具有内生传染的系统性风险SPDE模型

由于M1拓扑较粗糙，我们得出结论（DS，M1）是Suslin。命题4.7（积分的收敛性）。修复t≤ T和φ∈ S和定义ψ，Φ：{ζ∈ DS：ζs∈ M≤1（R）}×DR→ R乘以ψ（ζ，) :=Zthζs，g（s，·，ζs，s） φids，Φ（ζ，) :=Zthζs，α（s，·，ζs，s） φid（K* )s、 其中g是b、σ或σρ中的任意一个。给定（νN，LN）=> (ν*, L*) 在（DS，M1）×（DR，M1）上，ψN：=ψ（νN，LN）弱收敛于ψ*:= Ψ(ν*, L*), 对于R，对于Φ也是如此。证据固定有界f∈ 边缘（R）。根据备注4.6，（νN，LN）的任何子序列都有另一个子序列，也以N为索引，我们可以假设其几乎肯定收敛。通过应用三角形不等式，我们得到Ef（ψN）-Ef（ψ*)> EZt公司ν*s- νNs，g（s，·，ν）*s、 L*s） φds公司+ EZt公司νNs，g（s，·，ν）*s、 LNs）φ- g（s，·，νNs，LNs）φds公司+ EZt公司νNs，g（s，·，ν）*s、 L*s） φ- g（s，·，ν）*s、 LNs）φds公司=: EIN+EIN+EIN。从I开始，fixδ>0，回忆| g |≤ |x |+C（ν*) 带C（ν*) > 1个以上sups≤t | M*s |。因此，使用φ∈ S，我们可以取λ=λ（δ）足够大，因此∈R\\[-λ、 λ]| g（s，x，ν*s、 L*s） φ（x）|<（1+C（ν*))δ/2 s∈ [0，T]。（4.10）现在取一组molli fiersψε∈ C∞c（R）并考虑（随机）软化gεs（x）：=g（s，·，ν）*s、 L*s）* ψε（x） ，ε>0。Asν*和νNare次概率测度，我们有≤Zt公司ν*s- νNs，gεsφds公司+ 2 kφk∞Ztsup | x|≤λ| gεs- gs | ds+（1+C（ν*))δt.自gεs→ GSX均匀分布∈ [λ，λ]，支配收敛意味着，对于εsu fficientlysmall，第二项预期小于δ。同样，gεsφ∈ S确保，对于较大的情况，第一项小于预期的δ。因此，EIN≤ C（δ+δ+δt）表示较大的N，其中C仅取决于EC（ν*), so EIN→ 0作为N→ ∞.对于IN，g的局部Lipschitz度，以及φ∈ S和νNs∈ M≤1、给予≤ C（ν*)Ztsup{| hν*s- νNs，ψi |：ψ∈ Cd}ds，其中Cd：={ψ∈ C（R）：kψkLip≤ 1，|ψ（x）|≤ 1+| x |}，和C（ν*) > 1个以上sups≤t | M*s |。固定δ>0，取λ=λ（δ）大（稍后确定）。

根据ArzeláAscoli定理，有一个有限族ψ，ψk∈ 中支持的CD[-λ、 λ]因此，对于每个ψ∈ Cd，sup{|ψ（x）- ψi（x）|：x∈ [-λ、 λ]}<δ/2对于某些i∈ {1，…，k}。固定任意ψ∈ Cd（R）和相应的ψi，我们有| hν*- νN，ψi |≤Zλ（ψ）- ψi）d（ν）*- νN）+Z∞λ(ψ - ψi）d（ν）*- νN）+ |hν*- νN，ψii |。通过构造，第一项以N中的δ一致为界≥ 此外，通过Cauchy–Schwartz和Jensen不等式，我们得到了EHC（ν*)Zt公司Z∞λ(ψ - ψi）d（ν）*s- νNs）dsi公司≤ CEZthν*s+νNs，|·|[λ，∞)ID和henceEIN≤ Cδt+CEZthν*s+νNs，|·|[λ，∞)ids+C supi=1，。。。，kEZt | hν*s- νNs，ψii | ds。根据推论3.4和命题4.3，引理A.3给出中期在N中一致消失≥ 1为λ→ ∞, 所以我们可以把λ取得足够大，这样它就被δ统一包围了。对于最后一个术语，回想一下ψihas compact support in[-λ、 λ]，因此我们可以使用与中相同的molli fication参数。由于要考虑的ψi只有非常多，因此我们可以取N足够大，使得EIN≤ C（δt+δ+2δ），其中Cis是一个固定的数值常数。这证明了EINvanishes作为N→ ∞.最后，我们考虑中的最后一个积分。根据假设2.1的（iii），我们νNs，g（s，·，ν）*s*s） φ- g（s，·，ν）*sNs）φ> C（ν*)|*s- Ns |（4.11）无论何时*sNs系列∈ [θi-1，θi）对于某些i=1，k、 让{*, (N） N个≥1} 表示{L的实现*, （LN）N≥1}. 然后N→ *in（DR，M1），因此Ns系列→ *对于任何文件∈r∈ [0，t]：*r-= *r. 固定ε>0。自从*严格增加（根据假设2.3），我们可以取δ=δ（ε）小，以便Leb{r∈ [0，T]：|θi- *r |<δ对于某些i}≤ ε. 另一方面，如果|θi- *s |≥ δ对于我来说，那么我们最终*sNs系列∈ [θi-1，θi）对于某些i，因此（4.11）适用。

因此，对于给定的随机性实现，lim supN→∞在中≤ C（ν*)Zt{r∈[0，T]：|θi-`*某些i}（s）ds的r |<δ≤ C（ν*)ε.由于ε>0是任意的，我们几乎可以确定limNIN=0。注意到（4.11）中边界的一致性，支配收敛给出了EIN→ 0作为N→ ∞.仍需证明Ef（ΦN）→ Ef（Φ*) 作为N→ ∞. 为此，要点暗示|（K*L*)s |≤ kKkand | Rt（K*（L）*-LN））十二烷基硫酸钠≤ kKkRt | L*s-LNs | ds。利用这些观察，参数与ψ的参数相同。命题4.8（鞅论证）。固定任意φ∈ 所有（ζ，, w）∈ DS×DR×CR，DR进程mt（ζ，) := hζt，φi- hν，φi-Rthζs，b（s，·，ζs，s）xφID+Rtζs，σ（s，·）xxφds公司-Rthζs，α（s，·，ζs，s）xφid（K* )s、 Nt（ζ，) := Mt（ζ，)-Rthζs，σ（s，·）ρ（s，ζs，s）xφids，Kt（ζ，, w） ：=Mt（ζ，) · wt公司-Rthζs，σ（s，·）ρ（s，ζs，s）xφ内径。If（νN，LN，W）=> (ν*, L*, W） ，然后是M（ν*, L*), N（ν）*, L*), 和K（ν*, L*, W） 都是连续鞅。证据设MNt：=Mt（νN，LN）和M*t： =Mt（ν*, L*). 现在Fix s，t∈ [0，T]s<标准，对于任何s，序号∈ [0，s]，FNM：=MNt公司- MNs公司nYi=1fi（MNsi）和F*M：=M*t型- M*snYi=1fi（M*si），其中f，fn公司∈ Cb（R）是任意的。类似地，对于N和K，它遵循命题4.7和连续映射定理fnm=> F*M、 FNN公司=> F*N、 和FNK=> F*K、 利用这一点，并借助命题3.2中的有限维演化方程，现在的目标是证明*M=limN→∞EFNM=0，EF*N=limN→∞EFNN=0，EF*K=极限→∞EFNK=0，从而证明M*, N*, 和K*是真正的鞅，根据标准的单调类参数。依靠一致可积性得出平均值的收敛性，然后很容易对[35，Prop.5.11]中的参数进行微小修改。根据[43，Thm.3.2]和命题4.2和4.5的紧性，我们可以提取出一个非常收敛的子序列（νN，LN，W）=> (ν*, L*, W） 。

反过来，命题4.8和Doob–Meyer分解定理允许我们得出结论，对于每个φ∈ S，hM（ν*, L*)it=Rthν*s、 σ（s，·）ρ（s，ν）*s、 L*s）xφID和M（ν*, L*), Wt=Rthν*s、 σ（s，·）ρ（s，ν）*s、 L*s）xφid，所以它适用于所有t∈ [0，T]那M（ν*, L*) -R·hν*s、 σ（s，·）ρ（s，ν）*s、 L*s）xφidWst=0。因此（ν*, W） 满足SPDE（2.3），因此定理2.4的证明是完整的。5唯一性论证在这一节中，我们给出了定理2.6的证明。鉴于第4.2节，我们确定了经验测量序列（νN）的极限点ν，并让￠ν表示SPDE的另一个候选解决方案（2.3）。然后，策略是以H为单位建立能量估算-1针对差异t： =νt- νt，其中H-通常是H=W1,2（R+）的对偶空间。更具体地说，我们将依赖“平滑”H-1提案5.1中给出的估计值。基于此估计，我们在第5.1.1节中推导出了SPDE的唯一性，然后第5.2节和第5.3节致力于证明命题5.1.5.1的能量估计和平滑，而不是估计H-1标准t直接而言，我们的方法依赖于通过卷积（用一系列近似于恒等式的核）平滑解ν和ν。通过这种方式，我们可以经典地处理得到的方程。由于我们的问题是基于边界处有吸收的正半线来表述的，因此自然要考虑由Gε（x，y）给出的Dirichlet热核族Gε：=pε（x- y）- pε（x+y），pε（x）=（2πε）-经验值{-x/2ε}。（5.1）我们用Tεu表示Gε对度量u的作用，即（Tεu）（x）：=Z∞Gε（x，y）du（y）。为了简化表示，我们引入了符号-1 X对于反导数(-1xTεt） （x）：=-Z∞x（Tεt） （y）dy.（5.2）调用嵌入M±→ H-1，其中M±是R上的有限符号度量的空间（总变化范数）。如【35，道具】。

6.5]，然后我们有tkH公司-1.≤ lim infε→0-1xTεt型, （5.3）其中k·k表示R+上的L-范数。因此，我们可以估计H-1差异标准tvia光滑解的反导数。现在让我们简要概述一下我们方法背后的关键思想。第一个观察结果是y 7→ Gε（x，y）在C中是一个可接受的测试函数，因此我们可以将其插入到spdean中，从而获得平滑解Tεν和TεИνT的表达式。将它们积分以引入反导数，并查看它们的差异，这样我们就可以得到-1xTεTε的tin项Tενtand的出现导致了一些临界“边界效应”以及一系列更简单的误差项。为了控制-1xTεt、 因此，我们需要对tενt进行统一估计，并且需要将边界效应（和误差项）包含为ε→ 0.这两项任务是第5.2节的主题，这允许我们推导上述Lestimate-1xTεtin第5.3节。然而，在这之前，我们首先展示如何推导出SPDE的唯一性，前提是所需的能量估计值成立。5.1.1 SPDE的唯一性-定理2.6a的证明如上所述，我们假设ν是粒子系统的极限点，并且假设￠ν是SPDE（2.3）的另一个解，满足假设2.3。回想一下，损失变量中的局部Lipschitz性仅在区间[θi]上以分段方式成立-1，θi）对于i=1，k、 这个障碍很容易被以下分段停止论证克服：假设我们可以证明[0，t]上的唯一性，如果Lt，~Lt∈ [0，θ）并引入停止时间τ：=inf{t>0:Lt≥ θ} ∧ T和▄τ：=inf{T>0：▄Lt≥ θ} ∧ T、 然后Lt，Lt∈ [0，θ）对于t<：=τ∧ 所以我们得到了唯一性达到。注意，通过唯一性，L=~L在[0，]上，因此=τ=~τ。

因此，我们可以重复[，]上的唯一性论证，其中Lt，Lt∈ [θ，θ），定义为：=τ∧ 对于τ：=inf{t>：Lt≥ θ} ∧ T和▄τ：=inf{T>：▄Lt≥ θ} ∧ T、 以这种方式继续，k-1，我们得到了所有[0，T]的唯一性，因为Ltandlt都是严格递增的（回想一下假设2.3的第（ii）部分）。下面我们证明了当L中的局部Lipschitz性处处成立时的唯一性，而不是当L和▄L被限定到一个特定的块时，这些参数意味着唯一性[θi-1，θi）。因此，鉴于上述停止论证，下一个结果将有助于完成定理2.6的证明。命题5.1（平滑H-1估计）。假设假设2.1（iii）中的局部Lipschitzness无处不在，而不是分段。然后，作为ε↓ 0，我们有-1xTεt型∧田纳西州+ cEZt公司∧tnkTεskds公司≤ cnEZt公司∧tnd（νs，νs）-1xTεsds+cnEZt∧tn | Ls-~Ls |+d（νs，~νs）ds+o（1），对于固定的c>0，且cno仅取决于n，其中（tn）是一系列停止时间，使得tn↑ T作为n↑ ∞.证据证明是第5.2节和第5.3节的主题。注意，此时Gr"onwall已经给出了ERt∧tnkd公司sdxkds是有限的，特别是，s∧tn的密度为L，我们在下面使用。还应注意| L-~L |主要由d（ν，~ν）控制，但它包含在估计中，因为它显示了上述“分段停止论证”将在何处发挥作用。下一个引理涉及光滑H的左右两侧-1估计，从而为astronger Gr"onwall论证打开了大门，这将允许我们完成定理2.6的证明。引理5.2。存在c>0，因此，对于所有s≤ T，δ∈ （0，1），且λ>1，d（νs，￠νs）≤ cλ（1+δ-1)-1xTεs+ cδdsdx公司+ fs（λ）+gs（ε）d（νs，￠νs）≤ c√λ + δ-1.-1xTεs+ cδdsdx公司+ fs（λ）+gs（ε），asε↓ 0

此处（ft（λ））t≤这是一个过程，对于每一个a>0，ERTfs（λ）ds≤ cae公司-aλ对于某些ca>0和（gs（ε））s≤该过程使得ERTgs（ε）ds=o（1）asε↓ 0、插入din Prop的边界。5.1，我们得到前导项λ（1+δ-1） k级-1xTεsk，其中λ不是平方是至关重要的。对于来自dwe的其余术语，我们可以简单地应用杨氏不等式。在插入d的界之后，它将跟随e-1xTεt型∧田纳西州≤ δcnEZt∧田纳西州dsdx公司ds公司- cEZt公司∧tnkTεskds（5.4）+cn（1+λ+λδ-1） 中兴通讯-1xTεs∧田纳西州ds+cae-aλ+o（1），作为ε↓ 通过Tε的构造，我们得到了kTεsk公司≤ kd公司sdxkand kTεsk公司→ kd公司sdxk，sodominated convergence givesEZt∧田纳西州Tεsds公司→ 埃兹特∧田纳西州dsdx公司ds为ε↓ 因此，通过取δ：=c/2cn，当ε>0时，（5.4）右侧的前两项之和最终为非正。反过来，我们可以应用积分因子exp{cn（1+λ+λδ-1） t}到（5.4）中的反导数项，并推导出-1xTεt型∧田纳西州≤ cacn（1+λ+λδ-1） ecn（1+λ+λδ-1） Te公司-aλ+o（1）为ε↓ 回顾（5.3）并引用Fatou引理，如下所示t型∧tnkH公司-1.≤ ca，n，T（1+λ+λδ-1） exp{λ（1+δ-1） T型- aλ}。因此，我们可以简单地取a：=2（1+δ-1） T并发送λ→ ∞ 到达atE kt型∧tnkH公司-1= 0 t型∈ [0，T]。因为n是任意的，tn↑ T作为n↑ ∞, 我们得出结论，对于所有t∈ [0，T]。这就完成了定理2.6的证明。引理5.2的证明。固定ψ∈ Cd，其中Cd：={f:kfkLip≤ 1，| f（x）|≤ 1+| x |}。

如果λ>1，δ>0，我们可以取一个切割函数χ∈ C∞c（R）等于[δ，λ]上的1-1] 并在（δ/2，λ）中支撑，使得|χ|≤ 1, |χ| ≤ Cχ/δ开[δ/2，δ]，和|χ| ≤ Cχon[λ- 1, λ].观察χψ∈ W1，∞（δ/2，λ）带K（χψ）k=Zδ|χ| |ψ| dx+Zλλ-1|χ| |ψ| dx+Zλ|χ||ψ| dx≤ Cχ（δ-1+1）kψkL∞(0,λ)+ λ.接下来，我们可以观察到| hs、 ψi |≤ |h类s、 χψi |+| hs、 （χ- 1） ψ1[0，δ]i |+hνs+|νs，|ψ| 1[λ-1.∞)我≤ |h类s、 χψi |+（1+δ）δ1/2dsdx公司+ hνs+~νs，（1+|·|）1[λ-1.∞)iLet（·，·）是L上的内积。通过部件和Cauchy–Schwarz进行积分得到| hs、 χψi |≤（Tεs、 χψ）+（Tεs、 χψ）- h类s、 χψi≤-1xTεsx（χψ）+（Tεs、 χψ）- h类s、 χψi.由ArzeláAscoli定理应用于{χf:f∈ Cd}，我们可以找到一个完整的家族{i∈ Lip（R）：i=1，k（δ，λ）}在[δ/2，λ]中得到支持，因此，对于任何f∈ Cd，supx∈R |Дi（x）- χf（x）|≤ δλ-, 对于某些i=1。。。，k（δ，λ）。因此，存在一个（Tεs、 χψ）- h类s、 χψi≤（Tεs、 ^1i）- h类s、 ^1ii+ 2.√δdsdx公司,我们使用了Cauchy–Schwarz和kTεsk公司≤ kd公司sdxkand kДi-χψk≤√δ. 注意（Tεs、 ^1i）→ h类s、 Дii为ε→ 0（参见例如[35，第6.4条]），因此定义gεs=gεs（δ，λ）：=sup{|（Tεs、 ^1i）- h类s、 ^1ii |：i=1，k（δ，λ）}，我们有ERTgs（ε）ds→ 0为ε→ 有界收敛为0。因此，| hs、 χψi |≤-1xTεsx（χψ）+ 2.√δdsdx公司+ gs（ε），其中g是引理所要求的。最后，结合以上内容，我们可以在定义和发现d（νs，νs）的函数类中取supremaoverψ≤ cλp1+δ-1.-1xTεs+ cδdsdx公司+ fs（λ）+gs（ε），and d（νs，￠νs）≤ cpλ+δ-1.-1xTεs+ cδdsdx公司+ fs（λ）+gs（ε），其中fs（λ）：=hνs+～νs，（1+|·|）1[λ-1.∞)i。

因此，通过引用引理A.3.5.2 l边界效应的规则性和包含性所保证的fs（λ）的指数衰减特性，证明是完整的。本节的第一个任务是为ε>0且T∈ [0，T]。这可以通过利用我们对ν的额外控制来实现，因为它是粒子系统的一个极限点。具体而言，我们可以使用经验度量（νN）由其整体空间对应物支配，因此，在极限情况下，ν由SPDE（2.3）的整个空间版本的解决方案支配，其中M和L仍然根据ν定义。这一点至关重要，因为我们可以在没有任何边界影响的情况下，对整个空间进行简化。另一方面，对半线的估计只会成功，因为我们在较弱的空间H中工作-1，其中我们可以仅依靠命题4.3和假设2.3中的边界衰减来控制边界效应（见引理5.5和第5.3.2节）。命题5.3（能量估计）。Letν*是（νN）的极限点。ThenE公司支持∈[0，T]supε>0Z∞（1+x）（Tεν*t） dx公司< ∞. （5.5）证明。这些粗略的想法与[35，Prop.7.1]相同，因此为了避免重复，我们将再次参考这一点。首先，设？νN：=PNi=1aNiδxit，并注νN（A）≤ \'νN（A）表示ALA∈ B（R）。

现在，与（νN）相同的工作确保（νN，(R)νN）与极限点ν紧密相连*≤ ν*, 其中\'ν*满足SPDE（2.3）的全空间模拟，即测试函数的空间都是S，但M和L仍然定义为ν*.如[35]中的引理7.2和7.3所述，证明（5.5）它对边界j的作用：=lim infε→0E支持≤TZR（\'Tε\'ν）*t） dx公司和J：=lim infε→0E支持≤TZRx（\'Tε\'ν）*t） dx公司,式中，\'Tε的作用由（\'Tε′ν）给出*t） （x）：=ZRpε（x- y） d？ν*t（y）。请注意，y 7→ pε（x- y） 当然不在C中，但在±处有快速衰减∞, 因此，这是一个可接受的测试函数，用于满足“ν”的整个空间SPDE*. 我们将证据的其余部分分为三个步骤。第1步。我们首先展示J>R∞V（x）dx。简化一下，letbt（x）：=b（t，x，νt，Lt）- α（t，x，νt，Lt）Lt。那么bt将在[35]中命题7.1的证明中扮演漂移的角色。正如[35]中所述，我们可以用pε（·）测试SPDE- y） 并引入适当的误差项，以获得‘Tε’ν的可处理表达式*t、 接下来，我们可以应用It^o的公式，并将其转换为平方（\'tε\'ν）的表达式*t） 。这样，我们就得到了d（\'Tε\'ν*t） =- 2（\'Tε\'ν）*t）英国电信x（\'Tε\'ν）*t）- xbt？Hbt，ε+？Ebt，εdt（5.6）+（Tεν）*t）x个σtx（\'Tε\'ν）*t）- xσt'Hσt，ε+'Eσt，εdt公司- 2ρt（\'tε′ν）*t）σtx（\'Tε\'ν）*t）- xσt'Hσt，ε+'Eσt，εdWt+ρtσtx（\'Tε\'ν）*t）- xσt'Hσt，ε+'Eσt，εdt，其中误差项“E”和“H”在附录引理A.2中定义。与文献[35]相比，我们必须小心bt的线性增长，然而，这是通过部分集成来实现的：因为“Tεν”*tvanishes位于±∞ 靠着‘ν’的尾巴*t（使用引理A.4的全空间模拟），我们得到-ZRZt2bs（\'Tε\'ν）*s）x（\'Tε\'ν）*s） dsdx=-ZtZRbs公司x（\'Tε\'ν）*s） dxds=ZtZRxbs（\'Tε′ν）*s） dxds≤ CZt公司\'Tε\'ν*sds。（5.7）鉴于此，计划整合x∈ 方程（5.6）中的R，以获得‘Tε’ν的L-范数估计值*t。