集群驱动的对数波动率因子模型：源上的深化

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英文标题：
《A cluster driven log-volatility factor model: a deepening on the source
  of the volatility clustering》
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作者：
Anshul Verma, Riccardo Junior Buonocore, Tiziana di Matteo
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce a new factor model for log volatilities that performs dimensionality reduction and considers contributions globally through the market, and locally through cluster structure and their interactions. We do not assume a-priori the number of clusters in the data, instead using the Directed Bubble Hierarchical Tree (DBHT) algorithm to fix the number of factors. We use the factor model and a new integrated non parametric proxy to study how volatilities contribute to volatility clustering. Globally, only the market contributes to the volatility clustering. Locally for some clusters, the cluster itself contributes statistically to volatility clustering. This is significantly advantageous over other factor models, since the factors can be chosen statistically, whilst also keeping economically relevant factors. Finally, we show that the log volatility factor model explains a similar amount of memory to a Principal Components Analysis (PCA) factor model and an exploratory factor model.
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中文摘要：
我们引入了一个新的对数波动率因子模型，该模型进行了维度缩减，并考虑了全球通过市场、本地通过集群结构及其相互作用的贡献。我们不预先假定数据中的聚类数，而是使用有向气泡层次树（DBHT）算法来固定因子数。我们使用因子模型和一种新的综合非参数代理来研究波动性如何影响波动性聚类。在全球范围内，只有市场参与了波动性集群。就某些集群而言，集群本身在统计上对波动性集群有贡献。这比其他因素模型有显著优势，因为可以从统计上选择因素，同时也保持经济相关因素。最后，我们表明，对数波动率因子模型解释了与主成分分析（PCA）因子模型和探索性因子模型相似的记忆量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> A_cluster_driven_log-volatility_factor_model:_a_deepening_on_the_source_of_the_v.pdf (850.81 KB)

2022-6-2 17:44:54 上传

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关键词：波动率 volatilities Contribution Hierarchical economically

集群驱动的对数波动率因子模型：波动率集群来源的深化*1、R.J.Buonocore+1和T.Di Matteo1,2,3伦敦国王学院数学系，The Strand，London，WC2R 2LS，UK计算机科学系，University College London，Gower Street，London，WC1E 6BT，UK Complexity Science Hub Vienna，Josefstaedter Strasse 39，A 1080 Vienna 5月11日，2018Abstracts我们引入了一个新的对数波动率因子模型，该模型进行维度缩减，并考虑了通过市场、集群结构及其相互作用对全球和本地的贡献。我们不预先假设数据中的聚类数，而是使用有向气泡层次树（DBHT）算法确定因子数。我们使用因子模型和一种新的综合非参数代理来研究波动率如何影响波动率聚类。在全球范围内，只有市场参与了波动性集群。就某些集群而言，集群本身在统计上对波动性集群有贡献。这比其他因素模型更具优势，因为这些因素可以在统计上进行选择，同时也可以保持经济相关因素。最后，我们表明，对数挥发因子模型解释的记忆量与主成分分析（PCA）因子模型和探索因子模型相似。1简介波动率是风险估计的一个重要因素[1]，也是旨在动态建模价格的模型的一个重要因素，以及在此类模型下合理、公平的价格应该是什么[2、3]。然而，波动性聚类的影响，尤其是其与波动性如何相互关联的不明确联系，使这一过程复杂化。

这导致了一个问题，因为对数波动率之间的相关矩阵的维数很高，也会受到噪声的影响[4]，这使得很难识别有关驱动波动率和波动率聚类的有意义信息。这一问题也与多元波动率建模相关，因为最常用的方法，如多元一般自回归条件H等差方差（GARCH）[5]、随机协方差[6]和实现协方差[7]，都是由于维数灾难和所需参数数量的增加造成的。解决这个问题的一种方法是通过DimensionalyReduction，这是一类通用的方法，旨在将高维数据集简化为*通讯作者anshul。verma@kcl.ac.uk，+447740779724+riccardo\\u junior。buonocore@kcl.ac.uk，+447549919717tiziana。di公司_matteo@kcl.ac.uk，+4402078482223a简化形式，是原始数据集的忠实表示[8]，也是数据集的相关噪声简化。相关矩阵降维的一种方法是主成分分析（PCA）[9]。其目的是将原始相关矩阵转换为正交基。对于平方相关矩阵，这是我们在本文中考虑的矩阵，这本质上是指计算特征值及其各自的特征向量。第一个特征向量（称为第一主成分）具有最高的方差并解释了数据中的大部分变化，第二个特征向量（称为第二主成分）具有第二高的方差并解释了比第一个主成分更少的变化，依此类推。该方法主要通过投资组合优化来产生一组正交投资组合【10】，从而应用于融资。

在波动率建模的背景下使用PCA的一篇论文是[11]，作者提取了前几个主成分，并使用它们来校准多元GARCH模型，在[12]中提出了进一步的扩展。主成分分析的主要缺点是，不清楚要保留多少主成分，即因子，因为要么保留了太多的主成分，要么选择成分的方法本质上是启发式和主观的[9]。在[13]中，作者建议根据Marchenko Pasturd分布保留主成分的数量，并在[14]和之前的[15]中进行了进一步的调整，但在[16]中指出，有价值的信息可能仍然会丢失。降维中一类高度相关的方法称为因子模型[17、18、19、20]。因子模型用于描述时间序列的动态演化，假设通过资产对这些因子的价值变化的敏感性（通常称为响应性）存在共同因素。然后，当因子的数量小于股票的数量时，通过对时间序列的描述来实现降维。与其他收益序列模型相比，因子模型相对（或至少超级）简单，因此在金融领域有着广泛的应用【17、19、21、22、20】。因子模型可分为两类：探索性模型和验证性模型，探索性模型不包含数据的底层结构，验证性模型测试未知因子之间的关系【23】。然而，与PCA类似，我们应该如何选择因素的问题也出现了。假设我们对这些因素有一些先验知识，就可以对一个这样的答案进行分类。属于这一类别的最简单和最早的因素模型是资本资产定价模型（CAPM）[17、24、25、26]。

它源于极受欢迎的马科维茨投资组合优化方案（Markowitz scheme of PortfolioopOptimization）[27]，该方案表示，为了降低投资组合的总风险，最好将投资分散在一类股票上。CAPM进一步发展了这一点，称不可分散风险或系统风险来自股票对市场变化的敞口以及对这种变化的相应敏感性。一个非常著名的因子模型是三因子Fama-French因子模型，它具有多个因子，而不是像CAPM那样只有一个因子[28、19、21、29、30]。在这个因素模型中，第一个因素来自市场风险敞口，还有两个额外因素：小负大（SMB）和高负低（HML）[19，21]。中小企业因素遵循Fama和Frencht的观察结果，即市值较小的股票，即作为规模代理的股票的市场价值，往往会带来额外的回报。等价地，HML f因子表示账面/市场比率，即公司拥有的与股票相关的资产总值与股票市值的比率，并与额外回报呈正相关。HMLfactor的目的是评估账面/市场比率超过1的股票是否被市场低估，从而有可能获得更大的回报。最近，Fama-French模型已经扩展到包括5个因素[31]。套利定价理论（APT）也是一个更普遍的多因素模型，只是它指出收益是宏观经济因素的线性函数[18，32]。

然而，在APT中，并没有明确指出应该包含多少和哪些因素，这就为模型中包含的因素的类型和数量引入了特殊性质。上述因素模型的共同事实是，这些因素的数量和性质具有一定的因果关系，因为它们是由经济直觉决定的，决定了什么应该推动财务回报。不幸的是，有人指出，CAPM[28]的证据不足，包括Fama-French 3和5因子模型以及APT的一些表现形式[33、34、35、36]，这些因素无法解释资产的相互依赖性。相反，有一系列文献引用了从财务数据本身提取的因素，这意味着这些因素是内生的[37、38、20]。本质上，已经证明，资产的集体行为是诱发因素的原因，支持这种因素的确定，我们在此将采用这种方法。另一个不同之处是，上述因素模型主要适用于收益率而非波动率。在本文中，我们构建了一个新的对数波动率因子模型，旨在通过考虑全球市场和更局部的集群贡献及其相互作用来降低维度。因子的数量由定向气泡层次树（DBHT）聚类算法确定【39，40】，因此，这意味着我们对聚类的数量以及需要考虑的因子的数量没有事先假设。利用波动率之间的因子模型，我们旨在研究单变量波动率聚类与波动率的多变量相关结构之间的联系。

我们将看到，虽然在整个市场上，影响记忆的唯一重要因素是市场，但单个集群可能具有不同的属性，其中集群的贡献和互动更为重要。这提供了一种基于记忆减少统计选择f因素的方法。我们还注意到，对于显著降低自身记忆的集群，其主要由特定行业的股票构成，这为集群模式的构成提供了经济学解释。因此，我们可以像PCA那样以统计方式选择因素，但也可以像CAPM和Fama French那样保留有吸引力的经济解释。本文的结构如下：第2节描述了数据集，第3节介绍了一种新的对数波动率因子模型，第4节描述了我们如何使用一种新的非参数综合代理来选择基于记忆还原的因子，以反映波动率聚类的强度，第5节我们探讨了如何解释波动率聚集强度和波动率交叉相关性之间的经验联系。在第6节中，我们揭示了每个集群如何根据其确定的主要ICB超级部门具有经济影响力。第7节将我们的f actormodel与PCA启发的因子模型和探索性因子分析模型在死亡率降低性能方面进行了比较。第8节报告了因子模型的动态稳定性。最后，我们在第9.2节数据集中得出了一些结论。我们将使用的数据集包括2000年1月1日至2017年5月12日期间纽约证券交易所（NY SE）、美国证券交易商协会自动报价系统（NASDAQ）和美国证券交易所（AMEX）1270只股票的每日收盘价，每个价格时间序列的收盘价为4635点。

正如引言中所预期的那样，我们执行互相关分析。因此，我们确保通过A.1中所述的数据清理过程对库存进行调整，这将使我们的数据集具有N=1202个库存。我们计算给定股票i的对数收益时间序列，ri（t），定义为：ri（t）=ln pi（t+1）- ln pi（t），（1），其中pi（t）是股票i的价格时间序列，ri（t）是长度为t=4364的时间序列。将ri（t）标准化，使其均值为零，方差为1后，我们将用于波动率的代理定义为ln | ri（t），即收益的对数绝对值【41】。3对数波动率因子模型在本节中，我们描述了一个新的对数波动率因子模型，我们将使用该模型来揭示单变量波动率聚类效应与波动率之间的相互关系。让我们回顾一下，一般f因子模型由以下公式给出：ri（t）=PXp=1[βipfp（t）+αip][i（t），（2），其中ri（t）是资产i的对数回报，fp是p=1，2。。。，P系数。βIPI是它们各自的敏感性/响应性，它量化了ri（t）如何对fp变化作出反应。αipis截距i（t）是具有零均值的剩余项。首先，我们定义了我们想要研究的对数波动率项。大多数随机波动率模型（假设波动率为随机且非常数）假设股票i的收益率f遵循[42]ri（t）=δ（t）eωi（t），（3）其中δ（t）是具有有限方差的白噪声，ωi（t）是对数波动率项。指数变化（exponentialterm）编码了波动率的结构，以及它如何影响回报的总体规模。取（3）的绝对值和两侧的对数，等式。

（3） becomesln | ri（t）|=ln |δ（t）|+ωi（t），（4），从中我们可以看出，使用ln | ri（t）|具有额外的好处，即制作波动率的代理，ωi（t）加法，这反过来使波动率更适合因子模型。由于δ（t）是应用于所有股票的arandom比例因子，我们可以将其设置为1，因此ωi（t）=ln | ri（t）|。我们还将ln | ri（t）|标准化为0的平均值和标准偏差1，如【43】中所述。在以下小节中，我们描述了我们的因子模型，该模型考虑了市场模式、集群和互动的贡献，以及它们相应的拟合程序。3.1市场模式方程式（4）中的对数波动率项ωi（t）可以建模为ωi（t）=βi0I（t）+αi0+ci（t），（5）其中βi0是股票i对i（t）变化的响应，定义为asI（t）=NXi=1ξiln | ri（t）|，（6）伪指数ξib是市场模式下股票i的权重。式（5）中的αi0是相对于市场I（t）的过度波动率。我们注意到，式（5）中的因子模型与式（2）中的一般因子模型类似。式（5）的前两项代表市场因素，市场因素是市场对所有股票的广泛影响，即所有股票的共同运动【44、13、43】。我们从式（5）中可以看出，对ωi（t）进行线性回归得到βi0和αi0，因此ci（t）在进行回归后成为残留物。在表1中，我们展示了两个选定股票可口可乐企业（KO）和越洋（RIG）的市场模式回归系数示例。我们报告了A.2中详述的加权方案和等权方案的βi0和αi0值，以及它们的p值，每个系数为0的零假设。

如表1所示，在5%的水平上，两种加权方案的所有βI0均拒绝了零假设，这意味着我们可以得出βI0显著的结论。对于αi0，在同等权重的情况下，两种股票的零假设均被拒绝，而对于加权的情况，它仅对RIG被拒绝，对于这些情况，我们可以得出αi0为非零。βi0αi0KO 0.0310（0）0.0015（0.4764）RIG 0.0248（0）0.1972（0）（a）加权模式βi0αi0KO 1.1564（0）-0.0690（0.0017）RIG 0.9041（0）0.1426（0）（b）等权重稳定1：此表显示了KO和RIG股票对市场模式I（t）、βi0和相应的超额波动率αi0的响应，如第3.1节所述进行校准。括号内的p值表示βI0和αI0均为0的无效假设。表1a为加权方案，表1b为等权方案，详见A.2.3.2 DBHT输出。由于ci（t）是执行式（5）中回归后的残留物，因此它代表了市场无法解释的波动性。因此，我们可以进一步将ci（t）定义为：ci（t）=βikIk（t）+n-1Xk′=1βik′ik′（t）+i（t），（7），其中βika是i所属k簇模式ik（t）的响应性。在sumfrom公式（7）中，βik′是对ik′（t）变化的响应，ik′（t）是簇k′6=k的簇模式，即簇i不是其中的成员。在式（7）中，第一项表示集群因子，表示股票与其集群的共同运动。与式（5）类似，式（7）与式（2）类似。式（7）中的总和表示股票i与其他集群之间的相互作用，其中相互作用的强度通过βik′进行量化和定义。校准程序的下一步涉及集群的识别，这与等式（7）中定义的ci（t）项有关。