马尔可夫美式篮子期权的隐含止损规则

然后，由于引理2.7，∏基本上是一维的，并且只取决于篮值px（U（t））=exp(-r（t- U（t）））Py，即（30）∏=h（Py，U（t）- t、 U（t）- T）。因此，（29）和d（30）的组合意味着w（t，y）=exp(-r（T- t） ）Eh（Py，U（t）- t、 U（t）- T）,这意味着w只依赖于Py，这就是我们想要证明的。备注2.9（关于随机时钟的一般性）。我们注意到，在证明推论2.8时，我们允许随机时钟U相当一般。12 C.BAYER、J.H¨APP¨OL¨A和R.Tempone然而，我们注意到，对于具有不连续轨迹的随机时钟，Y的动力学变得不连续，因此Gy¨ongy引理不再成立。具有连续轨迹的U的一个例子是simpledu（t）=c+V（t）dt，U（0）=0，其中c>0，V是一维Ornstein-Uhlenbeck过程。备注2.10（关于stoc hastic clock增加的Bachelier模型密度）。在上面的讨论中，我们假设正向过程的密度未知。对于大多数stoc-hastic时钟过程的选择，这一假设将被违反。然而，我们仍然可以获得以随机时钟过程的值为条件的密度。因此，人们仍然可以评估预期波动率的值，引入额外的求积，并对随机过程的可能值进行积分。备注2.11（随机利率）。对于与价格过程无关的时间相关随机利率，可以采用与推论2.8中的随机时钟基本相同的程序，基本上对独立利率过程的可能值进行平均。对于其他模型，如Black-Scholes模型，无法保证为美式篮子期权定价的马尔科夫投影方法是准确的。

然而，在泰奇曼和其他人的早期作品中，在简单的r Europeansetting中已经指出了布莱克-斯科尔模型和巴赫尔模型的相似性。（Schach ermayer和Teichmann，2008；Grunspan，2011；Thomson，2016）2.3.3。其他模块尺寸减小。我们已经证明，美式篮子期权的价值函数只依赖于时间和BacelierModel中的一个状态变量。在这里，我们给出了一些特殊情况，在这些情况下，这一性质适用于更一般的随机模型。我们首先表明，维度的可还原性是一种现象，它纯粹源于系统的动力学，而不是期权的实际行使性质。利用这一结果，我们描述了Black-Scholes模型的某些参数化，这些参数化再现了与前一节讨论的Bachelier模型相似的降维行为。引理2.12（降维和早期练习的解耦）。如果一个d-dimensio nalSDE有一个本质上是一维的生成器L，那么对应的向后运算符H，对于美式值函数，（Hv）（t，x）=（Lv）（t，x）max（（Lv）（t，x），v（t，x）-g（x））>0（t，x）∈ [0，T]×基本上是一维的。证据首先，定义坐标旋转，Q，QTQ=1，这样投资组合值由转换坐标y=Qx中的第一个坐标给出，选择Q，使Q和p的第一行共线。

在这些坐标中，表示欧式值函数的Black-Scholesequation为-tu（t，y）=Ly（t，y）u（t，y），t、 数量∈ [0，T]×D，u（T，y）=g（y），数量∈ D、 （31）来自马尔可夫投影13的美式篮子期权隐含停止规则为了继续证明，让我们考虑百慕大价值函数vN，具有离散等间距监控时间，tj=jTN，0≤ j≤ N、 解决问题（Barraquand和Martinea u，1995）-tvN（t，y）=Ly（t，y）vN（t，y），t、 数量∈（ti，ti+1）×D，0≤ 我≤ N、 vN（T，y）=g（y），数量∈ D、 vN（ti，y）=最大值越南t+i，y, g（y）, 0≤ 我≤ N、 数量∈ D、 （32）终值g（y）基本上是一维的，根据L的假设，我们知道vN（t，y）基本上是t的一维∈（tN-1，tN）。因此，函数vn（tN-1，y）是两个仅依赖于y坐标的基本一维函数的最大值。因此，我们可以得出结论yjvN（tN-1，y）=0，j>1，数量∈ D（33）和，通过对所有后续间隔（ti）使用相同的参数-1，ti），我们有yjvN（t，y）=0，j>1，数量∈ Dt型∈ [0，T]。（34）美式期权价值函数v-tv（t，y）=Hy（t，y）v（t，y），t、 数量∈ [0，T]×D，v（T，y）=g（y），数量∈ D、 其中，HY是（9）中定义的操作员的y坐标表示。v表示Ber mudan值的极限值，函数为运动次数N，10 ds到单位：v（t，y）=limN→∞vN（t，y），t、 数量∈ [0，T]×D.（35）将（34）和D（35）的组合产生yjv（t，y）=0，j>1，数量∈ Dt型∈ [0，T]，这是证明的结论。我们已经看到，Bachelier模型是一个例子，其中哈密顿算符H本质上是一维的。接下来，我们继续其他随机模型的例子，其中发电机基本上是一维的，保证了美式期权价值函数的降维。2.3.4。布莱克-斯科尔斯模式l。

接下来，我们将重点放在Black-Scholes模型本身，并检查它在马尔可夫投影下是如何发生的，以及该模型是否存在本质上是一维的参数化。首先，让我们说明与Black-Scholes模型相对应的相关Black-Scholes PDE（6）：-tw（t，x）=-rw（t，x）+rxixixixiw（t，x）+Xi jOhmi jxixjxixjw（t，x）{z}≡（LBSw）（t，x），t∈ [0，T]，x∈ DdBS，w（T，·）=g（P·），（36），其中对称matr ix，Ohm ∈ Rd×d被理解为与波动率矩阵相对应的qu-adratic形式，∑∈ 方程式（4）的Rd×k，Ohm =∑∑T。d域为asD=DdBS=Rd+14 C。拜耳，J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONERemark 2.13。Black-Scholes模型参数化的一个简单示例，对于该模型，值函数本质上是一维的，即当投资组合权重除1外为零，P=[1，0，0，…，0，0]时的情况。对于这样一个投资组合，我们可以编写一个一维的PDE来描述剩余成本函数。对于Black-Scholes模型的任意组合weig hts，P，备注2.13肯定不适用。然而，我们可以应用坐标变换将投资组合权重转换为备注2.13中的特定选择。如果得到的transformedPDE是m（36）的，这足以表明值函数本质上是一维的。下面，我们将对此进行演示，并给出一类特殊的参数化，对于这些参数化，转换是可能的。对于其他参数化，我们不认为这些参数化可以接近于对数正态分布的参数化。关于从多元对数正态分布逼近变量线性组合的讨论，我们请读者参考Mehta et al。

（20 07）。我们使用引理2.12的pro的坐标变换Q旋转Black-Scholes方程（36）的坐标。我们有LBS，yu（t，y）=- ru（t，y）+rXiklQkiQilykylu（t，y）+Xi jklmnOhmi jQkiQl jQjmQinykylymynu（t，y），t∈ [0，T]，数量∈ DdBS。由于变换矩阵Q的正交性，一阶算子r简化了toXiklQklQil |{z}=δikykylu（t，y）=西仪yiu（t，y）。然而，在一般情况下，变换后的二阶项不采用（36）中给出的m。用时态化的形式写Ohmi jQkiQl jQjmQinykylymynu（t，y）=Γklmnykylymynu（t，y）（37）我们得到了Γ在一般的非对角项中，耦合了yk和yltoymynu fo r{k，l}，{m，n}。写二阶项的另一种方法是isTrOhm诊断数量QT（Hu）Q诊断数量.利用这一结论，我们给出了Black-Scholes模型的一类p参数化的一个特殊例子，对于该模型，二阶项具有对角结构，因此生成器LBS本质上是一维的。推论2.14（当q值形式具有相等元素时，Black Schole模型的有效一维性）。（36）中的二次型满足的Black-Scholes模型Ohmi j=1的C≤ i、 j≤ d有一个基本上是一维的生成器。MARKOVIAN PROJECTION 15Proof中美式篮子期权的隐含止损规则。证据是直接的。

写出二阶项（37），我们得到了jklmnOhmi jQkiQl jQjmQinykylymynu（t，y）=CXiklmnQkiXjQl jQjm|          {z}δlmQinykylymynu（t，y）=CXklmnδlm西奇琴|         {z}δknykylymynu（t，y）=CXklmnδknδlmykylymynu（t，y）=CXklykylykylu（t，y）。我们已经演示了BlackScholes模型有一组非平凡的参数化，因此相应的生成器基本上是一维的。对于本质上不是一维的参数化，我们仍然注意到上下界（21）和（25）仍然成立。然而，没有先验的理由相信它们是一致的。在下一节中，我们评估了一系列参数的界限，并认为这些界限通常足够接近，可以得到期权价格的实际估计值。这是由于多元Black-Scholes模型一方面被一元Black-Scholes模型很好地逼近，另一方面被多元Bachelier模型逼近。我们在上面已经确定，马尔可夫投影在多元Bachlier模型和单变量Black-Scholes模型中都适用于定价。我们证明了这个性质作为一个很好的近似，可以推广到多变量Black-Scholes模型。3、数值实现在这里，我们给出了我们所提出方法的数值实现。首先，我们在第3.1节中描述了用于评估相关PDE（18）指数系数的方法。我们在第3.2节中简要介绍了预测HJB方程的解，并在第3.3节中介绍了使用前向Euler蒙特卡罗模拟评估上下限的方法。

最后，我们在第3.4节中讨论了数值方法中产生的错误，并在第3.53.1节中将所提出的方法应用于相关的Bachelier和Black Scholes模型。本地波动性评估。到目前为止，我们已经讨论了如何评估（13）中的局部预计波动率b（x）的问题。在本节中，我们首先在第3.1.1节中描述了如何有效地评估预测波动率b（x）定义中涉及的高维积分。第3.1.2.16节C.BAYER、J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONE3.1.1中的插值方案支持此讨论，该插值方案用于将B（x）的逐点计算扩展到投影域D中。拉普拉斯近似值。为了近似uAwithuA，我们必须有效地评估涉及高维积分的条件期望（12）和（13）。对于金融应用和期权定价中最感兴趣的风险中性情况（2），漂移部分将简单地预测asa（x）（t，s）=E[Pa（t，x（t））| PX（t）=s，x（）=x]=E[P（rX（t））| PX（t）=s，x（）=x]=rs。对于波动性，b（x），我们采用拉普拉斯ap近似，基本上，通过找到相关单峰被积函数的一个极值点，并在该极值点周围应用二次或二次逼近。沿着这条线，我们做出以下假设。假设3.1。我们假设从xto yφ（y；x）φ到Rd的跃迁密度→ Rcorrespo nding to the process（1）是0的平滑函数≤ t型≤ T，这是非常清楚的。这种近似的精确实现可以通过多种方式完成，但基本原理保持不变。这些方法中的一些允许放宽假设3.1。下面我们概述了假设成立时的拉普拉斯近似。

有关拉普拉斯近似使用的更详细说明，请参阅readerto Shun和McCullag h（1995）以及Goutis和Casella（1999）。设γ（s）=E[ψ（X（t））| PX（t）=s，X（）=X]，其中ψ（X（t））∈ L（R）。然后，该条件期望满足[ψ（X（t））θ（PX（t））| X（）=X]=Eγ（PX（t））θ（PX（t））| X（）=X,（38）对于所有θ，如tθ（P·）∈ L（R）。取（38）θh（x）=h2 | x-s |<h对于h>0和lettingh→ 0+上一个恒等式的左侧成为超平面elimh上的曲面积分→0+E[ψ（X（t））θh（PX（t））]=ZPx=sψ（X）φ（X；X）dA（X），其中dA表示hyperp车道的不同元素。对于右侧，我们有类似的LimH→0+Eγ（PX（t））θh（PX（t））= γ（s）ZPx=sφ（x；x）dA（x）。设置ψ（·）=PbbTPT（t，·）并求解（38）中的γ（s），我们得到b（x）（t，s）=RRd-1φ（x（z）；x）PbbTPT（t，x（z））dzRRd-1φ（x（z）；x） dz，（39）其中，我们将x的第一个变量视为从属变量，xi（z）=zi，i>1，x（z）=（P）-1.s-dXj=2P1 jzj.强调我们在Rd中工作，而不是可能有界的do main D，我们使用拉普拉斯近似来逼近（39）中的积分。

我们通过以最大配置z为中心的适当高斯函数，从马尔可夫投影17被积函数中重新计算了美式篮子期权的统一停止规则*∈ 研发部-1和z∈ 研发部-1、通过exp（f）表示被积函数，并利用Hessian H f的负不确定性，我们可以通过将被积函数的对数f展开来近似被积函数，如下所示。ZRd公司-1exp（f（z））dz≈ZRd公司-1expf（z*)+（z）- z*)T（H f）（z*) （z）- z*)!dz=exp（f（z*))s（2π）d-1det |（H f）（z）*)|.（40）我们对（39）和getRRd的分母和分子采用相同的近似值-1exp（f（z））dzRRd-1expf（z）dz公司≈ 经验值f（z*)-fzvtdet公司Hf（z）)详图|（H f）（z）*)|≡b（t，s），（41），其中▄f（z）=对数（φ（x（z））；x） ）f（z）=对数φ（x（z）；x） PbbTPT（t，x（z））和z和z*分别是f和f的临界点。在实践中，通过将已知积分f扩展到二阶并应用牛顿迭代格式z（n+1），可以快速找到临界构型=H、fz（n）-1. fz（n）.（42）迭代快速收敛到一个极值点，通常在几十次迭代内，允许快速计算。注意，对于Black Scholes模型，密度φ包含一个二次项，这使得牛顿迭代法对（42）中初始配置z（0）的选择非常稳健。我们注意到，对于过程密度为正态或对数正态的情况，近似值相当简单，即原始过程（1）对应于Bachelier或Black-Scholes模型。拜耳和L aurence（201 4）使用热核近似（例如，见Yosida（1953））考虑CEV模型的跃迁密度。关于拉普拉斯近似精度的数值结果，我们参考附录A，其中讨论了二阶展开式坐标的备选选择及其各自的精度。3.1.2。

外推插值到投影d域。为了求解（18）中的预测成本函数uA（t，s），我们使用上面介绍的拉普拉斯e近似来评估域D中几个点的预测局部波动率。我们将这些值扩展到截断域，在截断域中我们求解低维al方程（18）。由于预测波动率b（x）的平稳行为，我们只需要相对较少的评估次数就可以获得较高的准确性。然而，为了验证最终的预计成本函数ua确实是ua的一个良好近似值，使用上下限需要蒙特卡罗模拟，这通常比预计后向问题的解决方案（44）成本更高。为了评估预测波动率b（x），我们生成了原始过程（1）轨迹的一个小蒙特卡罗前向Euler样本，x（tn，ωi），0≤ 田纳西州≤ Ntand18 C.BAYER、J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONE280 300 320 340380 4001000150020002500s（A）三维Black-Scholes模型的三阶多项式插值。每条红线对应于从0到T=的一个时间瞬间，并通过蓝十字表示的一组相应的评估回归得到。0.20.4ts（b）3-1维示例（56）高可能性区域内预测动态的局部波动率。有关相应的隐含波动率，请参见图2（b）图1。（41）中定义的预测波动率b（t，s）及其在3-1维Black-Scholes模型中的空间和时间插值（56）。