具有非光滑准则函数的间接推理

我们请读者参考Griewank–Walt her（2008），详细比较这两种AD计算模型。AD不是符号微分Symbolic Differentiation是许多计算机软件中广泛使用的另一种工具，它接受数学表达式，在我们的例子中是qn，并返回导数的符号表达式θQn。在许多统计参考问题中使用符号微分的问题通常与计算Qn的原始算法的复杂性有关。如果代码不足，程序无法转换θqn到一个表达式。即使在表达式θqn是可获得的，由于某些子表达式出现在符号表达式中的不同位置，因此执行速度通常很慢，因此需要多次求值。与符号差异不同，AD是一种评估导数值的机制θQn（θ）|θ=θ*无需直接解析计算表达式。相反，从算法θ的角度来看→ Qn，AD考虑一系列中间值，其中每个映射及其导数的计算相对简单。这意味着AD用于计算梯度的程序与我们正在计算的函数的结构完全相同，这意味着AD将产生可管理的执行时间。然而，与符号微分类似，AD a L在θ处返回原始算法的精确导数*浮点数错误。其他数值结果：AD与数值导数在本节中，我们比较了使用AD与标准数值导数的影响。

为此，我们比较了GII-COV的两个版本：第一个版本与主要论文第五节中实施的程序相同，它使用自动微分技术获得牛顿-拉斐逊程序中使用的导数；GII-COVB-15的第二个版本将牛顿-拉夫逊过程中通过AD获得的导数替换为使用最佳差异参数基于中心差的导数。表9给出了具有AD的GII-COV结果，表10给出了具有差异的GII-COV结果。比较表9和表10的结果，我们发现，在所有选择的精度度量中，基于AD的GII-COV比基于数值导数的GII-COV更精确。这并不奇怪，与其他基于AD和数值导数精确度比较的结果大致相同（见Renaud，19 97，Baydin et al.，2018和Kucukelbir et al.，2017）。鉴于表9和表10中的结果之间存在显著差异，我们推测，在许多计量经济模型中，通过简单地将更常见的数值有限差异衍生工具估值器切换到使用AD技术计算的衍生工具，可能会获得实质性的准确度收益。表9：使用数值导数的GII-COV程序模拟结果。n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0121 0.0185 0.0261 0。9220 0.0015 0.0015 0.00 90 0.9660ρ-0.0007 0.0287 0.0528 0.8960 0.0043 0.0047 0.0240 0.9610模型2γ0.0584 0.1035 0.0940 0。9800 0.0058 0.0244 0.02 71 1.000α0.0059 0.02 66 0.0463 0.9460 0.00 02 0.0094 0.0146 0.9280ρ-0.0289 0.0416 0.0491 0.9040-0.0081 0.0141 0.0189 0.9260模型3γ0.0076 0.0787 0.3567 0。9960 0.0001 0.0042 0.00 68 0.9500α0.0096 0.01 87 0.0607 0.9840 0.00 11 0.0053 0.0141 0.9460ρ-0.0093 0.0494 0.4016 0.9940 0.0011 0.0017 0.0030 0 0.9600注释。

蒙特卡罗模拟的复制次数为1000次。横截面样本大小n为200或1000。我们报告了95%瓦尔德置信区间（CV95）的平均偏差（MBIAS）、平均绝对偏差（AB）、标准偏差（STD）和蒙特卡罗覆盖率。B-16表10：使用自动差异的GII-COV程序的模拟结果。n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0052 0.0110 0.0281 0。9570-0.0001 0.0015 0.0049 0.9590ρ-0.004 3 0.018 3 0.0419 0.9430-0.0009 0.0028 0.0 075 0.9440模型2γ0.0038 0.0105 0.0246 0。9440 0.0002 0.0016 0.00 45 0.9460α0.0039 0.0230 0.0463 0.9370 0.0008 0.0041 0.0107 0.9510ρ-0.003 4 0.017 4 0.0341 0.9410-0.0009 0.0032 0.097 0.9600模型3γ0.0033 0.0115 0.0286 0。9500 0.0002 0.0021 0.00 71 0.9610α0.0057 0.0241 0.0519 0.9530 0.0011 0.0053 0.0141 0.9460ρ-0.006 0.019 3 0.0443 0.9510-0.0011 0.0037 0.0 110 0.9600B-17