最优停车问题建模技术分析

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英文标题：
《An Optimal Stopping Problem Modeling Technical Analysis》
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作者：
Jun Maeda and Saul D. Jacka
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We present a solution to an optimal stopping problem for a process with a wide-class of novel dynamics. The dynamics model the support/resistance line concept from financial technical analysis.
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中文摘要：
针对一类具有广泛新动力学的过程，我们给出了一个最优停止问题的解。动力学根据财务技术分析对支撑线/阻力线概念进行建模。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> An_Optimal_Stopping_Problem_Modeling_Technical_Analysis.pdf (181.46 KB)

2022-6-1 03:50:08 上传

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关键词：技术分析 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

最优停车问题建模技术分析* + 1,2和Jun Maeda§1华威大学图灵研究所，2020年3月30日摘要我们提出了一个具有广泛新动力学类别的过程的最优停止问题的解决方案。动力学模型从财务技术分析中得出支撑线/阻力线概念。关键词：技术分析；最优停车问题；电阻水平；支持行主题分类：JEL:G11；C61；D53；D91MSC:60G40；91B24；91G801简介和动机许多金融交易员的交易策略都基于技术分析（TA）。该分析严重依赖于历史价格图（交易员称之为“图表”）的视觉形状来确定*通讯作者。Saul Jacka感谢EPSRC grantEP/P00377X/1提供的资金，也感谢Alan Turing Institute根据EPSRGrant EP/N510129/1提供的财政支持。+两位作者都想感谢在经济和金融数学研究中心举行的第三届数理经济学和金融会议的与会者提出了许多有益的意见电子邮件：s.d。jacka@warwick.ac.uk§电子邮件：j。maeda@warwick.ac.ukDepartment英国华威考文垂大学统计学院CV4 7AL，UK，无论该资产是否值得购买。现场分析的基本模式之一是支撑线和阻力线。在这种方法中，交易者获得一条称为支撑线（分别为阻力线）的水平线，他们认为这是资产价格的局部支撑（上限）。他们认为，如果股票价格从上方越过支撑线，并大幅低于该水平，那么该股票已转向前景消极的状态，在这种情况下，交易员应该卖出该股票，或者至少不要做多该股票。

相反，如果资产价格飙升，越过下方的阻力线，则认为该资产已转向前景乐观的状态，交易员应购买该资产或至少补仓。我们在这里注意到，支撑/阻力水平不是一个硬限制。因此，在不改变制度的情况下，股票可以低于（高于）支撑（阻力）水平，预计d将在短时间内回升（下跌）至相关方。我们还注意到，在一张图表中可能有几个支撑/阻力水平。虽然已经对TA进行了研究，但他们主要关注的是如何尽快发现政权过渡的迹象，以及如何对照历史数据（通常通过计算和统计）检查采用TA在交易中的有用性。[2]和[13]是关注这些问题的一些研究实例。据我们所知，没有文献试图从数学上对TA方法进行建模和证明。在本文中，我们假设股票价格只有两种制度。在这些制度下，价格遵循不同的差异动态（我们将不时专门记录正常动态）。这引入了一类新的马尔可夫价格动态。然后，我们通过解决两个最优停止问题来确定买入/卖出股票的标准：第一个是最优卖出问题，第二个是买入问题。当然，我们假设购买p暂时减少了销售，但这意味着，因为我们需要解决问题，我们必须首先解决销售问题，以便正确地指定购买问题。使我们的模型与众不同的一个特点是，这两种制度在空间上不存在差异，即存在一个区域，股票价格可以处于这两种制度中的任何一种。

此功能为每个注册表中的流程提供了一些“空间”，可以在支持/阻力级别上移动，而无需切换到其他机制。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了我们在支持/阻力级别的模型中使用的设置。我们在第3节中求解了使预期折扣价格最大化的最佳销售时间（止损型）。在第4节中，我们解决了购买股票的最优停止问题。我们为第5节的进一步建模做了一些建议。本文的早期版本出现在arXiv上，只考虑了对数正态情况。2价格模型和销售问题2.1该模型我们假设，在价格水平L和H（0<L<H）时，制度会发生变化。正态对应于区间L，∞) 负区域为（0，H）。我们可以认为支撑/阻力水平位于（L，H）中的某个位置，例如atL+H。股票价格的动态由以下SDE表示，每个区域一个SDE：dS+t=u+（S+t）dt+σ+（S+t）dwt在正状态下，dS-t=u-（S）-t） dt+σ-（S）-t） dWtin负区域，（2.1），其中σ+，σ-, u+, u-带σ+和σ的Holder连续函数-从0开始为严格正，WT是一维布朗运动。与股票价格的建模一致，我们假设零对于遵循负制度动态的过程来说要么是吸收的，要么是无法访问的。我们用L+和L表示相关的微分算子（关联的微元生成器对C函数的限制）-, 所以l+：f 7→σ+f′′+u+f′和L-: f 7级→σ-f′+u-f′。让r表示无风险利率，那么我们假设u-（十）≤ 接收≤ u+（x）和r≥ 0

（2.2）我们定义了c\'adl\'ag FL ag过程Fttaking值{-, +} asFt公司=+ 当股票处于正态时- 在消极的制度下。（2.3）因此，Ft仅在以下情况下从一个值跳到另一个值：如果英尺-= + St=L，然后Ft=-如果英尺-= - St=H，然后Ft=+，（2.4），s存货价格满足度DST=uFt（St）dt+σFt（St）dWt。（2.5）请注意，L和H的分离确保了F处的th在任何一个时间间隔上只有无数个跳跃，并且这对（St，Ft）显然是一个Feller过程。我们进一步假设交易者总是在M水平出售其股票≥ H、 要么是因为交易者乐于接受利润，要么是因为他们的经理要求交易者接受利润。备注1。不难理解为什么专业交易者应该在某种程度上获得M的回报，因为交易者需要从一系列股票中选择投资。如果贸易商从集团中选择一家，贸易商不仅会比较可能的损失，还会比较投资股票的可能收益，通常希望平仓。请注意，这两个区域具有非空交集[L，H]，条件（2.2）意味着贴现价格过程在负区域具有上鞅动态，在正区域具有上鞅动态。2.2一些符号和进一步的假设用τ表示一般的退出/进入时间，因此，用S到集合I的第一次进入表示为τI：τI=inf{t：St∈ 一} o同样，当fl ag值为f时，S第一次进入集合I表示τI，f：τI，f=inf{t：St∈ I和Ft=f}我们记得，s股票价格动力学方程（2.1）和（2.5）（[8]）有一个唯一的定律解。

此外，R+上有唯一的基本解，我们分别表示φ+、ψ+、φ-, ψ-至ODSL+f- rf=0（2.6）和L-f- rf=0（2.7）满足：φ+（0）=φ-(0) = 0; （2.8）φ+（H）=φ-（H） =1；（2.9）ψ+（L）=ψ-（五十） =1；（2.10）极限→∞ψ+（x）=limx→∞ψ-（x） =0（2.11）（例如，参见[5]）。2.3出售问题如果我们假设交易者已经持有股票，那么如果他们希望最大限度地提高预期损失，他们将寻求最佳出售时间。因此，他们将寻求一个以τ[M]为界的停止时间τ，∞), 达到上τ≤τ[M，∞)E【E】-rτSτ]。对于每个初始价格x∈ （0，M）和FL ag值f∈ {+, -}, we定义neV（x，f）=su pτ≤τ[M，∞)Ex，f[e-rτSτ]。（2.12）备注2。如果，而不是条件（2.2），我们假设u-（十）≤ u+（x）≤ rx那么贴现股票价格实际上是一个上鞅，上界为M，它直接遵循可选抽样定理，即立即出售股票总是最优的。相反，如果rx≤ u-（十）≤ u+（x）那么贴现股票价格实际上是一个以M为界的次鞅，现在等待到最后一个可能的时间τ[M，∞), 销售前。在（2.2）成立的情况下，两个漂移夹住了无风险资产的回报，我们预计有可能提前出售。

正如我们将看到的，除非股价达到M级，否则交易者永远不会在正态下卖出（因此，早期的卖出总是与“止损”行为相对应）。我们将表明，最佳作用是在τ^mMdef=τ[M，∞)∧ τ[0，^m]，-, τ[M中较早者，∞)和τ【0，^m】，-, 对于一些^m≤ H、 2.4解决方案的形式我们的分析将考虑减少销售边界m的可能值m，并将其分为三种情况：（C1）其中，m∈ [L，H]，（C2），其中^m∈ （0，L）和（C3），其中^m=0。在案例C1中，请注意，如果F=+则股票将在价格达到L时立即出售。回顾一下，最优停止问题的最优未来支付F（斯奈尔包络）是鞅，直到（最后一个）最优停止时间，因此对于m，e-r（t∧τ[L，M]c，+）V（St∧τ[L，M]c，+，Ft∧如果F=-, e-r（t∧τ^mH）V（St∧τ^mH，Ft∧τ^mH）应该是V（H）的鞅，-) = V（H，+）和V（m，-) = m、 （2.14）对于m的最佳选择，在C2的情况下，如果F=+，e-r（t∧τ[L，M]c，+）V（St∧τ[L，M]c，+，Ft∧τ[L，M]c，+）应该再次是鞅，但现在w的边界条件sv（L，+）=V（L，- ) V（M，+）=M（2.15）和V（H，-) = V（H，+）和V（m，-) = m；（2.16）当C3情况下的要求与C2情况下的要求相同，且^m=0时，0处的边界条件对应于0的不可接近性或其为吸收边界的事实。标准参数（参见[8]等）告诉我们，第一个特征化的唯一解决方案由v（x，f，m）给出，其中v（x，+，m）满足l+v- rv=0（2.17），边界条件（2.13）和（然后）v（x，-, m） 满意度-v- rv=0（2.18），边界条件为（2.14）。

以类似的方式，取v（H，+，m）=EH，+[e-rτ^mMSτ^mM]和v（L，-, m） =标高，-[e]-rτ^mMSτ^mM]并用（2.15）和（2.16）中的这些值求解（2.17）和（2.18），我们获得了第二个特征的唯一解。对于第三种情况，通常的参数显示，φ-由（2.6）-（2.11）满足度φ给出-（x） =例如，-[e]-rτH]。（2.19）同样，如果我们定义φL，MandψL，MbyφL，M（x）=Ex，+[e-rτ[M，∞)（τ[L，M]c，+=τ[M，∞))] ψL，M（x）=Ex，+[e-rτ[M，∞)（τ[L，M]c，+=τ[0，L]，+）]，然后v（x，-, 0) = φ-（x） v（H，+，0）和v（H，+，0）=MφL，M（H）+v（L，-)ψL，M（H），因此v（H，+，0）=MφL，M（H）1- φ-（五十） ψL，M（H）。因此，如果我们取v（x，-, 0) = φ-（x） MφL，M（H）1- φ-（五十） ψL，M（H）（2.20）和v（x，+，0）作为（2.17）w在边界条件（2.15）下的唯一解，我们得到了三维特征的唯一解。2.5确定止损边界为了确定止损边界^m，我们考虑了我们将要进行的论证，以证明我们提出的解决方案是最优的。

我们将采用通常的技术，使用斯内尔包络的特征，其作用如下：我们将证明我们的候选解v具有以下性质：（P1）Vtdef=e-rtv（St∧τ[M，∞), 英尺∧τ[M，∞)) 是D类超鞅；（P2）VT控制增益过程e-rtSt公司∧τ[M，∞);（P3）存在停止时间^τ≤ τ[M，∞)使得V=E[E-r^τS^τ]。这足以表明v是最优解，而^τ是最优停止时间。现在，为了说明这一点，我们将对^m进行如下描述：在C1和C2的情况下，我们将把^m作为m的唯一选择vx（m，-, m） =1，（2.21），而在第三种情况下，我们将显示vx个≥ 1表示所有x>0（见定理3.1）。我们将证明这是有效的，因为如果我们定义g（x，f）def=v（x，f）- 然后，strong最大值和str on g最小值原则将告诉我们g≥ 0，而在^m处平滑粘贴（在v和恒等式之间）使我们知道v是一个上鞅，而它显然是D类，因为它以m为界。案例C3类似，只是当^m=0.3时，我们不需要平滑粘贴来建立销售问题的解决方案3.1一般案例定理3.1。根据第2节概述的模型，有三种可能对应于案例C1到C3；因此，以下其中一条正好成立：设v（x，f）为带边界条件（2.13）和（2.14）的连接常微分方程（2.17）和（2.18）的解；然后（S1）e xi sts^m∈ [L，H]这样vx（x，-; m） | x=m=^m=1或每m∈ [L，H]，vx（x，-; m） | x=m>1。在后一种情况下，将v（x，f；m）定义为常微分方程（2.17）和（2.18）的解，边界条件为（2.15）和（2.16），（S2）或有e xi s an^m∈ （0，L）使得vx（x，-; m） | x=m=^m=1或（S3）每m∈ （0，L），vx（x，-; m） | x=m=>1顶。

我们声称^m定义明确，因此这三个案例是详尽无遗的。首先，定义φ-如（2.19）所示；ψ-作为L的（0，H）上的唯一（递减）溶液-f=0，带ψ-（H） =0和ψ-（五十） =1；φ+作为L+f=0且φ+（M）=1且φ+（L）=0的唯一递增解；ψ+是L+f=0的唯一递减解，ψ+（M）=0，ψ+（L）=1。我们的解v，vand vto（2.17）和（2.18）的形式为v（x，f；m）=Af（m）φf+Bf（m）ψfwhere，设置C（m）=（A-（m） ，B-（m） ，A+（m）B+（m））T，为了适当选择系数，从基本条件来看，n（m）C（m）=（m，m- 五十、 S1情况下为0，M）T（3.1），S2和S3情况下为▄N（M）C（M）=（M，0，0，M）T（3.2），其中N（M）=φ-（m） ψ-（m） 0 0φ-（m） ψ-（m） φ+（L）ψ+（L）φ-（H） ψ-（H） φ+（H）ψ+（H）0 0φ+（M）ψ+（M）（3.3）和▄N（m）=φ-（m） ψ-（m） 0 0φ-（五十） ψ-（五十） φ+（L）ψ+（L）φ-（H） ψ-（H） φ+（H）ψ+（H）0 0φ+（M）ψ+（M）. （3.4）从隐函数定理可以很容易地得出：vx（x，-; m） 是连续体in（x，m）。现在取L<m<H，所以v（x，+；m）≥ x在【L，M】上，所以v（M，-; m） =m和V（H，-; m） =v（H，+；m）≥ H、 这意味着存在θ∈ （0，1）使得vx（m+θ（H-m） ，则，-; m）≥ 1和m↑ 我们看到了vx（H，-; H）≥ 1、结果之后是连续性。定理3.2。对于三种情况：o情况S1，v（x，f）=v（x，f；^m）：x∈ [^m，H]，f=- 或x∈ [L，M]，f=+x:x∈ [0，^m），f=- 或x∈ [0，L]，f=+；（3.5）o在S2情况下，v（x，f）=v（x，f；^m）：x∈ [^m，m]x:x∈ [0，^m）；（3.6）o在S3的情况下，v（x，f）=v（x，f）（3.7），其中对于常微分方程（2.17）和（2.18）的解，边界条件为（2.15）且满足（2.20）。我们在这里概述了这一点，将一些细节归入附录。证明。首先，我们需要MMA 3.3。