具有非光滑准则函数的间接推理

外生变量x与无关，函数g:S→ Yand h:X×E→ 已知未知参数θ。我们感兴趣的是函数g（·）在状态变量中不连续的情况，以及由于结构模型的复杂性，基于可能性的θ推理不可行或难以进行的情况。（1）-（2）中的模型设置在计量经济学中相当常见，涵盖了各种各样的模型。为了便于说明，我们提供了在fra mework下考虑的四类示例。示例1（具有串行相关错误的二进制选择模型）。假设我们观察到一组实现{（x′it，yit）\'）∈ Rdx×R，i=1，n、 t=1，T}，横截面单位为i，时间段为T，由具有自动退化（AR）误差的二元选择模型生成：yit=1l[x′itγ+vit>0]，vit=ρvi，T-1+it，其中变量xit是支持X的外生变量的dx×1向量 Rdx，由AR（1）模型生成的未观测变量vitis，具有未观测到的iid创新，遵循已知的分布F（·）。这里，stat e变量是sit=x′itγ+ρvi，t-1+Itan，结构参数为θ=（γ′，ρ）′。示例2（具有单独影响的有序Probit模型）。设yitbe是一个可分类变量，取{0，1，…，J}中的值，对于个体i=1，n时间t=1，T给定一个观测的、非常数的向量xit，我们根据modelyit假设yit=j=0，如果sit≤ δ1，如果δ<sit≤ δ...J、 如果δJ<sit。这里，δ。

，δJare未知阈值参数，SITI是一个状态变量，可以解释为个体潜在效用，由it=x′itγ+σvi+wit给出，其中vi是一个iid，在N（0，1）之后是一个时不变的个体特定不可观测的随机变量，而wit是在N（0，1）之后的一个不可观测的iid创新，我们定义它=（vi，wit）′。结构参数为θ=（δ，…，δJ，γ，σ）′。示例3（开关型型号）。设vtbe iid与unityintensity参数呈指数分布，并设utbe iid均匀[0，1]，VT与utalso独立。经验一元自回归过程按照yt=φyt演化-1+u·vt1l[ut≤ φ] ，其中0≤ φ<1，u>0，t=（vt，ut）\'；参见Iorio和Calzolari（2006）对该模型的II估计。状态变量st=（uvt，ut）′为iid，结构参数为θ=（u，φ）′。示例4（G/G/1队列）。让Yi表示第i位客户的跨站时间。设wibe为相应的到达时间和服务时间，vii与wi无关。让E[w]>E[v]，假设我们知道vi~ fv（·；θv）和wi~ fw（·；θw），其中fv（·）和fw（·）已知未知参数结构参数θ=（θ′v，θ′w）′。出发时间过程{yi}ni=1根据，对于j>i，yj=（vj，ifPji=1wi≤Pj公司- 1i=1yivj+Pji=1wi-Pj公司- 1i=1yi，ifPji=1wi>Pj- 1i=1yi。在本例中，状态变量由si=（vi，wi）′给出，在II估计中，可以考虑Via和wi的特定参数假设；关于排队模型中II估计的讨论，参见Heggland和Frigessi（2004）。接下来，为了简化讨论和符号，在讨论一般量时，我们将只考虑结构模型不等式（1）-（2）中的“横截面”样本{（x′i，yi）′：i=1，…，n}。

然而，我们注意到，在观察数据具有面板结构的情况下，如例1和例2所示，具有固定时间维度T，该横截面样本可以通过重新定义观察变量来获得。然而，为了避免符号混乱，我们将避免这种方案，而只关注横截面设置。2.2标准间接推断当模型具有复杂的参数结构时，II的重点是对结构模型的真实参数进行估计和推断，用θ表示。即使结构模型很复杂，也很容易模拟给定参数值的结构模型中的数据。II的第一步是分别使用观测数据和模拟数据估计中间或辅助模型。II然后通过最小化两组估计辅助参数之间精心选择的距离来获得结构参数的估计值。为了使上述形式化，我们用{ri}ni=1表示模拟的不可观测项，对于r=1，R、 其中，R是每次观测的模拟次数，其中每个Ri是从已知分布F生成的IID。然后，我们可以为任何θ构造模拟结果{yri（θ）}ni=1∈ Θ根据y（θ）=gsri（θ）；θ, （3） sri（θ）=hxi，ri；θ.为了形成因变量yi的辅助模型，让zi成为由观测变量和支持度Z组成的协变量向量。辅助模型是一个易于处理的参数模型，试图捕捉yi和zi之间的关系。让B Rdβ是带有dβ的辅助参数的参数空间≥ dθ。我们认为，辅助模型包含一些已知矩函数m:Y×Z×B所表征的矩条件→ Rdβ，对于某些β∈ B、 E类m（yi，zi，β）= 0

（4） 我们分别用基于观测数据集和结构模型模拟的第r个数据集的辅助参数的^β和^βr（θ）估计量表示。辅助参数估计值^β和^βr（θ）分别作为方程（4）的样本和模拟对应项的解：f或θ∈ Θ和r=1，R、 nnXi=1m（yi，zi，β）=0，nnXi=1myri（θ），zi，β= 估计θ的最常见II方法对应于经典假设检验的所谓“三位一体”：Wald、Lagrange乘数（LM）和似然比（LR）。在II类估计器中，II估计的LM和Wald方法允许在计算上简单有效地估计θ。相比之下，LR对II的方法通常不能提供有效的检测手段（Gourieroux等人，19 93）。因此，我们将重点放在LM和Wald方法f或II上，下面分别用LM-II和W-II表示。LM-II方法基于模拟辅助力矩Mn：Θ×B→ Rdβ，givenbyMn（θ，β）：=nRnXi=1RXr=1myri（θ），zi，β.对于LM-II，标准函数QLMn：Θ→ [0, ∞) 是模拟辅助设备中的二次形式，在β=^β：QLMn（θ）下计算：=Mn（θ，^β）Ohmn、 在哪里Ohmnis是一系列正定义权重矩阵。W-II估计量是通过^β和^βr（θ）的某些版本之间的（标准化）差异来计算的。

W II估计器的一个常见版本是确定模拟的平均辅助估计器βR（θ）：=R-1PRr=1^βr（θ），然后最小化准则函数QWn：Θ→ [0, ∞), 式中，qwn（θ）：=βR（θ）-^βOhmn、 然后将θ的LM-II和W-II估计量定义为其相应标准函数的最小值。当yri（θ）在θ中不连续时，就像结构模型（3）中的情况一样，resultingII标准函数在θ中不连续，因此不一定需要使用基于导数的优化程序来提供θ的准确估计。我们在示例1的定义中进一步研究了这种不连续性。示例1（续）。设{（uri1，…，uriT）}ni=1为模拟均匀随机变量，用于生成模拟结果，r=1，R、 对于固定θ=（γ′，ρ）′，模拟不可观测项vritis递归构造为vrit=ρvri，t-1+F-1（urit），vri1=F-1（uri1），模拟状态变量由srit（θ）=x′itγ+ρvri，t给出-1+F-1（urit）。然后通过yrit（θ）=1l[srit（θ）>0]=1l[F生成模拟结果yrit（θ）(-x′itγ- ρvri，t-1） <urit]。（5） 对于该模型，Li（2010）和Bruins等人（2018）建议将线性概率模型作为II的辅助模型：yit=z′itβ+νit，其中zit=[x′it，x′i，t-1] ′和ν是一个错误项。我们设置m（yit，zit，β）=zit（yit- z′itβ）作为矩函数，辅助参数估计由^β给出=nXi=1TXt=2zitz′it-1nXi=1TXt=2zityand^βr（θ）=nXi=1TXt=2zitz′it！-1nXi=1TXt=2zityrit（θ），对于r=1，R、 给定参数值θ∈ Θ和模拟样本{yrit（θ）}Rr=1，一个可以构造LM-II或W-II方法的准则函数。然而，因为themapθ7→ yrit（θ）是不连续的，QLMn（θ）和QWn（θ）的导数不必存在。

在前一小节中处理的每个示例中，II估计基于不连续映射θ7→ yri（θ）。因此，基于导数的优化程序可能无法提供未知模型参数的准确估计。为了解决这个问题，我们建议通过引入变量的（序列）变化来改变标准II模拟方法，以缓解映射θ7中的不连续性→ yri（θ）。这种交替模拟方法将提供II标准函数，允许应用基于导数的优化路线，即使原始模型的参数不平滑，也可以持续估计未知模型参数。3一种新的广义间接逼近letθ*表示我们希望评估LM-II o或W-II标准函数的点。根据方程（3），yri（θ）是不连续的，导数θQLMn（θ*) 和θQWn（θ*) 不需要存在。我们的方法背后的逻辑是观察到，II不需要模拟完全代表实际数据生成过程的代码，因此，随着样本量的增加，两者之间的差异消失。定义LM和Wald方法的总体标准函数asQLM（θ）：=M（θ，β）Ohm和QW（θ）：=β(θ) - βOhm,式中，M（θ，β）：=E[M（yri（θ），zi，β）]，β（θ）是M（θ，β）=0的解，且Ohm 是一些正有限矩阵，其中Ql（θ），l=LM，W，假设为两次连续可微。简而言之，我们的方法是构造一个“广义”II准则，比如QLMn（θ，θ*) 或QWn（θ，θ*)对于θ，θ*∈ Θ，满足：对于l=LM，W，plimn→∞θQln（θ，θ*)θ =θ*= θQl（θ*) 和plimn→∞θQln（θ，θ*)θ =θ*= θQl（θ*).在下一节中，我们将演示如何使用“变量变化”（以下简称COV）技术构建这样的标准。

该COV将确保参数中的微小变化，例如θ*至θ*对于δ>0的较小值，±δ不会显著改变模拟数据，从而避免不连续性。3.1假设为了展示本文中使用的COV技术，我们首先介绍了方程式（1）-（2）中结构模型和辅助模型的假设。下面给出的假设没有限制性，仅作少量修改，就涵盖了本文中引用的所有示例。假设1。（a） 观察到的随机变量（x′i，yi）′为iid，横截面单位i=1，n、 Andxi独立于创新i.（b）创新iis iid，且具有已知的连续可微密度f。（c） 函数h（x，；θ）在中可连续两次微分∈ E和θ∈ Θ对于anyx∈ 十、 （d）参数空间Θ和B是紧的。假设2。（a） 假设1适用于所有θ的模拟过程∈ Θ.（b） m（y，z，β）在每个β处是连续的∈ B，对于任何（y，z）∈ Y×Z.（c）对于所有i=1，n、 存在一个随机变量“misuch”，即km（y，zi，β）k≤ \'miwithE[\'mi]<∞ 对于所有β∈ B和所有y∈ Y、 假设3。（a） 对于任何i=1，n和θ∈ Θ，存在一个有限整数J和一组随机函数{cji（θ）}J+1j=0，cji：Θ→[0，1]使得（1）中的函数g（·）可以写成g（si；θ）=JXj=0αj1l[cji（θ）<ui≤ cj+1i（θ）]。这里α，αJare已知常数和随机变量ui：=F（i）允许标准统一。此外，随机函数{cji（θ）}J+1j=0是两次连续微分，并且满足ci（θ）=0、cJ+1i（θ）=1和cji（θ）<cJ+1i（θ）。（b） 对于每个l ∈ {1，2}，存在一个随机变量l？ciso，该supθ∈Θklθcji（θ）k≤ l？ciand E公司|l(R)ci |<∞ 对于任何（i，j）∈ {1，…，n}×{0。

，J}。上述假设相当薄弱，在补充附录中，我们证明，在进行细微修改之前，假设1-3对于第2.1节中给出的每个示例都是满足的。假设的具体解释如下。假设1要求yri（θ）中的不连续性仅产生于g（·），并确保我们可以在最一般的上下文中呈现COV。1（a）中iid数据的假设可以扩展到独立非同分布（inid）数据，或弱相关数据，代价是进一步的符号和更复杂的技术参数。特别是，在这些更一般的假设下，只有划分UIJ支持的随机f函数cjj（θ）的结构才会改变；我们请感兴趣的读者参阅附录，以获取与弱相关数据的示例。在其余部分中，我们将{cji（θ）}J+1j=0称为临界点函数。假设2对模拟力矩函数施加了正则性条件。假设2中的正则条件是关于II的文献中的标准，结果不连续。假设3限制了对单变量i的分析，然而，对多变量i的扩展是最自动的，可以通过将模拟算法进一步分解为相应的标量新息来实现。假设3以确保我们可以将不连续性隔离到i支撑的不同区域的方式形成了模型的结构。因此，假设3要求结构函数g（·）产生的可能不连续性的数量在yri（θ）上有一个上限。术语J可以解释为模型允许的最大不连续数。例如，在动态二元面板模型中，所有i和t的J=1。在假设3（a）下，不连续尺寸α。

，αJ被假定为已知常数，这适用于第2.1节中检查的前两个示例。对假设3（A）的微小修改还包括第2.1节中的后两个示例。采用假设3（a）是为了简单，并且可以扩展到不连续尺寸{αj}Jj=0，ar e是结构参数的两倍可微函数的情况，代价是增加符号。假设3（a）-（b）需要在参数空间上建立一致收敛，并用于后面给出的渐近分析。假设3（a）将误差分布类限制为连续分布。虽然将这种方法扩展到离散的情况可能是可行的，但鉴于这些例子在计量经济学中的出现频率远低于其连续对应的例子，我们在此不考虑这种情况。在结束之前，我们注意到，尽管被限制为一个连续的随机变量，但这一假设在各种各样的示例中都得到了满足，例如示例1-4中给出的示例，以及删失型模型，例如Tobit型模型。3.2近似导数在假设1-3下，我们对原始均匀随机变量{uri}进行变量更改，以构建新的可区分的模拟结果。Letθ*∈ Θ表示我们希望计算函数θ7导数的点→ yri（θ），并考虑uri的以下转换：uri（θ，θ*) := cji（θ）+cj+1i（θ）- cji（θ）cj+1i（θ*) - cji（θ*){uri- cji（θ*)}, （6） 对于cji（θ*) < uri≤ cj+1i（θ*) 当j=0时。

，J，该cov的相应雅可比项定义为wri（θ，θ*) := uri（θ，θ*)/uri，即f或cji（θ*) < uri≤ cj+1i（θ*),wri（θ，θ*) =cj+1i（θ）- cji（θ）cj+1i（θ*) - cji（θ*).在假设3（a）下，差值cj+1i（θ*) - cji（θ*) 对于所有θ几乎肯定是正的*∈ Θ和所有（i，j）∈ {1，…，n}×{0，…，J}。因此，存在一个常数w，使得| wri（θ，θ*)| ≤ \'w代表所有（θ，θ*) ∈ Θ. 雅可比项wri（θ，θ）的有界性*), 对于所有（θ，θ*) ∈ Θ，对于推导统一的m大数定律至关重要，这将是获得我们提出的II准则函数及其导数一致收敛所需的。但是，在假设3（b）下，存在？wisuch that kθwri（θ，θ*)k≤ \'wifor all（θ，θ*) ∈ ΘandE|“wi |”∞.给定变换级数{uri（θ，θ*)}, 对于r=1，R、 然后根据toyri（θ，θ）构造新的模拟结果a*) :=JXj=0αj1lcji（θ）<uri（θ，θ*) ≤ cj+1i（θ）.II现在可以通过替换力矩函数m继续yri（θ），zi，β具有以下力矩功能：mri（θ，θ*, β） ：=米yri（θ，θ*), zi，β·wri（θ，θ*),II估计的力矩条件可以通过函数Mn：Θ×Θ×B确定→Rdβ，由mn（θ，θ）给出*, β） ：=nRnXi=1RXr=1mri（θ，θ*, β).下面的结果表明，力矩函数的导数Mn（θ，θ*, β） 关于θ，是相应极限对应项的无偏一致一致估计量。有许多这样的转变将实现我们的目标，参见Chan和Joshi（2011）以及Lyuu和Teng（2011）。选择上述变换是因为有理论证据表明Ui（θ，θ*) 对于指标函数，在最小化均方误差方面，in（6）是最优的（Joshi和Zhu，2016）。