具有非光滑准则函数的间接推理

，J，t）′=ψ1/2（η1，t，…，ηJ，t）′，ψ1/2下三角形，使得ψ1/2ψ1/2′=ψ，并带有（η1，t，…，ηJ，t）′~ N（0，IJ）对于所有t=1。。。，和（η1，T，…，ηJ，T）′独立于可观测值（w′1，T，…，w′J，T）′，即替代因变量，和xit，即纯个体特定回归。结构参数为θ=（α′，γ′，…，γ′J，ρy，ρe，ω′），其中ω是ψ的唯一无约束元素。我们将上述模型专门用于考虑三种不同的动态离散选择模型。对于三个模型中的每一个，i=1，n通过最大化标准加性随机效用，从两个可用的备选方案中选择一个（为简单起见，J=1）。特别是，对于i=1，n和t=1，T，个体选择如下yit=1l[y*它≥ 0]，其中y*选择备选方案j=1（而不是备选方案j=0）的净效用。每个模型的细节如下：模型1：T=5和y*it=x′itγ+vit，其中vit=ρvi，t-1+it with vi，0=0 a andit~ N（0，1）。结构参数为θ=（γ，ρ）′。模型2：对模型1稍加修改，在未观测效用函数中包含滞后因变量，如下所示。T=5和y*it=αyi，t-1+x′itγ+vit，其中vit=ρvi，t-1+it，带yi，0=0，vi，0=0和it~ N（0，1）。结构参数为θ=（α，γ，ρ）′。模型3：与模型2类似，但包含了众所周知的“初始条件”问题，如下所示。模型2在T=5时成立，但对于i=1，n、 计量经济学家观察t=3、4、5时的选择。结构参数保持θ=（α，γ，ρ）′。对于每个模型，我们考虑使用LM标准的GII-COV方法的应用。对于每个模型中辅助力矩向量m（·）的选择，我们遵循Chaudhuri et al.（2 018）和Take m（·）如下：o对于模型1和2，i=1。

，纳米yri1（θ）。。。，yri5（θ），zi1。。。，zi5；β=zi1yri1（θ）- z′i1β...zi5yri5（θ）- z′i5β,式中，β=（β，…，β）\'，zi1=（1，x′i1）\'，zit=（1，x′it，x′i，t-1，yi，t-1） ′对于t=2。。。，5.o对于模型3，我们认为完全相同的m（.）功能如上所述，但仅限于fort=3、4、5。上述m（·）的cho ice导致在一个看似不相关的回归（SUR）模型中逐方程进行普通最小二乘计算，其中有J个响应变量(l =1l【yrit（θ）=j】对于j=1，J） 并使用用于所有回归的同一组回归器z。特别是，m（·）表示向量函数，用于确定SURmodel回归系数的一阶条件。很明显，对于上述每一个辅助估计方程，m（·）在yrit（θ）中没有差别。然而，可以很容易地应用本文提出的基于导数的方法来获得快速而简单的估计量。对于任何给定的时间点t，模型1有一个单一的不连续性，因为yit=1l[y*它大于0]。因此，如果我们选择矩函数m（·），可以使用示例1中所述的完全相同的方法来处理此示例。模型2和3与模型1相似，但f或任何时间点t>1，函数m（·）可以支持两种不同类型的不连续。yit=1l[y]的第一个不连续性结果*它>0]，而第二个间断是由于y的自回归性质*it：对于t>1y*it=α1l【y】*i、 t型-1> 0]+x′itγ+维生素。这种额外的不连续性意味着我们需要改变两种度量来确定我们的方法。然而，这两个度量值更改具有相同的for m，因此可以很容易地进行更新。上述每个模型中使用的精确变化或变量与示例1中的相同。因此，相应的雅可比项也是相同的。Letθ*我们希望评估模拟结果。

然后，我们可以使用相同的模拟制服urit（θ，θ*) 如上述每个模型中的示例1所示，根据Φ模拟误差项-1.urit（θ，θ*). 对于模型1，给出了临界点函数bycit（θ）=Φ(-x′itγ- ρvi，t-1） ，而对于模型2和3，临界点函数由cit（θ）=Φ给出- α1lci，t-1(θ*) < ui，t-1.-x′itγ- ρvi，t-1.,模型1-3中，cit（θ）=0，cit（θ）=1。以下小节考虑了上述三个模型中每个模型内的一系列模拟示例。5.2模拟结果对于上述每个模型，我们根据以下一组真实参数值和样本量组合生成1000个模拟数据副本：在每个模拟下，XI生成iid为N（1，2）a，我们考虑模型参数和样本量的以下值o对于模型1：θ=（γ，ρ）′=（1，4），N∈ {200，1000}且T=5；o对于模型2：θ=（γ，α，ρ）′=（1，2，4），n∈ {20 0，1000}且T=5；o对于模型3：θ=（γ，α，ρ）′=（1，2，4），n∈ {200，1000}，T=5，s=3个未观测周期；在不同的蒙特卡罗设计中，我们考虑了四种估计程序：GII COV程序、Bruins et al.（2018）的GII-K估计程序、基于Nelder-Mead Simplex的搜索算法和“模式搜索”遗传算法。所有程序均在Matlab中实现。Nelder Mead和遗传算法都是使用Matlab默认设置实现的。这些方法的具体实施细节可在相应的Matla b帮助文件中找到。我们考虑GII-K的两个独立实现。

在第一个名为GII-1的GII-K实现中，我们使用一个正常的核来平滑结果，并考虑样本大小相关的宽度λn：对于n=200，我们使用的带宽λn=。08，对于n=1000，我们考虑λn=。04; 这些值对应于λn的选择√nλn=o（1），这是GII-K方法提供一致和渐近正态估计量所必需的。第二个GII-K实现，称为GII-2，再次使用普通内核来平滑结果，但遵循Bruins等人（2018）概述的两步方法。该两步方法首先使用较大的λ值和少量的模拟结果R，t实现GII-K，以获得θ的初步估计值；在第二步中，GII-K程序以较小的λ值和较大的R值运行，并使用θ的第一步估计器作为第二步的起始值。我们遵循Bruins等人（2018）的观点，在第一阶段考虑（λn，R）=（.03，10），在第二阶段采用（λn，R）=（.003，300）。在1000次重复中，我们报告了所有估计器的平均偏差（MBIAS）、平均绝对偏差（AB）、标准偏差（STD）和95%瓦尔德置信区间（CV95）的蒙特卡罗覆盖率。除GII-2方法外，所有其他估计员在所有模拟设计中使用R=10模拟图。GII-COV估计器使用牛顿-拉斐逊算法计算，同时使用Hessian和g r adient，通过自动微分技术进行数值估计。对于所有GII-COV程序，我们在所有模拟设计中取r=10。GII-K标准函数的smoot-hnessof也允许基于导数的优化程序。继Bruins等人。

（201 8），我们使用准牛顿算法来实现这两种GII-K方法，该算法使用有限差分方法计算平滑标准函数的Hessian和梯度。正如Bruins等人（2018）所述，每个模拟运行的初始值均设置为所有估算程序和每个模拟设计的真实参数值。对于每个估计器，使用有效加权矩阵。不同模拟设计和估算方法的结果见表1-5。就偏差（MBIAS）和标准偏差（STD）而言，在每个蒙特卡罗设计中，GII-COV估计器相对于GII-K和无导数估计器具有优异的性能。除了GII-COV中观察到的偏差和方差之外，G II-K中固有的额外偏差和方差反映了平滑结果的程序使用，这需要选择核和相关带宽参数。然而，我们确实注意到，在较大的样本量下，GII-2方法给出的结果更接近GII-COV。同样重要的是，GII-COV和GII-K之间的差异不会减弱asn的增加。从表6可以看出，相对于GII-COV，几乎所有蒙特卡罗设计中，GII-1的偏差和标准误差随着n的增加而增加。表7中还观察到GII-2的类似结果模式。然而，在较大的样本量下，GII-2给出的估计值比使用GII-1方法得到的估计值具有更小的偏差和标准偏差。GII-2所需的额外优化步骤将导致比GII-COV、G II-1和无导数方法慢得多的算法。表8包含蒙特卡罗设计中各种alg算法的平均执行时间。在所有情况下，GII-1给出的执行时间最快，紧随其后的是GII-COV。

一般来说，GII-COV比补充附录更快，我们进一步比较了两个版本的GII-COV：一个版本使用自动微分来数值计算gra die nt和Hessian，另一个版本使用有限微分来估计这些导数。结果表明，与使用标准有限差分导数估值器相比，使用自动差分对导数进行数值估计，至少在偏差方面，可以实现有限样本的改进。比任何一种无衍生工具的方法都更容易实现。GII-2的执行时间总是比本模拟研究中使用的所有其他方法都要长，这是GII-2在第二阶段估计时必须生成和操作R=300个额外模拟数据集的结果。因此，虽然GII-2可以给出比GII-1更好的估计，并且我们的结果在MBIAS和STD方面更接近GII-COV，但这样做的计算成本更高。从这些蒙特卡罗结果中，我们可以得出结论，GII-COV在精度和计算性能方面优于这些竞争对手。6讨论II中有许多有趣的例子，其中产生的标准函数在相关参数中是不连续的。虽然已经提出了全局核平滑方法，如Bruins等人（2018）的广义直接推理方法，以缓解标准函数中的这种不连续性，但此类方法需要依赖于用户的带宽参数，这可能会对结果参数估计产生负面影响。在本文中，我们提出了一种新的II方法，该方法可以在不需要平滑方法的情况下缓解模拟准则函数内的不连续性。

在II中应用此模拟方法可得到标准函数，该函数可产生相应极限对应项的一致一致导数估计，并允许使用基于标准导数的优化例程计算II估计量。此外，得到的IIestimators具有标准的渐近性质，在有限样本模拟实验中表现良好。为了简单起见，本文重点讨论了模拟数据由独立一致性生成的情况，从而允许我们应用变量的条件独立变化来消除准则函数中的不连续性。如果需要依赖一致性来生成模拟结果，例如，在某些具有copula结构的多元随机变量下的一致性，则生成内生变量的每个一致性中变量的变化将影响其他维度。在这些情况下，可以使用与此处所考虑的方法类似的方法。然而，这种扩展需要额外的技术细节和解释，因此有待进一步研究。参考Altonji，J.G。，A、 A.Smith和I.Vidangos（2013年2月）：“盈利动态建模”，《计量经济学》，811395-1454。Ambrosetti，A.和P.H.Rabinowitz（1973）：“临界点理论和应用中的对偶变分方法”，《泛函分析杂志》，14349–381。An，M.Y.和M.Liu（2000）：“使用间接推理解决初始条件问题”，《经济与统计评论》，82656–667。Andrieu，L.、G.Cohen和F.J.V'azquez Abad（2011）：“概率约束下基于梯度的模拟优化”，《欧洲运营研究杂志》，212345–351。Baydin、A.G.、B.A.Pearlmutter、A.A.Radul和J.M。

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