马尔可夫美式篮子期权的隐含止损规则

为了比较解算器，使用相同的空间和时间网格、样本大小和蒙特卡罗实现数来解算欧洲和美国选项。0.20.4st（a）3-1维投影问题的美式值函数的有限差近似值（56）。请注意，值函数的值仅用于确定早期执行边界，除了在s=300、t=0.0 0.1 0.2 0.3 0.40.5t（b）点外，没有任何实际解释，对于货币认沽期权，成熟度t=0.5的3到1维预测问题（56）的早期执行边界的数值差异近似值。如图1所示，预测波动率下降导致轻微扭结att<0.05。图5：。3-1维Black-Scholes示例（5-6）的值函数和相应的早期练习边界。26 C.BAYER、J.H¨APP¨OL¨A和R.TEMPONE980 1000 1020 1040K（A）欧洲（蓝色）和美国（绿色）在T=0.5的10维Black-Scholes测试案例（58）中的看跌期权价格，使用前向Euler-Monte Carlo近似和基于预测波动率的停止规则以及鞅界。980 1000 1020 1040-3.-2.-1K（b）使用不同货币范围的前向Euler-Monte Carlo近似法评估10维Black Scholes模型（58）的美式（绿色）和欧式（蓝色）期权价格的相对误差。图6：。10-1维BlackScholes模型（58）上下界的收敛性以及由此产生的相对误差。如图4所示，使用相同的数字参数来求解欧洲和美国的价格，以便进行比较。3.5.3。10-1维Black-Scholes模型。接下来，我们考虑一个类似于（56）的示例，将维数增加到10。

继续分解（55），我们设定r=0.05，σi=0.125，1≤ 我≤ 10，GGT=1 0.2 0.2 0.35 0.2 0.25 0.2 0.2 0.2 0.3 0.20.2 1 0.2 0.2 0.2 0.125 0.45 0.2 0.2 0.450.2 0.2 1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.45 0.20.35 0.2 0.2 0.2 1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.5 0.35 0.20.2 0.45 0.2 0.2 0.2 1 0.2 0.2 0.2 0.20.2 0.45 0.2 0.2 0.2 0.2 1 0.2 0.2 0.2 0.20.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 1 0.2-0.10.3 0.2 0.45 0.425 0.5 0.35 0.2 0.2 1 0.20.2 0.45 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2-0.1 0.2 1.（58）我们评估了一系列具有不同货币性的看跌期权，这些看跌期权用于同等权重的资产组合，即我们为所有指数设置P1i=1。以前，我们观察到相对准确度只有几个百分点，相对误差随着金钱的增加而减少。与前一种情况一样，在极度有钱的情况下，我们注意到在初始时间进行练习的趋势，导致估计值的方差下降，随后出现相对误差，如图6所示。图7（b）说明了10维情况下美式a和欧元期权价格不确定性的行为，以及时间步数Nt的函数。MARKOVIAN投影中美式篮子期权的隐含止损规则27Nt（a）价格不确定性作为美式期权（蓝色）和相应欧洲期权（绿色）的10维Black-Scholes模型的时间步数Ntf的函数-3.-2.-1Nt（b）估计美国（蓝色）和欧洲（绿色）期权价格的相对误差。图7：。10维Black-Scholes模型（58）中的价格不确定性，在正向Euler-monte Carlo中，时间步数可变。3.5.4。25-1维Black-Scholes模型。最后，我们考虑了一个高维的情况，这肯定是大多数偏微分方程解算器无法解决的。

我们选择拜耳等人（2016）考虑的25维GBM。对于其余参数，wesetXi（）=100，i∈ {1，2，…，25}r=0.05，（59），并使用相等的投资组合权重来评估期权，P1i=1，i∈ {1，2，…，25}。在25维模型中，我们继续观察到到期日为t=的篮子看跌期权的预计停止规则的相对误差的百分之二十的数值表现，以及明显超过该方法准确性的早期行权溢价。图8（a）和图8（b）分别给出了美国和欧洲期权的期权价格估计结果以及相应的误差范围。为了证明我们的方法对特定参数选择的一致性和鲁棒性，我们使用不同的投资组合权重多次重复运行。这些重复试验的结果如图9所示。我们不认为，尽管我们尚未证明一般多变量模型的渐近收敛性，但用一维停止规则近似真实问题会得到一致的结果，其结果可与最具吸引力的美国指数期权的买卖价差相媲美，并且远低于流动性较差的地区a l指数和跟踪m的TFS。我们还注意到，美国看跌期权价格的相对准确度在关键的货币内地区最高，在这一地区，违反看跌期权平价的情况最为严重。结论在这项工作中，我们证明了在一篮子货币期权定价框架中使用马尔可夫投影的实用性。在实施28 C.拜耳、J.H¨APP¨OL¨A和R。

Tempone24002450 2500 2550 2600K（a）欧洲（蓝色）和美国（绿色）25维Black-Scholes测试案例在第3.5.4节T=0.5时的认沽期权价格，使用前向Euler-Monte Carlo近似和基于预测波动率的停止规则以及鞅界。24002450 2500 2550 2600-3.-2.-1K（b）使用不同货币范围的前向Euler-Monte Carlo近似法评估25维BlackScholes模型的美国（绿色）和欧洲（蓝色）期权价格的相对误差。如前图4和6所示，美国和欧洲选项均使用相同的数值参数。图8：。25-1维BlackScholes模型上界和下界的收敛性以及由此产生的相对误差s.235024002450 2500 2550 22002650k235024002450 2500 2550 2600 2650-3.-2.-1K图9。美国p ut价格（9（a））和相应的相对误差（9（b）），43个独立的兰德公司在25-1维Black-Scholes模型上评估美国p ut的代表，该模型有258个Varyngstrike，K.的单独期权价格估值。除了拜耳等人（2016）测试问题的随机结构以及参数（59）和T=，我们还随机化portf olio权重。对于每个ru ns，我们从n个统一分布U[，]中分别选择p1i指数，并最终缩放权重，使其在xi=1P1i=25。美式篮子期权的隐含停止规则从数字样本的马尔可夫投影29中，我们分析了BlackScholes模型的明确已知密度，以及Bachelier模型的具体结构。

利用知识性，我们设计了一个Lapla c e近似值来评估马尔可夫预测过程的波动性，该过程描述了篮子的预测和近似动态。我们已经证明，对于Bachelier模型，马尔可夫投影会产生精确的预测期权价格，即使在考虑具有路径依赖的期权时也是如此。我们还展示了成本函数的消失导数是如何体现过程动力学的，而不是期权的早期行使性质。利用这一结果，我们证明了Black-Scholesmodel的非平凡特征的存在，即re本质上是低维的。利用马尔可夫投影和拉普拉斯近似，我们实现了多元Black-Scholes模型各种参数化的低维近似。通过数值实验，我们已经表明，这些近似在评估一篮子美式期权的价格时表现得出奇地好。我们将这些结果作为Black-Scholes模型的一个主要站，用相应的Bachelier模型来近似。使这些结果与许多早期工作不同的是，我们在Black-Scholes模型中近似一篮子资产的完整轨迹，而不仅仅是瞬时回报。迄今为止，用于解决此类问题的主要方法是最小二乘蒙特卡罗方法，该方法与我们提出的方法具有一些共同的属性。

与最小二乘蒙特卡罗法不同，我们提出的方法不依赖于选择用于评估期权持有价格的基本要素，而只依赖于我们评估预测动态的方向或方向。我们的结果为未来的发展打开了大门，包括将当前的研究扩展到GBM模型之外的模型。我们使用正向模拟验证了停止规则的准确性。这项工作的一个可能扩展是使用远期样本来评估预计的波动率，这是Guyon（2015）在校准相关结构时使用的一种方法。由于我们方法中唯一的非受控错误是在评估局部挥发度b（x）时产生的偏差，因此，在不引入偏差的情况下有效实施此类评估的可能性将非常有用。从理论上看，我们的工作提出了这样一个问题：如果投影维数增加，近似是否会改善。在这项工作中，我们的目的并不是演示如何使用马尔可夫投影模型来评估隐含的停止时间。在这样做的过程中，我们的目的并不是为了尽可能提高计算效率，在这一领域存在着许多进一步优化的可能性。就收敛阶而言，计算的瓶颈是前向Euler模拟以及随后对SDE实现的最大值和命中次数的评估。这些蒙特卡罗方法可以通过自适应性、多级方法、准蒙特卡罗（Birge，1994；Joy等人，1996）或分析ap近似来增强。

同样，数值解算器的优化也有可能使用高度优化的反向解算器来评估值函数（Khaliq等人，2008）。关于将投影扩展到更高维度以允许早期练习边界的更高维度近似的可能性，我们请读者参考（Hager等人，2010）。我们还注意到使用二叉树方法的可能性（Joshi，2007），该方法自然考虑了预测PDE的域形状。我们专注于市场上广泛报价的同类型期权在商业上最相关的应用。对于二元期权的情况，分析仍然存在30 C.BAYER、J.H¨APP¨OL¨A和R.Temponesame，只有支付变化的函数形式。研究马尔可夫项目动力学在定价其他路径依赖型期权（如亚洲期权和敲打期权）方面的表现也很有意义。假设能够有效评估与这些状态变量对应的预计波动率，则可以研究更一般的支付函数。我们感谢欧内斯托·莫德·埃基教授和法比安·克罗切教授的反馈，他们的反馈大大改进了这份手稿。吉利斯·丹尼尔森提供了非常有价值的从业者观点。参考Sachdou，Y.和Piro nneau，O.，期权定价的计算方法，2005年，暹罗。Ametrano，F.和Ballabio，L.，QuantLib-一个免费/开放的定量金融资源库，2003年，Andersen，L.B.，多因素Libor市场模型中百慕大掉期期权定价的简单方法。SSRN 155208、199 9提供。Bally，V.，Printems，J.等人，多维美式期权定价和套期保值的量化树方法。数学杂志，2005年，第15119-168页。Barraquand，J。

和Martineau，D.，高维多变量美国证券的数值估值。《金融与定量分析杂志》，1995年，第30期，第383–405页。Bayer，C.和Laurence，P.，《Carlo上的渐近性：相关本地卷篮的情况》。《纯粹数学与应用数学交流》，2014年，第67期，第1618–1657页。拜耳（Bayer，C.、Siebenmorgen，M.和Tempone，R.，平滑了一篮子期权价格的支付效率计算。arXiv预印本arXiv:1607.05572，2016。Bayer，C.、Szepessy，A.和Tempone，R.，反射和停止差异的自适应弱近似。蒙特卡罗方法与应用，2010年，1月6日，1-67日。Belomestny，D.、Dickmann，F.and Nagapetyan，T.，通过多级近似方法对百慕大期权进行定价。《暹罗金融数学杂志》，2015年，6448–466。Birge，J.R.，期权定价的准蒙特卡罗方法。安娜堡，1994，100148109。Black，F.和Scholes，M.，《期权和公司负债的定价》。《政治经济杂志》，1973年，第637-654页。Broadie，M.和Glasserman，P.，使用模拟为美式证券定价。《经济动力学与控制杂志》，1997，21，1323–1352。Buchmann，F.，用Euler格式计算退出时间。在Seminarf–ur Angewandte Mathematik会议录中，Eidgen–ossische Technische Hochschule，2003年。Choi，S.和Marcozzi，M.D.，美国货币期权估值的数值方法。《衍生品杂志》，2001年9月19日至29日。Cont，R.，《资产回报的经验性质：现实事实和统计问题》。定量金融，2001年，1223–236。Cox，J.，期权定价注释I：方差差异的恒定弹性。Unp PublishedNote，斯坦福大学商学院，1975年。Djehiche，B.和L–ofdahl，B.，残疾保险中的风险聚合和随机索赔准备金。

《保险：数学与经济》，2014，59100–108。Fama，E.F.，股票市场公关行为。《商业杂志》，1965年，第38期，第34-105页。马尔可夫投影中美式篮子期权的隐含停止规则31Feng，L.、Kovalov，P.、Linetsky，V.和Marcozzi，M.，《衍生定价中的变分方法》。运筹学和管理科学手册，2007，15，301–342。Giles，M.B.，多层蒙特卡罗方法。数字学报，2015，24259。Glasserman，P.、Yu，B.等人，《美式期权定价中的路径数与基函数数》。《应用概率年鉴》，2004，14，2090–21 19。Goutis，C.和Casella，G.，解释鞍点近似。《美国统计学家》，19953216-224。Grunspan，C.，关于N正态和对数正态隐含可用性之间等价性的说明：无模型方法。SSRN 18946522011提供。Guyon，J.，交叉依赖波动率。可从SSRN 26 151622015获取。Gyongy，即，模拟具有无差别过程的一维边际分布。概率论及相关领域，19 86、71、501–516。Hager，C.、H¨ueber，S.和Wohlmu th，B.I.，B asketoptions估值的数字技术及其希腊语。计算金融杂志，2010，13，3。Haugh，M.B.和Kogan，L.，《冻结美国期权：双重方法》。运营研究，2004年，52258-270。Hilber，N.，Matache，A.M.和Schwab，C.，期权定价随机波动率的稀疏小波方法。在2004年的会议记录中。Joshi，M.S.，美国国债二叉树的收敛性。atSSRN 103014 3，2007年提供。Joy，C.、Boyle，P.P.和Tan，K.S.，数值金融中的准蒙特卡罗方法。管理科学，1996，42926–938。Kangro，R.和Nicolaides，R.，Black-Scholes方程的远场边界条件。

SI AM数值分析杂志，2000，381357–1368。Khaliq，A.Q.、Voss，D.A.和Kazmi，K.，《自适应θ-美式期权定价方法》。《计算与应用数学杂志》，2008年，222210-227。Longstaff，F.A.和Schwartz，E.S.，通过模拟评估美国选项：最简单的平方法。《金融研究回顾》，2001年，第14113–147页。Mandelbrot，B.B.，某些特定价格的变化。《分形与Sca ling inFin ance》，第3 71–4181997页，斯普林格出版社。Matache，A.M.、Von Petersdorff，T.和Schwab，C.，《列维驱动资产期权的快速确定性定价》。ESAIM：数学建模和数值分析，2004,38，37–71。Mehta，N.B.、Wu，J.、Molisch，A.F.和Zhang，J.，用对数正态分布逼近随机变量之和。IEEE无线通信交易s，2007，6。Melino，A.和Turnbull，S.M.，外汇期权定价。加拿大经济学杂志，1991年，第251-281页。Merton，R.C.、Brennan，M.J.和Schwartz，E.S.，美国ic a n看跌期权的估值。《金融杂志》，1977年，32449-462。Piterbarg，V.，一个stoc hastic波动率远期伦敦银行同业拆借利率模型，期限结构为波动率文件。工作文件，美国银行，2003年。Piterbarg，V.，波动率校准的马尔可夫投影法。可从SSRN906473、20 06获得。Piterbarg，V.V.，具有时间相关偏差的随机波动率模型。应用数学金融，20 05、12、147–18 5。Rogers，L.C.，M onte Carlo美式期权估价。数学金融，2002,12，271–286.32 C.拜耳，J.H¨APP¨OL¨A，R.TEMPONESchacherm ayer，W.和Teichman，J.，贝勒和布莱克-默顿-斯科尔斯的期权定价公式有多接近？。金融学硕士，2008年，18155-170。Shun，Z.和McCullagh，P.，高维积分的拉普拉斯近似。皇家统计学会杂志。