最优停止策略，作为定价方法的副产品。已经开发了许多方法来产生接近最优的执行策略。Broadie和Glasserman（1997）提出了一对评估美式期权价格上下限的时间表。

Longsta off和Schwartz（2001）使用最小二乘回归和Mon-te-Carlo模拟来评估美式期权的价格。他们常用的方法已广泛应用于各种定价引擎，例如Ametrano和Ballabio（2003）的QuantLib库。在最小二乘蒙特卡罗方法中，持有期权的价值根据行使期权所获得的现金流进行加权。当然，期权的内在价值是已知的。然而，持有价格是未来可能的出口商品的贴现价格。通过将期权的持有价格回归到几个决策变量或基函数，基于蒙特卡罗样本对该期望进行估计。自然地，选择合适的基函数对结果的质量有着至关重要的影响，而且基函数的数量应该远远小于蒙特卡罗样本的大小，以避免过度拟合（Glasserman等人，2004；Zange r，2013，2016）。关于减少回归方法计算复杂性的工作，请读者阅读Belomestny et al.（2015）。另一种高维近似期权价格的方法是Bally等人（2005年2月）的最优量化器方法。在这种方法中，扩散过程被投影到有限网格上。选择该网格以最小化投影误差，然后在每个网格点上评估描述持有价格的条件期望。量化TREE方法给出了mod e RATE维度中期权价格的精确近似值。

在这里，我们介绍了Black-Scholes模型的选定参数化方法，其维度是（Bally et al.，20 05）中所示维度的两倍。对于具有相当多维度的工作，我们将顺序传递给了沿Payoff（SSAP）方法的分层状态聚合（Barraquand and Martineau，1 995）。在SSAP方法中，通过将期权内在价值的可能值分层来解决行使策略。MARKOVIAN PROJECTION 3 Andersen（1999）的美式篮子期权隐含止损规则采用了类似的方法对百慕大掉期期权进行定价，以内在价值表征了早期行权边界。在此，我们提出并分析了一种新的美式期权定价方法。与SSAP一样，这项工作中的定价方法依赖于使用内在价值或基础资产的价值作为状态变量。另一方面，我们的方法基于标的资产的马尔可夫投影，不依赖于基函数的使用，并提供期权价格的上下限。这些界限有助于评估OUR方法的准确性。在这项爆炸性工作中，我们通过计算研究了在资产清单上的美式期权定价中使用基于模拟程序的停止规则的可行性。该方法提供了一种有效的近似方法，可以对指数上的美国期权或跟踪此类指数的证券进行定价和分类。我们使用通过马尔可夫投影得到的低维过程来代替全维过程。尽管给定基础设施中涉及的多个资产的演化通常被认为是马尔可夫的，但描述一篮子资产线性组合演化的SDE在篮子价值中很少是马尔可夫的。

我们通过马尔可夫投影来解决这个问题，该投影提供了一种低维马尔可夫SDE，适用于求解相关Hamilton-Jaco-bi-Bellman（HJB）方程的动态编程（DP）方法。Mar-kovian投影技术之前已经应用于一系列的官方应用，例如，（Piterbarg，2003，2005；Djehiche和L¨ofdahl，2014）。概述这项工作的其余部分组织如下。在第2节中，我们在将高维SDE投影到低维的背景下描述了马尔可夫投影。我们展示了低维HJB方程如何产生一个停止规则，该规则通常是次优的，但提供了美国期权价格的下限。利用Rogers（2002）的对偶方法，我们利用低维HJB方程的解给出了选项的上界。我们表明，在BacelierModel中，上下边界重合，并提供了准确的期权估值。我们证明了是否可以用低维近似来逼近同一个rican期权的成本函数的问题，如何简化为相应的欧式期权问题，而欧式期权更易于分析。众所周知，在欧式期权定价领域，Bachelier模型与Black-Scholes模型非常接近（Schachermayer和Teichmann，2008）。由于我们的方法完全适用于Bachelier模型，因此我们鼓励在使用我们的方法对美国一揽子方案进行定价时，这种近似方法具有独特的效果。在第3节中，我们详细介绍了前一节中提出的思想的数值实现，并用多元Bachelierand-Black-Schole模型进行了实验。

在报告数值实验结果的同时，我们用Bachelier模型验证了我们方法的准确性，并给出了支持性的结果，证明在欧洲或美国期权价格都不能用低维近似精确表示的情况下，使用r方法是正确的。以Black-Scholesmodel为例，我们表明，我们方法的近似误差为百分之几，可与流动性更高的公开交易期权的买卖价差相比较，并且在流动性更差的指数期权或ETF上报价的期权的价差之内。最后，我们将在第4.2节中发表总结意见。马尔可夫预测和隐含停止时间在本节中，我们重新讨论了描述多元环境下美国期权风险中性期权定价的基本方程。我们在第2.1节中介绍了4 C.BAYER、J.H¨APP¨OL¨A和R.Tempone4方程如何具有相应的低维投影，这些投影可以使用马尔可夫投影获得。在第2.2节中，我们展示了预测的偏微分方程如何产生解决原始高维al定价问题的较低上界。在介绍相关界限之后，我们将在第2.3节中讨论在降维sio n评估中特别感兴趣的模型类别。首先，我们回顾了在Lemma 2.7中高斯Bachelier模型的特点，即马尔可夫投影产生了一维SDE，其解与下面的高维投资组合在法律上一致。在推论2.8中，我们还展示了如果通过适当引入随机cloc k来推广Bachelier m模型，该一维逼近性质是如何保持的。其次，我们提供了辅助结果来描述一些It^o SDE，这些SDE具有我们提出的方法所利用的精确降维结构。

在这些辅助结果中，我们有引理2.12，我们用它将美式期权降维的讨论简化为分析相应欧式期权的低维近似的问题。此外，我们还提出了使用马尔可夫投影的动机，即使对于不具有精确维数特性的模型也是如此。2.1。马尔可夫投影和近似停止时间。假设篮子中资产价格的时间演化由Rd，X（t，ω）中的随机过程给出，这是It^o SDE的唯一强解，dX（t）=a（t，X（t））dt+b（t，X（t））dW（t），0<t<t，X（）=X，（1）由具有独立nt分量的k维维纳过程驱动，W。我们在风险中性度量下工作，由于无套利假设，（1）中的漂移是一个线性函数，a（t，x）=rx，（2），其中r∈ R是短期利率。当短期利率过程不影响基础资产的动态时，大多数讨论也可以通过对时间相关的随机短期利率的最小修改来概括，见Rem a rk 2.11。对于1≤ 我≤ d和1≤ j≤ k扩散系数bi j至少是二阶可微函数，并且X（t）的pdf存在于0<t≤ T和是一个单变量平滑函数，参见假设3.1。此外，我们还得出了由X（t）asFt=σ{X（q）：0生成的正则滤波≤ q≤ t} 。在下一节的数值示例中，我们直接讨论了Bachelier（Sullivan and Weithers，1991）和Black-Schole（Black and Scholes，1973）的模型，承认可能扩展到常数方差（CEV）模型（seeCox（19 75）），在某种意义上可以理解为Bachelier和Black-Scholes模型之间的折衷。

许多其他扩展也是可能的，我们将在第2.3节中讨论其中的一些扩展。注意所检查模型的时间均匀结构，并识别时间不均匀新模型的可能扩展，例如通过使用时间重新参数化。此外，为了简单起见，我们假设基础不支付股息。这项工作广泛关注学士和黑人Scholes类型的模型。它们由各自的波动率来定义，即BBacheler（t，x）=∑，（3）bBlack-Scholes，i j（t，x）=xi∑i j.（4）MARKOVIAN投影中美式篮子期权的隐含止损规则5with∑∈ Rd×kin两种型号。我们关注的是资产组合S，由权重P给出，S（t）=PX（t），（5）作为基础证券，对于P∈ R1×d，不含n-zero元素，可能有一些但并非全部为负值。我们寻求通过支付功能为期权定价→ R、 可以说，最有趣的例子是看跌期权，g（s）=（K- s） +对于某些K∈ R、 在T到期的投资组合P上所写的欧式期权的价格为givenbyuE（T，x）=E经验值(-r（T- t） ）g（PX（t））| X（t）=X.（6） 相反，在为美式n期权定价时，我们寻求求解foruA（t，x）=supτ∈TtE公司经验值(-r（τ- t） ）g（PX（τ））| X（t）=X,Tq={τ：Ohm → [q，T]|{τ≤ t}∈ 英尺，t型∈ [q，T]}。（7） （6）给出的欧式期权价格U也满足（t，x）中的Black-Scholes方程∈ [0，T]×D，-星期二（t，x）=- ruE（t，x）+Xiai（t，x）休（t，x）+Xi jbbT公司i j（t，x）xixjuE（t，x）uE（t，·）=g（P·），（8），具有适当的域D 例如，在Black-Scholes模型中，在X（t）的一个或多个分量为零的超平面上，我们有D=DdBS=Rd+和适当的Dirichlet边界条件。边界值由（8）的低维版本给出。