具有非光滑准则函数的间接推理

由于II a中经常遇到的许多不连续性是从模拟指标函数上升而来的，因此这种优化应转移到我们的设置中。提案1。假设假设1-3成立。然后，M的一阶和二阶导数（θ，θ*, β） 关于θ，在θ=θ时计算*, M（θ）一阶和二阶导数的存在性和重无偏估计*, β） 关于θ，在θ=θ时计算*. 此外，asn→ ∞,θMn（θ，θ*, β)θ =θ*p→ θM（θ*, β） 以及θkθlMn（θ，θ*, β)θ =θ*p→ θkθlM（θ*, β） ，在（θ）中均匀分布*, β) ∈ Θ×B和每k，l∈ {1…，dθ}。上述结果表明，该程序产生的模拟力矩具有关于t oθ的导数，在θ处计算*, 这是对Limit同行的一致估计。因此，这种COV方法允许我们构造“广义”LM-II和WALD II准则函数asQLMn（θ，θ*) :=Mn（θ，θ*,^β)Ohmnand QWn（θ，θ*) :=βR（θ，θ*) -^βOhmn、 式中，βR（θ，θ*) := R-1PRr=1^βr（θ，θ*) 用估计量^βr（θ，θ*) 满足下列力矩条件：n-1Pni=1mri（θ，θ*, β） =0，每个r=1，R和给定值（θ，θ*) ∈ Θ. 我们可以基于COV方法定义广义II估计量，并通过最小化问题θl=arg minθ表示为θlm和θW∈ΘQln（θ，θ），对于l∈ {LM，W}。（7） 此后，我们将此类II估计量称为GII变量变化（GII-COV）估计量。示例1（续）。为了实现我们的GII-COV方法，回想一下，标准模拟结果是yrit（θ）=1l[F(-x′itγ-ρvri，t-1） <urit]。现在，考虑临界点函数：cit（θ）=0，cit（θ）=F(-x′itγ- ρvri，t-1） 和cit（θ）=1。Letθ*= (γ*′, ρ*)′是我们希望计算函数θ7的点→ yrit（θ）。

如（6）所示，我们构造urit（θ，θ*) 如下所示：urit（θ，θ*) =cit（θ）cit（θ*)urit，如果urit≤ cit（θ*)cit（θ）+1- cit（θ）1- cit（θ*){乌里特-cit（θ*)}, 如果cit（θ*) < 乌里特。对应的雅可比项writ（θ，θ*) 仅取决于θ，尽管临界点函数cit（θ）在θ中是可微的。新模拟结果的生成与原始结果完全相同，yrit（θ）=1l[cit（θ）<urit]，除了新结果是通过用统一的urit（θ，θ）替换Uritwi来模拟的*). 也就是说，yrit（θ，θ*) = 1l[cit（θ）<urit（θ，θ*)]. 使用yrit（θ，θ*) ANDWRITE（θ，θ*), 然后我们可以构造矩函数mn（θ，θ）的近似值*, β） =nRnXi=1RXr=1TXt=2zityrit（θ，θ*) - z′itβ书写（θ，θ*),回想一下，虽然临界点函数可以依赖于模拟数据集r，但我们减轻了这种依赖性，以简化符号。对于II结合函数，’βR（θ，θ*) =nXi=1TXt=2zitz′it-1nXi=1TXt=2zitRRXr=1yrit（θ，θ*)书写（θ，θ*).通过定义urit（θ，θ*) 上面，我们有cit（θ）<urit（θ，θ*) 当且仅当inf cit（θ*) < urit，它产生一个交替表示：yrit（θ，θ*) = 1l[cit（θ*) < 乌里特]。因此，Mn（θ，θ*, β） 和βR（θ，θ*) θ的函数仅通过雅可比项wit（θ，θ*), 这在θ中是不同的。因此，这两个近似函数在θ上是可微的；例如θMn（θ，θ*, β） =nRnXi=1RXr=1TXt=2zit1l[cit（θ*) < 乌里特语]- z′itβθ写（θ，θ*).此外，根据命题1，近似导数θMn（θ，θ*, β） ，在θ=θ时计算*, 人口对应物的isan无偏一致相合估计θM（θ*, β). 虽然GII-COV估值器可以如方程（7）所示定义，但值得注意的是，标准函数QLMn（θ，θ）和QWn（θ，θ）具有非常规则的行为。

特别是，从命题1的结果，我们可以推断，这些II准则函数是其相应极限对应项的一致估计量。为了获得一致性结果，还采用了以下假设。假设4。回忆M（θ，β）=E[M（yri（θ），zi，β）]。（a） M（θ，β）=E【M（yi，zi，β）】表示所有β∈ B、 （B）参数β位于B的内部，是M（θ，β）=0的唯一解。（c）Ohmnp公司→ Ohm 对于某些正定义矩阵Ohm.假设4（a）确保结构模型的规格正确。假设4（b）要求存在唯一的辅助参数向量，满足在真实结构参数θ下评估的总体动量条件。根据假设4（c），可能随机加权矩阵Ohmn收敛到正定义矩阵Ohm.定理1。假设假设1-4成立l ∈ {0, 1, 2}. 然后，（a）统一于θ*∈ Θas n→ ∞,lθQLMn（θ，θ*)|θ =θ*p→ lθQLM（θ*);（b） 此外，如果（i）mapβ7→ m（y，z，β）在给定（y，z）的情况下是两次连续可微的∈ Y×Z，（ii）存在一个随机变量ξ'miso，即supβ∈黑色ξβm（yi，xi，β）k≤ξ’m和E|ξ？mi |<∞ 对于ξ=1，2，（iii）Eβmyri（θ），zi，β对于任何（θ，β）都是非单数的∈ Θ×B和（iv）对数（R）/n→ 0，那么lθQWn（θ，θ*)|θ =θ*p→ lθQW（θ*),θ内均匀*∈ Θas n→ ∞.根据定理1，QLMn（θ，θ）的可微性*) a和QWn（θ，θ*), 关于θ，还允许我们确定GII-COV估计器θlm和θ是一阶条件的解：θQLMnθ、 ^θLMθ=^θLM=op（1）和θQWnθ、 ^θWθ=^θW=op（1），满足相关二阶条件。从这些特征中，可以使用基于标准导数的优化例程来获得^θlm和^θW。备注1。

对于W-II估计量，定理1需要几个LM-II估计量不需要的额外假设。由于辅助估计量仅定义为辅助矩的一个近似解，因此需要结果的条件（i）-（iii）（b）以及假设1-3，以确保辅助矩方程具有足够的正则性，从而保证：（i）辅助参数估计量存在；（二）辅助参数估计器性能良好。虽然本文没有明确证明，但我们注意到，如果辅助估计器对m有一个闭合的，这些假设可以放松，定理1（b）的结果将遵循与结果（a）部分相同的假设。同样，由于辅助估计量解的隐含性，需要一个关于相对于样本量n的模拟数R的附加条件。该RATE要求非常低，涵盖了II估算的任何可行实施。例如，它允许模拟的数量以及与样本大小相同的顺序。该条件与模拟路径上的一类极大不等式相结合，保证了算法的一致收敛性lθ^βr（θ，θ*)|θ =θ*到lθβ(θ*) r上方∈ 概率为{1，…，R}l ∈ {0，1，2}，如附录中的图A.5所示，从而导致lθQWn（θ，θ*)|θ =θ*,l ∈ {0, 1, 2 }. 当记录（R）/n时→ c∈ (0, ∞], W-II估计的上述结果f不适用，其渐近性质超出了本文的范围，而LM-II估计的结果是有效的。备注2。必须认识到，必须在θ的任何值下进行COV*我们希望计算θQLMn（θ，θ*)|θ =θ*或θQWn（θ，θ*)|θ =θ*.

然而，COV仅影响LM和Wald准则函数导数的计算：θmrit（θ，^θLM，β）|θ=^θLM，对于LM-II标准，以及θ′βR（θ，^θW）|θ=^θwf用于W-II标准。因此，这个过程中唯一“近似”的部分是导数。这样，这种方法与Bruins et al.（2018）相似，因为我们的方法是一种广义的I I I。备注3。长期以来，使用数值有限差分计算衍生品一直是计量经济学的标准方法。然而，众所周知，这种方法在方差和偏差之间表现出权衡，这取决于调谐参数的选择。一般来说，当使用普通随机数的中心差分时，可以选择一个优化调整参数作为模拟随机数（如R）的函数，这将产生R的最佳收敛率-2/5（Glynn，1989）。然而，如果函数对于随机数的所有lmo值也是连续的，则最优调节参数为零，最优收敛速度为R-1/2.如果研究人员选择非常大的模拟尺寸，则违反此条件；例如，R=en。然而，在这种情况下，即使样本量很小，比如n=100，研究人员也必须生成和存储更多的模拟路径，每个路径的长度为n=100。备注4。我们注意到，有其他导数估计方法可以潜在地缓解与非光滑模拟标准函数相关的困难。最直观的方法是通过所谓的“似然比法”（Glynn，1987），该方法通过故意选择样本空间，将感兴趣的参数推到生成模拟数据的密度函数中。

该方法在OII中的应用在很大程度上取决于模型以及作为模型参数函数分析评估该密度的能力。另一种可能的方法是通过Malliavin积分byparts（Fourni\'e et al.，1999），该方法将变量演算从函数扩展到随机过程。此外，Mollification方法（Friedrichs，1944）提供了通过卷积近似非光滑函数的一般方法，而该方法通常无法获得无偏导数估计量。对于计量经济学中的复杂模型，尤其是那些具有不可分离误差的模型，目前尚不清楚这些方法的确切实现。虽然这些替代方法可能有用，但在此背景下对这些方法的彻底探索超出了本文的范围。4渐近性质本节介绍GII-COV估计量的渐近性质。我们首先证明了估计量的一致性，并建立了渐近正态性。随后，我们解释了GII COV如何帮助渐近方差的一致性估计。定理2。假设假设1-4成立。另外，对于Wald估计，假设定理1（b）中所述的条件。

然后，作为n→ ∞,^θLMnp→ θ和^θWnp→ θ.对于GII-COV估计的渐近正态性，我们需要一个额外的正则条件。假设5。（a） 对于某些δ>0，对于任何（y，z）∈ Y×Z，函数m（Y，Z，β）在β中连续可微∈ B带kβ- βk≤ δ、 和Esupβ∈Nδ（β）kβm（yi，zi，β）k< ∞.（b）βM（θ，β）不是n-奇异的。（c） 定义ξri：=m（yri（θ），zi，β）- m（yi，zi，β）和Ξ：=E[ξriξr′i]。√nRRXr=1nXi=1ξrid→ N0，（1+R-1)Ξ.从任何意义上讲，似然比方法的这一概念与间接推理的似然比方法的概念无关，而是与估计参数空间中某个固定点的期望导数有关。molli fication是一种非光滑函数的近似方法，通过与一些合适的微分函数（所谓molli fiers）进行卷积。与我们的方法一样，这种方法也可以被视为局部方法，因为它依赖于平滑参数，这会导致其导数估计量存在偏差。Wethank是一位匿名推荐人，他指出了我们的方法与缓和之间的关系。（d）θM（θ，β）在θ中是连续的，对于某些δ>0和θ∈ Nδ（θ），具有秩dθ。假设5中的正则性条件相当弱，结合假设1-4，确保辅助矩具有足够的正则性，以确保GII-COV估计量渐近正态。此外，与证明基于非光滑准则函数的II估计的渐近正态性所需的高级随机等连续性条件不同，参见Pakes和Pollard（1989）、Chen et al.（2003）和Chaudhuri et al.（2018），GII-COV方法在更原始的条件下产生渐近正态估计。

特别是，在假设1-5下，我们在附录中证明，证明符号正态性通常需要的大数一致律和随机等连续性条件是可以满足的。此外，我们在这里注意到，这些结果是使用GII-COV方法计算的模拟矩和约束函数得出的正则性的直接结果。定理3。设R=cnδ 对于某些常数c>0和δ∈ [0, ∞). 假设假设1-5满足。同样，对于Wald估计，假设定理1（b）中所述的条件。（i） 如果δ=0或R=c ≥ 1，则为n→ ∞,√n（^θLM）- θ） d→ N0, (1 + c-1） ∑LM和√n（^θW）- θ） d→ N0, (1 + c-1） ∑W,式中，∑LM：=(′Ohm)-1个(′OhmΞOhm)(′Ohm)-1和∑W：=（Γ′）OhmΓ)-1(Γ′OhmΛ-1′ΞΛ-1.OhmΓ)(Γ′OhmΓ)-1带 := θM（θ，β），λ：=βM（θ，β）和Γ：=θβ（θ），a nd（ii）ifδ∈ (0, ∞), 然后，作为n→ ∞,√n（^θLM）-θ） d→ N0，∑LM和√n（^θW）- θ） d→ N0，∑W.对于LM e刺激器，如果加权矩阵Ohmn收敛到Ξ-在概率中，则^θlm具有“最优”渐近方差，该方差与(′Ξ-1.)-1、对于Wald估计，如果加权矩阵Ohmn收敛到（∧′Ξ）-1∧）概率，则^θWha为“最优”渐近方差，与（′Ξ-1.)-1标记5。上述结果表明，GII-COV方法产生的估计量在一阶上与标准II估计量具有相同的渐近性质。也就是说，COV对θ的最终参数估计没有渐近影响。此外，我们注意到，如果or原始标准在θ中是可微分的，那么这种COV方法将产生数值上等同于标准r d II估计器的估计器：接下来是，如果函数yri（θ）在tθ中是可微分的，则说明*, 带导数θyri（θ*), 我们的方法确保θyri（θ，θ*)|θ =θ*= θyri（θ*).

因此，在原始模拟结果持续不同的情况下，使用此GII-COV估计策略没有任何益处，并且假设满足所需的规律性条件，这两种方法不仅在一阶上，而且在更高阶上都是渐近等效的。备注6。Bruins等人（2018）的GII-K方法和我们的GII-COV方法是渐近等效的，只要GII-K方法中使用的带宽参数比1更快收敛到零/√n、 这样就不会对得到的参数估计产生渐近偏差。相反，我们的方法不需要任何调优参数。GII-K和GII-COV之间的这种差异可能会对两个估计量的高阶特性产生影响。虽然对这两个估计器的高阶分析超出了本文的范围，但我们推测，GII-COV方法可能会导致估计器具有比GII-K方法更小的高阶偏差，从而产生更小的有限样本偏差，由于GII-COV在高阶展开中构造准则函数的导数时不需要核平滑（也不需要调整参数）。下一节给出的蒙特卡罗证据进一步证实了这一推测，该证据表明GII COV通常会导致估计量的有限样本偏差小于GII-K。备注7。我们的GII-COV方法允许使用样本类比对定理3中的渐近方差进行简单的一致估计。这可以通过使用几种不同的数值方法来估计II标准函数的导数来实现。

首先，由于采样矩函数mri（θ，θ*, β） 在θ中是可微分的，常用的方法是使用标准的数值微分，例如，可用于获得一些^ 这估计了矩的雅可比矩阵: 对于ej，表示dθ×1向量，j-thcomponent中为1，否则为零，j=θjE[mi（θ，β）]|θ=θ可使用δn>0和较小的j（δn）=2δn“nRnXi=1RXr=1mri（θLM+ejδn，θLM，β）-nRnXi=1RXr=1mri（^θLM-ejδn，θLM，β）。命题1的结果表明，只要^θLMp→ θ、 ^βp→ β、 和δn→ 0,^j（δn）p→ j（见Hong等人，2015年）。其次，导数J还应使用自动微分的数值技术进行一致性估计，参见Glasserman（2003）。由于自动微分在计量经济学中并不常用，我们在补充附录中进一步讨论了这种数值技术。5示例：离散Choi ce模型为了进一步说明GII-COV方法，我们现在考虑将II应用于各种动态离散选择模型生成的模拟数据。我们选择的辅助模型是线性概率模型，该模型与Li（2010）和Bruins et al.（2018）中的辅助模型有相似之处，并允许使用简单的闭合形式矩来估计基础结构参数。5.1离散选择模型中的间接推理个体i=1。。。，n从（J+1）中选择，每次t=1。。。，通过最大化与每个备选方案相关的公用设施。我们假设效用遵循标准的加性随机效用框架。特别是，时间t时的第i-t个个体选择第j个备选方案Ifj，t=1ly*j、 t>最大值{0，y*k、 t:k=1，J a和k 6=J}, 对于j=0，1。。。，J、 y型*j、 t=ρyyj，t-1+w′j，tα+x′itγj+vj，t，vj，t=ρevj，t-1+j，t，（8）式中（1，t。