平均风险问题的时间一致性

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英文标题：
《Time consistency of the mean-risk problem》
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作者：
Gabriela Kov\\\'a\\v{c}ov\\\'a, Birgit Rudloff
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Choosing a portfolio of risky assets over time that maximizes the expected return at the same time as it minimizes portfolio risk is a classical problem in Mathematical Finance and is referred to as the dynamic Markowitz problem (when the risk is measured by variance) or more generally, the dynamic mean-risk problem. In most of the literature, the mean-risk problem is scalarized and it is well known that this scalarized problem does not satisfy the (scalar) Bellman\'s principle. Thus, the classical dynamic programming methods are not applicable. For the purpose of this paper we focus on the discrete time setup, and we will use a time consistent dynamic convex risk measure to evaluate the risk of a portfolio. We will show that when we do not scalarize the problem, but leave it in its original form as a vector optimization problem, the upper images, whose boundary contains the efficient frontier, recurse backwards in time under very mild assumptions. Thus, the dynamic mean-risk problem does satisfy a Bellman\'s principle, but a more general one, that seems more appropriate for a vector optimization problem: a set-valued Bellman\'s principle. We will present conditions under which this recursion can be exploited directly to compute a solution in the spirit of dynamic programming. Numerical examples illustrate the proposed method. The obtained results open the door for a new branch in mathematics: dynamic multivariate programming.
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中文摘要：
随着时间的推移，选择一个在最大化预期收益的同时又将投资组合风险降至最低的风险资产组合是数学金融学中的一个经典问题，被称为动态马科维茨问题（当风险用方差衡量时）或更一般的动态平均风险问题。在大多数文献中，平均风险问题是标量化的，众所周知，这个标量化问题不满足（标量）Bellman原理。因此，经典的动态规划方法不适用。为了本文的目的，我们关注离散时间设置，并将使用时间一致的动态凸风险度量来评估投资组合的风险。我们将表明，当我们不将问题规模化，而是将其保留为向量优化问题的原始形式时，其边界包含有效边界的上部图像在非常温和的假设下会在时间上向后递归。因此，动态平均风险问题确实满足Bellman原理，但更一般的是，它似乎更适合向量优化问题：集值Bellman原理。我们将提出一些条件，在这些条件下，可以直接利用这种递归来计算符合动态规划精神的解。数值算例说明了该方法的有效性。所得结果为数学中的一个新分支打开了大门：动态多元规划。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：一致性 Mathematical Optimization Multivariate Quantitative

平均风险问题的时间一致性*伯吉特·鲁德罗夫*2020年1月20日摘要选择一个随时间推移的风险资产组合，在使投资组合风险最小化的同时使预期收益最大化，这是数学金融学中的一个经典问题，被称为动态马科维茨问题（当风险用方差衡量时）或更一般的动态平均风险问题。在大多数文献中，平均风险p问题是标度化的，众所周知，这个标度化问题不满足（标量）Bellman p原则。因此，经典的动态规划方法不适用。对于本文的目的，我们关注离散时间设置，并将使用时间一致的动态凸风险度量来评估投资组合的风险。我们将表明，当我们不将问题规模化，而是将其保留为avector优化问题的原始形式时，其边界包含有效边界的上图像在非常温和的假设下会在时间上向后递归。因此，动态平均风险问题确实满足Bellman原理，但更一般，似乎更适合于avector优化问题：集值Bellman原理。我们将提出一些条件，在这些条件下，可以按照动态规划的精神，直接利用这种递归来计算解。数值例子说明了所提出的方法。所得结果为数学中的一个新分支打开了大门：动态多元规划。关键词和短语：平均风险问题、马科维茨问题、投资组合选择问题、向量优化、动态规划、Bellman原理、算法数学学科分类（2010）：91B30、46N10、26E25、90C391简介Richard Bellman于1954年在其开创性著作中介绍了动态规划[3]。

直到今天，它还是一种重要工具，广泛应用于工程、应用数学、经济理论、金融经济学和自然科学的许多领域。它允许将复杂的多周期（标量）优化问题分解为一系列更小、更容易的子问题，这些子问题可以通过递归方式解决。我们在这里回顾了基本事实，这使得与本文结果的比较更加容易。考虑一个时间t问题，对于t∈ {0，…，T- 1} ，其形式如下：给定时间t时状态变量（如初始财富）的起始值v，我们寻找一系列决策，这些决策*维也纳经济和商业大学统计和数学研究所，维也纳A-1020，AUT，加布里埃拉。kovacova@wu.ac.at还有伯吉特。rudlo off@wu。ac.at。最小化时间tVt（vt）：=分钟，…，的总体预期成本，。。。，美国犹他州-1Et“T-1Xs=tfs（vs，us，zs）+fT（vT）#（1.1）s.t.vs+1=hs（vs，us，zs），us∈ 美国（vs），zs∈ Zs，s=t，T- 1，其中标量函数fs表示选择容许控制（决策）us的时间s的成本∈ Us（vs），观察随机变量zs∈ Zs，并从状态方程hs中获得新的状态vs+1，参见【4】。我们调用问题的value f function和considersvt（状态变量的值）作为其参数。如果值函数Vt（Vt）满足Vt（Vt）=分钟，则问题满足Bellman方程（或Bellman原理，称为时间一致性）∈Ut（vs）Et[ft（vt，u，zt）+vt+1（ht（vt，u，zt）），（1.2），其中我们为所有vt设置vt（vt）=ft（vt）。然后，不必解决一个复杂的动态问题（1.1），而可以解决- 1简单的一步问题（1.2）在时间上向后，其中使用获得的值fun action Vt+1作为时间t问题的输入。

方程（1.2）具有以下经济解释：最佳时间t值Vt是当前期间的最佳现金流加上下一期间的最佳值Vt+1之和。Bellman方程一词用于处理离散时间问题。在连续时间优化问题中，模拟是一个称为HamiltonJacobi-Bellman方程的偏微分方程。为了本文的目的，我们将在离散时间内工作。本文的目的是推导一个类似于平均风险问题的Bellman方程f。平均风险问题有两个目标：最小化投资组合的风险，同时最大化预期终值。通常，采用标量化方法将双目标问题转化为标量问题。但是，得到的标量问题不满足Bellman方程（1.2），因此证明是时间不一致的，参见[2，10]。研究人员通过建立不同的方法来解决这一时间不一致的尺度问题，从而解决了这个问题。例如，[20]将时间不一致的均值-方差问题嵌入到时间一致性最优控制问题的单参数族中，在[6]中使用了[5]中对时间不一致性的博弈论解释，在[1]中使用了平均场方法，在[16]中使用了将时间不一致性问题转化为时间一致性问题的标度化动态变化，同时，随时间变化的交易与宽松的自我融资限制相结合，允许资金撤出市场，从而导致在[10]中所做的预委员会中占据主导地位的政策。我们提出了一种完全不同的方法。

我们建议对原来的双目标向量优化问题（而不是标量化问题）进行研究，并根据问题的多目标性质建立一个Bellman方程。关于动态向量值问题的最早结果似乎是[7]，其中提供了偏序乘法格中值问题的最优性原则f。[18] 通过包络线方法解决确定性多目标问题，其中t+1处不同变量值的有效边界表示为参数化曲线，然后在t处的非支配点被发现为该族目标的包络线e。[17] 将其推广到风险中性随机多目标问题。此处考虑的问题是一个风险规避问题，我们不假设有效边界上的th具有p参数化表示。然而，所提出的方法在解释方面也符合[19]，其中考虑了不可分离的标量问题，这些问题可以被具有可分离目标的多目标问题所替代。虽然之前的文献提供了递归解决（确定性或风险中性）向量值动态问题的方法，但据我们所知，还不知道（1.2）对avector优化问题（VOP）的显式模拟。原因是，本质上不清楚VOP的值函数VT是什么。这与“最小化向量函数Γ”的实际意义有关。传统上，人们试图找到所有可行的点，即图像（y）有效的点（即非支配点）。这并不意味着从字面上搜索向量顺序的数量，“因为它可能不存在，即使存在，但在实践中也没有用处，因为它指的是所谓的乌托邦点，通常不可能通过可行的决策实现”，见【14】。

因此，在经典框架中，我们不能希望获得这样的解决方案，即“达到向量函数的最小值”，从而“最小值变为最小值”，并且最小值的值就是问题的值vt。因此，没有定义价值函数。然而，最近引入的所谓VOPsthat晶格方法改变了这种情况，见【14，21】。在这种方法中，将向量函数Γ扩展到“点加锥”类型的集值函数G（y）=Γ（y）+Rq+，并考虑集优化问题w.r.t.G，而不是向量优化问题w.r.t.Γ。此过程称为VOP的晶格扩展。然后，将集合优化的解决方案概念（见[14,21]）应用于这个特定的集合优化问题，并为原始VOP生成一个新的解决方案概念。现在已经很好地定义了（晶格），并且数量实现是新解决方案概念的一部分。事实证明，VOPin的值函数——晶格方法——只不过是VOP的上象Pt（vt），即一个包含已知有效边界的集合。现在，在确立了VOP的价值函数的概念后，首次尝试为利息VOP（平均风险问题）找到一个（1.2）的类比是有意义的。由于感兴趣的函数的值被证明是一个集值函数，因此[13]中关于集值风险度量的后向递归和时间一致性的最新结果提供了一种关于结果类型的直觉。与文献[13]中考虑的纯向后问题相比，这里的问题更复杂，因为它是一个向后向前的问题，因为初始资本是作为输入提供的。本文的一个关键结果是显示了上面的图像，即。

值函数Pt（vt）在时间上向后递归，这提供了一个完全类似于（1.2）Pt（vt）=infstψt=vt，ψt的公式∈ΦtΓt(-Pt+1（STt+1ψt）），或，等价于Pt（vt）=cl-Et公司(-x） ρt(-x）STtψt=vt，ψt∈ Φt，xx号∈ Pt+1STt+1ψt. （1.3）以下章节将介绍细节和符号。我们将证明（1.3）可以重写为一系列一步凸向量优化问题。在时间上向后递归地解决这些问题将解决原始的动态平均风险问题（上图P（v））。这完全类似于标量动态编程原理。当然，出现了几个挑战：如何处理在backwardrecursion中需要知道时间t时状态变量的任何值vt的值函数的问题？在一些标量和一些确定性或风险中性多目标情况下，这是通过导出解析解作为vt的函数来实现的。然而，一般来说，向量优化问题的解不太可能有解析表达式。存在计算解和晶格扩展的值函数的有效算法，丁烷分析表达式将是一个罕见的例外。在本文中，该问题将通过使用一致的时间一致性风险度量来度量投资组合风险来解决，这允许对问题进行缩放，因此有必要在每个节点中为初始值vt=1求解一个VOP。两个数值例子说明了理论结果。在双资产市场中，平均风险问题在2500个时间段内得到解决，相当于10年的每日交易。一旦投资者在他想要达到的边界上选择了一个有效点，最优交易策略就会在实现的路径上及时向前计算。

第二个例子说明了在一个拥有多种资产的市场中的结果。随着时间的推移，有效的交易策略在有效的边界上移动，因此自然与移动（即时间和状态相关）的标度化有关，这将使标度化问题在标量意义上的时间一致。这将我们的结果与[16]的结果以及[10]效率的时间一致性概念联系起来。主要区别在于，在我们的方法中，移动比例化隐含地作为解决方案的一部分出现，而在【16】中，必须找到一个可以在某些特殊情况下完成的原则，但在一般情况下是一个开放的问题。第4节将给出移动尺度化的经济学解释。本文提出的方法在时间上向后递归有效边界，这对应于同时处理所有标量化。然而，人们实际上甚至不需要计算这种移动标度化的权重，因为人们主要对最优交易策略感兴趣。因此，集值Bellman原理克服了事先显式计算移动标量化的问题，因为不需要将问题转化为标量时间一致性问题，因为原始问题已经可以通过所提出的多元动态规划原理来解决，因此在集值意义上已经是时间一致的。这表明动态多变量编程中有一个更一般的概念，可以解决[16]中的一些问题，但在一般情况下，许多开放的技术挑战仍需要在未来的研究中解决。

因此，本文可以作为一个非常普遍和新概念的第一个案例研究。2投资组合选择问题在本节中，我们介绍了多期平均风险问题以及所有基本符号和定义。2.1序言和注释在有限离散时间范围T={0，1，…，T}上考虑有限过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈T、 P）对于Ftrivial和FT=F。在不丧失一般性的情况下，我们假设所有非平凡事件都有正概率，即对于所有A∈ F、 A 6=. Ftis中的原子集由Ohmt、 所有有界Ft可测随机变量的空间由Lt=L决定∞t型(Ohm, Ft，P；R） 。对于子集D Rm，表示所有有界Ft可测随机向量的空间，取D中的值，取Lt（D）：=L∞t型(Ohm, Ft，P；D） 。空间lt（Rm）是一个拓扑向量空间；对于任何子集B Lt（Rm）符号cl B和int B分别标注了闭合和内部。A点'x∈ 如果\'\'x- Lt（Rm+{0}∩ B=. 如果\'\'x- 内部Lt（Rm+）∩ B=.随机向量X的值∈ 给定原子（节点）ωt处的Lt（Rm）∈ Ohm在任何结果ω下，都应了解其值∈ ωt，即X（ωt）：=X（ω）。两个随机变量的乘积按状态理解，（X·Y）（ω）：=X（ω）·Y（ω）。Rand om向量始终等于1，r特别是0分别用1表示。我们没有明确表示它们的维度，因为它们应该从上下文中清除。对于任何A∈ Ftan指示器函数IA定义为IA（ω）=1表示ω∈ A和IA（ω）=0，否则。条件期望E（·| Ft）由Et（·）定义。2.2市场模型、可行投资组合和风险度量具有d资产的市场通过d维适应d贴现价格过程（Ss）s=0，。。。，t概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈T、 P）。

假设存在一个潜在的num'eraire。假设投资者已知价格分布。概率度量不要求是真实的市场概率，而是投资者认为可以描述市场的概率。投资者在时间0时带着一些财富v进入市场，该财富v将投资到时间T的最后一刻，并遵循适当的交易策略（ψs）s=0，。。。，T-这里，ψs，ide表示在时间s和s+1之间的间隔内，我持有的资产的单位数。在本研究中，考虑了无交易成本的市场。投资者遵循的任何交易策略都需要具有自我融资属性，即STsψs=STsψs-1对于s=1，T- 1、交易策略产生的投资组合价值（ψs）s=0，。。。，T-1isvs：=STsψs-1，对于s=1，T在极少数情况下，当必须证明投资组合价值与交易策略ψ的依赖关系时，我们将使用符号vψsfo代替VS。由于潜在的概率空间是有限的，任何交易策略的投资组合值VS都是一个有界的可测随机变量。市场主管部门或投资者本身都可以对投资者允许或愿意持有的头寸施加附加限制。这些由一系列约束集{Φs}s=0，…，建模，。。。，T-1，其中每个Φs Ls（Rd）是一个闭条件凸集。因此，我们将考虑交易限制ψs∈ Φsfor s=0，T- 1.第6节详细研究了卖空约束，即Φs=Ls（Rd+）的情况。然而，导出的理论适用于任何闭条件凸集Φs，s=0，T- 1、我们将同义地使用“战略与投资组合”这一术语，并将始终指由所考虑的战略产生的投资组合。