马尔可夫美式篮子期权的隐含止损规则

在图中，绘制的是密度的基本支持范围，该范围随着t的增加而扩大。1.≤ 我≤ M代表M≈ 100，并评估基本支持-（tn），S+（tn）]满足性的篮子流程-（tn）=miniPX（tn，ωi）0≤ n≤ Nt，1≤ 我≤ M、 S+（tn）=最大IPx（tn，ωi）0≤ n≤ Nt，1≤ 我≤ M、 （43）我们选择了几十个间隔等距的点-（tn），S+（tn）]f或每个时间步tn和cr为每个时间实例创建多项式f orb（x）。备注3.2。我们注意到，只有在PX（t）密度不可忽略的区域内，预测的波动率才能可靠地进行评估。在最极端的情况下，在初始时间，PX（）的密度集中在一个点上。实际上，适当的福特领域具有图1（b）所示的示意图形状。然而，我们对一个矩形域[0，T]×D进行了评估，并将局部波动性外推到整个角度。在进行外推时，我们为b（x）toguaran tee反向解算器中的数值稳定性。注意，包络线（43）仅用于粗略估计PX（t）的概率质量为0的位置≤ t型≤ 它对数值解有非常间接的影响。与第3.3.3.2节中讨论的上界和下界d的正向Euler解相比，在（43）中投入的时间步长n和样本M的结果数很小。数值函数。

一旦我们通过整合（39）中的近似预测波动率来确定插入式外推的近似预测波动率b，我们就可以确定求解（18）的价值函数的有限差分近似值ua。基于有限差分算子的马尔可夫投影19美式篮子期权隐含止损规则Lu公司（t，sn）=b（t，sn）2s+rsn2su（t，sn-（1）-r+~b（t，sn）su（t，sn）+b（t，sn）2s-rsn2su（t，sn+1），1<n<Ns，平行于（Merton et al.，1977，方程（12）），其连续对应于rt isLof（16），我们使用稳定的后向Euler格式，uAt+n-1，sm=uA（tn、sm）+Lu公司t+n-1，smtn，1≤ n≤ Nt，1≤ m级≤ Ns、uA（tn-1，sm）=最大值uA公司t+n-1，sm, g（sm）, 1.≤ n≤ Nt，1≤ m级≤ Ns，uAtNt，sm= g（sm）1≤ m级≤ Ns，（44）与支付函数uA（tn，s）=g（s），uA施加的特殊Dirichlet型基本条件（见备注2.2）tn、sNs= g级sNs公司（45）和均匀间隔、时间独立的网格sm=ms、 边界条件h的选择已在变分设置中讨论（Feng等人，2007年，第316页）。上界SNS应根据当前问题的漂移幅度和波动性来选择。随后，使用低阶插值函数将逐点值函数扩展到（36）的整个域，允许评估离散的早期运动区域X=n（tn，sm）：0≤ n≤ NT，1≤ m级≤ Ns，uA（tn，sm）=g（sm）o（46）类似地，对于（26）给出的对偶边界的构造，我们使用uA的有限差分（等式（44））近似导数sofua（等式（36））。3.3。正向欧拉近似。

解决后向欧拉方案（44）的离散美式看跌期权价值意味着相应的离散早期行使区域（46）。为了验证离散期权价值ua所隐含的即时行权边界的准确性，作为ua中行权边界的近似值，并为期权价格设定置信区间，我们使用基于（正向）Euler Maruyama的蒙特卡罗模拟来评估方程（21）和（26）中的上下限。资产价格的数值时间步长X（t）是均匀网格上的d 1。将总时间步数设置为与（44）中定义的有限差分近似中使用的时间步数一致，避免了时间插值的需要。如上所述，我们使用（1）的以下离散化：X（tn+1）=X（tn）+rX（tn）tn+btn，X（tn）W（tn），0≤ n<Nt，X（t）=X，（47）20 C.拜耳，J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONEwithtn=tn+1- 特南德W（tn）=W（tn+1）- W（tn）~ N（0，tn+1- tn）和时间步数Nt。

相应地，我们得到一个近似值（23）asZ（tn）=exp(-rtn）gPX（tn）, 0≤ n<Nt。（48）我们使用相同的基本布朗运动来生成资产的近似曲线，以及（2 6）中用于构造期权价格上界的变量R的近似值：R（tn+1）=R（tn）+exp(-rtn）uA公司Ttn，PX（tn）btn，XtW（tn），0≤ n<Nt，R（）=0。（49）使用离散近似（47）和（49），我们可以估计a n上界a+，和a n下界a-, 对于期权价格，uA（0，X（）），使用M i.i.d样本的样本平均值，名称为a+M，Nt=MMXi=1u+（ωi），u+=max0≤ j≤Nt公司Ztj公司-Rtj公司（50）安达-M、 Nt=MMXi=1u-（ωi），u-= 经验值-rτg级PXτ,指数。（tn）=最大n1≤ m级≤ Ns：（tn，sm）∈指数。oτ=最小值0≤ j≤ Nt：PXtj公司≤ 指数。（tn）.（51）为了估计价格边界离散化近似中的偏差，我们对蒙特卡罗样本进行了基因评级，并根据不同的n值对所得刺激因子之间的差异进行了估计，A+M，2Nt- A+M，Nt和A.-M、 第2个- A.-M、 Nt公司. 关于使用For ward Euler方案评估命中时间s作为等式（51）中的击中时间s的讨论，我们参考Buchmann（2003）；拜耳等人（2010年）为了加速边界的计算，我们注意到使用多水平估计器代替（51）和（50）中的估计器的可能性（Giles，2015年）。这超出了这项工作的范围。在第3节中。5，我们给出了一组选定的测试用例，我们对其评估了估计量（50）和（51）。我们特别关注多元Black-Scholes假设，该假设既相关又非平凡，且满足假设3.1。我们研究的BlackScholes模型的参数化本质上不具有一维值函数的特征，当方法的准确性无法事先保证时，可以将其作为我们方法的测试用例。

然而，使用上下限，我们可以分析方法的准确性并验证其准确性。出于验证目的，我们对恒常性Bachelier模型进行了测试，其中马尔可夫投影精确地反映了美国期权价格。MARKOVIAN PROJECTION 213.4中美式篮子期权的隐含止损规则。误差分解。在进一步进行数值示例之前，我们简要总结了价格边界数值解中产生的误差，将总误差分解为其组成部分。表示（50）和（51）asA的估计值±∞,∞= 新界利姆→∞A±M，Nt，我们的期权价格已达到令人满意的水平-∞,∞≤ uA（0，x）≤ A+∞,∞.在实践中，我们依赖基于有限M和Nt的估计量。间隙的大小A+∞,∞- A.-∞,∞由引起下一次停止时间（20）的近似值函数以及对偶鞅M决定。通常，不可能找到近似值函数，使其接近真实解。此外，即使存在良好的一维近似，我们也依赖于近似积分公式来恢复它。因此，对于一般模型，我们无法控制方法的误差和间隙的大小A+∞,∞- A.-∞,∞. 然而，我们感兴趣的是选择数值参数，以便对该间隙的大小作出可靠和有用的估计。在+∞,∞和A-∞,∞, A±∞,∞以及相应的估计量A±M，NTI。下面，我们概述了导致这些差异的数值模拟。

除了近似τ所隐含的基本误差*在（19）和（20）的τ+中，有四种主要的数值方法用于该过程，每种方法都会产生不同的误差分量。这些是：（1）由于样本数s、M、in（50）和（51）的有限而产生的统计误差，（2）前向欧拉近似中引入的步长偏差（47），（3）解的离散化误差，导致早期运动区域的不精确近似和（49）（4）中的灵敏度。在评估（40）中投影动力学的积分效率和相应的后向解时，拉普拉斯近似误差。注意到时间步进方案的选择意味着时间和空间离散化步骤数Nt和Ns之间的最佳依赖性，并且使用最佳Ns，我们扩展了估计量A的符号-和A+toA±M，Nt=A±M，Nt，Nt，~b，其中第一个ntr指的是for ward Euler时间步数，而后者指的是反向解算器中的相应步数。利用三角不等式，我们分解A±∞,∞- A±M，Nt=A±∞,∞,∞,b（x）- A±M，Nt，Nt，~b≤A±∞,∞,∞,b（x）- A±∞,∞,∞,b+A±∞,∞,∞,b- A±∞,∞,Nt，~b+A±∞,∞,Nt，~b- A±∞,Nt，Nt，~b+A±∞,Nt，Nt，~b- A±M，Nt，Nt，~b.对于拉普拉斯误差A±∞,∞,∞,b（x）- A±∞,∞,∞,b, 没有简单实用的方法来控制错误。我们通过附录A中所示的数值实验来估计误差。所有其他成分都得到了很好的定义，可以在各自的数值方法中使用标准参数进行控制。首先，关于工厂22 C.拜耳、J.H¨APP¨OL¨A和R。

TEMPONE公司-3.-2.-1NtN-TXmaxτa（a）预期命中时间（τa，绿色）收敛到早期运动区域，以及间隔0上的预期最大值（Xmax，蓝色）≤ t型≤对于一个三维相关BlackScholes模型（56），沿着-t参考线（虚线）。280 290 300 310 3209·10-20.10.110.12KT=0.10T=0.20T=0.30T=0.40T=0.50（b）美式看跌期权的隐含波动率，对应于预测的三维Black-Scholes模型（56）的局部波动率。当预测动态给出局部波动率时，σimp.的每个值为其各自的执行价格K生成美式期权价格的期权价格。图2：。样本量，我们可以在给定置信参数的情况下，利用中心极限定理（CLT），并通过增加样本量来控制概率统计误差，（52）A±∞,Nt，Nt，~b- A±M，Nt，Nt，~b= OP公司M-.对于时间离散化参数，对于ba c kward Euler方法，我们将Nsin（44）设置为Ns=cNt，从而导致离散化误差，A±∞,∞,∞,b- A±∞,∞,Nt，~b= ON-1吨.（53）最后，为了模拟（26）中对偶鞅的极值点以及UA所暗示的进入早期练习区域的击中时间，我们有A±∞,∞,Nt，~b- A±∞,Nt，Nt，~b= ON-t型,（54）如图2（a）所示。这项工作的新贡献是使用预测过程来确定真正定价问题（7）的混合行使策略，使用解决的预测值函数（18）。在以下各节中，我们希望证明th isapproa c h的可行性，并测量产生的误差，选择参数，使误差（52）、（53）和（54）与使用代理过程及其使用拉普拉斯近似的近似评估所暗示的误差相比较小。

我们将在下一节中继续执行此操作。3.5。示例。本节展示了我们提出的一篮子美式看跌期权定价方法的性能。首先，我们使用第3.5.1节中的50维单声道模式l来验证我们的结果。在验证了我们的数值实现再现了基于引理2.7的预期结果后，我们继续在第3.5.2-3.5.4节的多元Black-Scholes模型中应用该方法。MARKOVIAN投影中美式篮子期权的隐含止损规则23Nt（a）上限a+128000，Nt（蓝色）和下限a-128000，Nt（绿色），对于不同时间步数的美国认沽价格，Nt，在前向欧拉离散化中。误差范围对应于95%的置信水平。关于置信区间相对宽度的对应行为，见图3（b）。-4.-3.-2.-1Nt（b）相对于图3（a）中所示测试用例的货币下的基础期权价格的误差界限距离。不确定度的估计值是由3（a）中给出的上限和下限以及两者的统计误差和偏差估计值组合而成。图3：。第3.5.1节中描述的Bachelier模型的上下界的收敛性，以及由此产生的美式期权和货币期权的相对误差。3.5.1。美国人以单身汉的模式坐在篮子上。在此，我们希望验证（44）近似值函数的有限差分解算器的数值实现，以及相应的蒙特卡罗估值器（51）和（50），分别用于上下两个货币。我们研究了Bachelier模型中50维美式看跌期权的解（见等式（2）和（3））。作为我们的即时测试案例，我们将重点放在到期日T=的资金投入上。

为了保证有一个非平凡的紧急锻炼区域，我们设定了相对较高的利率r=0.05。我们为所有资产1选择一个上对角线∑，其中元素∑ii=20≤ 我≤ 50，并从标准正态分布中画出对角线分量∑i j，j>i。模拟资产动态X，用于一系列时间离散化，Nt=1000×2k，4≤ k≤ 1 1，我们观察到，随着Ntin的增加，uA（0，x）的上限和下限之间的差异变得可以忽略不计。图3（a）显示了收敛界的这种行为，以及上界e估计量a+的统计误差，它远远被下界估计量a的相应统计误差所掩盖-. 实际上，随着正向模拟中时间步数的增加，我们看到上界与下边界的置信区间相交，导致方法d.24 C.拜耳、J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONE3.5.2的相对误差低于1%。3-1维Bla-ck-Scholes模型。作为Black-Scholes模型的第一个测试参数化，我们考虑了相关三维Black-Scholes模型的情况（见等式s.（2）和（4））。我们将波动率函数分解为单个波动率σ和资产收益的相关结构。我们用G表示对数回报（55）∑i j=σiGi j的相关矩阵的CholeskyDecomposition。我们设置测试用例的数值参数tor=0.05，σ=（0.2，0.15，0.1）T，GGT=1 0.8 0.30.8 1 0.10.3 0.1 1,（56）和等权重资产组合TSP=[1，1，1]，（57）作为高短期利率环境中三种中等相关资产的代表性测试案例。

如图1（b）和2（b）所示，预测的局部波动率具有明显的偏斜。我们在portfo lio密度显著偏离零的区域内的几个dozennodes网格上评估拉普拉斯近似预测波动率b。在该网格上执行回归到三次多项式可以得到图1（a）中的c损失资产。三阶近似法还允许我们将预测波动率的评估扩展到拉普拉斯近似法适用的领域之外。此外，低阶多项式对预测波动率的系数可以通过常数或时间的线性ar函数很好地近似。这意味着在很大的时间内，我们可以求解预测的波动率b（x），特别是在时间上稀疏，并且仍然存在可接受的插入误差。为了评估该方法的准确性，我们将重点放在一组T=的看跌期权上，并报告了约0.5%的相对数值精度。有关价格结果和相应的活动误差，请参阅图4。MARKOVIAN PROJECTION美国篮子期权的隐含止损规则25270 280 290 300 310 320 330-1K（a）欧洲（蓝色）和美国（绿色）期权价格，使用前向欧拉蒙特卡罗近似和基于预测波动率的停止规则以及鞅界。270 280 290 300 310 320 330-3.-2.-1K（b）在不同货币范围内，使用前向欧拉蒙特卡罗近似法评估美国（绿色）和欧洲（蓝色）期权价格时的相对误差。在高打击时，Kwe观察到轻微的停止时间Pτ+=0= 1、图4。测试案例（56）的欧洲和美国看跌期权价格以及相应的相对误差。