具有内生传染的系统性风险SPDE模型

然而，它们的收敛为N→ ∞ 并没有直接遵循我们的经验测度νN收敛的概念，因此需要特别注意。2.1假设从第1.4节的观点来看，我们需要考虑XitandνNt中lipschitz的局部概念，至关重要的是，我们必须允许漂移在Xitand和MNt中都有线性增长。为此，我们需要次概率测度M空间上的距离的适当概念≤1（右）。这导致我们引入Kantorovich类型distancesd（u，￠u）：=sup{| hu- u，ψi |：kψkLip≤ 1, |ψ(0)| ≤ 1} ，andd（u，|u）：=sup{| hu- u，ψi |：kψkLip≤ 1，kψk∞≤ 1}.假设2.1（结构假设）。设（2.1）的系数为式B（t，x，u，u），α（t，x，u，u），σ（t，x）和ρ（t，u，u）带u:= 1 - u(0, ∞). 我们假设：（i）。（线性增长和空间/时间规律性）。设g=b，α。地图x 7→ g（t，x，u，)是C（R）和（t，x）7→ σ（t，x）是C1,2（[0，t]×R）。此外，存在C>0 s.t.| g（t，x，u，)| ≤ C（1+| x |+hu，|·| i）|（n） xg（t，x，u，)| ≤ C、 n=1，2，|σ（t，x）|≤ C、|tσ（t，x）|≤ C、 以及|（n） xσ（t，x）|≤ C、 n=1，2。（二）。（局部d/d-Lipschitz度，单位为u）。设g=b，α。存在C>0 s.t.| g（t，x，u，) - g（t，x，|u，)| ≤ C（1+| x |+hu，|·| i）d（u，|u）|ρ（t，u，) - ρ（t，|u，)| ≤ C（1+hu，|·| i）d（u，|u）（iii）。（分段局部Lipschitzness in). 存在0=θ<···<θk=1 s.t。g（t，x，u，) - g（t，x，u，~)≤ C（1+| x |+hu，|·| i）| -~|无论何时,~ ∈ [θi-1，θi）对于某些1≤ 我≤ k、 其中g是b、α或ρ中的任意一个。（四）。（非简并）。存在 > 0 s.t.0< ≤ σ（t，x）和0≤ ρ（t，u）≤ 1.- .（v） 。（次高斯初始定律）。序列X，独立于驱动布朗运动。它们的普通定律u的密度为L（0，∞) 和 > 0 s.t。

u(λ, ∞) = O（经验值{-λ} ）为λ→ ∞.让νN：=PNi=1aNiδXi，我们假设νN弱收敛于某个密度为V的概率测度ν∈ L（0，∞) s、 t.kxVkL=R∞|xV（x）| dx<∞.备注2.2。（i）it支持xxb，xxσ和tσ在L中作为弱导数存在∞,如果σ（t，x）=σ（t）σ（x），则不需要时间上的正则性。此外，（v）中的普通法假设并不重要，但这不是本文的重点。为了极限SPDE的唯一性，我们必须将注意力限制在一类具有合理规律性的过程上，当然，我们希望将粒子系统的极限点包括在这类过程中。正如我们将在第4节中看到的（另请参见定理2.7），下面施加的条件实际上比保持νN极限点的条件弱。假设2.3（唯一性条件）。在定理2.6中，我们考虑了一类取M值的cádlág过程≤并满足以下条件：（i）。（R+支持。每t∈ [0，T]，~νT受R+=[0，∞).（二）。（增加损失）。Lt：=1- νt（0，∞) 小于1时严格递增。（iii）。（指数尾）。对于每个 > 0，我们有，∞)dt=o（exp{-a} ）作为→ ∞.（四）。（边界衰减）。存在β>0，使得ERT￠νt（0，ε）dt=O（ε1+β）为ε→ 0（v）。（空间集中度）。存在C>0和δ>0，使得ERT（△νt（a，b））dt≤ C | b- a |δa、 b类∈ R、 2.2极限SPDELet S表示R上Schwartz函数的空间，并让S注意其对偶，回火分布的空间。然后我们可以想到生活在空间DS=DS[0，T]中的经验测度νNas，它由[0，T]上的S值cádlág过程组成。考虑到损失过程LN的单调性，在DS上对Skorohod的M1拓扑使用weakconvergence变得很自然。

[43]中介绍了M1topology对该设置的扩展，可以在那里找到更多详细信息。值得一提的是，我们考虑了关于C定义的测试函数空间的弱公式中的极限SPDE：={φ∈ S：φ（0）=0}。这编码了这样一种想法，即SPDE被认为是R+上的Dirichlet问题。定理2.4（极限SPDE）。假设满足假设2.1，则（νN，W）N≥1点（DS，M1）和每个极限点（ν，W）是一个连续的M≤1（R+）值过程满足假设2.3。此外，ν以概率1服从极限SPDEdhνt，φi=hνt，b（t，·，νt）xφidt+νt，σ（t，·）xxφdt（2.3）+hνt，σ（t，·）ρ（t，νt）xφidWt- hνt，α（t，·，νt）xφidLt，用于φ∈ 坎特∈ [0，T]，其中Lt：=RtK（T- s） Lt=1的LSD- νt（0，∞). 最后，如果沿着子序列（νNk，W）k获得ν≥1，则（LNk，W）和（MNk，W）弱收敛于（DR，M1）×（CR，k·k）上的（L，W）和（M，W）∞), 其中Mt：=hνt，Idi。根据密度过程Vt的方程来考虑度量值SPDE（2.3）是很有启发性的，它保证存在于Lby推论5.4中。根据下面定理2.7中的边界衰减，一个简单的Borel–Cantelli参数意味着vt（0）=0，即limε↓0ε-1νt（0，ε）=0，见引理A.4。因此，根据（2.3）中的部分积分得出以下观察结果：备注2.5（密度的SPDE）。如果ν是定理2.4中的一个极限点，那么它有一个密度过程Vtin L（R+），它在弱意义上满足Dirichlet问题vt（x）=xx号σ（t，x）Vt（x）dt公司- x个b（t，x，νt）Vt（x）dt公司- ρ（t，νt）x个σ（t，x）Vt（x）dWt+α（t，x，νt）xVt（x）dLt，Vt（0）=0，Lt=（K* 五十） tand Lt=1-R∞Vt（x）dx。

假设有足够的正则性，我们可以将此SPDE用于V，并按部分进行积分，以获得形式表达式ddtlt=ZtK（t- s） σ（s，0）xVs（0）ds。也就是说，由L驱动的传染项就像一个额外的传输项，与边界上的流量成比例-根据K在时间上平滑。在常数系数和α的情况下≡ 0，可以在[42]中找到明显的规律性结果。由于有限粒子系统的每个极限点都服从SPDE（2.3），一旦我们在满足假设2.3的解类中得到SPDE的唯一性，我们就可以推导出该平均场极限的完全弱收敛。定理2.6（唯一性和LLN）。设（ν，W）如定理2.4所示，并假设￠ν是满足假设2.3的SPDE（2.3）的另一个解。然后，概率为1，νt（A）=νt（A）t型∈ [0，T]A.∈ B（R）。特别是，SPDE（2.3）的解在（DS，M1）×（CR，k·k）上有唯一的定律∞)和（νN，W）弱收敛于此定律。此外，损失过程ln和平均过程mn弱收敛于定理2.4中定义的L和M。鉴于路径唯一性，山田-渡边定理确保了SPDE的唯一解是强的。我们的最终结果表明，考虑到具有吸收边界的“条件”McKean-Vlasov型扩散的常见布朗运动W，该解可以被改写为条件定律。此外，我们在吸收的SDE的密度上建立了一个Aronson型上界，并证明它在边界附近具有幂律衰减。这类似于经典的Dirichletheat核估计，可用于更多的标准差分（见[34，12]）。定理2.7（条件McKean-Vlasov公式）。设（ν，W）为SPDE（2.3）的唯一强解。

那么，对于任何布朗运动W⊥ （X，W），我们有νt=P（Xt∈ ·, t<τ| W），对于τ：=inf{t>0:Xt≤ 0}，其中XT是条件McKean–Vlasov分歧的唯一解决方案dXt=b（t，Xt，νt）dt+σ（t，Xt）p1- ρ（t，νt）dWt+σ（t，Xt）ρ（t，νt）dWt- α（t，Xt，νt）dLtLt=（K* 五十） t，Lt=P（τ≤ t | W），X~ ν.此外，吸收过程的密度p（t，x）=EVt（x），因此eνt（a，b）=p（Xt∈ （a，b），t<τ）=Zbap（t，x）dx，其中，对于任何 > 0，存在κ∈ （0，1）和C，C>0，使得P（t，x）≤ CZ公司∞√t（x√t型∧ 1） （y）√t型∧ 1） +（xκyκtκ∧ 1） e类y1.∧ e-（十）-y） ct+cx，ydν（y）（2.4）和p（t，x）≤ CZ公司∞√t+eye-（十）-y） cx，y>| x时的ctdν（y），（2.5）- y |（x∧ y） 。此外，如果σ（t，x）=σ（t）σ（x），那么cx，y≡ 0、备注2.8。边界（2.5）也适用于整个空间。请注意，修正项Cx，yin（2.4）仅在x，y时相关→ ∞ 联合（在cx，y确定的圆锥体内），在这种情况下，尾部由（2.5）控制。还要注意的是，系数eY要求初始定律为次高斯分布。这是线性增长的自然结果。如果漂移有界，则eyc可以下降，κ可以任意取接近1。同样，系数e如果线性增长为| Mt，则为Hydrops- M |和| Xt- X |。定理2.7的证明。给出定理2.4和2.6，第一个主张很简单。事实上，根据标准理论，处理给定的νtas，SDE有一个强解▄X，因此我们可以确定▄t：=P（▄Xt∈ ·, t<τ| W）。如[35]第9节所述，经过明显的修改，我们可以将其公式应用于φ（~Xt），对于φ∈ C、 表明ν用固定ν解算SPDE（2.3）的线性版本。但是，通过唯一性（对于线性SPDE），证明了这一说法。

密度估计（2.4）和（2.5）涉及更多，但它们将遵循命题4.2（基于第6节中的工作）。对于定理2.4和2.6的证明，我们的技术基于并扩展了[35]的方法，该方法处理了类似的SPDE问题，尽管没有传染点（即α≡ 0）且有界漂移以及系数仅通过损失L依赖于ν。从[35]中得出的主要见解是，通过适当的能量估计，在H-1（第一个Sobolev空间的对偶），同时仔细控制Eνt（0，ε）asε↓ 0和Eνt（λ，∞) asλ↑ ∞. 然而，为了在我们的环境中实现这一点，需要对[35]中的论点进行几次扩展，至关重要的是，我们必须依赖于吸收粒子密度的新上界（命题3.3）。最终，我们得出了关键的H-通过建立x的幂律衰变来估算能量（命题5.1和引理5.2）→ 靠近虹膜边界的EVt（x）和朝向内部的高斯尾（推论3.4）。密度界限的证明是第6节的主题，正是这些因素导致了定理2.7中的吸收密度估计。据我们所知，这些估计无法从文献中其他地方的结果中获得，我们相信它们是独立的。特别是，在与第2.3.1.2.3节金融传染和违约聚集讨论的问题相关的另一篇论文[36]中，它们已经证明是有用的。回顾一下，极限SPDE的非线性具有非局部性质，与原点的波动相关。

这使我们的设置与Zakai类型的现有理论不同，并对解决方案的定性行为产生了显著的影响。特别是，由极限SPDE控制的金融系统的健康状况，关键取决于公共噪声和传染过程L的非线性效应之间的相互作用（见图2.1）。至少从概念上讲，这抓住了2007-2009年金融危机中起作用的主要力量，在这场危机中，美国房地产市场的相关修正引发了危机的蔓延，因为“金融机构杠杆化了类似的大型证券和贷款组合，这些证券和贷款面临的特殊风险很小，但系统风险很大”（Acharya等人[1]）。图2.1：图中显示了密度（t，x）的两个热图7→ Vt（x）来自备注2.5，基于SPDE的数值模拟，以固定实现W。左侧α=1.5，右侧α=0。其他参数为：ρ=0.1，σ=1，b=0，K是[0，0.015]上高度为2/0.015的等腰三角形。Wstarts的实现呈略微负面的趋势，但随后又再次向上移动。图2.1中的左图说明了传染如何导致一段时间的显著违约聚类（从t=0.2到t=0.4），右图证实了在没有传染的情况下，系统会做得很好。事实上，左图显示了整个较低级别的“不健康”银行违约，而右图显示了从轻微的初始恶化（由常见的风险敞口造成）中恢复的舒适性。还要注意的是，系统中较低的“不健康”部分的消亡会导致较低的“健康”上部违约的距离大幅下降。然而，这些问题不会导致进一步的违约，因此传染效应会消失。

如下图2.2所示，普通风险敞口的急剧下降可能会引发更严重的后果，这反过来会导致违约级联，也会抹去健康上部（在很短的时间内）。最后，我们强调了常见风险作为此类高传染期的诱因的重要性。图2.2最右边的图清楚地表明了这一点，图中显示了在一种常见风险表现良好的情况下，系统稳定向上的趋势。图2.2：（t，x）7的这两个热图→ Vt（x），两边的α=2，否则参数与图2.1中的相同。然而，对常见噪声W的两种不同实现进行了模拟：在左侧，它稳步下降，而在右侧，它相应增加。共同噪声的重要性（如图2.2所示）与基于网络的文献中的观察结果一致，这表明特殊冲击不太可能对大型网络产生显著影响，而增加共同冲击可能会因传染而产生实质性损失（参见Cont、Moussa和Santos[14]中的讨论）。此外，回顾第1.4节中的模型，我们注意到，高放牧率可能会在“正常”时期产生一个更健康的系统，同时，如果共同风险显著下降，则会导致更多违约集群，从而放大潜在危机。类似地，相关函数提供了另一种内生渠道，可以放大普通风险敞口下降的影响。

在未来的工作中，我们打算回到对不同参数之间相互作用的仔细研究。2.3.1违约级联和瞬时传染的极限情况从图2.2的急剧下降来看，考虑违约的传染影响瞬间发生时会发生什么是有趣的。也就是说，当一系列碰撞核（Kε）近似于0时的狄拉克质量时。在常数系数和无共同噪声的情况下，Nadtochiy&Shkolnikov【45】和本文作者以及Ledger【36】最近在Delarue等人【20，21】早期工作的基础上，对产生的限值进行了独立研究。具体而言，极限McKean–Vlasov问题的形式为xt=X+bt+σWt- αLt，Lt=P（τ≤ t） ，（2.6），其中τ=inf{t>0:Xt≤ 0}. 事实上，（2.6）是不适定的，但据推测（见[36]中的猜想1.9），它在[21]中介绍的“物理”解类中是适定的。从[21]中可以知道“物理”解的全局存在性，但仍然存在唯一性：如果α足够大（给定X），则t 7→ L不能是连续的[36，第1.1条]，唯一性只有在第一次L的W1,2形式爆炸时才知道[36，第1.8条]，另请参见[45]。另一方面，如果α非常小，那么从[20，Thm.2.4]可以看出，存在唯一的全局解，使得t 7→ Ltis在C[0，T]中。从数学上讲，α中的相变非常有趣：这意味着图2.2中的急剧下降可能退化为跳跃不连续性，从而系统的宏观部分在眨眼间丢失。从财务角度来看，这种跳跃可能会对真正的“系统性违约级联”进行详细定义，这是[45]中对（2.6）变量采用的方法。

然而，除了精确定义的好处之外，这可能是非常明确的，因为在实践中没有观察到瞬时违约级联，并且从非系统风险的角度来看，重要的是违约聚类和距离的急剧下降，而不是它们是在短时间内实现还是作为跳跃。因此，我们认为本文提出的框架可以作为参考模型，瞬时问题（2.6）是一个重要的限制情况。此外，本文的模型还有两个理论优势。首先，它不需要额外的“物理”解决方案概念，作为全球SPDE是有意义的。其次，SPDE描述了有限系统的唯一极限。对于（2.6）来说，后一点有点问题，至少在上述猜测得到解决之前是这样，因为全局唯一性未知，爆炸时间（我们有唯一性）原则上可能严格位于第一次跳跃之前。反过来，即使到了最初的跳跃时间，也不能保证最终系统收敛到一个唯一的极限，因此，不能说“系统性违约级联”的跳跃定义严格地代表了最终金融系统。对于非常数（非线性）系数和常见噪声，这一问题更为突出，因为那时对唯一性一无所知。2.3.2大型投资组合信贷风险虽然本文的重点是金融机构，但我们的框架也可以应用于研究更一般可违约实体的大型投资组合中的违约聚类。作为信贷衍生品定价的结构性大型投资组合模型，我们的框架扩展了[35，9]。