具有非光滑准则函数的间接推理

由于E[Mn（θ，θ，β）]=M（θ，β），Mn（θ，θ，β）=Mn（θ，β），且[Mn（θ，θ，β）]=0，我们得到√nMn公司θ、 θLM，β=√nM（θ，^β）+√nMn公司θ, β+ op（1）。A-8By泰勒展开式，√nM（θ，^β）=βM（θ，β）′√n（^β）- β） +op（1），应用引理a.6中使用的类似参数，我们可以证明√nM（θ，^β）=-n-1/2Pni=1m（yi，zi，β）+op（1）。这与（A.10）一起产生√n（^θLM）- θ) = (′Ohm)-1.′Ohm√n？ξn，R+op（1），其中？ξn，R：=（nR）-1PRr=1Pni=1PTt=1ξrit。预期结果来自假设5（c）。接下来，我们考虑Wald估计量的情况。我们有θQWn（θ，^θW）|θ=^θW=2θ′βR（θ，^θW）|θ=^θW′Ohmn√nβR（^θW，^θW）-^β.如定理1的证明所示，θ′βR（θ，θ*)|θ =θ*p→ θβ(θ*) θ内均匀*∈ Θ. 同样，^θWp→ θ来自定理2和Ohmnp公司→ Ohm 根据假设4（c）。因此θQWn（θ，^θW）|θ=^θW=2θβ(θ)′Ohm√nβR（^θW，^θW）-^β+ op（1）。给定^θW的一致性，引理A.6意味着√n[’βR（^θW，^θW）-^β] = -[βM（θ，β）]-1.√n′ξn，R+op（1）。收集到目前为止的结果，我们得到√n（^θW）- θ) = -(Γ′OhmΓ)-1Γ′Ohm[βM（θ，β）]-1.√n′ξn，R+op（1）。预期结果来自假设5（c）。我们提供了一个技术引理来获得所提出的估计量的渐近分布。为此，我们将在下面的引理中使用一些来自经验过程文献的符号和结果。设（z，u）是概率分布为P的随机变量，其中z是具有支持度z的随机向量，u是标准均匀随机变量。我们假设z和u在统计上是独立的。设B和Θ分别是具有有限维dβ和dθ的紧参数空间。定义可测量函数μβ：Z→ R和φθ：Z→ Rforβ∈ B和θ∈ Θ. 设F是可测函数Fθ，β：Z×[0，1]的集合→ 由参数（θ，β）确定的R指数∈ Θ×B，由fθ，β（z，u）给出：=uβ（z）1l[u≤ φθ（z）]（z，u）∈ Z×[0，1]。

对于某些>0，设N[]（，F，L（P））为制动数，对于某些δ>0，括号积分由j[]（δ，F，L（P））：=Rδplog N[]（，F，L（P））d给出。下面的引理将通过显示括号积分是有限的来证明集合F是Donsker。在Sant\'Anna和Song（2019）的引理1中也可以找到类似的结果。我们用直径（A）来表示集合A的直径。引理A.7。假设（i）函数μβ和φθ对于β是两次连续可微分的∈ B和θ∈ Θ各自的l y，（ii）supβ∈黑色βuβ（z）k≤ u（z）和supθ∈Θkθφθ（z）k≤ 带E的φ（z）[u（z）]<∞ 和E[\'\'φ（z）]<∞, （iii）参数空间Θ和B为comapct。然后，函数F的集合是P-Donsker。证据设>0为任意小常数。考虑部分离子{k}Kk=1ofΘ和{Bl}Ll=1of B。在条件（iii）下，存在有限常数k≤直径（Θ）/dθ和L≤A-9直径（B）/dβ使得直径（Θk）≤ 和直径（Bl）≤ 对于每k=1，K和l=1，五十、 固定（k，L）∈ {1，…，K}×{1，…，L}并拾取一些元素（θK，βL）∈ 那么，我们可以证明，对于任何（θ，β）∈ 任意z的k×Bland∈ Z、 φ-k（z）≤ φθ（z）≤ φ+k（z）和u-l（z）≤ μβ（z）≤ u+l（z），其中φ±k（z）：=φθk（z）±(R)φ（z）和u±l（z）：=uβl（z）±u（z）。我们可以证明μβl（z）1l[u≤ φθ（z）]- u（z）≤ fθ，β（z）≤ uβl（z）1l【u】≤ φθ（z）]+u（z），用于（θ，β）∈ Θk×Bl。

因此，f-k、 l≤ fθ，β≤ f+k，lfor（θ，β）∈ Θk×Bl，其中f+k，l（z，u）：=μβl（z）1l[μβl（z）≥ 0，u≤ φ+k（z）]+1l[μβl（z）<0，u≤ φ-k（z）]+ u（z），f-k、 l（z，u）：=μβl（z）1l[μβl（z）≥ 0，u≤ φ-k（z）]+1l[μβl（z）<0，u≤ φ+k（z）]- u（z）。利用三角不等式，我们可以证明| f+k，l（z，u）-f-k、 l（z，u）|≤ |uβl（z）| 1l[φ-k（z）<u≤ φ+k（z）]+2u（z）。因此，cr不等式和Holder不等式的一个应用是| f+k，l（z，u）- f-k、 l（z，u）|≤ 2.Eμβl（z）]E1l[φ-k（z）<u≤ φ+k（z）]+ （2）Eu（z）.因为u是均匀分布的，与z无关，所以我们得到了e[1l[φ-k（z）<u≤ φ+k（z）]| z]≤ φ+k（z）- φ-k（z）=2φ，这意味着E | f+k，l（z，u）- f-k、 l（z，u）|。. 因此，括号数N[]（，F，L（P））的阶数为多项式（1/），熵的阶数小于对数（1/）。因此，括号内的熵满足t J[]（δ，F，L（P））。Rδplog（1/）d表示任何δ∈ （0，1）和j[]（δ，F，L（P））→ 0为δ→ 因此，F是P-Donsker（更多详情请参见van der Va art and Wellner，1996年第2.5节）。A-10附录B.表本附录包含正文第5.2节中引用的表1-8。表1:GII COVn=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0052 0.0110 0 0.0281 0的模拟结果。9570-0.0001 0.0015 0.0049 0.9590ρ-0.0043 0.0183 0.0419 0.9430-0.0009 0.0028 0.0075 0.9440模型2γ0.0038 0.0105 0.0246 0。9440 0.0002 0.0016 0.00 45 0.9460α0.0039 0.02 30 0.0463 0.9370 0.00 08 0.0041 0.0107 0.9510ρ-0.0034 0.0174 0.0341 0.9410-0.0009 0.0032 0.0097 0.9600模型3γ0.0033 0.0115 0.0286 0。9500 0.0002 0.0021 0.00 71 0.9610α0.0057 0.02 41 0.0519 0.9530 0.00 11 0.0053 0.0141 0.9460ρ-0.0060 0.0193 0.0443 0.9510-0.0011 0.0037 0.0110 0.9600注释。蒙特卡罗模拟的复制次数为1000次。横截面样本大小n为200或1000。

我们报告了平均偏差（MBIAS）、平均绝对偏差（AB）、标准偏差（STD）和95%置信区间（CV95）的蒙特卡罗覆盖率。对于GII-COV程序，我们在每个蒙特卡罗设计中使用R=10个模拟样本。表2:GII-1n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0541 0.0800 0.0918 0的模拟结果。9240 0.0061 0.0272 0.03 37 0.9530ρ-0.0300 0.0968 0.1188 0.9450-0.0228 0.0438 0.0499 0.9310模型2γ0.0532 0.0833 0.0990 0。9140 0.0055 0.0298 0.03 70 0.9510α0.0073 0.08 36 0.1049 0.9610 0.00 06 0.0339 0.0425 0.9570ρ-0.0293 0.1062 0.1309 0.9470-0.0223 0.0479 0.0561 0.9280型号3γ0.0132 0.1478 0.3140 0。9910 0.0094 0.0611 0.07 84 0.9570α -0.00 03 0.1898 0.2421 0.9580 -0 .0183 0.0793 0.0990 0.9470ρ0.0067 0.2 704 0.4558 0.9860 0.0 164 0.1205 0.1536 0.9 440注释。对于n=200，带宽为λn=。08，对于n=1000，带宽为λn=。另见表1。对于GII-1程序，我们在everyMonte Carlo设计中使用R=10个模拟样本。B-1表3:GII-2n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0539 0.0788 0.0939 0的模拟结果。9180 0.0091 0.0271 0.03 33 0.9400ρ-0.0010 0.0936 0.1185 0.9550-0.0011 0.0386 0.0485 0.9490型号2γ0.0495 0.0791 0.0928 0。9260 0.0077 0.0282 0.03 50 0.9460α0.0111 0.08 20 0.1026 0.9400 0.00 08 0.0324 0.0405 0.9490ρ-0.0064 0.1022 0.1293 0.9510-0.0023 0.0437 0.0547 0.9430模型3γ0.0180 0.1011 0.1389 0。9570 0.0057 0.0434 0.05 49 0.9470α 0.0002 0.14 25 0.1803 0.9540 -0 .0071 0.0565 0.0705 0.9440ρ0.0243 0.2 266 0.2979 0.9400 0.0 042 0.0980 0.1152 0.9 420注释。对于GII-2的第一步，带宽为λn=。03，R=10个模拟数据复制；在第二步中，带宽为λn=。003，我们使用R=300模拟数据集。

另见表1。表4：基于Nelder-Mead单纯形搜索的模拟结果n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.0346 0.0893 0.1357 0。9580 0.0220 0.0443 0.05 59 0.9370ρ-0.0231 0.0535 0.0725 0.9440 0.0062 0.0311 0.0430 0.9340模型2γ0.0459 0.0703 0.0826 0。9180 0.0225 0.0347 0.03 84 0.9080α0.0041 0.02 75 0.0509 0.9280 0.00 63 0.0248 0.0352 0.9190ρ-0.0371 0.0617 0.0746 0.9300-0.0007 0.0373 0.0509 0.9310模型3γ0.0198 0.0578 0.0859 0。9370-0.0035 0.0498 0.0638 0.9440α0.0016 0.00 48 0.0086 0.9550 0.00 18 0.0137 0.0274 0.9540ρ-0.0507 0.0508 0.0182 0.1550 0 0.0096 0.0271 0.0417 0.9390注释。见表1。R=每个蒙特卡罗设计中的10个模拟样本。B-2表5：进化算法（Patternsearch）的模拟结果n=200 n=1000MBIAS AB STD CV95 MBIAS AB STD CV95Model 1γ0.2101 0.2335 0.2687 0。8680 0.0376 0.0578 0.07 65 0.9360ρ0.0826 0.1 374 0.1581 0.8990 0.0 154 0.0465 0.0591 0.9 320型号2γ0.0761 0.0951 0.1264 0。8990 0.0234 0.0339 0.04 07 0.9140α0.0279 0.08 54 0.1095 0.9230 0.00 89 0.0337 0.0434 0.9380ρ-0.0006 0.1161 0.1494 0.9480-0.0006 0.0454 0.0576 0.9510模型3γ0.1110 0.1622 0.3047 0。9680 0.0076 0.0517 0.07 22 0.9520α0.0532 0.19 14 0.2945 0.9730 0.00 21 0.0765 0.0996 0.9520ρ-0.0106 0.3228 0.4076 0.9500 0.0585 0.1376 0.1652 0.9290注释。见表1。R=每个蒙特卡罗设计中的10个模拟样本。表6:GII-COV和GII-1之间的偏差和标准偏差比较。（相对于GII-COV的MBIAS和STD，GII-1的MBIAS和STD）n=200 n=1 000MBIAS STD MBIAS STD模型1γ10.40 3.27-61.00 6.88ρ0.71 2.84 25.33 6.65模型2δ14.00 4.02 27.5 8.22α1.87 2.27 0.75 3.97ρ8.62 3.84 24.78 5.78模型3γ4.00 10.98 47.00 11。04α-0.05 4.66-16.64 7.20ρ1.12 10.29-14.91 13.84注释。

我们报告了GII-1相对于GII-COV的平均偏差（MBIAS）和标准偏差（STD）。蒙特卡罗模拟的复制次数为1000次。横截面样本量n为200或1000。B-3表7:GII-COV和GII-2之间的偏差和标准偏差比较。（相对于GII-COV的MBIAS和STD，GII-2的MBIAS和STD）n=200 n=1000MBIAS STD MBIAS STD模型1γ10.37 3.34-91.00 6.80ρ0.24 2.82 1.22 6.47模型2δ13.03 3.77 38.50 7.78α2.84 2.22 1.00 3.78ρ1.88 3.79 2.56 5.64模型3γ5.45 4.86 28.50 7.73α-0.67 3.47-6.45 4.96ρ3.63 6.71-3.82 10.47注释。我们报告了GII-2相对于GII-COV的平均偏差（MBIAS）和标准偏差（STD）。蒙特卡罗模拟的复制次数为1000次。横截面样本量n为200或1000。表8：原始计算时间比较（以秒为单位）n=200 n=1000型号1 GII-COV 0.33 53 0.5734GII-1 0.1134 0.2738GII-2 6.5922 10.6386NM 0.3148 0.7579PS 0.3873 0.8722型号2 GII-COV 0.22 83 0.7783GII-1 0.0915 0.1871GII-2 7.8088 11.2114NM 0.3808 0.9430PS 0.5561 1.4457GII-COV 0.09 81 0.4053GII-1 0.0473 0.0635GII-2 2.1736 3.9593NM 0.1456 0.2977PS 0.2125 0.5160注释。这些条目表示100个蒙特卡罗复制的平均执行时间（秒）。我们报告了GII-COV、GII-K（GII-1）的朴素实现、GIIK（GII-2）的两步版本、Nelder-Mead单纯形算法（NM）、Patternsearch算法（PS）的结果。横截面样本大小n为200或1000。B-4“具有非光滑标准函数的间接推理”的补充材料A实施细节：示例在本节中，我们验证了本文中的假设1-3对于每个示例都是满足的2-4。

此外，对于每个示例，我们给出了使用COV（GII-COV）实现广义间接推理（GII）所需的特定变量变化（COV）。示例2（具有单独影响的有序Pr ob it模型）。设xi=（xi1，…，xiT）∈ Rdx×RT，yi=（yi1，…，yiT）\'∈ {0，1，2，…，J}T，a dz×T矩阵zi=（zi1，…，ziT）′，wi=（wi1，…，wiT）′∈ RTI=1，n、 此外，我们设置参数θ=（δ，δ，…，δJ，σ，γ′）。假设1（a）假设观测变量xind yi为iid，xind wi为独立变量。（b） 新息{wi}ni=1为iid，遵循标准正态分布，具有连续可微的概率密度函数。（c） （效用）函数h（xi，wi；θ）=x′iγ+σvi+wii在w和∈ R和（γ，σ）给出了xi。（d） 我们假设θ的参数空间Θ是紧的，并附加了δ<····<δJ的限制。假设2（a）该假设通过构造和Θ的紧性保持不变。（b） 通常，使用看似不相关的回归（SUR）模型作为辅助模型，矩函数的形式如第5.1节所示：m（yi，zi，β）=zi1（yi1- z′i1β）。。。青春痘（yiT- z′iTβT）,对于某些在时间t时是外生的变量，函数β7→ m（y，z，β）对于任何（y，z）都是连续的∈ Y×Z.（c）根据力矩函数m（·）的定义，我们有| | zit（yit- z′itβt）| |≤ ||zityit | |+| | zitz′itβ| |≤ ||zityit | |+| | zitz′it | | | | |β| |≤ ||zityit | |+C | | zit | |，B-5其中la st不等式源自B的紧性。定义“mi=| | zityit | |+C | | zit | |，我们看到“mihas fi second moment if yi”和“zitave fi second moment for alli，t”。由于yit是一个阶跃函数，这是令人满意的。

由于zitis由xit和lagsofxit组成，因此只要xit对所有人都有一个有限的二阶矩（i，t），就可以进行假设。假设3（a）重写数据生成过程asyit=JXj=0j1lcjit（θ））<uit≤ cj+1it（θ）,式中，cit（θ）=0，cJ+1it（θ）=1，cjit（θ）=Φ（δj- x′itγ- σνi），它是假设中的显式形式。假设δj<δj+1，且正规CDF是严格单调且两次连续可微的，则Random函数是cj（θ）<cj+1（θ）且两次连续可微的。（b） cjit（θ）wrtθsatisfyk的导数θcjit（θ）k=kφ（δj- x′itγ- σνi）[-x′it，-vi]k≤ （| | xi，t | |+vi），其中φ是标准的普通PDF，和kθcjit（θ）k=k(-δj+x′itγ+σvi）φ（δj-x′itγ- σνi）[-x′it，-六]\'[-x′it，-vi]k≤ (-δj+x′itγ+σvi）k【x′it，vi】′[x′it，vi]k≤δj+（x′itγ）+（σvi）k[x′it，vi]′[x′it，vi]k≤Cδ+Cγ| | xit | |+Cσvik[x′it，vi]′[x′it，vi]k最后一个不等式来自于Θ的紧性。因此，E[k]l\'\'citk]<∞只要xitis有限的第六个矩（viis高斯，所以它的所有矩都存在）。临界点函数和COV本例中的COV函数由Urit（θ，θ）给出*) =cit（θ）cit（θ*)urit，如果为0≤ 乌里特≤ cit（θ*)cit（θ）+cit（θ）-cit（θ）cit（θ*)-cit（θ*)（乌里特- cit（θ*)) , 如果cit（θ*) < 乌里特≤ cit（θ*)...cJit（θ）+1-cJit（θ）1-cJit（θ*)乌里特-cJit（θ*), 如果cJit（θ*) < uJit公司≤ 1、虽然在这种情况下，有多个不连续点，但每个时间步只需要一个COV来替换urit。

与示例1类似，由于过去的不连续性不会影响到时间t的模拟算法，因此雅可比项不会随时间累积。B-6因此，GII-COV中使用的力矩函数由becomesMn（θ，θ）表示*, β） =nRnXi=1TXt=1RXr=1myrit（θ*), 青春痘，β书写（θ，θ*),其中write（θ，θ*) = urit（θ，θ*)/乌里特。示例3（开关型型号）。让yt∈ R+，zt=（1，yt-1） ′，recallt=（vt，ut）′，其中ut~ U[0，1]，vt~ Exp（1），f或t=1，2。。。，T此外，我们还设置了参数θ=（φ，u）′。假设1（a）没有外部变量。（b） 这种情况下的随机创新有两个组成部分，vt~ Exp（1）和ut~ U（0，1）。这两个组件都是iid，彼此独立，因此该假设成立。（c） 函数h（t；θ）=（uvt，ut）′在u中可二次微分。（d） 假设参数空间是紧的。假设2（a）该假设通过参数空间的紧性成立。（b） 对于本例，我们将矩函数作为最小二乘回归的一阶条件：对于zt=（1，yt-1） ′，m（yt，zt，β）=zt（yt- z′tβ）。然后，假设如下。（c） 重复用于验证示例2中假设2（c）的相同论点，很容易证明该假设是满足的。假设3（a）我们必须稍微改变正文中的原始假设，以适应这种更一般的结构。在公式yt=（φyt）中重写模型-1+uvt）1l[ut≤ φ] +φyt-11l【ut>φ】。以上是假设3（a）的广义版本，其中，参考正文中的假设3（a），g（st；θ）=α（θ）1l[0≤ ut<φ]+α（θ）1l[ut>φ]，α（θ）=φyt-1+uvt，α（θ）=φyt-1.B-7现在采用假设3（a）的形式，期望函数αj（θ）依赖于θ。然而，这些函数在θ上是不同的，因此不会产生任何进一步的不连续性。

然后我们得到ct（φ）=0，ct（φ）=φ，ct（φ）=1，是两次连续可微的，并且ct<ct<ctas长为0<φ<1。（b） 只要0<φ<1，就可以满足假设3（b）。临界点函数与COVLetθ*是我们希望评估模拟结果的值。然后，我们在urt上使用COV，我们用urt（φ，φ）替换urt*) =(φφ*城市轨道交通，如果城市轨道交通≤ φ*1.-φ1-φ*（城市轨道交通-φ*) + φ、 如果urt>φ*.与前面的示例或主要论文中处理的示例不同，不连续性yt-k、 k=1，t型- 1，对yt的未来价值有影响。尽管如此，COV导致了yrt（θ，θ）的模拟值*) 根据yrt（θ，θ）递归*) = φyrt-1(θ, θ*) -对数（wrt）u1l[urt≤ φ*],对于y（θ，θ*) = 也就是说，虽然φ仍然出现在yrt中（φ，φ*), COV已将其推出指标，而φ现在仅以不同的方式显示。在这种情况下，辅助功能变成smt（yrt（φ*, φ） ，zt，β）tYs=1wrs（φ，φ*).示例4（G/G/1队列）。假设1（a）没有外部变量。（b） 这里的随机创新可以被视为客户到达时间和服务时间wi和vi的联合向量。根据假设，这些项是相互独立的，并且是均匀分布的。（c） 状态变量为si=（vi，wi）′，这意味着函数h（·）是身份图，通过构造满足假设。在最初的假设中，我们将随机创新设置为iid随机变量的序列，以便其分布不依赖于感兴趣的参数。然而，我们对其分布参数θwandθv感兴趣，这是对假设的一个轻微修改。