具有非光滑准则函数的间接推理

这种修改并不重要，因为对于用于WI和vi的所有常见分布，我们总是可以使用不依赖于θ的iid变量的适当变换来生成这些变量。B-8（d）假设参数空间是紧的。假设2（a）该假设通过θ的紧性成立。（b） 继Heggland和Friessesi（20 04）之后，我们考虑了来自aGaussian混合模型的辅助力矩，其中包含两个分量：设β=（u，σ，u，σ，π），其中π表示混合比例，（ul，σl）′，l=1，2，表示正态模型的均值和方差，并考虑辅助力矩SM（yi，β）：=(1 - γi（β））（yi-u）γi（β）（yi-u)(1 - γi（β））{（yi- u)- σ} γi（β）{（yi- u)- σ} γi（β）- π,式中，γi（β）：=πφu，σ（yi）（1- π） φu，σ（yi）+πφu，σ（yi），其中φu，σ表示具有平均u和方差σ的标准pdf。函数m（yi，β）的辅助项在β中是连续的，对于所有y.（c），通过构造，对于yi，有界支持t，支持β∈Bkγi（β）k≤ M<∞ 因此，km（yi，β）k≤ Mkyi公司- uk+kyi-uk+k（yi- u)- σk，k（yi-u)-σk.根据B的紧性，我们得到，对于一些非随机常数C，km（yi，β）k≤Ckyik。对于所有广泛使用的yi DGP，E[yi]<∞, 假设如下。假设3（a）定义=i-1Xj=1yj-我-1Xj=1wj。以Yi=vi1l[uwi]的形式重写模型≤ Fw（ei；θw）]+（vi+ei+wi）1l[uwi>Fw（ei；θw）]类似于示例3，我们有α（θv）=viandα（θ）=vi+ei+wi。它们不再是已知常数，但它们是给定{uv，uw，…，uvi的θ的已知函数-1，uwi-1} ，用于生成vjand wjterms的标准制服序列。

在原始算法中，状态在θ中是不可区分的，我们将解释如何使用COV构建一个可区分的算法来按顺序生成S。函数的临界值为ci（θ）=0，ci（θ）=Fu（ei；θu），ci（θ）=1；B-9只要wii是一个绝对连续的随机变量，我们就有ci<ci<cia。（b） 这源自（a）。COVup到i的顺序保证了二次分化- 1和两次连续区分fwinθ和连续x个θfx（x，θ）for x分别为v和w。我们将在下面的COV部分看到更多信息。紧集中的连续导数对于该假设是有效的。临界点函数和Cov对于第一个客户来说，存在不规则性。对于n=2。。。。，N、 COV是通过替换标准均匀随机m变量来模拟wnbyun（θ，θ*) =（ci（θ）cn（θ*)unif联合国≤ ci（θ*)ci（θ）+1-ci（θ）1-cn（θ*)（联合国- ci（θ*)) 如果un>ci（θ*).更具体地说：oy=v，不需要COV。o对于第二个客户，或原始的不可区分算法是y=v1l[uw>Fw（v；θw）]+（v+w-y） 1l【uw】≤ Fw（v；θw）]。对于COV，我们用u（θ，θ）代替随机均匀uw来模拟WW*), thenhavey（θ，θ*) = v（θv）1l[uw>c（θ*)] + （v（θv）+w（u（θ，θ*)) - y（θv））1l[uw≤ c（θ*)]COV将感兴趣的参数推出了指示器功能。o假设COV执行到i-第1位客户，确保yj的两倍差异性（θ，θ*) 对于j=1，2。。。，我- 1，henceei（θ）=n-1Xj=1yj（θ，θ*) -n-1Xj=1wj（uj（θ，θ*))现在是连续两次区分。

对于第i次绘制，yi=vi1l[uwi>ci（θ）]+（vi+wi-ei（θ））1l[uwi≤ ci（θ）]我们执行类似的COV，并得到yi（θ，θ*) = vi（θ）1l[uwi>ci（θ*)] + （vi（θ）+wi（θ）- ei（θ））1l[uwi≤ ci（θ*)].在辅助矩函数中，如例3所示，由于COV序列，我们得到了雅可比项随时间的乘积。B-10B HOPP与GII-COV在本节中，我们简要比较和对比了Joshi和Zhu（2016）中的Hessian最优部分代理法（以下简称HOPP）和本文中的GII-COV方法。B、 1 HOPPFo根据Joshi和Zhu（2016），假设我们的目标是计算特定点θ处期权价格的导数*∈ 内景（Θ） R、 对于g:S×Θ→ R+表示期权的贴现支付函数，它取决于参数θ和随机变量S，其中Shas支持t S和密度函数f（·），期权价格可以表示为θ：G（θ）=E[G（S，θ）]=ZSg（S，θ）f（S）ds的函数。此外，考虑到G（θ）没有解析形式，并且G（·，θ）在θ中是无差别的，这是许多常见期权价格的情况。在这种情况下，导数不能通过积分传递，这意味着区分g（·，θ）与θ的标准方法，然后得出结果量的期望值将偏向于θG（θ*), 利息的衍生物。另一种计算方法θG（θ*) 是使用微分{G（θ*+ h）- G（θ*)}/h对于一些小h。

然而，如果G（θ）难以计算，那么这种有限差分方法将非常耗时，并且，对于任何非零h，得出的近似值仍然是有偏差的估计值θG（θ*), 其中，偏差的顺序为O（h）。Joshi和Zhu（2016）提出的最初的Hessian最优代理法（HOPP）的目标是构建一个近似值，以计算更复杂的期权价格导数，其偏差小于有限差分法。尽管g（·，θ）在θ中不可差分，但在g（·，θ）上非常弱的条件下，导数θG（θ）仍然存在。Joshi和Zhu（2016）建议使用变量变化（COV）方法，结合二阶泰勒级数，来近似导数θG（θ）。应用HOPP的第一步是认识到我们可以将所讨论的期望表示为均匀随机变量上的积分。特别是，如果函数（·）的形式为1l[α≤ S≤ α] l（S），其中l（·）是二次可微分的，对于u∈ [0，1]，我们可以表示G（θ）asG（θ）=Z1l{u∈ 【α，α】}f（θ，u）l【f（θ，u）】du，其中f表示采用（θ，u）的算法∈ Θ×[0，1]，产生随机变量。在f（·）上的弱条件下，我们有f（θ，u）∈ [α，α]当且仅当u∈ [c（θ），c（θ）]，这允许我们重写积分asG（θ）=Zc（θ）c（θ）l[f（θ，u）]du。函数cj（θ），j=0，1称为临界点函数。B-11为了减轻积分界中积分对θ的依赖性，HOPP必须考虑在我们希望计算导数的点周围的特定变量变化（COV）。

说我们最终希望计算θG（θ*) 和θG（θ*), 然后HO-PP考虑covu（θ，θ*) = u+（θ- θ*) γ（u）+（θ- θ*)δ（u），γ（u）=θc（θ*) +θc（θ*) - θc（θ*)c（θ*) - c（θ*)u- c（θ*),δ（u）=θc（θ*) +θc（θ*) - θc（θ*)c（θ*) - c（θ*)u- c（θ*)需要对γ（·）和δ（·）进行这些特殊选择，以确保：一是完全消除积分边界中对θ的依赖，并且以不影响积分值的方式；第二，使用COV计算的导数将与精确导数一致，至少达到三阶项。也就是说，重要的是要认识到，在主要应用中，由于c（θ）、c（θ）是不可压缩的，上述函数在分析上是不可跟踪的，必须使用数值方法来近似函数γ（·）和δ（·）。使用此COV并使用Taylor定理围绕（θ）展开积分- θ*), 向上三阶，则得出以下形式的积分g（θ）=Zc（θ*)c（θ*)l[f（θ，u（θ，θ*))]u（θ，θ*)udu。Joshi和Zhu（2016）证明，根据上述公式计算的衍生工具将与θG（θ*) 和θG（θ*), 直到一个三阶项，即O（kθ- θ*k） 。换句话说，通过一个巧妙的COV，HOPP程序能够将G（θ）的潜在差异性带到前面，并产生一个比有限差异更快、更准确的导数近似值（Joshi和Zhu，2016）。然而，从上面也可以清楚地看到，HOPP程序明确要求利益标准是不同的。尽管如此，HOPP程序背后的泰勒级数参数将无效，Joshi和Zhu（2016）中得出的理论结果将无效。也就是说，HOPP不适用于利益标准不可区分的情况。

相反，HO PP适用于标准不同的设置，但我们希望获得该标准导数的计算方便且准确的近似值。B、 2 GII COV GII-COV程序的目标是使用基于导数的优化例程获得一致和渐近正态（CAN）参数估计，并且在特定环境中，模拟的内生变量在相关参数中不连续，用θ表示。为了完成这项任务，GII-COV使用COV方法构造近似的导数，该导数对于样本大小n的所有可能值都是平滑的，而与所有θ的模拟大小R和统一mly无关∈ Θ. 也就是说，与HOPP相比，GIICOV的目标不是近似期望的导数，而是近似样本函数的导数，并确保这些近似足够规则，以便进行CANB-12参数估计。回想一下，LM-II方法是基于模拟辅助力矩Mn：Θ×B→ Rdβ，由mn（θ，β）给出：=nRnXi=1RXr=1m（yri（θ），zi，β）。在这种情况下，GII-COV方法背后的想法是用近似值替换非光滑的Inθ矩函数m（yri（θ），zi，β），以便该近似值的导数存在，并可用于估计未知参数θ。为了执行上述任务，GII-COV依赖于我们希望计算导数的点附近的COV方法，用θ表示*. 为了表示用于模拟结果yri（θ）的一致性，GII-COV使用以下COV:uri（θ，θ*) := cji（θ）+cj+1i（θ）- cji（θ）cj+1i（θ*) - cji（θ*)uri- cji（θ*),其中j=0，J和J表示yri（θ）可能不连续的总数（详情请参见主要文件第三节）。

一旦获得COV，GII COV用新的模拟结果近似不连续的yri（θ，θ*) =JXj=0αj1lcji（θ）<uri（θ，θ*) ≤ cj+1i（θ）,然后使用MRI（θ，θ）近似原始矩函数*, β） ：=m（yri（θ，θ*) , zi，β）·wri（θ，θ*)wri（θ，θ*) :=cj+1i（θ）- cji（θ）cj+1i（θ*) - cji（θ*).与HOPP要求的COV相比，GII-COV要求的COV很简单。这是因为，与HOPP不同，GII-COV操作样本函数，而不操作积分。正是由于这一事实，这两个过程中需要使用不同的COV：由于HOPP对积分的导数（或期望）感兴趣，它必须使用尊重积分边界的COV；由于GII-COV对样本函数的导数感兴趣，GII-COV可以使用更简单的COV。事实上，重要的是要注意，如Joshi和Zhu（201 6）所述，Hoppapach方法并不意味着近似无差别的样本量，例如θyri（θ），而GII-COV方法专门设计用于近似此类数量，例如θyri（θ）。总之，GII-COV和HOPP程序采用了聪明的COV，并分享了类似的想法。然而，GII-COV程序操作的是不可区分的样本函数，即个体模拟结果yri（θ），而HOPP操作的是可区分的函数（期望或积分）。这两个过程中使用的COV的性质也完全不同，GII-COV过程需要一个更简单的COV，因为它对样本函数而不是积分进行操作。最后，我们不认为HOPP过程是一个逐点过程，得到的理论有效性仅在逐点意义上得到保证。

相反，由于GII-COVB-13程序的目标是获得一致和渐近正态估计量，因此GII-COV程序的构建是为了确保估计中使用的导数对于所有样本大小n、所有模拟大小选择R和参数空间中的所有θ都存在∈ Θ.这是本文中命题1和定理1的内容。C导数估计在本节中，我们简要介绍了自动差异的基本思想。由于自动区分是一个复杂而活跃的研究领域，我们只提供该方法背后的直觉，并将感兴趣的读者引向更专业的文本以获取详细信息。C、 1路径导数v ia自动微分通过模拟构建的准则函数的灵敏度计算问题，即导数计算，在金融和工程学科中受到了广泛关注；我们请读者参阅Fu（2006）f，以了解各种方法的概述和讨论。在计量经济学界，导数计算最突出的方法是数值有限差分。对于标准Qn（θ），最简单的有限差分方法构建了θ点雅可比矩阵的估计值*, θQn（θ*), 使用{Qn（θ*+ h）- Qn（θ*)}/h、 其中h是一个差异参数。虽然这种估算方法直观且易于构建，但使用这种方法时有一些众所周知的权衡。最重要的是，选择h会导致偏差-方差权衡，即有限差分估计量近似的精度θQn（θ*).数值有限差分方法的另一种替代方法是使用所谓的“路径”方法计算导数。

路径方法不像有限差分法那样直接构造导数，而是直接区分用于构造模拟准则的算法。例如，在我们的例子中，这需要区分，例如，在点θ处*, 构建模拟标准所需的步骤序列，包括用于模拟内生变量的机制，以及通过链式规则生成的每个中间导数。这样的过程隐含地要求所有所需的中间导数都是已知的，或者可以精确地计算出来。计算每个中间导数后θQn（θ*) 通过链式规则简单计算。如果可以精确计算每个中间导数，则得到的路径导数等于θQn（θ*). 也就是说，与有限差异相比，路径方法产生的是有问题的导数，而不是对其的估计。Glasserman（2003）详细讨论了这种方法相对于有限差分方法的优越性。虽然许多模拟的标准函数允许应用这种路径方法，但问题是如何有效地执行这种差异，因为如果简单地执行，当需要大量步骤来形成标准时，可能会非常缓慢。在本文中，我们建议使用自动微分（AD）技术来计算这些导数。

AD指的是一套计算效率较高的工具，可以弥合数字和符号之间的差异CB-14差异；i、 例如，AD通过在代码执行过程中累积偏导数值来计算导数，以生成精确的数值导数，并通过遵守函数组合和链规则微分的数学规则来实现。AD的实现取决于中间导数的计算和存储方式。一般来说，AD最常用的实现方式是使用所谓的导数计算的前向和后向模式，特定的兴趣应用决定了哪种方法更合适。这两种方法之间的差异可以通过如何计算和存储链规则中的交错导数来表示。例如，AD的前向模式遍历了算法导数的链式规则，从最内一步到最外一步。也就是说，我们以计算函数Qn（θ）的相同方式遍历链式规则，这在直觉上很有吸引力。与前向模式相比，AD的后向模式遍历链式规则，从算法的最外层开始，向内运行。这意味着后退模式需要存储整个计算字符串，因此可能需要比前进模式更大的内存开销；i、 例如，在向后模式中，必须存储计算整体导数所需的每个局部导数，而不是像向前模式那样简单地进行计算。这样，AD的正向模式在计算上往往比反向模式更有效。